圆锥曲线大题十个大招——面积问题

圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）1. 判别式：24b ac ∆=-2.韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 3.求根公式：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则1,22b x a-=二．与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2.与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；②点到直线的距离公式：d =或d =（斜截式）3.弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：1212)AB x AB y =-==-或 4.两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则1112,22x x y y x y ++== 三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。

第72炼圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。

这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）x 2y 2（1）椭圆：设P 为椭圆2+2=1(a >b >0)上一点，且∠F 1PF 2=θ，则a b SPF 1F2=b 2tanθ2x 2y 2（2）双曲线：设P 为椭圆2-2=1(a ,b >0)上一点，且∠F 1PF 2=θ，则a b SPF 1F 2=b 2⋅1cotθ2二、典型例题：例1：设F 1,F 2为椭圆x 2过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ,Q 两点，+y 2=1的左右焦点，4当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1⋅PF 2的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知P ,Q 关于原点中心对称，所以PF 1F 2与QF 1F 2关于原点对称，面积相等。

且四边形PF 1QF 2可拆成PF 1F 2与QF 1F 2的和，所以四边形PF 1QF2的面积最大即PF 1F 2面积最大，因为SPF 1F 2=1F 1F 2⋅y p=c ⋅y p ，所以当y p 最大时，22x PF 1F 2面积最大。

即P 位于短轴顶点时，PF 1F 2面积最大。

解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。

圆锥曲线面积问题解题技巧
哇塞，朋友们！今天咱们就来好好唠唠圆锥曲线面积问题解题技巧这些事儿。

咱就说，对于圆锥曲线，是不是有时候感觉就像一团乱麻，理都理不清呀！
比如说椭圆吧，已知一个椭圆的方程，然后让你求某个图形的面积，这时候该咋办呢？嘿！先别慌！咱得冷静分析。

