沪科版初中数学八年级上册单元测试第15章

沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷一、选择题1．下列图案中，是轴对称图形的是()2．如图，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1、P2，连接OP，OP1，OP2，则下列结论正确的是()A．OP1⊥OP2B．OP1＝OP2C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2D．OP1≠OP23．将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是()4．如图，在等腰三角形ABO中，∠ABO＝90°，腰长为3，则A点关于y轴的对称点的坐标为() A．(－3，3) B．(－3，－3) C．(3，3) D．(3，－3)5.(如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．45°D．50°6．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为()A．11 B．16 C．17 D．16或177．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于()A. 3 cm B ．2 cm C ．3 cm D ．4 cm8．如图，在等边三角形ABC 中，中线AD ，BE 交于F ，则图中共有等腰三角形( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，小于AC 的任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 6B 6A 7的边长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64二、填空题11．如图，一个英语单词的四个字母都关于直线l 对称，请在图上补全字母，并写出这个单词所指的物品是________．12．点P(－1－2a ，5)关于x 轴的对称点与点Q(3，b)关于y 轴的对称点重合，则点(a ，b)关于x 轴的对称点的坐标为________．13．如图，已知等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B ′处，DB ′，EB ′分别交AC 于点F ，G.若∠ADF ＝80°，则∠DEG 的度数为________．14．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A ＝30°，AC ＝10，把上面一块绕直角顶点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位置，点C ′在AC 上，A ′C ′与AB 相交于点D ，则C ′D ＝________．三、解答题15．(1)如图，写出图中四边形的4个顶点坐标．(2)图中4个点的纵坐标不变，将横坐标都乘－1，请在图中标出这样的4个点．(3)顺次连接(2)中你画出的4个点所得四边形与原来的四边形有什么样的位置关系？16．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，交AD于点E，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.17．如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BC⊥AC)，然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60 m．求DC的长．18．如图所示，EG∥AF，请你在下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一(1)写出一个真命题：如果EG∥AF，________，________，那么________．请证明这个命题；(2)再写出一个真命题．(不要求证明)19．如图，在5×5的正方形网格中，有线段AB和直线MN.(1)在MN上找一点C，使△ABC的周长最小．(2)在网格中作出点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，且点P要在格点上，则这样的点P有多少个？20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC外一点，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE＝AE＋BC.21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE.(2)若AB＝15 cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB＋PC最小？并求出此时PB＋PC的值．22．已知△ABC为等边三角形，如图①，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．(1)图①中∠BQM等于多少度？(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1.D2.B3.B4.C5.A6.D7.C8.D 9．D 10.C二、填空题11.书，图略 12.(1，5) 13.70°14.52 点拨： ∵∠A ＝30°，AC ＝10，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝60°，BC ′＝BC ＝12AC ＝5.∴△BCC ′是等边三角形，∴CC ′＝5，∴AC ′＝5.∵∠A ′C ′B ＝∠C ′BC ＝60°，∴C ′D ∥BC.∴∠ADC ′＝∠ABC ＝90°，∴C ′D ＝12AC ′＝52. 三、解答题15.解：(1)O(0，0)、A(－2，1)、B(－3，3)、C(－1，2)．(2)图略．(3)所得四边形与原来的四边形关于y 轴对称．16．证明：∵EF 垂直平分AD ，∴FA ＝FD ，∴∠FAD ＝∠FDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，又∵∠B ＝∠FDA －∠BAD ，∠CAF ＝∠FAD －∠CAD ，∴∠B ＝∠CAF.17．解：在△ADB 中，由已知条件知∠ABD ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠A ＝∠ABD ，∴△ADB 是等腰三角形，∴BD ＝AD ＝60 m ．在Rt △DCB 中，∠CDB ＝180°－120°＝60°，又∵BC ⊥AC ，∴∠DBC ＝90°－60°＝30°，∴DC ＝12BD ＝12×60＝30(m)． 18．解：(1)AB ＝AC ；DE ＝DF ；BE ＝CF证明：∵EG ∥AF ，∴∠GED ＝∠F ，∠BGE ＝∠BCA ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ，∴∠B ＝∠BGE ，∴BE ＝EG .∵DE ＝DF ，∠GED ＝∠F ，∠EDG ＝∠FDC ，∴△DEG ≌△DFC ，∴EG ＝CF ，∴BE ＝CF.(2)如果EG ∥AF ，AB ＝AC ，BE ＝CF ，那么DE ＝DF.点拨：(2)题答案不唯一．19．解：(1)如图①，作B 关于直线MN 的对称点D ，连接AD 交MN 于点C ，则此时△ABC 的周长最小．(2)如图②，当BA ＝BP 时，符合条件的点有Q ，Z ，E ，L ，F ，W ，共6个；当AB ＝AP 时，符合条件的点有T ，G ，H ，共3个．∴这样的点P 有9个．20．证明：连接CD.∵AC ＝BC ，AD ＝BD ，CD ＝CD.∴△CDA ≌△CDB.∴∠ACD ＝∠BCD.又∵DE ⊥AC ，∴△CED 为等腰直角三角形．∴CE ＝DE.又∵AC ＝BC ，CE ＝AE ＋AC ，∴DE ＝AE ＋BC.21．(1)证明：∵△ACD 为等边三角形，DE ⊥AC ，∴DE 垂直平分AC ，∴AE ＝CE.∴∠AEF ＝∠FEC.∵∠ACB ＝∠AFE ＝90°，∴DE ∥BC.∴∠AEF ＝∠EBC ，∠FEC ＝∠ECB.∴∠ECB ＝∠EBC.∴CE ＝BE.∴AE ＝CE ＝BE.(2)解：连接PA ，PC.∵DE 垂直平分AC ，P 在DE 上，∴PC ＝PA.∵两点之间线段最短，∴当P 与E 重合时PA ＋PB 最小，为15 cm ，即PB ＋PC 最小为15 cm.22．解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ＝60°.在△ABM 和△BCN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ＝60°，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM ＝∠CBN ，即∠BAM ＝∠MBQ.又∵∠AMC ＝∠MBA ＋∠BAM ＝60°＋∠BAM ，∠AMC ＝∠MBQ ＋∠BQM ，∴∠BQM ＝60°.(2)成立．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴AC ＝BA ，∠ACB ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACM ＝∠BAN ＝180°－60°＝120°.又∵BM ＝CN ，∴CM ＝AN ，∴△ACM ≌△BAN ，∴∠M ＝∠N ，∴∠BQM ＝∠N ＋∠QAN ＝∠M ＋∠CAM ＝∠ACB ＝60°.。