圆锥曲线专题——面积最值问题
例题8、（11陕西理）已知椭圆C ：12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3，求△AOB 面积的最大值。
练习1、（10浙江理）如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记ABC ∆的面积为S 。
（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；
（Ⅱ）当12==，S AB 时，求直线AB 的方程。
练习2、（山东09文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。
拓展三：圆锥曲线面积问题知识点1 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积 1、弦长公式若N M 、在直线y kx m =+上，代入化简，得12||MN x =-; 2、利用弦长与点到直线距离计算三角形面积公式若直线与圆锥曲线交于点A ，B ，点P 为定点或满足一定条件的动点，要表示△P AB 的面积，一般是先利用弦长公式求出AB ，再利用点到直线距离公式求出点P 到直线AB 的距离d ，则12PAB S AB d ∆=. (二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q 的直线与圆锥曲线交于点A ，B ，点P 为定点或满足一定条件的动点，要表示△P AB 的面积，可先求出点A ，B 到直线PQ 的距离之和d ，则12PAB S PQ d ∆=，特别的，若PQ 与y 轴垂足，12PAB A B S PQ y y ∆=-，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量. (三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12. (四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加知识点2 面积比值通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.知识点3 圆锥曲线面积的最值问题(一)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围. (二)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.类型一 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积（一）利用弦长和点到直线的距离求三角形的面积1．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2，右焦点2F 到上顶点的. (1)求椭圆的方程；(2)斜率为2的直线l 经过椭圆的左焦点1F ，且与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF △的面积.【解析】(1)由题意可得222c a a b c a ===+，解得1,1b c ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)解法一：由（1）得()()121,0,1,0F F -，则由题意可设直线():21l y x =+， 代入椭圆方程2212x y +=整理可得291660x x ++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212162,93x x x x +=-=，则由弦长公式知AB =又设2F 到l 的距离为d ，则由点到直线距离公式可得d =2ABF ∴的面积212ABF S==. 解法二：由（1）得()()121,0,1,0F F -，则由题意可设直线():21l y x =+，即12y x =- 代入椭圆方程2212x y +=整理可得29440y y --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244,99y y x x +==-，12y y ∴-==，则2ABF △的面积212121212ABF S F F y y y y =⨯⨯-=-=. 2．（2022·北京市第一五六中学高二期中）已知椭圆22:132x y C +=，左右焦点分别为12,F F ，直线1y x =-+与椭圆C 相交于,A B 两点． (1)求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)求1ABF 的面积．【解析】（1）椭圆22:132x y C +=知，该椭圆的焦点在x 轴上，设焦距为2c ，由223,2a b ==， 所以21c =，所以焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -离心率为：c e a =（2）由直线1y x =-+与椭圆C 相交于,A B 两点，设1122(,),(,)A x yB x y则221321x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得25630x x --=，121263,55x x x x +==-，所以||AB ===又1F 到1y x =-+的距离为d ==所以1ABF的面积为：111||22ABF SAB d =⨯⨯==3．（2022·河南·高二期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的线段长为 3 ． (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线1y x =-与椭圆C 交于,P Q 两点，求FPQ △的面积． 【解析】（1）解：由题知(),0F c -，代入22221x y a b+=得2b y a =±，所以，根据题意得22221223c e a baa b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，23b =． 故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=-⎩消去y 后整理可得27880x x --=．所以，1287x x +=，1287x x =-．所以，12247PQ x =-==．()1,0F -到直线1y x =-的距离d ==所以，FPQ △的面积为12S d PQ =⋅=4．（2022·重庆·高二期末）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点到2F 的距离为E过点).过1F 且不与两坐标轴平行的直线l 交椭圆E 于,A B 两点，点B 与点M 关于x 轴对称. (1)求椭圆E 的方程(2)当直线l 的斜率为1时，求2ABF △的面积； (3)若点()4,0N -，求证：,,A M N 三点共线.【解析】(1)解：由题得a =22218x y b +=，因为椭圆E过点)，所以26118b+=，所以2,b =所以椭圆E 的方程为22184x y +=.(2)解：由题得12(2,0),(2,0)F F -,所以直线l 的方程为02,y x -=+即20x y -+=，联立直线和椭圆方程221842x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2380x x +=，所以AB ==点2F 到直线l= 所以2ABF △的面积为11623. (3)解：设直线l 的方程为(2)y k x =+，联立直线和椭圆的方程221842x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8880k x k x k +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以22121222888+=,1212k k x x x x k k --=++， 由题得22(,)M x y -，()4,0N -，所以111122(4,)(4,2),(4,2)NA x y x kx k MN x kx k →→=+=++=--+， 所以12121212(4)(2)(2)(4)26()16x kx k kx k x kx x k x x k ++-+--=+++222228880=26160121212k k k k k k k k--⨯+⨯+==+++， 所以//NA MN →→,又,NA MN →→有公共点N , 所以,,A M N 三点共线.（二）由水平宽⨯铅锤高求三角形面积5．（2022·福建泉州·高二期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，的左焦点(1,0)F -．