你看啊，就像解开一团纠结的毛线，得找到那个关键的线头。

拿双曲线来说，假如给你一个双曲线，还有一些条件，让你算一个和它相关的三角形面积。

这就相当于在迷宫里找出口，得有方法呀！比如咱可以通过巧妙运用一些公式和定理，像发现宝藏一样找到解题的关键。

再说说抛物线，那可真是像个调皮的小精灵，稍不注意就给你来个难题。

可咱不能怕呀！咱得勇敢面对呀！就像打游戏冲关一样，一步步找到技巧。

同学小张就曾经在这上面栽过跟头，他老是抓不住重点，急得直跺脚。

我就跟他说：“嘿，别急呀，咱慢慢分析，肯定能找到突破口。

”后来呀，他静下心来，按照一些方法去做，果然就把难题给解决了。

其实呀，解决圆锥曲线面积问题就像攀岩，得一步一个脚印，找好着力点。

有时候看似困难无比，但是只要你掌握了技巧，就会发现其实也没那么难嘛！遇到问题咱就得迎上去，和它正面交锋！绝对不能退缩。

我的观点就是，只要我们认真去学，多练习，多总结，圆锥曲线面积问题的解题技巧一定能被我们牢牢掌握！大家一起加油吧！。

专题02 圆锥曲线中的面积问题一、单选题1．直线l 经过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则PQF △的面积的最小值是（ ）A ．B ．4C ．D ．62．已知1F ，2F 为椭圆22110064x y +=的两个焦点 ，P 是椭圆上任意一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的面积为（ ）A ．643B ．3C ．1283D ．33．已知双曲线22197x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线上一点P 使得1260F PF ∠=，求12F PF △的面积（ ）A ．3B C ．D ．4．已知椭圆2212516x y +=两焦点12,F F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的的内切圆半径为（ ）A ．3B ．3C D ．5．过抛物线28y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点M 在直线2y =上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ）A ．2B ．C ．2D ．9二、多选题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b -=>>的焦点在圆:O 2220x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥ (O 为坐标原点)，下列说法正确的有（ ） A ．双曲线C 的虚轴长为4B C ．双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D ．三角形OMN 的面积为87．已知曲线C 的方程为2210()91y x x +<≤=，()()()0,3,0,3,1,0A B D --，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5x =交于点M ，直线BP 与直线5x =交于点N ，则DMN 的面积可能为（ ）A ．73B ．76C ．68D ．728．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的离心率为2；B ．若PO PF ⊥，则PFO △C ．||PF 的最小值为2；D ．双曲线22148y x -=与C 的渐近线相同.9．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y +=C ．点M 的横坐标为D ．12MF F △三、解答题10．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上. （1）求圆E 的方程；（2）过点(2,0)Q -分别作直线MN 、RS ，交圆E 于M 、N 、R 、S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的取值范围.11．已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左、右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段CD 的长；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值．12．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补． （Ⅰ）求k 的值．（Ⅰ）求PAB △面积的取值范围．13．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，直线:2l x =被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上（异于椭圆左、右顶点），过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥；（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k 的平方.14．设F 1，F 2分别是椭圆2222:1b x y C a +=(a >b >0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为2，过F 2的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，且1ABF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 2点且垂直于1l 的直线2l 与椭圆交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰为椭圆()22211y x a a+=>的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F 且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离. （1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F 作两条直线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率之积为1-.Ⅰ设直线1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，求11AB CD+的值；Ⅰ设直线1l ，2l 与椭圆的另一个交点分别为M ，N .求FMN 面积的最大值.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(-，且短轴长为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围. 17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线2y =的距离与到点(0,1)F -的距离之差为1. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,2)M -的直线l 与C 交于A 、B 两点，若AOB 的面积为l 的方程.18．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB的中点.（1） 求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，||4AB =.过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,D E 两点，且||1DE =.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -，且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA 与PMB △的面积之比为λ，求实数λ的取值范围.20．已知双曲线C 的标准方程为22136x y -=，12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点.（1）若点P 在双曲线的右支上，且12F PF ∆的面积为3，求点P 的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点，求线段MN 的长度.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，直线1y =与C 的两个. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）分别过12,F F 作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于,A B 两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的离心率为e =，且点()21P ，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点,A B 都在椭圆C 上，且AB 的中点M 在线段OP （不包括端点）上.Ⅰ求直线AB 的斜率； Ⅰ求AOB 面积的最大值.23．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅰ）记ⅠABD 与ⅠABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．24．已知圆M ：22100x y ++-=和点N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P ，P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，直线x ty m =+交E 于B ､C 两点，直线AB ，AC 的斜率分别是1k ，2k ，若129k k ⋅=，求ABC ∆面积的最大值.25．如图，在平面直标xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点,⎛ ⎭⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线与椭圆C 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中直线CD 过原点O ，求平行四边形ABCD 面积S 的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD ：“原点O 到直线AB 的距离与线段AB 的长度相等”，请说明理由. 四、填空题26．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的内切圆半径为________．27．椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线1y kx =-与椭圆相交于A 、B 两点，当FAB 的周长最大时，FAB 的面积为________.28．已知椭圆22:12x C y +=，过右焦点的直线:1l y x =-与椭圆交与,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB的面积为__________. 29．直线l 与抛物线2yx 交于A ，C 两点，B 为抛物线上一点，A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列.若ABC 中，AC 边上的中线BP 的长为3，则ABC 的面积为____.30．已知点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ．过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则三角形AFM 的面积S =__________．31．已知经过点（1，0）的直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，点C （-1，-1），且CA ⅠCB ，则ⅠABC 的面积为________．32．已知经过点()1,0的直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，点()1,1C --，且CA CB ⊥，则ABC 的面积为______.五、双空题33．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________.专题02 圆锥曲线中的面积问题一、单选题1．直线l 经过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则PQF △的面积的最小值是（ ）A ．B ．4C ．D ．6【答案】B 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设直线l ：1x ty =+，与抛物线方程联立求出,A B 两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值. 【详解】由抛物线24y x =可知2p =，所以(1,0)F ，准线为1x =-，依题意设直线l ：1x ty =+，代入24y x =得2440y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y t +=，124y y =-，所以12||4y y -==≥，当且仅当0t =时，等号成立. 所以1212||||42PQF S PQ y y =⨯⨯=-≥△. 故选：B【点睛】关键点点睛：利用,A B 两点的纵坐标之差的绝对值表示||PQ 是本题解题关键.2．已知1F ，2F 为椭圆22110064x y +=的两个焦点 ，P 是椭圆上任意一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的面积为（ ）A ．643B C ．1283D 【答案】B 【分析】利用椭圆焦点三角形面积公式122tan2F PF Sb θ=，即可求解.【详解】由题意知：1F ，2F 为椭圆的两个焦点 ，P 是椭圆上任意一点，所以12F PF △是焦点三角形，且264b =，3πθ=，所以122tan642F PF Sb θ===故选：B3．已知双曲线22197x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线上一点P 使得1260F PF ∠=，求12F PF △的面积（ ）AB C ．D ．【答案】C【分析】先根据双曲线方程得到3a =，b =4c =，设1PF m =，2PF n =，可得，22m n a -==. 由1260F PF ∠=︒，在12F PF △根据余弦定理可得:2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒，即可求得答案. 【详解】22197x y -=，所以3a =，b =4c =， P 在双曲线上，设1PF m =，2PF n =，∴26m n a -==①由1260F PF ∠=︒，在12F PF △根据余弦定理可得:2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒故2264m n mn =+-② 由①②可得28mn =，∴直角12F PF △的面积121212s 11in sin 6022F PF Sm PF PF F PF n ⋅∠⋅=︒==故选：C . 【点睛】 思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.4．已知椭圆2212516x y +=两焦点12,F F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的的内切圆半径为（ ）A．3B．3CD．【答案】B 【分析】由余弦定理得()2212121212122c 2os PF PF F P PF F F F PF F P PF =+-⋅-∠⋅，得到12F P PF ⋅，可求得面积，再由()12121212PF F S PF PF F F r =++可得答案. 【详解】2212516x y +=，22225,16,9a b c ===， 由题意得12+210F P PF a ==，1226F F c ==，由余弦定理得()222221212121212121212+cos 222PF PF F P PF F F PF PF F F F PF PF PF F P PF +-⋅--∠⋅==⋅，得12643F P PF ⋅=，1212116416sin sin 602233PF F S PF PF θ=⋅=⨯⨯=， 设内切圆的半径为r ，则()121212111622PFF SPF PF F F r r =++=⨯⨯=， 所以3r =. 故选：B. 【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.5．过抛物线28y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点M 在直线2y =上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ）AB．C．2D ．9【答案】B 【分析】首先设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到2AB k =，从而得到直线():22l y x =-.联立直线与抛物线，利用根系关系得到12y y -=AOB 的面积即可. 【详解】由抛物线28y x =，得()2,0F ， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，即()()()1212128y y y y x x +-=-. 由题意知：124y y +=，所以12122AB y y k x x -==-， 故直线():22l y x =-.联立()2228y x y x⎧=-⎨=⎩得：24160y y --=.所以124y y +=，1216y y =-.故12y y -==所以1211222AOBSOF y y =⋅-=⨯⨯=则AOB 的面积为 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b -=>>的焦点在圆:O 2220x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥ (O 为坐标原点)，下列说法正确的有（ ） A ．双曲线C 的虚轴长为4B C ．双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D ．三角形OMN 的面积为8 【答案】BD 【分析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为c =by x a=±，设()00,M x y ，则()00,N x y -，根据ME ON ⊥，以及点()00,M x y 在圆2220x y +=上，求出M 的坐标，得出2ba=，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的焦点在圆:O 2220x y +=上，所以双曲线的半焦距为c =由()2222:10,0x y C a b a b-=>>可得其渐近线方程为b y x a =±， 因为圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，不妨设()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y -，又()0,3E ，ME ON ⊥，所以1ME ON k k ⋅=-，即000031y y x x -⋅=--， 整理得220003y y x -=，又点()00,M x y 在圆O 上，所以220020x y +=，由220002200003200,0y y x x y x y ⎧-=⎪+=⎨⎪>>⎩解得0024x y =⎧⎨=⎩，即()2,4M ， 又点()2,4M 在渐近线b y x a =上，所以2ba=， 由222220b a c a b =⎧⎨=+=⎩解得22416a b ⎧=⎨=⎩，因此双曲线C 的方程为221416x y -=； 所以其虚轴长为28b =，故A 错；离心率为2c e a ===B 正确； 其渐近线方程为2y x =±，故C 错；三角形OMN 的面积为000182OMNSMN y x y ===，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及ME ON ⊥，求出交点坐标，得出,a b 之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.7．已知曲线C 的方程为2210()91y x x +<≤=，()()()0,3,0,3,1,0A B D --，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5x =交于点M ，直线BP 与直线5x =交于点N ，则DMN 的面积可能为（ ）A ．73B ．76C ．68D ．72【答案】ABD 【分析】设()00,P x y ，求出9PA PB k k ⋅=-，求出,M N 的坐标和||MN 的最小值，得到DMN 的面积的最小值，即得解. 【详解】设()00,P x y ，则22002299919PA PBy y k k y x --⋅===--． 设(0)A p k k k =>，则9PB k k=-，直线AP 的方程为3y kx =-，则点M 的坐标为(5,53)k -，直线BP 的方程为93y x k=-+，则点N 的坐标为455,3k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．所以4545||53356624MN k k k k ⎛⎫=---+=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当455k k=，即3k =时等号成立． 从而DMN 面积的最小值为1246722⨯⨯=. 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.8．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线CB ．若PO PF ⊥，则PFO △C ．||PF 的最小值为2；D ．双曲线22148y x -=与C 的渐近线相同.【答案】ABD 【分析】由题知，双曲线方程2,a b ==，c =62c e a ，双曲线渐近线方程by x a=±，点到直线的距离可以分别判断选项. 【详解】选项A ，因为2,a b =，所以c 62c ea ，故A 正确；选项B ，若PO PF ⊥，又点P 在双曲线C 的一条渐近线上，不妨设在2y x =20y -=，点F 到渐近线的距离为d ==2PO ==，所以PFO △的面积为122S =⨯=，故B 正确；选项C ，||PF 的最小值就是点F 到渐近线的距离d =C 错误；选项D ，它们的渐近线都是y x =，渐近线相同，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为y =B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y +=C ．