尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第15章 博弈定价模型)

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1．Fudenberg 和Tirole 于1992年在Rousseau 最初工作基础上发展了捕猎博弈。

在此博弈中两位局中人要么相互协作，要么每个人单独行动。

该博弈的支付矩阵为：（1）描述该博弈中的纳什均衡。

（2）假定B 认为A 将会采用混合策略来选择如何打猎。

B 的最优策略选择如何依赖于A 选择捕捉野兔的概率？（3）假定此博弈可以扩展至n 个局中人的博弈（该博弈是由Rousseau 所想到的），为了捕获一只雄鹿，所有的人都要相互协作。

假定某一特定的局中人（例如B ）的收益保持不变，而其他1n -个人决定采用混合策略，则B 的最优策略如何取决于其他人选择捕捉雄鹿的概率？解释为什么在此扩展的博弈中协作显得更不可能。

解：（1）该博弈的纳什均衡为：（雄鹿，雄鹿），（野兔，野兔）。

先考虑局中人B 的策略，局中人A 选择捕猎雄鹿，则局中人B 的最优策略为雄鹿；若局中人A 选择捕猎野兔，则局中人B 的最优策略为捕猎野兔。

反之，若局中人B 选择捕猎雄鹿，则局中人A 的最优策略为雄鹿；若局中人B 选择捕猎野兔，则局中人A 的最优策略为捕猎野兔。

因此策略组合（雄鹿，雄鹿），（野兔，野兔）为纳什均衡。

（2）令p 为参与人A 选择捕捉雄鹿的概率，因而如果B 选择捕捉雄鹿，则其期望收益为：()2012p p p +⨯-=；如果B 选择捕捉野兔，则其期望收益为：()11p p +-=。

因此，如果21p >，即0.5p >，B 将选择捕捉雄鹿；反之，则捕捉野兔。

（3）其他人都选择捕捉雄鹿的概率为：1n p -。

如果B 选择捕捉雄鹿，他的期望收益为：()1112012n n n p p p ---+⨯-=； 如果B 选择捕捉野兔，他的期望收益为：()1111n n p p --+-=。

因此，如果121n p ->，即10.5n p ->，B 将选择捕捉雄鹿；反之，则捕捉野兔。

由于01p <<，在多人参与下10.5n p ->更不容易得到满足。

2．局中人A 与B 在路边行走时捡到100美元，他们讨论如何来分这些钱。

一位路人提出了如下的博弈：“你们两人申报你们各自所期望获得的金额（A d ，B d ）。

如果100A B d d +≤，你们可以获得你们各自所要的钱，我将拿走剩下的钱。

如果100A B d d +>，我将拿走这100美元。

”在此博弈的连续策略中，是否存在唯一的纳什均衡？答：此博弈不存在唯一的纳什均衡。

其理由如下： 如果100A B d d +<，则收益为A d ，B d ； 如果100A B d d +>，则收益为0。

所以使得100A B d d +=的策略都是纳什均衡，因为在给定其他局中人的博弈下，没有局中人有激励去改变其策略。

3．假定收益矩阵为：其中，1K ≥。

说明该博弈的混合策略纳什均衡如何依赖于K 的值。

解：假设参与人A 以概率r 去爬山，B 以概率s 去爬山，则A 的期望效用为：()()111A E U s r K s =-++-⎡⎤⎣⎦B 的期望效用为：()()()11B E U K r s K r K =-++-⎡⎤⎣⎦因而可得混合策略纳什均衡为：()1/1s K =+，()/1r K K =+4．在《一篇关于家庭的论文》（剑桥：哈佛大学出版社，1981）一书中，G.Becker 提出了有名的“堕落的孩子”定理，作为一个（潜在的坏）孩子A 与他（她）的父母B 之间的博弈。

A 首先行动，选择影响行动r ，r 将一方面影响其自身收入()A Y r （0A Y '>），另一方面影响其父母收入()B Y r （0B Y '<）。

在第二阶段，父母将留给孩子一笔遗产L 。

孩子仅关心自己的效用()A A U Y L +，但是父母却最大化()B B A U Y L U λ-+，其中0λ>反映了父母对孩子的利他主义行为。

证明：尽管孩子没有利他主义倾向，但是他（她）仍将选择使A B Y Y +最大化的r 值。

（提示：你必须首先找出父母的最优遗产，接下来在给定父母这一行为的情况下求解孩子的最优决策）解：父母关于L 的最大化问题的一阶条件为：0B A U U λ''-+= ①孩子关于r 的最优选择为：()d /d 0AA U Y L r ''+=，从而有：d /d 0A Y L r '+= ② ①式两端关于r 求导数可得：()()d /d d /d 0BB A A U Y L r U Y L r λ''''''--++= ③ 由②、③两式可得：()d /d 0BB U Y L r '''--= 从而有：d /d B L r Y '= ④再由②、④两式可得：0AB Y Y ''+=，这恰好是使得总收入A B Y Y +最大化的r 所需满足的表达式。