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若(1,2)Q -，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求QMN 的面积．【解析】（1）由已知得：2222213124c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩；解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所求椭圆方程为2212x y +=(2)设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的斜率tan 451k =︒=，故直线l 的方程为：1y x =+，联立221220y x x y =+⎧⎨+-=⎩，消去x 得：23210y y --=， 法一：∴1y =或13y =-．联立12y x y =+⎧⎨=-⎩得(3,2)E --，4QE ∴=∴2MF N 的面积为121823QE y y ⋅-= 法二：∴121221,33y y y y -+=⋅=联立12y x y =+⎧⎨=-⎩得(3,2)E --,4QE ∴=∴2MF N 的面积为121823QE y y ⋅-=法三：∴1y =或13y =-．代入直线1y x =+，得()410,1,,33M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴N 到直线QM ：310x y +-=的距离d =QM ∴2MF N 的面积为1823d QM ⋅⋅=.6．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，12F F =()00,P x y 是第一象限内椭圆C 上的一点，12PF PF 、的延长线分别交椭圆C 于点()()111222,,、Q x y Q x y ．当1260F PF ∠=︒时，12F PF △(1)求椭圆C 的方程；(2)分别记121F F Q △和122F F Q △的面积为1S 和2S ，求21S S -的最大值． 【解析】（1）设12,PF m PF n ==，则122PF PF m n a +=+=，12F PF △的面积为121sin 2mn F PF ∠=83mn =，在12F PF △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理22212(2)2cos c m n mn F PF =+-∠，即228m n mn =+-，所以24a m n =+=，则2b =，椭圆C 的方程为22142x y +=． （2）设点P 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则直线1PF的方程为y x =+，将其代入椭圆方程中可得()(220000620y x y y +--=，所以201y y =，所以1y =2y =2112212112S S F F y y y -=-=-，21y y -=00==，000043y x =≤=+， 当且仅当000018x y y x =，即00x y ==所以21S S -（三）对角线互相垂直的四边形面积7．（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于,A M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B . （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于,D G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值. 【解析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(),x y 由题意可知：圆1C 的圆心为()11,0C -，半径为72；圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为12. 动圆P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切， 112122724212PC R PC PC C C PC R ⎧=-⎪⎪∴⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，其中224,22,2,3a c a b ==∴==从而轨迹E 的方程为：22143x y +=（2）（i ）设直线AB 的方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y - 由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得：()22224384120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -∴+==++ 直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =可得N 点的横坐标为：()()()()2111212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+- 22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+ N ∴为一个定点，其坐标为()4,0（ii ）根据（i ）可进一步求得：21AB x =-=()2212143k k +=+. 1,DG AB DG k k⊥∴=-，则()2212134k DG k +=+AB DG ⊥，∴四边形ADBG 面积()()()()()22222222121121721112243344334k k k S AB DG k k k k +++=⨯=⨯⨯=++++ （法一）()()()()22222222272172128849433443342k k S kk k k ++=≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭等号当且仅当224334k k +=+时取，即1k =±时，min 28849S =（法二）令21,0,1k t k t +=≠∴>， 则22227272721112111491224t S t t t tt ===+-⎛⎫-++--+⎪⎝⎭当112t =，即1k =±时，min 28849S =（四）把四边形分割成两个三角形的面积8．（2022·云南曲靖·高二期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为BO是坐标原点，且OB FB ⋅ (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx =与椭圆C 在第一象限内的交点为P ，PB PO =，直线BF 与直线l 的交点为Q ，求BPQ 的面积．【解析】（1）由题意得：,,OF c OB b FB a ====，则222c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为：22132x y +=； （2）由（1）得()(1,0,F B -，则直线BF方程y =+又PB PO =可得P 在线段OB 垂直平分线上，则P y =P 在椭圆22132x y +=上，解得32P x =，则32P ⎛ ⎝⎭，直线:l y x =，联立l 和线BF 可得y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则3,2Q ⎛- ⎝⎭，则13132222BPQOBP OBQS SS=+=⨯+=9．（2023届THUSSAT 中学生标准学术能力高三9月测试）已知A 、B 分别为椭圆Γ：()22211x y a a +=>）的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，C 是椭圆Γ上异于A 、B 的点，点D 在坐标平面内． (1)若3AFB π∠=，求椭圆Γ的标准方程；(2)若2a =，且CA AD ⊥，CB BD ⊥，求四边形CADB 面积S 的最大值． 【解析】（1）由已知AFB △是等边三角形， 因为2AB =，AF a =，所以2a =，得椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，因为CA AD ⊥，CB BD ⊥，所以0CA AD ⋅=，0CB BD ⋅= 则()()0,1,0,1A B -,所以()()1122,1,,1CA x y AD x y =--=-，()()1122,1,,1CB x y BD x y =---=+，所以()()1212110x x y y +--=，()()1212110x x y y +++=， 两式相减得21y y =-，带回原式得212110x x y +-=，因为221114x y +=，所以124x x =-，CADBCAB DABSSS=+12115142x x x ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭（当12x =±时取等）所以四边形CADB 面积S 的最大值为52．