点M的横坐标为D ．12MF F △【答案】AD 【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A 选项的正误；求得c 的值，可求得以12F F 为直径的圆的方程，可判断B 选项的正误；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M 的坐标，可判断C 选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D 选项的正误. 【详解】由双曲线方程2212y x -=知a =1b =，焦点在y轴，渐近线方程为a y x b =±=，A 正确；c ，以12F F 为直径的圆的方程是223x y +=，B 错误；由223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，M 点横坐标是±1，C 错误；121211122MF F M S F F x =⋅=⨯=△D 正确． 故选：AD ． 【点睛】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±（即bx y a=±），应注意其区别与联系. 三、解答题10．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上. （1）求圆E 的方程；（2）过点(2,0)Q -分别作直线MN 、RS ，交圆E 于M 、N 、R 、S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的取值范围.【答案】（1）229x y +=（2） 【分析】（1）设出经过圆C 和直线l 的圆系方程，利用圆心在直线2y x =上可求得结果；（2）当直线MN 的斜率不存在时，可求出四边形的MRNS 面积为MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，则直线:20RS x ky ++=，利用几何方法求出||MN 和||RS ，求出四边形MRNS 面积，再换元求出最值可得取值范围. 【详解】（1）依题意可设圆E 的方程为22663(2)0x x y y x y λ-+-+++-=，整理得22(6)(6)320x y x y λλλ++-+-+-=，所以圆心66(,)22E λλ----，因为圆心E 在直线2y x =上，所以66222λλ--⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得6λ=，所以圆E 的方程为229x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，||MN =||6RS =，四边形MRNS 面积为162⨯= 当直线MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，即20kx y k -+=，则直线:20RS x ky ++=，圆心E 到直线MN 的距离1d =，圆心E 到直线RS 的距离2d =，所以||MN ===，||RS ==所以四边形MRNS 面积为1||||2MN RS ⨯= 令211t k =+，则01t <≤， 所以2244(5)(9)(54)(94)11t t k k +-=+-++224516164516()16t t t t =-++=---， 当12t =，即1k =±时，24516()16t t ---取得最大值49，此时四边形的MRNS 面积的最大值为14，当1t =，即0k =时，24516()16t t ---取得最小值45，此时四边形MRNS 面积的最小值为综上所述：四边形MRNS 面积的取值范围为 【点睛】结论点睛：经过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.11．已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左、右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段CD 的长；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值．【答案】（1）247；（2【分析】（1）同椭圆方程为22143x y+=，直线方程为1y x =+，联立221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得27880x x +-=，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出CD 的长．（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，12|0|S S -=，当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出12||S S -的最大值． 【详解】解：（1）因为(1,0)F -为椭圆的焦点，所以1c =，又23b =，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=，因为直线的倾斜角为45︒，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为1y x =+，和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y ，得到27880x x +-=， 所以△288=，1287x x +=-，1287x x =-，所以线段CD的长1224|||7CD x x -=． （2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，ABD ∆，ABC ∆面积相等，12|0|S S -=， 当直线l 斜率存在（由题意知0)k ≠时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠， 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=， △0>，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+， 此时12121221||2||||||2||2|(1)(1)|S S y y y y k x k x -=-=+=+++21212||12122|()2|33434||2||k k x x k k k k k =++=====+++时等号成立）所以12||S S - 【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．12．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补． （Ⅰ）求k 的值．（Ⅰ）求PAB △面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =； （Ⅱ）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则010122010101444PA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理可得021244,PB AB k k y y y y ==++， 因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++，即01220y y y ++=，又PAB △重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以422AB k k ===． （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0x b x b +-+=，其判别式22116(1)1602b b b ∆=-->⇒<，所以102b <<．而212111,4b x x b x x +=-=，因此，||AB ===又由（Ⅰ）知，01y =-，所以200144y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=的距离为1|21|b d ⨯++==所以113||222PABS AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△ 令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，故()f b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈，故30,4PAB S⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭，②弦长公式：||AB=本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题. 13．已知椭圆22:12xC y+=的右焦点为F，直线:2l x=被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上（异于椭圆左、右顶点），过点P作直线:m y kx t=+与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q.（1）求证：PF QF⊥；（2）若点P在x轴的上方，当PQF△的面积最小时，求直线m的斜率k的平方.【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）联立直线m的方程和椭圆C的方程，利用判别式列方程，求得P点的坐标，求得Q点的坐标，通过计算得到0FP FQ⋅=，由此证得PF QF⊥.（2）求得||,||FP FQ，由此求得三角形PQF面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF面积的最小值，进而得出直线m的斜率k的平方.【详解】（1）证明：由题意得，点F的坐标为()1,0，设()00,P x y.由2212xyy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214220k x ktx t+++-=02222221kt kt kxk t t∴=-=-=-+，2022212121k t ty tk k t=-+==++.即点P坐标为21,kt t⎛⎫-⎪⎝⎭.当2x=时，可求得点Q的坐标为()2,2k t+，21211,,kk t FP t t t t +⎛⎫⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,2FQ k t =+.220k t k t FP FQ t t++∴⋅=-+= 故PF QF ⊥.（2）解：点P 在x 轴上方，2221t k =+，1t ∴≥由（1）知(2FP =；(2FQ =PF QF ⊥()2221134131222222POFk t t kt t S FP FQ kt t t+++-∴=⋅===+-△ ①当0k ≥时，由（1）知k =3122PQF t S t =△函数()()31122t f tt t=+≥单调递增 ()11POF S f ∴≥=△.②当0k <，由（1）知k =3122PQF t St =△令()()31122t g t t t=≥ 则()2223131222t g t t t +=+='由()()222222642242423131235124141t t t t t t t t t t t +⎛⎫+----=-= ⎪--⎝⎭()()()()((()22224242421221414141tt t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+-+--+--⎣⎦⎣⎦==--∴当t >()0g t '>，此函数()g t 单调递增；当1t ≤<()0g t '<，此函数()g t 单调递减.∴函数()g t 即PQF S △的最小值()11gg <=，此时，22221t k ==+，解得2k =. 综上，当PQF △的面积最小时，直线m的斜率的平方为12. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标表示垂直关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，解决本题的关键点是表示出PQF S △，按0k ≥和0k <分别将k 用t 表示，并构造函数求导判断单调性和最值，考查了学生分析解决问题的能力和运算求解能力，属于中档题.14．设F 1，F 2分别是椭圆2222:1b x y C a +=(a >b >0)，过F 2的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，且1ABF的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 2点且垂直于1l 的直线2l 与椭圆交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.【答案】（1）22184x y +=；（2）649. 【分析】（1）由1ABF 的周长为a =2，即可得出结果；（2）分类讨论：当AB 所在的直线斜率不存在时，此时四边形ABCD 的面积为：22Sb ；当AB 所在的直线斜率存在且不为0时，不妨设直线AB 的方程为：()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，直线CD 的方程为：()12y x k=--，分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得,AB CD ,利用四边形ABCD 的面积12S AB CD =⋅，可得关于斜率k 的式子，再利用基本不等式求最值即可得出结果.【详解】（1）由1ABF 的周长为可得4a a =⇒=，可得2c e c a ===⇒=， 所以222844b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22184x y +=；（2）又椭圆22184x y +=可得：()2,2,2,0a b c F ===，①当AB 所在的直线斜率不存在时，CD 所在的直线斜率为0，此时四边形ABCD 的面积为：2211222822b S AB CD a b a=⨯⨯=⨯⨯==；②当AB 所在的直线斜率存在时， 由题意知AB 所在的直线斜率不为0，不妨设直线AB 的方程为：()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，则直线CD 的方程为：()12y x k=--， 联立()222184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化为：()2222128880k xk x k +-+-=，由韦达定理得：212221228128812k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以)22112k AB k+==+，把k 换成1k -，可得)2212k CD k +=+，所以四边形ABCD 的面积为：))2222111122122k k S AB CD k k ++=⨯⨯=⨯⨯++ ()()()22422424222161242881252252122k k k k k k k k k k +⎛⎫++==⨯=⨯- ⎪+++++⨯+⎝⎭22181225k k ⎛⎫⎪=⨯- ⎪ ⎪++⎝⎭，由2222559k k ++≥=， 当且仅当21k =时取等号；此时221164818129925S k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫=⨯-≥⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪++⎝⎭， 综上：四边形ACBD 面积的最小值为649. 【点睛】思路点睛：两条直线相互垂直，先考虑有一条直线的斜率不存在，再分析直线的斜率存在的情况，利用斜率之间的关系转化，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式，四边形面积计算公式以及基本不等式求最值.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰为椭圆()22211y x a a+=>的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F 且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离. （1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F 作两条直线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率之积为1-.Ⅰ设直线1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，求11AB CD+的值； Ⅰ设直线1l ，2l 与椭圆的另一个交点分别为M ，N .求FMN 面积的最大值.【答案】（1）24y x =Ⅰ2212y x +=(2) ①14 ②169【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p ，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a ，c ，即可求出椭圆方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可. 【详解】(1)2221(1)y x a a+=>, ∴右顶点为(1,0)，即抛物线()220y px p =>的焦点 (1,0)F ,2p ∴=，故抛物线方程为24y x =，因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，所以2224a p c ==，222221c b c a c ==+=+∴，1,c a ∴==∴椭圆的标准方程为：2212y x +=(2) ①设()1:1l y k x =-，代入 24y x =消元得：2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，212221224421k x x k k x x ⎧++==+⎪∴⎨⎪=⎩，21224(1)k AB x x k+∴=-==， 又12CD k =-， 同理可得2224(1)||41)11(k CD k k +==+ 222114(1)41(1)14k k A CD k B +=+++=②仍设()1:1l y k x =-，代入椭圆方程2212y x +=消元得：()2221220k x x -+-=，即2(1)(1)2(1)0x k x x ⎡⎤--++=⎣⎦，2221,2F N k x x k -∴==+，24|||2|F M F x x M k =-=+，同理得24||12FN k =+，1|2FMNSFM FN =⋅=∣228225k k ⋅++，2212k k +≥=（当且仅当 1k =±时，等号成立）， 令2t =≥，则 22212k k t +=-， ()228881212252FMNt t St t t t∴===+-++,对于11222()y t t t t=+=+，在 [2,)+∞上是增函数，∴当2t =时，即1k =±时，min 92y =， 812FMNSt t∴=+， FMN ∴△面积的最大值为169. 【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积FMNSk 228225k k ⋅++后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难. 16．已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>经过点(-，且短轴长为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）4[,1]5. 【分析】（1）利用已知条件求出a ，b ，然后求解椭圆方程；（2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ∆=；()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩求出P 的坐标，然后推出Q 坐标，求解||OP ，||OQ ，求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意知，221314a b+=，22b =，解得2a =，1b =， 故椭圆方程为：2214x y +=.（2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ∆=，()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得212414x k =+，2222112414k y k x k ==+， 22114y x k x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩，得222244k x k =+，222222144y x k k ==+，∴OP OQ ====∴1·2OPQS OP OQ ∆===， 又24222999012142k k k k k <=≤++++，所以415OPQ S ∆<， 综上，OPQ △面积的取值范围为4[,1]5.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线2y =的距离与到点(0,1)F -的距离之差为1. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,2)M -的直线l 与C 交于A 、B 两点，若AOB 的面积为l 的方程. 【答案】（1）24x y =-；（2）2y x =-或2y x =--. 【分析】（1）本题首先可以设动点(,)P x y ，然后根据题意得出(2)1y -=，通过化简即可得出结果；（2）本题首先可排除直线l 斜率不存在时的情况，然后设直线方程为2y kx =-，通过联立方程并化简得出2480x kx +-=，则124x x k +=-，128x x =-，再然后根据AOBAOMBOMSSS=+得出AOB S △=AOB 的面积为.【详解】（1）设动点(,)P x y ，因为动点P 到直线2y =的距离与到点(0,1)F -的距离之差为1，所以(2)1y --=，化简可得24x y =-，故轨迹C 的方程为24x y =-.（2）当直线l 斜率不存在时，其方程为0x =， 此时，l 与C 只有一个交点，不符合题意， 当直线l 斜率存在时，设其方程为2y kx =-，联立方程224y kx x y=-⎧⎨=-⎩，化简得2480x kx +-=，216320k ∆=+>， 令11(,)A x y 、22(,)B x y ，则124x x k +=-，128x x =-，因为AOBAOMBOMSSS=+，所以1212111222AOB S OM x OM x OM x x △=⨯+⨯=⨯⨯-122=⨯因为AOB 的面积为。