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠a的度数为（）A.45°B.60°C.90°D.135°3、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）A.P是∠A与∠B两角平分线的交点B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点4、如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A 3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A.175°B.170°C.10°D.5°5、如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的周长为（）A.8B.11C.16D.176、三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“2”、“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（）A. B. C. D.7、下列四种垃圾分类回收标识中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8、如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE ∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（）A.8cmB.9cmC.11cmD.10cm9、如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B ＝70°.则∠BCE的度数为（）A.55°B.50°C.40°D.35°10、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.11、下列说法正确的是（）A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等B.角平分线就是角的对称轴 C.如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角 D.到线段两端点距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上12、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）A.42°B.60°C.36°D.46°13、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14、∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A.PQ＞5B.PQ≥5C.PQ＜5D.PQ≤515、一个等腰直角三角形的面积为3，则直角边长在（）A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2021＝________．17、如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为；⑤当△ABP≌△ADN时，BP= .18、如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上，且AD＝，AE＝3 ，则AC＝________.19、等腰三角形ABC中，∠A=40°，则∠B=________20、如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=________度．21、如图，E是正方形ABCD一边上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，若△PAE为等腰三角形时，则AP的长为________．22、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC 上的点，且AE=AD，BF=BD．若DE=2 ，DF=4，则AB的长为________．23、下图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=30°，AB=7.4m，则BC=________m，DE=________m．24、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为________．25、如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO的度数为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知ABC中∠BAC=140°, AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，AEF的周长为10㎝,求BC的长度和∠EAF的度数.27、请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）28、如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,3) , B(-3,1) , C(-1,1)．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出：。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A. B. C. D.2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A.3B.4C.5D.63、如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥ BC，然后作△ABC 关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP＋PB的最小值是（）A.4B.3C.2D.2＋4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠CDE度数为（）A.71°B.64°C.80°D.45°5、如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°6、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( )A.C点B.D点C.E点D.F点7、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A.13B.15C.17D.198、已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9、如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形10、如图，Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为（）A.40°B.30°C.20°D.10°11、如图，在△ABC中，∠A=105º，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB＋BE=BC，则∠B的度数是（）A.45ºB.50ºC.55ºD.60º12、如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A. B. C. D.13、如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使B落在E处，AE交CD于点F，则下列结论中不一定成立的是（）A.AD=CEB.AF=CFC.△ADF≌△CEFD.∠DAF=∠CAF14、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A.36°B.60°C.72°D.108°15、三角形ABC的三条内角平分线为AE，BF，CG，下面的说法中正确的个数有（）①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM,ON上各取一点B,C，分别连接A,B,C三点组成三角形，则ΔABC最小周长为 ________ 。

第15章轴对称图形与等腰三角形一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100°D．105°4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°5．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或127．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或128．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或79．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．14710．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或811．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1712．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．1814．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30° B．45° C．60° D．90°15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1717．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°二、填空题20．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 ．22．如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α= °（填一个即可）23．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则它的周长为 cm ．24．若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为 cm ．25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．26．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．27．