类型二 面积定值10．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点F，直线:l x =，点M 满足到点F 的距离与它到直线lM 的轨迹为C ． (1)求C 的方程；(2)过点M 且与C 相切的直线交椭圆22:1164x y E +=于A ，B 两点，射线MO 交椭圆E 于点N ，试问ABN 的面积是否为定值请说明理由．【解析】(1)解：设(,)M x y，根据题意，l MFd =l d 表示M 到直线l 的距离.整理得2214x y +=，曲线C 的方程为：2214x y +=．(2)解：ABN 的面积为定值，理由如下： 设00(,)M x y ，∴当直线斜率不存在时，过M 直线方程为02x x ==±，不妨令02x =，则(2,0)M此时(2,A B，AB =(4,0)-N故12ABNSAB MN =⋅= ∴当直线斜率不存在时，设过M 直线方程为.y kx m =+该直线与椭圆C 相切22222(14)844014y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪∴⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 222(8)4(1)(44)0km k m ∴∆=-+-=得：2241k m +=∴024414km kx k m∴=-=-+，041k y k m m m =-⋅+= 14M OM M y k x k ∴==-，则直线MO 的方程为：14y x k=- 2222214(14)641164y x kk x k x y ⎧=-⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩2226414N k x k ∴=+，222220641444()N k x k k x m+∴==-， 由题可得，M ，N 位于y 轴两侧，故02N x x =-.即3ABNAOBSS=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得 222(14)84160k x kmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+，∴则有122814km x x k +=-+，212241614m x x k -=+，所以12||x x -，将∴代入得：12||x x -=由直线y kx m =+与y 轴交于(0,)m ， 则AOB的面积为1211||||||22AOBS m x x m =⋅-== 故363ABNAOBSS==综上：ABN 面积为定值11．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-． (1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：OMN 的面积为定值．【解析】（1）不妨设 ()()12,0,,0F c F c -, 因为(),0A a ,从而()()12,0,,0AF c a AF c a =--=- 故由 22121AF AF a c ⋅=-=-, 又因为222+=a b c , 所以 1b =,又因为(),0A a 在圆 22:3O x y +=上, 所以 a = 所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=（2）设直线l 与x轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y x =由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点, 且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M N 、,当动直线l 的斜率不存在时, :l x=OD=12,22OMN MN S ===△,当动直线l 的斜率存在时,且斜率k ≠不妨设直线 :l y kx m =+, 故由 2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222136330k x mkx m ⇒----= 依题意，2130k -≠且0m ≠()()()222Δ6413330mk k m =-----=,化简得 2231k m =+,故由M y kx m x y x ⎧=+⎪⎪⇒=⎨=⎪⎪⎩, 同理可求,N x =所以M N MN x-=又因为原点O 到直线:0l kx y m -+=的距离d =所以12OMNS MN d ==△,又由2231k m =+所以OMN S ==△故OMN 的面积是为定值,12．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，(1)求C 的标准方程；(2)若不过坐标原点O 的直线l 与C 交于A ，B 两点，延长线段AO ，BO 与C 分别交于点M ，N ，若直线AM ，BN 的斜率之积为34-，证明：四边形ABMN 的面积为定值．【解析】(1)∴12e =，b =∴22214a b a -=，∴2a =． ∴C 的标准方程为22143x y +=．(2)由椭圆的对称性可知4AOBABMN S S =△四边形，因此只需求AOB 的面积即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()2248430k m ∆=+->，122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+．()()()222212121212231243m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+．221221231234124OA OBy y m k k k x x m -⋅===--，即22243m k =+．12AB x =-=原点O 到直线AB 的距离d∴12AOBS AB d =⋅==△ 当直线AB 的斜率不存在时，12x x =，12y y =-，212134OA OBy k k x ⋅=-=-，2211143x y +=，解得1x1y =∴11AOB S x y ==△综上，AOB∴四边形ABMN 的面积为定值13．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =直线20xy -+=的距离为 (1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BD b k k a⋅=-，证明：四边形ABCD 的面积为定值.【解析】(1)2222222:1842c aa x yb Ec a b c ⎧=⎪⎧⎪=⎪==⇒+=⎨⎪=⎩⎪=+⎪⎩． (2)设()()1122,,,A x y B x y ，设:AB l y kx m=+，代入22184x y +=，得222(12)4280k x kmx m +++-=，∴0∆>，∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -⋅=+，∴22AC BDb k k a⋅=-，得12122x x y y ⋅=-⋅，即12122()()x x kx m kx m ⋅=-++， 解得2242m k =+， ∴4ABCD AOB S S =△， 且1||2=AOBSAB d ，又||AB =d =整理得1|2AOBSm =∴4ABCD S =⋅14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF △的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，1B ，2B 是椭圆C 的短轴端点，P 是椭圆C 上异于点1B ，2B 的动点，点Q 满足11QB PB ⊥，22QB PB ⊥，求证12PB B △与12QB B 的面积之比为定值．【解析】(1)解：∴2ABF △的周长为8， ∴48a =，即2a =， ∴离心率c e a ==∴c =1b ==， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)方法一：设()00,P x y ，()11,Q x y则直线1PB 斜率1001PB y k x -=，∴11QB PB ⊥， ∴直线1QB 斜率1001QB x k y =--， ∴直线1QB 的方程为：0011x y x y =-+-， 同理直线2QB 的方程为：0011x y x y =--+， 联立上面两直线方程，消去y ，得20101y x x -=，∴()00,P x y 在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=，即222014x y -=-， ∴20200100144x y x x x x --===-， ∴121214PB B QB B S x S x ==△△ 所以12PB B △与12QB B 的面积之比为定值4．