圆锥曲线之面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

当且仅当2219k k=，即k =时等号成立。

当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =。

∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。

2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BD xx k x x x x⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S ．综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25．。

F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。

圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中的面积型问题通常涉及到计算某个特定区域的面积，这些区域可能是由圆锥曲线（如椭圆、双曲线或抛物线）和直线或其他曲线围成的。

解决这类问题的一般步骤包括：
1.确定相关方程：需要明确给定的圆锥曲线和其他相关曲线的方程。

这些方程是解决问题的基础。

2.找出交点：接下来，找出这些曲线之间的交点。

这些交点通常是计算面积的关键点。

3.确定积分区间：根据交点，确定需要积分的区间。

对于二维问题，这通常是一个或多个区间；对于三维问题，则可能是一个区域。

4.进行积分计算：使用适当的积分公式或技巧，计算相关区域的面积。

这可能涉及到定积分、二重积分或三重积分，具体取决于问题的维度。

5.简化结果：最后，对计算出的结果进行简化，得出最终答案。

例如，在椭圆中，可能需要计算椭圆与某条直线围成的区域的面积。

需要找出椭圆和直线的交点，然后确定需要积分的区间，接着使用定积分或二重积分进行计算，最后简化结果。

需要注意的是，圆锥曲线中的面积型问题可能比较复杂，需要综合运用数学知识进行分析和计算。

在实际解题过程中，还需要注
意选择合适的计算方法和技巧，以提高解题效率和准确性。

终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

02圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）．（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算．这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x ya b a b -=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________． 思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等．且四边形12PFQF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PFQF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p S F F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大．即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大．由2214x y +=可知2,1,a b c ===，所以()())120,1,,P F F ，进而计算出12PF PF ⋅的值为2-例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为-12PF F 的面积是___________．思路：将椭圆化为标准方程为22110064x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，设(),P x y ，则有26PF y k x ==--所以221625160060x y yx y ⎧+=⎪⎪=-⎨-⎪⎪>⎩可解得y =y =去），所以1212111222PF F S F F y =⋅=⋅⋅=例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是___________．思路：由2OA OB ⋅=入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122x x y y +=，进而想到可用韦达定理．所以设AB 与x 轴交于(),0M m 直线:AB x ty m =+．联立方程220y x y ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，所以2221212120,y y m x x y y m =-<==，所以由12122x x y y +=可得：222m m m -=⇒=，所以122y y =-，不妨设A 在x 轴上方，如图可得：()12112119228ABO AFO S S OM y y OF y y y +=⋅-+⋅=-，由122y y =-可知212y y =-，消元后可得：111192922388ABOAFOSSy y y y +=+≥⋅=，等号成立当且仅当143y =，所以ABOAFOS S+的最小值为3例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK 的面积是___________．思路：斜率为3可知直线的倾斜角为3π，从而可得3KAF π∠=，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得1sin 23AKF S AK AF π=⋅，由抛物线性质可得AK AF =，所以只需求得焦半径AF ，即只需解出A 点横坐标．利用几何关系可得12A x OF FM OF AF =+=+，另一方面，由焦半径公式可得：1A AF x =+，所以可得方程：()1132A A A x OF x x =++⇒=，从而14A AF x =+=，所以21sin 4323AKF S AF π== 小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角3π，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单．（2）本题的A x 也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：()1,0F ，设():31l y x =-，联立方程：()()22431431y xx x y x ⎧=⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，整理可得：231030x x -+= 3x ∴=或13x = 323x y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或13233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍） 3A x ∴=例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF SS-等于___________．思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，22195x y +=的顶点为()()3,0,3,0-，即为12,F F 的坐标，椭圆的焦点为()()2,0,2,0-，所以双曲线中2,3a c ==，进而5b = 观察11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=可联想到投影，即1MF 在1PF 的投影与1MF 在21F F 的投影相等，由几何关系可得1F M 为12PF F ∠的角平分线．由()()22,1,3,0M F 可得21MF k =-，即2F M 平分21PF F ∠，从而M 为12PF F 的内心，且内切圆半径1M r y ==．从而()1212121112222PMF PMF SSPF r PF r r PF PF -=⋅-⋅=-= 例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212bF F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+成立，则λ的值为___________．思路：由三角形内心的性质可得I 到三边的距离相等，所以1212,,IPF IPF IF F 的高均为r ，从而12121212IPF IPF IF F SSSPF PF F F λλ=+⇒=+，即1212F F cPF PF aλ==-，所以只需利用212b F F a=确定,a c 的关系即可．解：I 为三角形12PF F 的内心12211221111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∴=⋅=⋅=⋅12121212IPF IPF IF F S S S PF PF F F λλ=+⇒=+1212F F PF PF λ∴=-P 在双曲线上，且12,F F 是焦点12122,2PF PF a F F c ∴-== caλ∴=即λ为离心率由212b F F a =可得：22222b c ac c a a=⇒=-，两边同时除以2a 得：2210e e --=， 21e ∴=+即21λ=+例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为3，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点（1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程解：（1）设(),0F c 223AF k c ∴==3c ∴= 3c e a ==23a ∴== 2221b a c ∴=-= 22:14x E y ∴+= 思路：首先设:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y ，由图像可得12OPQO PQ Sd PQ -=⋅，考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k 表示出,O PQ d PQ -，从而OPQS也可用k 进行表示：222443444343OPQk Sk k -==-+-，再利用均值不等式即可得到最大值．等号成立的条件224343k k -=-即为k 的值．（注意直线与椭圆相交，所以消元后的方程0∆>）（2）设直线:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y∴联立方程可得：()2222242444y kx x kx x y =-⎧⇒+-=⎨+=⎩，整理后可得： ()224116120kx kx +-+= ，因为方程有两个不等实根()()221648410k k ∴∆=-+>解得：k或k < 12OPQO PQ Sd PQ -=⋅O PQ d -12PQ x =-= 由方程()224116120k x kx +-+=可得：1212221612,4141k x x x x k k +=⋅=++代入PQ 可得：PQ ==2142OPQ S ∴===44=4≥2434k k =⇒-=⇒= 1OPQS∴≤此时k =，l∴的方程为2y x -或2y =- 例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（1）求椭圆C 的方程 （2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值解：（1）1c e ==，设(),0F c ，则:l y x c =-1O l d c -∴=⇒=，2222,3a b a c ∴==-=，22143x y ∴+=（2）由（1）可得：()1,0F ，因为0PF MF PF MF ⋅=⇒⊥，12PMQN S MN PQ ∴=⋅设()()1122,,,P x y Q x y ，():1PQ y k x =-，联立方程可得：()2234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 可得： ()22234112x k x+-=整理后可得：()22224384120k x k x k +-+-=()212212143k PQ x k +∴=-==+ ① 设()1:1MN y x k =--，以1k -替换①中的k 可得： 2222112112124343k k MN k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++()2222121111212224334PMQN k k S MN PQ k k ++∴=⋅=⋅⋅++242242221221727211225121225k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 设221u k k =+，可得[)2,u ∈+∞，21726112251225PMQN u S u u +⎛⎫∴=⋅=- ⎪++⎝⎭，2u ∴=时，min 28849S = 例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k += （1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQMPAMSS=？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（1）思路：本题设点(),P x y ，且,O A 已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设(),P x y ，由()()1,1,0,0A O -可得：1,1,1OP OA PA y y k k k x x -==-=+，依题意OP OA PA k k k +=可得： ()()()111111y y y x x x x y x x --=⇒+-+=-+整理后可得： 2y x =，其中0,1x x ≠≠-所以P 的轨迹方程为()20,1y x x x =≠≠-‘（2）思路：从图可得PQA 和PAM 的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即22PQMPAMSSQA AM =⇒=，再由PQ OA λ=可得PQ OA ∥，进而22QA AM OP OM =⇒=，由,,O P M 共线再转成向量关系则只需求出M 的坐标即可解出P 的坐标解：设()()221122,,,P x x Q x x PQ OA λ= PQ OA ∴∥1PQ OAk k ==-，即2221212111x x x x x x -=-⇒=---222121121QAx k x x x -∴==-=--+，()()1:121QA y x x ∴+=--- 因为1:OP y x x = ()()11121:y x x M y x x+=---⎧⎪∴⎨=⎪⎩ 可解得12M x =-11,22PQM P QM PAM P QM S QA d S AM d --=⋅=⋅且2PQMPAMSS=2QA AM ∴= PQ OA ∥22QA AM OP OM ∴=⇒=，即2OP OM =- 21P M x x ∴=-= ()1,1P ∴ ，所以存在符合条件的()1,1P例10：设抛物线22y x =的焦点为F ，过点()3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于,2C BF =，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACFS S=___________．思路：由2BF =联想到焦半径公式，从而可解得332B x =<，从而可判断出B 在M 的左侧，作出图像可发现两个三角形具备同“高”的特点（即F 到BC的距离），所以BCF ACF BC SS AC =，若直接从,BC AC 长度出发，则运算量较大，所以考虑将比值视为整体，并进行线段的转移，可过,A B 分别引准线的垂线，从而将B lA lBC d ACd --=，只需联立直线抛物线方程求出A 点横坐标即可．解：由22y x =可得1p =，设()()1122,,,A x y B x y22322222p p BF x x ∴=+=⇒=-=，设F 到直线AB 的距离为d 则1212BCF ACFd BC BC S SAC d AC ⋅==⋅ 过,A B 分别引准线的垂线,AP BQ AP BQ ∴∥，2211122=122p x x BC BQ p AC AP x x ++∴==++ 设(:AB y k x =，联立方程：(22y xy kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消元可得：(222k x x =整理后可得：()2222230k x x k -++=，12132x x x ∴=⇒= 21142152BCF ACFx S S x +∴-==+小炼有话说：本题设计的精妙之处在于允许有多种解题方向（比如计算坐标，计算底边长）等，但方法层次不同，所耗费的时间也不一样．通过本题要体会以下几点：（1）在抛物线中焦半径与点横坐标的联系，已知焦半径可迅速求出该点的横坐标 （2）处理面积的比值问题时，可考虑两个图形共同的部分（底，高），从而将比值转化为线段的比值（3）在抛物线中常用的辅助线是过抛物线上的点引准线的垂线．本题恰好利用这一点转移了比例，简化了运算。