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交于点E ，垂足为D ，连接BE ．已知AE=5，tan ∠AED=，则BE+CE= ．三、解答题28．如图，已知AB=AC=AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C=2∠D ．29．求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．30．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．第15章轴对称图形与等腰三角形参考答案与试题解析一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【考点】等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为=70°．故选：D．【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100°D．105°【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图．【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．【解答】解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°【考点】等腰三角形的性质．【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【解答】解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故选C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．5．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．7．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或12【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或7【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．147【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．【解答】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DF C=180°﹣57°=123°，故选B．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等边对等角和三角形内角和分析解答．10．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或8【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．故选：D．【点评】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．11．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．12．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．18【考点】等腰三角形的性质．【分析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解．【解答】解：8+8+5=16+5=21．故这个三角形的周长为21．故选：A．【点评】考查了等腰三角形两腰相等的性质，以及三角形周长的定义．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD 计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°，∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC=BD，∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选：A．【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质；多边形内角与外角．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°，再求出∠BAD=60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=（360°﹣∠BAD）=（360°﹣60°）=150°．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．二、填空题20．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是120°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．【解答】解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．22．如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α=130 °（填一个即可）【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【专题】分类讨论．【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知角，求得等腰三角形的另外两角，然后利用平行线的性质求解即可．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=50°，∴当AB=AC时，∠ACB=∠ABC=50°，∵a∥b，∴∠α=130°，故答案为：130．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是根据等腰三角形求得其他两角，答案不唯一．23．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为12 cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．【解答】解：分两种情况讨论①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；②腰长为2cm时，三边为5、2、2，∵2+2=4＜5，∴不满足构成三角形．∴周长为12cm．故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．24．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35 cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为：35．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是110°或70°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为：110°或70°．【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．26．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A 1AB 的度数，∠A 2A 1C 的度数，∠A 3A 2B 的度数，∠A 4A 3C 的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：由题意可知：AO=A 1A ，A 1A=A 2A 1，…，则∠AOA 1=∠OA 1A ，∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…，∵∠BOC=9°，∴∠A 1AB=18°，∠A 2A 1C=27°，∠A 3A 2B=36°的度数，∠A 4A 3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n ＜10．由于n 为整数，故n=9．故答案为：9．【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．27．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE= 6或16 ．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．【解答】解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB，∵AE=5，tan∠AED=，∴sin∠AED=，∴AD=AE•sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．【点评】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．三、解答题28．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．【解答】证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．29．求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC，从而求得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．【解答】证明：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．30．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【考点】等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．。