方法二：设直线1PB ，2PB 的斜率分别为k ，k '，点()00,P x y ，()11,Q x y ， 则直线1PB 的方程为1y kx =+，∴11QB PB ⊥，∴直线1QB 的方程为11y x k=-+，将1y kx =+代入2214x y +=，得()221480k x kx ++=，∴P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，∴02814kx k =-+， 又∴220014x y +=，即220014x y -=，∴2000200011114y y y kk x x x -+-'=⋅==-，即14k k'=-， 由22QB PB ⊥，得直线2QB 的方程为41y kx =-，联立11,41,y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩得12214k x k =+， ∴121220128144214PB B QB B kS x k k S x k -+===+△△ 所以12PB B △与12QB B 的面积之比为定值4．类型三 面积比值15．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，当直线l x ⊥轴时，3MN =.(1)求椭圆C 的方程；(2)记AMF ,ANF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围； (3)若AMN 的重心在圆22849x y +=上，求直线l 的斜率. 【解析】(1)因为左顶点()2,0A -，所以2a =，根据3MN =，可得223b a =，解得23b =，所以22143x y +=；(2)设直线l 为1x my =+，则22223412(34)6901x y m y my x my ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩， 则Δ0>，122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，那么()22221212212212644342,0934334m y y y y m m y y y y m m -⎛⎫⎪+-+⎛⎫⎝⎭=++==∈- ⎪-+⎝⎭+， 根据1221423y y y y ++>-解得12133y y -<<-，所以111222112,3132AF y S y S y AF y ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭. (3)设重心00(,)G x y ，则：120202334y y my m ++-==+，21212022()2223334x x m y y m x m +-++--===+， 所以()()422202222448493434m m x y mm+=+=++，所以21m =，即所求直线的斜率为1±.16．（2022·河南·信阳高中高二期末（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，且斜率为12-的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，1B ，点P ，Q 为椭圆上异于1A ，1B 的两点，且以P ，Q 为直径的圆过点1B ，设1A PQ △，1B PQ △的面积分别为1S ，2S ，计算12S S 的值. 【解析】(1)设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入椭圆C 的方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，所以2221102a b⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭. 因为24a =，， 解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.；(2)根据题意可知直线PQ 的斜率一定存在， 设直线PQ 的方程为y kx m =+， 点33(,)P x y ，44(,)Q x y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=.22222((8)4(14)416416160)km k m k m ∆=-+⨯-=-+>，2241k m ∴+>，342814kmx x k ∴+=-+，()23424114m x x k-=+. 11B P B Q ⊥，3434(2)(2)0x x y y ∴--+=，则3434(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，整理得22121650k km m ++=，解得12k m =-或56k m =-.当12k m =-时，直线PQ 的方程为112y m x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，不符合题意；当56k m =-时，直线PQ 的方程为516y m x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，过定点6,05M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，113412S A M y y ∴=-，213412S B M y y =-，11216(2)54625A M S SB M --∴===-.17．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）设O 为坐标原点，动点P 在圆22:1O x y +=上，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q 且2QD QP =. (1)求动点D 的轨迹E 的方程；(2)直线l 与圆22:1O x y +=相切，且直线l 与曲线E 相交于两不同的点A 、B ，T 为线段AB 的中点.线段OA 、OB 分别与圆O 交于M 、N 两点，记,AOT MON 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围. 【解析】(1)设点(,)D x y ，则(0,)Q y ，因2QD QP =，则有)P y ，又点P 在圆22:1O x y +=上，即221y +=， 所以动点D 的轨迹E 的方程是2212x y +=.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为：y kx m =+， 因直线l 与圆O 相切，1=，即221m k =+，而0k =时，直线l 与椭圆E 相切，不符合题意，因此0k ≠，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：222(21)4220k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，而点T 是线段AB 中点，则有：12111(||||sin )1222||||12||||sin 2AOB MON S OA OB AOB S OA OB S S OM ON MON ⋅∠===⋅=⋅∠= 令2211k t +=>，则12S S == 而1(0,1)t ∈，当117t =，即7t =时，1max 2()S S =当11t =，即1t =时，1min 21()2S S =，而1t >，于是得121(2S S ∈， 当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =±，OA OB ==121324S OA OB S =⋅=1(2∈，所以12S S的取值范围是1(2. 18．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为且经过点(0,1)A -，过点A 的直线l 与椭圆交于点B . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设M 为线段AB 的中点，O 为原点，OM 所在的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点（点Q 在x 轴上方），问是否存在直线l 使得AMQ △的面积是BMO 面积的6倍？