专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类【考点预测】1、三角形的面积处理方法（1）1=2S ×V 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）1=2S ×V 水平宽·铅锤高1=2E D AB x x ×-或1=2A ES CD y y ×-V （3）在平面直角坐标系xOy 中，已知OMN V 的顶点分别为(00)O ，，11()M x y ，，22()N x y ，，三角形的面积为12211=2S x y x y -．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型ΔΔ1sin 2==1sin 2OAC OBDOA OC S OA OC S OB OD OB OD ××a ××××a （2）等角、共角模型ΔΔ1sin 2==1sin 2OAC OBDOA OC S OA OC S OB OD OB OD ××a ××××a 3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直1=2S AC BD ×（2）一般四边形1=sin 2S AC BD ××a （3）分割两个三角形121=(+)2S AC d d ×4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之1=2S ×V 底·高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型题型七：四边形的面积问题之一般四边形【典例例题】题型一：三角形的面积问题之1=2S ×V 底·高（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，其左焦点到点()21P ，．(1)求椭圆的方程；(2)直线32y x m =-+与椭圆相交于A B ，两点，求ABP V 的面积关于m 的函数关系式，并求面积最大时直线l 的方程．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））2．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>()1,2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆222x y a +=截得的弦长为l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB △面积的最大值.（2022·江西·高三阶段练习（理））3．设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)．(1)求C 的方程；(2)若直线:l x ky m =+与C 交于P ，Q 两点，且OPQ △的面积是32，求证：2229m k -=．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12(F F 且经过点P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB V 面积的最大值（O 为坐标原点）（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）5．如图，椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率是12，短轴长为分别为1A 、2A ，过椭圆与抛物线的公共焦点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，与抛物线E 相交于,P Q 两点，点M 为PQ 的中点．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)记1ABA △的面积为1S ，2MA Q △的面积为2S ，若123S S ³，求直线l 在y 轴上截距的范围．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））6．已知圆221:(1)9F x y ++=，圆222:(1)1F x y -+=，动圆P 与圆1F 内切，与圆2F 外切.O 为坐标原点.(1)若求圆心P 的轨迹C 的方程.(2)若直线:2l y kx =-与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB △面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程.题型二：三角形的面积问题之分割法（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）7．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>C 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:10l x my --=与x 轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求MNQ △面积的最大值．（2022·重庆一中高三阶段练习）8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点12ö÷ø，其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点,P Q 在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求APQ △面积的最大值.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）9．如图所示，M 、D 分别为椭圆2221(1)x y a a +=>(1)求椭圆的标准方程；(2)过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 与椭圆交于A ，B 两点，求DAB V 面积的最大值.（2022·云南大理·模拟预测）10．已知1F ，2F 为椭圆C 的左、右焦点，点31,2M æöç÷èø为其上一点，且124MF MF +=.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，点P 关于坐标原点O 的对称点R ，试问PQR V 的面积是否存在最大值? 若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化（2022·全国·高三专题练习）11．如图，已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，若点P 为双曲线C 在第一象限上的一点，且满足128PF PF +=，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B .（1）求四边形OAPB 的面积；（2）若对于更一般的双曲线()2222:10,0x y C a b a b ¢-=>>，点P ¢为双曲线C ¢上任意一点，过点P ¢分别作双曲线C ¢两条渐近线的平行线P A ¢¢、P B ¢¢与渐近线的交点分别是A ¢和B ¢.请问四边形OA P B ¢¢¢的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.（2022·广西桂林·高三开学考试（理））12．已知P 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，12PF PF +=.(1)求椭圆的标准方程；(2)过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，求1AF C △面积的最大值（2022·全国·高三专题练习）13．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =³与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.（2022·全国·高三专题练习）14．已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1，过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.（2022·广东·高三阶段练习）15．椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()1,1E ；直线l 与椭圆1C 交于A ，B两点，且以AB 为直径的圆过原点.(1)求椭圆1C 的方程；(2)若过原点的直线m 与椭圆1C 交于,C D 两点，且()OC t OA OB =+uuu r uuu r uuu r，求四边形ACBD 面积的最大值.（2022·浙江·高三竞赛）16．已知直线l 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>交于A 、B 两点，直线AB 不经过原点O .（1）求OAB △面积的最大值；（2）设M 为线段AB 的中点，延长OM 交椭圆C 于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求四边形OAPB 的面积.（2022·全国·高三专题练习）17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>E ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()3,0M 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点，点P 关于x 轴的对称点为点N ，求MNQ △面积的最大值．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））18．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为，且经过点31,22æöç÷èø.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,2P 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求AOB V （O 为原点）面积的最大值.参考答案：1．(2)Sm -<<l 的方程为312y x =-+.【分析】（1）利用题干条件列出方程，求出1,2c a ==，进而计算出23b =，写出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用韦达定理求出弦长，进而求出点到直线距离，表达出面积，并用导函数求解最大值及面积取得最大值时直线的方程.【详解】（1）由题意得：12c a ==，解得：1,2c a ==，所以222413b a c =-=-=，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）联立32y x m =-+与椭圆方程22143x y +=可得：223330x mx m -+-=，由()22291233630m m m D =--=->，解得：m -<设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x m +=，21233m x x -=，=点()21P ，到直线32y x m =-+的距离为则ABP V的面积为11422S AB d =×=-=其中m -<<令()()()22412f m m m =--，m-<<则()()()()()(222412244411f m mm m m mm m ¢=-----=---，由于m -<<40m ->，10m -<,令()0f m ¢>得：(m Î-，令()0f m ¢<得：(1m Î，即()()()22412f m m m =--在(-上单调递增，在(1m Î上单调递减，所以()()()22412f m m m =--在1m =(((22141121148f éù=-×-=+êúëû，所以当1m =l 的方程为312y x =-+．【点睛】直线与圆锥曲线结合，求解面积最值问题，要将直线方程与圆锥方程联立，得到两根之和，两根之积，从而利用弦长公式求出弦长，表达出面积，利用基本不等式，配方或导函数求解面积最值.2．(1)22182y x +=(2)2【分析】（1）由ba=()1,2代入椭圆，建立方程组求解即可；（2）当l 的斜率存在时，先由垂径定理求出圆心到直线l 的距离d =l ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由点线距离公式可得d =()2221m k =+，将l 方程代入12OAB S AB d =△，结合均值不等式讨论最大值即可；当l 的斜率不存在时，则l ：x =l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.【详解】（1）e =12b a ===，由椭圆过点()1,2得22411a b+=，解得28a =，22b =，∴椭圆C 的方程为22182y x +=.（2）直线l 被圆228x y +=截得的弦长为l 的距离d 满足(222d=-，解得d=，当l的斜率存在时，设l：y kx m=+，()11,A x y，()22,B x y，圆心为原点则有d==，∴()2221m k=+.将l方程代入椭圆方程中整理得：()2224280k x mkx m+++-=，∴12224mkx xk+=-+，212284mx xk-=+，2=，即k=等号.当l的斜率不存在时，则l：x=l与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴OAB△面积的最大值为2.【点睛】直线与圆锥曲线相交弦相关的面积问题，一般可联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理、弦长公式将弦长表示出来，再由点线距离作为高，即可表示三角形面积.另外直线与圆锥曲线相交弦的问题，注意讨论直线斜率存在与否.3．(1)2219xy+=；(2)证明见解析.【分析】（1）由椭圆过的点可得1b=，再结合离心率即可计算作答；（2）联立直线l与椭圆C的方程，求出弦PQ长及点O到直线l的距离即可求解作答.【详解】（1）因椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,1)，则1b=，又椭圆C的离心率为则有e===，解得3a=，所以C的方程为2219xy+=．（2）依题意，0m ¹，由2299x y x ky m ì+=í=+î消去x 并整理得：()2229290k y kmy m +++-=，22222244(9)(9)36(9)0k m k m k m D =-+-=+->，设()()1122,,,P x y Q x y12229km y y k -ì+=ïï+，于是得||PQ ==O 到l 的距离d =，因此13||22OPQS PQ d =×==△，即()()2422244990m m k k -+++=，整理得()222290m k éù-+=ëû，即2229m k -=，显然2229m k -=满足0D >，所以2229m k -=.4216y +=【分析】（1）根据椭圆的定义可得3a =，进而可求其方程，（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.【详解】（1）由椭圆的定义，可知22426=+=解得3a =，又2226b a =-=.\椭圆C 的标准方程为22196x y+=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，联立椭圆方程，得22563180x mx m ++-=，2236603600m m =-+>△，得m <<设()()1122,,,A x y B x y ，则212126318,55m m x x x x -+=-×=，||AB \===点(0,0)O到直线:0l x y m+-=的距离d，11||22AOBS AB d\=×==△152£==当且仅当2215,(m m m-=<，即215,2m m==时取等号；AOB\V5．(1)椭圆22:143x yC+=，拋物线2:4E y x=(2),æö-¥È+¥ç÷ç÷èø【分析】（1）由题知222bceaaì=ïï=íï=ïî，进而解方程即可求得答案；（2）设()()()()()11223344:10,,,,,,,,l x ty t A x y B x y P x y Q x y=+¹，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长AB，PQ，进而计算面积1S，2S，再结合已知求得t££线l在y轴上截距的范围即可.【详解】（1）解：根据题意得：222bceaaì=ïï=íï=ïî，解得2a=，b=，1c=，所以，抛物线焦点()10F,，所以，椭圆22:143x yC+=，拋物线2:4E y x=（2）解：设()()()()()11223344:10,,,,,,,,l x ty t A x y B x y P x y Q x y=+¹，联立l 与椭圆221:143x ty C x y =+ìïí+=ïî，整理得：()2234690t y ty ++-=，判别式：()()()222Δ(6)43491441t t t =-+-=+弦长公式：2AB y =-=点()12,0A -到直线l所以1S = 联立l 与抛物线24:1y xE x ty ì=í=+î，整理得：2440y ty --=，判别式：()()22Δ(4)44161t t =---=+弦长公式：4PQ y =-= 点()22,0A到直线l所以2212PQA S S=V 因为123S S³t ££所以，直线l 在y1t -³所以，直线l 在y 轴上截距取值范,æö-¥È+¥ç÷ç÷èø【点睛】.6．(1)221(2)43x y x +=¹(2)()max AOB S V 2y =-【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，由圆与圆的位置关系分析可得2112||||4||PF PF F F +=>，由椭圆的定义分析可得轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹C 的方程，即可得答案；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程可得22(34)1640k x kx +-+=，利用根与系数的关系可以表示||AB 的值，进而可以表示OAB △面积，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】（1）解：设动圆P 的半径为r ，依题意有1||3PF r =-，2||1PF r =+，2112||||4||PF PF F F +=>．所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =，当P 点坐标为椭圆右顶点时，0r =不符合题意，舍去．所以轨迹C 的方程221(2)43x y x +=¹．（2）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程222143y kx x y =-ìïí+=ïî，可得22(34)1640k x kx +-+=，所以1221634k x x k +=+，122434x x k =+，216(123)0k D =->，得214k >，设原点到直线AB的距离为d ，所以12|||AB x x -所以1||2AOBS AB d =×=V22t，所以AOB S==V，当且仅当2t =时，等号成立，即当k =OAB △2y =-．7．(1)221164x y +=(2)154【分析】（1）利用222a b c =+、ce a =与142bc ´=22,a b ，代入椭圆方程即可.（2）联立直线l 与椭圆C 的方程得到122154y y m =-+，再利用切割法得到MNQ PQN PMN S S S =-△△△，化简得到12215||4MNQ m S my y m ==+V ，进而利用基本不等式求得MNQ △面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则c e a ==2222234c a b a a -==，所以22314b a -=，即2a b =，又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为所以142bc ´=bc =，综上解得2216,4a b ==，所以椭圆C 的方程为221164x y +=．（2）易得(1,0)M ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,N x y -，联立直线l 与椭圆C 的方程2211164x my x y =+ìïí+=ïî，得()2242150m y my ++-=，则121222215,44m y y y y m m +=-=-++．又12111112,2122PQN PMN S y x x S y x =´´-=´´-△△，易知21x x -与11x -同号，所以()()()1211121111MNQ PQN PMN S S S y x x x y x x x =-=´---=´---△△△1212121y x y my my y =´-=´=215||1515444||||m m m m ==£=++，当且仅当4||||m m =，即2m =±时等号成立，所以MNQ △面积的最大值为154．8．(2)53【分析】（1）由题意可得22231c a a ì=ïï=íïïî，从而可求出,a c ，进而可求出离心率，（2）设()()1122:,0,,,,PQ y kx m k P x y Q x y =+¹，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由120AP AQ k k =可得2m k =-或3=m k ，可得直线PQ 经过定点()3,0-，然后表示出APQ △.【详解】（1）依题可得，222223114c a b a b cì=ïï+=íï=+ïî，解得2a b c ì=ïíï=î所以椭圆C 的方程为2214x y +=.