5．“小鸡”博弈是由两个强壮的小伙子参与的博弈，他们在一个单行道上笔直加速前行。

第一个转向的人被视为小鸡，而不掉头的那一位就赢得同伴们的尊敬。

当然，两个人可以都不转向，此时两个人都将死于车祸。

小鸡博弈的支付矩阵如下表所示。

（1）该博弈是否存在纳什均衡？（2）没有任何人临阵脱逃的威胁是否是可信的？ （3）一个局中人严格采用“不做小鸡”（例如，扔掉方向盘）对于该局中人而言是否是合意的？（4）如果你看过电影《美丽心灵》，你如何将酒吧中的场景解释为一个小鸡博弈？你能勾画出纳什的深刻理解是什么？答：（1）该博弈存在两个纳什均衡：（小鸡，不做小鸡）、（不做小鸡，小鸡）。

（2）相对于某人的对手承诺“不做小鸡”而言，某人威胁“不做小鸡”，这是一个不可信的威胁。

因为若两人都不临阵脱逃，都不愿做小鸡，则两人都将死于车祸，双方的支付都为0，因此没有任何人临阵脱逃的威胁并不可信。

（3）假定对手没有做出如此的承诺，则该承诺将会达到一个合意的结果。

（4）该影片描述的是一群男人决定相约一位迷人的女孩。

如果他们同时这样做，他们都将被拒绝，但是每个人都先行一步则会得到一个纳什均衡。

因而，该博弈需要在某种博弈前的决策过程中选择先行者。

6．考虑如下一个关于罕有的垒球卡的暗标拍卖。

局中人A 对其评价为600美元，局中人B 对其评价为500美元，即将提交密封报价的局中人都知道这些评价。

出价最高的人将赢得垒球卡。

如果两人出价相同，则拍卖者将掷硬币决定谁是赢家。

每个局中人现决定如何来出价。

（1）你如何对此博弈中的策略进行分类？是否一些策略占优于另一些策略？ （2）该博弈有无纳什均衡？是否唯一？（3）如果两个局中人都不知道彼此对垒球卡的评价，则该博弈将如何改变？ 答：（1）在该博弈中，由于策略是连续的，因而500A ε=+（ε为任意小的正数）将占优于任何比A 出价更高的策略。

500B =也将占优于任何比B 出价更高的策略。

任何其他策略都不是占优的。

（2）该博弈有纳什均衡，例如，500.01A =，500B =或500.001A =，500B =都是纳什均衡。

但纳什均衡并不唯一。

（3）在信息不完全的情况下，该博弈将变成一个贝叶斯博弈。

7．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行伯特兰竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托最优吗？ 解：（1）如果厂商进行伯特兰竞争，纳什均衡下的市场价格是10B P ε=-，10A P =。

理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A P 和B P ，那么必有10A P ≥，8B P ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本，否则就会亏损。

其次，达到均衡时，A P 和B P 都不会严格大于10。

否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。

所以均衡价格一定满足10A P ≤，10B P ≤。

但是由于A P 的下限也是10，所以均衡时10A P =。

给定10A P =，厂商B 的最优选择是令10B P ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。

综上可知，均衡时的价格为10A P =，10B P ε=-。

（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。

下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max Pq cq ε≥- ①其中10P ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>---⨯-⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()50020102εε-⨯--⎡⎤⎣⎦（3）这个结果不是帕累最优的。

因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。

8．两个厂商（A 与B ）考虑健康雪茄的竞争品牌。

厂商报酬如下表所示（A 的利润首先给定）。

（1）这个对策有纳什均衡吗？（2）这个对策对于厂商A或者厂商B有先动优势吗？（3）厂商B欺骗厂商A以把它赶出市场对B厂商有利吗？答：（1）该博弈存在纳什均衡，均衡的策略组合为：（生产，不生产），（不生产，生产）。

（2）如果厂商A先行动（如图15-1所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（生产，不生产）；如果厂商B先行动（如图15-2所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（不生产，生产）。

可见每个厂商选择先行动都比选择后行动可以获得更高的收益，所以厂商A和厂商B都有先动优势。

图15-1 厂商A先行动的博弈的反向归纳图15-2 厂商B先行动的博弈的反向归纳（3）厂商B不能把厂商A赶出市场，这是因为无论厂商B实行什么策略，厂商A总是可以获得正的利润。