若存在，求直线l 的方程，并求此时四边形APBQ 的面积，若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为所以223c c c ===，又因为该椭圆过(0,1)A -， 所以222220(1)11b a b-+=⇒=，因此222314a b c =+=+=，因此该椭圆的方程为：2214x y +=；(2)显然直线l 存在斜率，设为(0)k k ≠，该直线方程设为1y kx =-，与椭圆方程联立，得22221(14)80041x y k x kx x y kx ⎧+=⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=-⎩，或2814kx k =+， 所以点B 的横坐标为：2814kk +，则有282214k k -≤≤+成立， 因此点B 的纵坐标为：22284111414k k k k k -⋅-=++，即222841(,)1414k k B k k-++， 因为M 为线段AB 的中点，所以点M 的横坐标为：2218421414k kk k ⋅=++， 点M 的纵坐标为： 2221411(1)21414k k k -⋅-=-++，即2241(,)1414k M k k -++， 所以直线OM 的斜率为：2211144414k k k k -+=-+， 所以直线OM 的方程为：144y x x ky k =-⇒=-，把它代入椭圆方程2214x y +=中，得：y =Q 在x 轴上方，所以点Q，它的横坐标为：(4)k -=(Q ，点Q 到直线l===点O 到直线l假设存在直线l 使得AMQ △的面积是BMO 面积的6倍，则有：11622AM BM =⋅，因为M 为线段AB 的中点，所以有AM BM =2166k k =⇒=⇒=，显然满足 282214kk -≤≤+，直线l10y --=10y ++=，AB ==当直线l10y --=，此时1()5Q和1)5P -， 四边形APBQ的面积为：12=当直线l10y ++=，此时1)5Q和1()5P -， 四边形APBQ的面积为：12+=所以存在使得AMQ △的面积是BMO 面积的6倍的直线，方程为：10y --=10y ++=，四边形APBQ. 19．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知圆2211:(1)4O x y ++=，圆22249:(1)4O x y -+=，动圆M 与圆1O 外切，且与圆2O 内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹是何种曲线；(2)设过点(0,3)P 的直线l 与直线E 交于,A B 两点，且满足2PAO 的面积是2PBO 面积的一半，求2ABO △的面积．【解析】（1）解：圆1O 的圆心()11,0O -，半径112r =，圆2O 的圆心()21,0O ，半径272r =，设圆M 的半径为r ，由题意，1122O M r rO M r r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，所以12121242O M O M r r O O +=+=>=，由椭圆的定义可知，动圆圆心M 的轨迹是以()11,0O -，()21,0O 为焦点，长轴长为4的椭圆， 则2,1a c ==，所以22224,413a b a c ==-=-=， 所以动圆圆心M 的轨迹E 的方程为22143x y +=；（2）解：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设:30l y kx k ，()()1122,,,A x y B x y ，由223143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()224324240k x kx +++=，所以1222443k x x k -+=+∴，1222443x x k =+∴，且0∆>，即232k >， 因为2PAO 的面积是2PBO 面积的一半，所以点A 为线段PB 的中点， 所以2102x x +=，即212x x =∴， 联立∴∴∴可得294k =，所以32k =±， 因为2O 到直线AB的距离d =121AB x =-==所以2243312412ABO k k S A d B k +===+， 所以当32k 时，294ABO S =，当32k =-时，234ABO S =.所以2ABO △的面积为94或34.20．（2022·海南华侨中学高二期末）设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，1F ，2F 分别是左右焦点，N 是C 上一点且1NF 与x 轴垂直，直线2NF(1)求椭圆C 的离心率； (2)若抛物线214y x =的焦点恰好是点B ，设直线l ：()0y kx k =>与椭圆C 交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M均在第一象限，若BPM BPQ S S ∆∆=S 表示面积），求k 的值 【解析】(1)由题意知，12NF c=1NF =2NF =，2a =，故c e a ==(2)由题意知1b =，则221a c -=，联立c a =，解得24a =，23c =则椭圆的标准方程为2214x y +=.设点()11,P x y ，()()2221,0M x y x x >>，则()11,Q x y --由BPM BPQ S S ∆∆=PM PQ =，即512PM QP -=，知)2111x x x-=，即21x已知直线AB 的方程为12x y +=-，联立y kx =，解得22021x k =>- 由2244y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22414x k =+，知1x =故有221k =-1k =或14k = 由22021x k =>-，知12k >，故1k =类型四 已知面积求参21．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点坐标为(1,0)F ，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上，若OPF △的面积为12，求点P 的坐标．【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c ， 由题意有11,2c c a ==，得2a=，b =故椭圆C 的标准方程为22143x y +=； (2)设点P 的坐标为(,)m n ，由OPF △的面积为12，有11||22n =，得1n =±，有21143m +=，得m =故点P的坐标为1⎛⎫- ⎪⎝⎭或⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1⎫-⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 22．（2022·浙江温州·高二期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>12A ⎫⎪⎭．(1)求椭圆的方程； (2)直线:l y x m =+与椭圆交于B ，C 两点，若ABCm ．【解析】(1)解：根据题意可知：222223114a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2224,1,3a b c ===， 所以椭圆的方程为2214x y +=；(2)解：设()()1122,,,B x y C x y ，联立2214x y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消y整理得2210x m +-=，则()223410m m ∆=-->，解得22m -<<，21212,1x x x x m +=-，则BC =点A 到直线:l y x m =+的距离d ==则1122ABCSBC d ==1m =-， 所以若ABC 1m =-. 23．（2022·河南开封·高二期末（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，由C 的上、下顶点，左、右焦点的正方形． (1)求C 的方程；(2)直线l 过C 的右焦点F ，且和C 交于点A ，B ，设O 是坐标原点，若三角形OAB 的面积是23，求l 的方程．【解析】(1)由已知，a =1b c ==，所以C 的方程为2212x y +=(2)(1,0)F ，∴若l 斜率不存在，易知112||||1223OAB S AB OF ===≠； ∴若l 斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)l y k x =-，和C 的方程联立得：()2222124220k x k x k +-+-=，2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，所以12||AB x =-=)22112k k +=+点O 到直线l 的距离为d =所以)221112||22123OABk S AB d k +=⨯=⨯==+△， 22222(1)4(12)9k k k +=+解之得21k =，1k =±，所以l 的方程为1y x =-或1y x =-+，24．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点，1F ，2F 为椭圆的焦点，124PF PF +=．