所以离心率e =（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,0,,,,PQ y kx m k P x y Q x y =+¹，由2214x y y kx m ì+=ïíï=+î可得，()222148440k x mkx m +++-=，所以2121222844,1414mk m x x x x k k --+==++，()22Δ16410k m =+->，而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ×=--，化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，22121212122020()202()4k x x km x x m x x x x +++=-++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----×+×+=-´+++++化简得2260k mk m +-=，所以2m k =-或3=m k ，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-.设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B S S S AB y y k x x -=-=-=-V VV=，因为2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k æö=+Îç÷èø，所以53APQS ==£V ，当且仅当97t =即2114k =时取等号，即APQ △面积的最大值为53.9．(1)2214x y +=；(2)6425.【分析】（1）由离心率及21b =联立方程求解即可；（2）设AB 的直线方程为：x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，由一元二次方程根与系数的关系及π2AMB Ð=可利用向量数量积为0化简求出m ，据此可得三角形的面积1216225DAB S y y æö=×+-ç÷èø△，化简后换元利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）由已知可得：2c a a ì=ïíï=î，解得：2a =，c =，∴椭圆的方程为：2214x y +=.（2）∵()2,0M -，设AB 的直线方程为：x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程：22440x ty mx y =+ìí+-=î，整理得：()2222404mt t y y m ++-+=，∴12224mt y y t -+=+，212244m y y t -=+，∵π2AMB Ð=，()()()1212121212220240x x y y x x x x y y \+++=Þ++++=，()()()1212122240ty m ty m ty ty m y y +++++++=，即()()2212121(2)(2)0t y y mt t y y m ++++++=，()22222421(2)(2)044m mtt mt t m t t --Þ+×++×++=++，()()()()222222214244440tm m t mt m m t +---++++=，()222222222222442444164160t mt m m t mt m t m mt m t -+---++++++=，整理得2516120m m ++=，解得65m =-或2m =-（舍去），∴65x ty =-，()()122122125464254t y y t y y t ì+=ï+ïí-ï=ï+î，∴1163222525DABS y æö=×+-=ç÷èø△(8)u u =³，则2232323236642536425DAB u u S u u u u =×==-+++△，由对勾函数单调性知，363625882u u +³+=，所以326425252DAB S £=△，当且仅当8u =时，即0t =时等号成立，此时DAB S V 最大值为6425.【点睛】关键点点睛：由题意可设AB 的直线方程为：x ty m =+，联立椭圆方程后由根与系数的关系及M A M B ^的向量表示化简运算求出m 是解题的第一个关键点，求出m 后知直线过定点6(,0)5-，据此可选取恰当的表示三角形面积的方法1216225DAB S y y æö=×+-ç÷èø△是第二个关键点，表示出三角形面积后化简换元，利用均值不等式求最值是第三个关键点，对运算能力要求非常高.10．(1)22143x y +=(2)存在，3【分析】（1）由题意设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则根据已知条件可得22241914a a b =ìïí+=ïî，解方程组可求出22,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线:1l x my =-，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，设PQR V 的面积为S ，则1121222POQ S S PF y y ==´-V ，结合前面的式子化简后，换元，再构造函数可求出其最大值.（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>> ，因为点31,2M æöç÷èø为椭圆上一点，且124MF MF +=，所以22241914a a b =ìïí+=ïî，解得2243a b ì=í=î所以椭圆的标准方程为 22143x y +=.（2）设直线:1l x my =-，1122)(,),(,P x y Q x y ，由2213412x my x y =-ìí+=î，得22(34)690m y my +--=，223636(34)0D =++>m m ，则12122269,3434-+==++m y y y y m m ，设PQR V 的面积为S ，则1121222POQ S S OF y y ==´-V12y y =-===(1)t t =³，则21212(1)1313t S t t t t==³++，令1()3f t t t =+（1t ³），则21()30f t t ¢=->，所以()f t 在[1+¥，）上为增函数，所以min ()(1)4f t f ==，所以S 的最大值为1234=，此时0m =，所以存在当 0m =时，即直线l 的方程为1x =-，PQR V 的面积有最大值，其最大值为 3 .11．（1（2）是，且定值为12ab .【分析】（1）求出点P 、B 的坐标，计算出点B 到直线OP 的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形OAPB 的面积；（2）设点()00,P x y ¢，求出点B ¢的坐标，计算出点B ¢到直线OP ¢的距离d ，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线22:13y C x -=，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为128PF PF +=，15PF \=，23PF =，因为124F F ==，所以，2222121PF F F PF +=，2PF x \^轴，\点P 的横坐标为2P x =，所以，22213Py -=，0P y >Q ，可得3P y =，即点()2,3P ，过点P且与渐近线y =)32y x -=-，联立)32y y x ì=ïí-=-ïî，解得x y ì=ïïíï=ïî，即点312B æöç÷ç÷èø，直线OP 的方程为320x y -=，点B 到直线OP 的距离为d =，因此，四边形OAPB 的面积为2OAPB S S =Y △（2）四边形OA P B ¢¢¢的面积为定值12ab ，理由如下：设点()00,P x y ¢，双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为b y x a =±，则直线P B ¢¢的方程为()00by y x x a-=--，联立()00b y y x x ab y x a ì-=--ïïíï=ïî，解得00002222x a x y b y b y x a ì=+ïïíï=+ïî，即点0000,2222x y a b B y x b a æö++ç÷èø¢，直线OP ¢的方程为0y y x x =，即000y xx y -=，点B ¢到直线OP ¢的距离为==因此，22OA P B OB P abS S OP d ¢¢¢¢¢¢==×==Y △（定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．12．(1)22184x y +=【分析】（1）使用椭圆的定义可得a =结合离心率ce a=算出c =然后使用基本量关系可得椭圆方程22184x y +=；（2）通过题意可知过1F 的直线l 斜率存在，设出方程与椭圆方程联立，构造面积与斜率关系，使用不等式关系即可.【详解】（1）由P为椭圆22221x ya b+=（0a b>>）上一点，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，12PF PF+=，可得，2a=，所以a=又cea=2c a==，所以，2224b a c=-=，故椭圆的标准方程为22184x y+=；（2）由题意可知过1F的直线l斜率存在且0k¹，可设其方程为()()20y k x k=+¹，()11,A x y，()22,B x y，则()22,C x y-，由()222184y k xx yì=+ïí+=ïî得：()2222128880k x k x k+++-=，则212221228128812kx xkkx xkì+=-ïï+í-ï=ï+î，所以11212221122222AF C ABC BF CS S S y x x y x=-=----V V V()()21222122y x x x y x=----=+()()2122k x x=++()()2221212288812122424k x x x x kk kk kæöæö=+++=+--++ç÷ç÷èøèø+所以，1AF C△.13．(1)[]2,1-(2)【分析】（1）由题意可知1F、2F的坐标，设(,)P x y，表示出1PFuuu r，2PFuuu u r，代入向量的数量积可得2121(38)4PF PF x ×=-uuur uuuu r ，由二次函数的性质计算可得.（2）设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立直线与椭圆方程消去y 整理可得22(14)4k x +=，解方程可求1x ，2x ，根据点到直线的距离公式可求，点E ，F 到直线AB 的距离1h ，2h ，代入四边形AEBF 的面积为121||()2S AB h h =+，结合基本不等式可求面积的最大值.【详解】（1）解：由题意可知2a =，1b =，c Q\1(F，2F ，设(,)P x y ，\1(,)PF x y =--uuur，2,)PF x y =-uuuu r，\2212(,),)3PF PF x y x y x y ×=-×--=+-uuu r uuu u r222113(38)44x x x =+--=-由椭圆的性质可知，22x -££204x \££，\238214x --££，故1221PF PF -£×£uuur uuuu r ，即[]122,1PF PF ×Î-uuur uuuu r .（2）解：设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立2214y kx x y =ìïí+=ïî消去y 整理可得22(14)4k x +=，\1x =2x (2,0)A Q ，(0,1)B ，\直线AB 的方程为：220x y +-=，根据点到直线的距离公式可知，点E ，F 到直线AB的距离分别为1h =2h ==\12h h +||AB \=，\四边形AEBF的面积为1211||()22S AB h h =+====，当且仅当14k k =即12k =时，上式取等号，所以S的最大值为.14．(1)2214x y +=(2)2【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可；（2）设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，再分别求得直线PA 和PB 的方程，进而得到,BM AN 的表达式，再代入面积的公式，结合椭圆的方程化简即可【详解】（1）由题意知，a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，因为c所以椭圆C的离心率c e a ==（2）设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则220044x y +=因为A (2，0)，B (0，1)，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令x ＝0，得0022M yy x =--，从而|BM |＝1－yM ＝0212y x +-直线PB 的方程为y ＝001y x -x ＋1，令y ＝0，得xN ＝－001x y -，从而|AN |＝2－xN ＝2＋001x y -.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝00002211212x y y x æöæö++ç÷ç÷--èøèø·＝220000000000444842(22)x y x y x y x y x y ++--+--+＝00000000224422x y x y x y x y --+--+＝2，所以四边形ABNM 的面积为2.15．(1)222133x y +=(2)【分析】（1）根据椭圆过的点以及椭圆的离心率，可列出等式，求得a,b ，即得答案；（2）分类讨论直线AB 的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线AB 方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，根据条件求出参数之间的关系式，进而表示出四边形ACBD 的面积，进行化简，可求得答案.【详解】（1）椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>经过点()1,1E ，22111a b +=,，则222a c =，即222a b =,即221112b b+=，解得2233,2a b ==， 所以椭圆1C 的方程为222133x y +=.（2）当直线AB 斜率不存在时，设以AB 为直径的圆的圆心为(,0)t ，则222()x t y t -+= ，则不妨取(,)A t t ，故222133tt +=，解得1t =± ，故AB 方程为1x =±，直线CD 过AB 中点，即为x 轴，得2AB =，CD =故12ACBD S AB CD =×=；直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2223x y y kx m ì+=í=+î，可得222(21)4230k x kmx m +++-=，则224(623)0k m D =-+>①，122421km x x k +=-+②， 21222321m x x k -=+③，以AB 为直径的圆过原点即12121212()()0OA OB x x y y x x kx m kx m ×=+=+++=uuu r uuu r，化简可得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将②③两式代入，整理得2222(1)(23)(4)(21)0k m km km m k +-+-++=，即221m k =+④，将④式代入①式，得24(41)0k D =+>恒成立，则R k Î，设线段AB 中点为M ，由()2OC t OA OB tOM =+=uuu r uuu r uuu r uuuu r，不妨设0t > ，得24ACBD OACB OAB S S tS ==V ，又∵112OAB S m x =-V∴ACBD S =又由()OC t OA OB =+uuu r uuu r uuu ，则C 点坐标为1212((),())t x x t y y ++，化简可得1221224()212()21km t x x t k m t y y t k ì+=-ïï+íï+=-ï+î，代回椭圆方程可得2228321m t k =+即t =则4ACBD OABS tS ====<V 综上，四边形ACBD面积的最大值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时的四边形的面积的最大值问题，综合性强，计算量大，解答的关键是表示出四边形ACBD 的面积，并能进行正确的化简，求得最值.16．（1）2ab ；（2.【详解】解法一 当直线AB 的斜率不存在时，由对称性，设直线AB 方程为()0x n n a =<<，则y =122OABS n =´´=△2222122n n a a ab ab æö+-ç÷èø£=，当且仅当n =.设直线l ：()0y kx m m =+¹，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22221x y a b y kx m ì+=ïíï=+î，消去y 得：()22222222220ba k x a kmx a m ab +++-=，判别式()()()()2222222222222222440a km b a k a m a b a b b a k m D =-+-=+->，则2222b a k m +>，于是=原点O到AB的距离d=1122OABS AB d==△()()2222222222m b a k m abab abb a k++-=£×=+，当且仅当22222m b a k=+时取等号.（2）不妨设0k>，根据垂径定理得：22AB OMk kba=-×，则OM的方程为22by xa k=-.将OM的方程代入椭圆方程，消去y得422222a kxb a k=+.注意O、P在直线AB的两侧，所以Mx=2222M Mb by xa k a kææö=-=-çç÷çèøè又点M在直线AB上，k mæ=+ççè，化简得：22224b a k m+=，则22OAPB OABS S ab===△解法二（1）设xxayybì=ïíï=ïî，则221x y¢¢+=，OABO A BS abS¢¢¢=△△.设原点O¢到直线A B¢¢的距离为()()0,1d dÎ，则22122OAB O A Bd d abS abS ab A B d ab¢¢¢-+¢¢==×=£=△△.（2）要四边形OAPB为平行四边形，则四边形O A P B¢¢¢¢为菱形，由（1）知12211sin1202O A BS S S¢¢¢¢==´´´´°=Þ=△.解法三（1）设()cos,sinA a ba a，()cos,sinB a bb b，则()1cos sin cos sin sin222OABab abS a b aa b b a a b=×-=-£△，当且仅当2k pa b p -=+，Z k Î时取等号.（2）(cos cos ,sin sin )OP OA OB P a a b b a b a b =+Þ++uuu r uuu r uuu r，则2222(cos cos )(sin sin )1a a b b a b a b a b +++=，即22cos()1a b +-=，移项整理得1cos()2a b -=-，则(sin a -故2OAPB OAB S S =△.172120y +=【分析】（1）由题知2265a b =，再待定系数求解即可得答案；（2）结合题意设:3l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y -，进而根据MNQ PQN PMN S S S =-△△△，结合基本不等式求解即可.【详解】（1）解：设椭圆C 的焦距为2c ，则c e a ==2222216c a b a a -==，所以22116b a -=，即2265a b =，①又椭圆C 经过点E ，则226151a b +=，②由①②解得224a =，220b =，所以椭圆C 的方程为2212420x y +=．（2）解：当直线l 垂直于坐标轴时，点M N Q ，，不能构成三角形，不符合题意，当直线l 不垂直于坐标轴时，设:3l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y -，联立22312420x my x y =+ìïí+=ïî得()225630750,m y my ++-=，则1223056m y y m +-+=，1227565y y m =-+．又121122PQN S y x x =´´-△，111232PMN S y x =´´-△，易知21x x -与13x -同号，所以()()()1211121133MNQ PQN PMN S S S y x x x y x x x =-=´---=´---△△△1212123y x y my my y =´-=´=275||756565||||m m m m ==£=++当且仅当|||65|m m =，即m 所以MNQ △18．(1)2213x y +=【分析】（1）由焦距为31,22æöç÷èø，能得到a b ，的关系式，则能求出椭圆的方程；（2）设直线AB 为2y kx =+，将直线AB 的方程与椭圆的方程进行联立，消去y 得()2131290kx kx +++=，再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值【详解】（1）由2222c c a b ==Þ-=①由椭圆C 经过点31,22æöç÷èø，得2291144a b+=②，联立①②，解得1b =，a =∴椭圆C 的方程是2213x y +=.（2）由题意可知直线AB 一定存在斜率，设其方程为2y kx =+，联立22213y kx x y =+ìïí+=ïî，消去y ，得()2131290k x kx +++=，则2214436130k k D =-+>（），得21k >，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k ×=+，∴AOB POB POA S S S =-△△△12122x x =´´-12x x =-，答案第23页，共23页∵()()221212124x x x x x x -=+-×22212361313k k k æö=--ç÷++èø()()22236113k k -=+，设21k t -=（0t >），则()()21223634tx x t -=+ 3616924t t=++£34=，当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时2713k =>，符合题意，此时AOB V。

新高考数学复习知识点与题型讲解 专题02 圆锥曲线中的面积问题一、单选题1．直线l 经过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则PQF △的面积的最小值是（）A ．．4C ．．6 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设直线l ：1x ty =+，与抛物线方程联立求出,A B 两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值. 【详解】由抛物线24y x =可知2p =，所以(1,0)F ，准线为1x =-，依题意设直线l ：1x ty =+，代入24y x =得2440y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y t +=，124y y =-，所以12||4y y -==≥，当且仅当0t =时，等号成立. 所以1212||||42PQF S PQ y y =⨯⨯=-≥△. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用,A B 两点的纵坐标之差的绝对值表示||PQ 是本题解题关键.2．已知1F ，2F 为椭圆22110064x y +=的两个焦点 ，P 是椭圆上任意一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．643B ．3C ．1283D ．3【答案】B 【分析】利用椭圆焦点三角形面积公式122tan2F PF Sb θ=，即可求解.【详解】由题意知：1F ，2F 为椭圆的两个焦点 ，P 是椭圆上任意一点，所以12F PF △是焦点三角形，且264b =，3πθ=，所以122tan64233F PF Sb θ==⨯=， 故选：B3．已知双曲线22197x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线上一点P 使得1260F PF ∠=，求12F PF △的面积（）A．3B ．．【答案】C 【分析】先根据双曲线方程得到3a =，b =4c =，设1PF m =，2PF n =，可得，22m n a -==. 由1260F PF ∠=︒，在12F PF △根据余弦定理可得:2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，即可求得答案. 【详解】22197x y -=，所以3a =，b =4c =， P 在双曲线上，设1PF m =，2PF n =，∴26m n a -==①由1260F PF ∠=︒，在12F PF △根据余弦定理可得:2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒故2264m n mn =+-② 由①②可得28mn =，∴直角12F PF △的面积121212s 11in sin 6022F PF Sm PF PF F PF n ⋅∠⋅=︒==故选：C . 【点睛】 思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.4．已知椭圆2212516x y +=两焦点12,F F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的的内切圆半径为（）A ．3B ．【答案】B 【分析】由余弦定理得()2212121212122c 2os PF PF F P PF F F F PF F P PF =+-⋅-∠⋅，得到12F P PF ⋅，可求得面积，再由()12121212PF F S PF PF F F r =++可得答案. 【详解】2212516x y +=，22225,16,9a b c ===， 由题意得12+210F P PF a ==，1226F F c ==，由余弦定理得()222221212121212121212+cos 222PF PF F P PF F F PF PF F F F PF PF PF F P PF +-⋅--∠⋅==⋅， 得12643F P PF ⋅=，1212116416sin sin 602233PF F S PF PF θ=⋅=⨯⨯=， 设内切圆的半径为r ，则()121212111622PF F SPF PF F F r r =++=⨯⨯=， 所以r =. 故选：B. 【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.5．过抛物线28y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点M 在直线2y =上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（）A．．9【答案】B 【分析】首先设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到2AB k =，从而得到直线():22l y x =-.联立直线与抛物线，利用根系关系得到12y y -=AOB 的面积即可. 【详解】由抛物线28y x =，得()2,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，即()()()1212128y y y y x x +-=-. 由题意知：124y y +=，所以12122AB y y k x x -==-，故直线():22l y x =-.联立()2228y x y x⎧=-⎨=⎩得：24160y y --=.所以124y y +=，1216y y =-.故12y y -===所以1211222AOBSOF y y =⋅-=⨯⨯=.则AOB 的面积为故选：B. 【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆:O 2220x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥ (O 为坐标原点)，下列说法正确的有（） A ．双曲线C 的虚轴长为4B C ．双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D ．三角形OMN 的面积为8 【答案】BD 【分析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为c =by x a=±，设()00,M x y ，则()00,N x y -，根据ME ON ⊥，以及点()00,M x y 在圆2220x y +=上，求出M 的坐标，得出2ba=，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆:O 2220x y +=上，所以双曲线的半焦距为c =，由()2222:10,0x y C a b a b-=>>可得其渐近线方程为b y x a =±，因为圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，不妨设()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y -，又()0,3E ，ME ON ⊥，所以1ME ON k k ⋅=-，即000031y y x x -⋅=--， 整理得220003y y x -=，又点()00,M x y 在圆O 上，所以220020x y +=，由22000220003200,0y y x x y x y ⎧-=⎪+=⎨⎪>>⎩解得0024x y =⎧⎨=⎩，即()2,4M ， 又点()2,4M 在渐近线b y x a =上，所以2ba=， 由222220b a c a b =⎧⎨=+=⎩解得22416a b ⎧=⎨=⎩，因此双曲线C 的方程为221416x y -=； 所以其虚轴长为28b =，故A 错；离心率为c e a ===B 正确； 其渐近线方程为2y x =±，故C 错；三角形OMN 的面积为000182OMNS MN y x y ===，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及ME ON ⊥，求出交点坐标，得出,a b 之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.7．已知曲线C 的方程为2210()91y x x +<≤=，()()()0,3,0,3,1,0A B D --，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5x =交于点M ，直线BP 与直线5x =交于点N ，则DMN 的面积可能为（）A ．73B ．76C ．68D ．72 【答案】ABD 【分析】设()00,P x y ，求出9PA PB k k ⋅=-，求出,M N 的坐标和||MN 的最小值，得到DMN 的面积的最小值，即得解. 【详解】设()00,P x y ，则22002299919PA PBy y k k y x --⋅===--． 设(0)A p k k k =>，则9PB k k=-，直线AP 的方程为3y kx =-，则点M 的坐标为(5,53)k -，直线BP 的方程为93y x k=-+，则点N 的坐标为455,3k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．所以4545||53356624MN k k k k ⎛⎫=---+=+-≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当455k k=，即3k =时等号成立． 从而DMN 面积的最小值为1246722⨯⨯=. 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.8．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为2；B ．若PO PF ⊥，则PFO △；C ．||PF 的最小值为2；D ．双曲线22148y x -=与C 的渐近线相同.【答案】ABD 【分析】由题知，双曲线方程2,a b ==，c =62c e a ，双曲线渐近线方程by x a=±，点到直线的距离可以分别判断选项. 【详解】选项A ，因为2,a b ==，所以c =62c ea ，故A 正确；选项B ，若PO PF ⊥，又点P 在双曲线C 的一条渐近线上，不妨设在2y x =20y -=，点F 到渐近线的距离为d ==，则2PO ==，所以PFO △的面积为122S =⨯=B 正确；选项C ，||PF 的最小值就是点F 到渐近线的距离d =C 错误；选项D ，它们的渐近线都是2y x =±，渐近线相同，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有（）A ．双曲线C的渐近线方程为y =B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y +=C ．点M的横坐标为 D ．12MF F △【答案】AD 【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A 选项的正误；求得c 的值，可求得以12F F 为直径的圆的方程，可判断B 选项的正误；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M 的坐标，可判断C 选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D 选项的正误. 【详解】由双曲线方程2212y x -=知a =1b =，焦点在y轴，渐近线方程为a y x b =±=，A 正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是223x y +=，B 错误；由223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M 点横坐标是±1，C 错误；121211122MF F M S F F x =⋅=⨯=△D 正确． 故选：AD ． 【点睛】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±（即bx y a=±），应注意其区别与联系. 三、解答题10．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上. （1）求圆E 的方程；（2）过点(2,0)Q -分别作直线MN 、RS ，交圆E 于M 、N 、R 、S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的取值范围.【答案】（1）229x y +=（2） 【分析】（1）设出经过圆C 和直线l 的圆系方程，利用圆心在直线2y x =上可求得结果；（2）当直线MN 的斜率不存在时，可求出四边形的MRNS 面积为MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，则直线:20RS x ky ++=，利用几何方法求出||MN 和||RS ，求出四边形MRNS 面积，再换元求出最值可得取值范围. 【详解】（1）依题意可设圆E 的方程为22663(2)0x x y y x y λ-+-+++-=，整理得22(6)(6)320x y x y λλλ++-+-+-=，所以圆心66(,)22E λλ----，因为圆心E 在直线2y x =上，所以66222λλ--⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得6λ=，所以圆E 的方程为229x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，||MN =||6RS =，四边形MRNS 面积为162⨯= 当直线MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，即20kx y k -+=，则直线:20RS x ky ++=，圆心E 到直线MN 的距离1d =，圆心E 到直线RS 的距离2d =，所以||MN ===，||RS ==，所以四边形MRNS 面积为1||||2MN RS ⨯= 令211t k =+，则01t <≤， 所以2244(5)(9)(54)(94)11t t k k +-=+-++224516164516()16t t t t =-++=---， 当12t =，即1k =±时，24516()16t t ---取得最大值49，此时四边形的MRNS 面积的最大值为14，当1t =，即0k =时，24516()16t t ---取得最小值45，此时四边形MRNS 面积的最小值为综上所述：四边形MRNS 面积的取值范围为【点睛】结论点睛：经过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.11．已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左、右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段CD 的长；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值．【答案】（1）247；（2【分析】（1）同椭圆方程为22143x y +=，直线方程为1y x =+，联立221431x yy x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得27880x x +-=，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出CD 的长．（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，12|0|S S -=，当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出12||S S -的最大值． 