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线12y x =上，O 为坐标原点，当OAB l 的方程．【解析】（1）由椭圆定义得24a =，2a =，所以c ae ==b = 所以椭圆的方程为22142x y +=．（2）设()()1122A x y B x y ，，，，y kx m =+代入方程22142x y +=，得()()222124240*k x kmx m +++-=．所以1222212C x x km x k +-==+，212C Cmy kx m k =+=+， 所以221212212m km k k -=⋅++，解得1k =-，则()*式变为2234240x mx m -+-=，则12AB x =-=OAB 底边AB 上的高h =，所以OAB 的面积S =m =把1k =-，m =()*式，经检验，均满足0∆>，此时直线l 的方程为0x y +=或0x y +=．25．（2022·海南·高二期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，A ，B 是C的左、右顶点，G 是C 上异于A ，B 的任意一点，GH x ⊥轴于H ，延长线段HG 到点Q ，使得HG GQ =，直线AQ 与直线l ：x a =交于点M ，点N 为线段MB 的中点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设()00,G x y ，平行四边形OQNR （点O 为坐标原点）的面积为5S ≤0x 的取值范围【解析】(1)由题可得c e a ==2222234c a b a a -==，2a b =．由题可知1b =，2a =．∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)由（1）可知()2,0A -，()2,0B ，直线l 的方程为2x =．由题可知00y ≠，()00,2Q x y ． ∴点G 在C 上，∴220014x y +=，即220044x y +=． 由题可知直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． 由()002222y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，解得00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，即0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭．∴直线QN 的斜率为000000220000422222442QNy y x x y x y x k x x y y -+---====--， 则直线QN 的方程为()000022x y y x x y --=-，即00240x x y y +-=． ∴点O 到直线QN2=．又QN=== ∴S =S ≤0433112x -++≤≤，解得011x -≤≤， ∴0x 的取值范围是[]1,1-．类型五 圆锥曲线面积的最值问题（一）利用函数性质求面积最值26．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线x P 、Q 两点，A 、B是椭圆上位于直线x AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值. 【解析】(1)由题意12c e a ==，即12c a =；抛物线2x =，焦点为(，故1,2b c a ===， 所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=. (2)由题意作图如下：设AB 直线的方程为：12y x m =+，并设点()()1122,,,A x y B x y，))34,P y Qy ，联立方程：2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2230x mx m ++-=， ∴12x x m +=-……∴，2123x x m =-……∴，12x x -由于A ，B 两点在直线PQ 的两边（如上图），所以(()1220x x-＜，即)121220x x x x++＜，将∴∴带入得：210m -＜，m；即m∈ 由题意直线PQ的方程为x联立方程22143x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得3y =4y =∴34PQ y y =-将线段PQ 看做铅锤底，A ，B 两点的横坐标之差看做水平高，得四边形APBQ 的面积为： 2121631222APBQ S PQ x x m =-=-+，当且仅当m =0时APBQS 取最大值，而0∈， 所以APBQ S的最大值为27．（2022·安徽省六安中学高二期末（文））已知椭圆 C 的焦点为 ())12,F F ，且长轴长是焦距的倍． (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点，已知点 ()1,1P ，求ABP 面积的最大值． 【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为()222210x y a ba b +=>>，依题意，半焦距c =22a c =，即2a =，2221b a c =-=所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)依题意，设直线:l y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得：2258440x mx m ++-=， 由()22264204416800m m m ∆=--=-+>，解得m <则有128 5 mx x+=-，212445mx x-=，于是得AB=而点P到直线l的距离为d=，因此，ABQ的面积11122S AB d=⋅===，当且仅当252m=，即=m“=”，所以ABQ面积的最大值为1.28．（2022·四川甘孜·高二期末（文））已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>与x轴的正半轴交于点()20P，，且离心率e=(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l过点()10Q，与椭圆C交于A B，两点，求A OB面积的最大值并求此时的直线方程.【解析】（1）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>与x轴的正半轴交于点()20P，，则2a=cea==，则1c b==椭圆C的方程为:2214xy+=（2）当直线l的斜率为0 时，A O B，，三点共线，显然不满足题意.当直线l的斜率不为0 时，设:1l x my=+代入2214xy+=，得到()224230m y my++-=设()()1122A x yB x y，，，1221222434my ymy ym-⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩12112AOB AOP BOPS S Sy y∴=+=⨯⨯-12AOBS∴=令22222311AOBtt t m t St tt≥=-==++，令 1y t t=+在)+∞单调递增， ∴当AOBt S==0m ∴=， 此时l 的方程为:1x =29．（2022·四川南充·高二期末（文））如图所示：已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于C ，D 两点，记ACD 的面积为S ．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求S 的最大值．【解析】(1)解：由题意可得：24a =，2a =，离心率c e a ==，则c 2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=；(2)解：依题意知直线的斜率可能不存在，但直线的斜率不能为0， 则设直线方程为：1x ty =-，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩，得22(4)230t y ty +--=，0∆>恒成立 则12224t y y t +=+，12234y y t =-+，则||CD = 又点A到直线的距离d =12S ∴=⨯||CD d ⨯==令m26611m m m m==++当且仅当1=m m，即1m =±，等号成立，取等条件不成立，故当m时，min 1m m ⎛⎫+=⎪⎝⎭故max S =． 即S. 30．（2022·北京·首师大附属丽泽中学高二期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，它的短轴长等于双曲线22112y x -=的虚轴长(1)求椭圆C 的方程(2)已知()()2,3,2,3P Q -是椭圆上的两点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点 ∴若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值∴当A ，B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由． 【解析】(1)解：因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长等于双曲线22112y x -=的虚轴长， 所以212b =，又椭圆的离心率为12，所以12c e a ===，所以216a =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=； (2)解：∴设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，联立221161212x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消y 得22120x tx t ++-=，()224120t t ∆=-->，解得44t -<<，21212,12x x t x x t +=-=-，则四边形APBQ 面积1212S PQ x x =⨯⨯-162=⨯所以当0=t时，maxS=∴当APQ BPQ∠=∠时，PA PB、的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k-，直线PA的方程为()32y k x-=-，联立()221161232x yy k x⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消y得()()()22234832432480k x k kx k++-+--=，则()12823234k kxk-+=+，同理()22823234k kxk++=+，所以2121222161248,3434k kx x x xk k--+=-=++，从而()12121212412ABk x x ky ykx x x x+--===--，所以直线AB的斜率为定值.31．（2022·四川自贡·高二期末（文））已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的一个焦点为()2,0F，经过点(，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.【解析】(1)解：由题意可得2222cba b c=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得a b=故椭圆的方程为22162x y+=.(2)解：当直线l斜率不存在时,A B，的坐标分别为(2,，,MN=四边形AMBN面积为142AMBNS MN AB=⋅=；当直线l斜率存在时, 设其方程为()2y k x=-，点112233(,),(,),(,),A x yB x y M x y33N(x,y)--, 点M N，。
2020年高考理科数学圆锥曲线中面积的最值问题分析解题技巧归纳（21页）2020年高考理科数学圆锥曲线中面积的最值问题分析解题技巧归纳专题02 圆锥曲线中面积的最值问题分析溯本求源来源：北师大版高中数学必修五第48页，给出如下三角形的面积公式：评析：为以后使用方便，在ABC △中，设),(11y x=，),(22y x =，则122112ABC S x y x y =-△．流金岁月变式：(2015上海高考节选)已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ．设()11,A x y ，()22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-．【答案】见解析．【解析】直线1:l 110y x x y -=，点C 到1l 的距离d =2AB OA ==，所以C 122112222S S AB d x y x y AB ==?=-△．审思明辨变式：已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a ，F 为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，直线l 过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点．求证：（1）当)1,22(∈e 时，02OAB ab S <≤△，当且仅当直线斜率1 2122222--=-±=e eb c b k 时，max ()2OAB abS =△；（2）当(0,]2e ∈时，20OAB cb S a <≤△，当且仅当直线斜率不存在时，2max ()OAB cb S a =△．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 直线c my x l +=:．+==+cmy x b y a x 12222由得02)(422222=-++b cmy b y a m b ，所以21222202b mc y y b m a b y y b m a ?? >??+=-?+??-?=?+?，故212111222OABS c y y c c acb =?-===△．22222222(1)OABS acb acb b m a b m c==+++△，令12+=m t ，则1≥t ． 2 2222221OAB tS acb acb c b t cb t t==++△，对于函数t c t b y 22222222tc t b t c b y -=-='．得函数tc t b y 22+=于),0(b c 单调递减，于)(∞+，b c 单调递增，又1≥t ．当1≥b c时，即,1)2e ∈，bc t c t b y 222≥+=，得02OABab S <≤△，==+=k m bc m t 112当且仅当直线斜率12122222--=-±=e e b c b k 时，max ()2OAB ab S =△．（2）当1 2,0(∈e ，22222a c b t c t b y =+≥+=，得20OAB cb S a <≤△．当且仅当112=+=m t ，0=m ，即直线斜率不存在时，2max()OAB cb S a=△．【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，首先换元法，简化代数结构，然后根据函数的特征选用导数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．经典赏析【例1】（2019全国II 理21）已知点A (?2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为?．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G．（i ）证明：是直角三角形；（ii ）求面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析．【解析】（1）由题设得，化简得，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为．由得，记，则．于是直线的斜率为，方程为． 12PQG △PQG △1222y y x x ?=-+-221(||2)42x y x +=≠(0)y kx k =>22142y kxx y =+=??x =u =(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --QG 2k ()2ky x u =-由得．① 设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．（ii ）由（i ）得，，所以△PQG 的面积．设t =k +，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为．因此，△PQG 面积的最大值为．【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，多次换元，不断简化代数结构，然后由均值不等式法求最值注意“一正二定三相等”．【例2】(2019北京人大附中高三月考)如图，抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，以()()111,0A x y x ≥为直角顶点的等腰直角ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．22(),2142k y x u x y ?=-+=??22222(2)280k x uk x k u +-+-=(,)G G G x y u -G x 22(32)2G u k x k +=+322G uky k=+PG 322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+PQ PG ⊥PQG△||2PQ =22||2PG k=+22218(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖1k2812t S t =+169169（1）过()0,3Q -作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；（2）求ABC △面积的最小值．【答案】（1）24x y =；（2）24p ．【解析】（1）过点()0,3Q -的抛物线C 的切线l ：3y kx =-，联立抛物线C ：()220x py p =>，得2260x pkx p -+=，224460p k p ?=-?=，即26pk =．∵(0,)2pF ，F 到切线l的距离为|3|2p d +==，化简得()()226161p k +=+，∴()()2616(1)p p p p++=+=，∵0p >，∴60p +>，得()()2616820p p p p +-=+-=，∴2p =，∴抛物线方程为24x y =．（2）已知直线AB 不会与坐标轴平行，设直线AB ：()()110y y t x x t -=->，联立抛物线方程得()211220x ptx p tx y -+-=，则12B x x pt +=，12B x pt x =-，同理可得12C p x x t =--；∵AB AC =11B C x x -=-，∴()11B C t x x x x -=-，即211()1p t t x t -=+，∴1B AB x =-)122pt x =-)()2121t pt t +=+．∵212t t+≥（当且仅当1t =时，等号成立），2=≥=（当且仅当1t =时等号成立），故AB ≥，ABC △面积的最小值为24p ．【名师点评】本题考查抛物线的切线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式应用时要验证等号成立的条件．【例3】(2020浙江高二期末)如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,0)P，且离心率2e =，圆2C 以椭圆1C 的短轴为直径．过点P 作互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l 交椭圆C 于另一点D ，直线2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 和圆2C 的标准方程；（2）求ABD △面积的最大值．【答案】（1）椭圆1C 的方程为22142x y +=，圆2C 的方程为222x y +=；（2）3．【解析】（1）由题意得：2,2c a c b a ==?=== 椭圆1C 的方程为22142x y +=，圆2C 的方程为222x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，由题意直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 的方程为：(2)y k x =-，PD 的方程：1(2)y x k=--，圆心到直线AB的距离为d =，d =||AB ===，联立方程：()2222242401(2)x y k y ky y x k ?+=?+-=?=--??，所以()222202244240,12(2)x y k k y ky y k y x k ?+=??+-==?+=--?? ，||PD =，11||||22PBDS AB PD ?=?=?=设22,(2,3)t k t =+∈，PBDS ?====，当且仅当1512t=，即125t =，5k =±时取等号．【名师点评】本题主要考查了根据,,a b c 的值求椭圆方程以及椭圆中三角形面积问题，换元法，令22k t +=，注意限制新变量m 的范围，简化分母形式，结合二次函数求最值，注意最值成立条件分析．【例4】(2015浙江高考)已知椭圆2 212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）m <或m >（2．【解析】方法1：（直曲联立，韦达定理）（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+．由，消去y ，得．∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴2 24220b m ?=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②．由①②得m <或m >（2）令1(t m =∈?，则22AB t =+．且O 到直线AB的距离为21t d +=AOB △的面积为()S t ．∴1()22S t AB d ==≤，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB △面积的最大值为2．方法2：（设而不求点差处理）（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，线段AB 中点为1212 (,)22x x y y Q ++． =+=+121222221221y x y x 得2121212121-=++?--x x y y x x y y ，则21-=?ABOQ k k ．又1-=?m k AB ，故2m k OQ =，OQ 直线为2mxy =．+==212mx y mx y 得11(,)2Q m -，由于11(,)2Q m -在椭圆1222=+y x 内． 3636141212-<>?<+m m m 或．故实数m的取值范围是(,)-∞+∞U ．（2）（三角换元豁然开朗）).sin ,cos 2()sin ,cos 2(ββααB A ，设.0cos 2sin =-ααy x OA 直线方程为：则ααβαβααα2222cos 2sin sin cos 2cos sin 2sin cos 22121+?-?+=?=?d OA S OAB.22)sin(22≤-=βαOAB S.212sin sin 12cos 2cos 2-=+-=+βαβαm 又.)211(1)(sin ,211)(cos 2222--=--=-m m βαβα所以得 ).,36()36,(2+∞?--∞∈±=m m 时，满足当且仅当故AOB △面积的最大值为2．【例5】(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xoy 中，点)2 1,1(P 到抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线的距离为45，点)1,(t M 是C 上的定点，B A ,是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．（1）求t p ,的值．（2）求ABP △面积的最大值．【答案】（1）121p t ?==?；（2）9【解析】（1）===+=121452112t p p pt 得由．（2）设点),(11y x A ，),(22y x B ，AB 中点),(n m Q ，由题设AB 斜率为)0(≠k k ，.21)()(212121222121m k x x y y y y x y x y =∴-=-?-==，，则由，方程为：直线)(21m x mm y AB -=- ，联立得，和即x y m m my x ==-+-22022-=?=+>+-=?∴=-+-mm y y m y y m m m m my y 2212122222044022Θ，，222122124414)(11m m m y y y y kAB -+=?-++=∴ .221412212222m m m m S m m m d ABP +--=++-=，故又).21(210,10022t t S t t m m m ABP -=<<=-<<>??，则，设，得由.)21,66()66,0(),66)(66(6单减单增，于得由于ABP ABP S t t S ??-+-=' .9666A 最大值为时，当BP S t ?=【名师点睛】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，首先换元法，简化代数结构，然后根据函数的特征选用导数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．【例6】(2014新课标1)．已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）7722y x y x =-=--或．【解析】223(c,0)== 3.F c c （I ）设，由条件知，，得 2223,=2, 1.2c a b a c a ==-=又所以22 1.4x E y +=故的方程为（Ⅱ）方法1（分子换元）：1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设。