【详解】解：（1）因为(1,0)F -为椭圆的焦点，所以1c =，又23b =，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=，因为直线的倾斜角为45︒，所以直线的斜率为1，所以直线方程为1y x =+，和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y ，得到27880x x +-=， 所以△288=，1287x x +=-，1287x x =-，所以线段CD的长1224|||7CD x x =-． （2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，ABD ∆，ABC ∆面积相等，12|0|S S -=， 当直线l 斜率存在（由题意知0)k ≠时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠， 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=， △0>，方程有根，且2122834k x x k+=-+，212241234k x x k -=+， 此时12121221||2||||||2||2|(1)(1)|S S y y y y k x k x -=-=+=+++21212||12122|()2|33434||2||k k x x k k k k k =++=====+++时等号成立）所以12||S S - 【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．12．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补． （Ⅰ）求k 的值．（Ⅱ）求PAB △面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =； （Ⅱ）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则010122010101444PA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理可得021244,PB ABk k y y y y ==++， 因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++， 即01220y y y ++=，又PAB △重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以422AB k k ===．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0x b x b +-+=，其判别式22116(1)1602b b b ∆=-->⇒<，所以102b <<．而212111,4b x x b x x +=-=，因此，||AB ===又由（Ⅰ）知，01y =-，所以200144y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=的距离为1|21|b d ⨯++==所以113||222PABS AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，故()f b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈，故30,4PAB S⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭，②弦长公式：||AB =本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.13．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，直线:2l x =被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上（异于椭圆左、右顶点），过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥；（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k 的平方.【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【分析】（1）联立直线m 的方程和椭圆C 的方程，利用判别式列方程，求得P 点的坐标，求得Q 点的坐标，通过计算得到0FP FQ ⋅=，由此证得PF QF ⊥.（2）求得||,||FP FQ ，由此求得三角形PQF 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF 面积的最小值，进而得出直线m 的斜率k 的平方. 【详解】（1）证明：由题意得，点F 的坐标为()1,0，设()00,P x y .由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214220k x ktx t +++-= 02222221kt kt k x k t t ∴=-=-=-+，2022212121k t t y t k k t=-+==++.即点P 坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为()2,2k t +，21211,,kk t FP tt t t +⎛⎫⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,2FQ k t =+.220k t k t FP FQ t t++∴⋅=-+= 故PF QF ⊥.（2）解：点P 在x 轴上方，2221t k =+，1t ∴≥由（1）知(2FP =；(2FQ =PF QF ⊥()2221134131222222POFk t t kt t S FP FQ k t t t+++-∴=⋅===+-△①当0k ≥时，由（1）知k =3122PQF t S t =+△函数()()31122t f t t t=≥单调递增 ()11POF S f ∴≥=△.②当0k <，由（1）知k =3122PQF t S t =△令()()31122t g t t t=-≥则()2223131222t g t t t +=+='由()()222222642242423131235124141t t t t t t t t t t t +⎛⎫⎛⎫+----=-= ⎪--⎝⎭ ()()()()((()22224242421221414141tt t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+-+--+--⎣⎦⎣⎦==--∴当t >()0g t '>，此函数()g t 单调递增；当1t ≤<()0g t '<，此函数()g t 单调递减.∴函数()g t 即PQF S △的最小值()11gg <=，此时，22221t k =+=+，解得2k =. 综上，当PQF △的面积最小时，直线m的斜率的平方为12. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标表示垂直关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，解决本题的关键点是表示出PQF S △，按0k ≥和0k <分别将k 用t 表示，并构造函数求导判断单调性和最值，考查了学生分析解决问题的能力和运算求解能力，属于中档题.14．设F 1，F 2分别是椭圆2222:1b x y C a +=(a >b >0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为2，过F 2的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，且1ABF的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 2点且垂直于1l 的直线2l 与椭圆交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.【答案】（1）22184x y +=；（2）649. 【分析】（1）由1ABF 的周长为a =2，即可得出结果；（2）分类讨论：当AB 所在的直线斜率不存在时，此时四边形ABCD 的面积为：22S b ；当AB 所在的直线斜率存在且不为0时，不妨设直线AB 的方程为：()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，直线CD 的方程为：()12y x k=--，分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得,AB CD ,利用四边形ABCD 的面积12S AB CD =⋅，可得关于斜率k 的式子，再利用基本不等式求最值即可得出结果. 【详解】（1）由1ABF 的周长为可得4a a =⇒=，可得22c e c a ===⇒=， 所以222844b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22184x y +=； （2）又椭圆22184x y +=可得： ()2,2,2,0a b c F ===，①当AB 所在的直线斜率不存在时，CD 所在的直线斜率为0，此时四边形ABCD 的面积为：2211222822b S AB CD a b a=⨯⨯=⨯⨯==； ②当AB 所在的直线斜率存在时，由题意知AB 所在的直线斜率不为0，不妨设直线AB 的方程为：()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，则直线CD 的方程为：()12y x k=--， 联立()222184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化为： ()2222128880k x k x k +-+-=， 由韦达定理得：212221228128812k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以)22112k AB k +==+，把k 换成1k -，可得)2212k CD k +=+， 所以四边形ABCD 的面积为：))2222111122122k k S AB CD k k ++=⨯⨯=⨯⨯++()()()22422424222161242881252252122k k k k k k k k k k +⎛⎫++==⨯=⨯- ⎪+++++⨯+⎝⎭ 22181225k k ⎛⎫ ⎪=⨯- ⎪ ⎪++⎝⎭，由2222559k k ++≥=， 当且仅当21k =时取等号； 此时221164818129925S k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫=⨯-≥⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪++⎝⎭， 综上：四边形ACBD 面积的最小值为649. 【点睛】思路点睛：两条直线相互垂直，先考虑有一条直线的斜率不存在，再分析直线的斜率存在的情况，利用斜率之间的关系转化，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式，四边形面积计算公式以及基本不等式求最值.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰为椭圆()22211y x a a +=>的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F 且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F 作两条直线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率之积为1-.①设直线1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，求11AB CD+的值； ②设直线1l ，2l 与椭圆的另一个交点分别为M ，N .求FMN 面积的最大值.【答案】（1）24y x =；2212y x +=(2) ①14 ②169 【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p ，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a ，c ，即可求出椭圆方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.【详解】 (1) 2221(1)y x a a+=>, ∴右顶点为(1,0)，即抛物线()220y px p =>的焦点 (1,0)F ,2p ∴=， 故抛物线方程为24y x =，因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离， 所以2224a p c==， 222221c b c a c ==+=+∴，1,c a ∴==∴椭圆的标准方程为：2212y x +=(2) ①设()1:1l y k x =-，代入 24y x =消元得：2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，212221224421k x x k k x x ⎧++==+⎪∴⎨⎪=⎩，21224(1)k AB x x k +∴=-==， 又12CD k =-， 同理可得2224(1)||41)11(k CD k k +==+ 222114(1)41(1)14k k A CD k B +=+++=②仍设()1:1l y k x =-， 代入椭圆方程2212y x +=消元得： ()2221220k x x -+-=，即2(1)(1)2(1)0x k x x ⎡⎤--++=⎣⎦， 2221,2F N k x x k -∴==+，24|||2|F M F x x M k =-=+，同理得24||12FN k =+，1|2FMN S FM FN =⋅=∣228225k k⋅++，2212k k +≥=（当且仅当1k =±时，等号成立）， 令2t =≥=，则 22212k k t +=-， ()228881212252FMN t t S t t t t ∴===+-++,对于11222()y t t t t=+=+，在 [2,)+∞上是增函数， ∴当2t =时，即1k =±时，min 92y =， 812FMN S t t∴=+，FMN ∴△面积的最大值为169. 【点睛】 关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积FMN S k 228225k k ⋅++后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(-，且短轴长为2. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）4[,1]5. 【分析】（1）利用已知条件求出a ，b ，然后求解椭圆方程；（2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ∆=；()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩求出P 的坐标，然后推出Q 坐标，求解||OP ，||OQ ，求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值.【详解】（1）由题意知，221314a b +=，22b =，解得2a =，1b =， 故椭圆方程为：2214x y +=. （2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ∆=，()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得212414x k =+，2222112414k y k x k ==+，22114y x k x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩，得222244k x k =+，222222144y x k k ==+，∴OP OQ ====∴1·2OPQ S OP OQ ∆=== 又24222999012142k k k k k <=≤++++，所以415OPQ S ∆<， 综上，OPQ △面积的取值范围为4[,1]5.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线2y =的距离与到点(0,1)F -的距离之差为1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,2)M -的直线l 与C 交于A 、B 两点，若AOB 的面积为l 的方程.【答案】（1）24x y =-；（2）2y x =-或2y x =--.【分析】（1）本题首先可以设动点(,)P x y ，然后根据题意得出(2)1y -=，通过化简即可得出结果；（2）本题首先可排除直线l 斜率不存在时的情况，然后设直线方程为2y kx =-，通过联立方程并化简得出2480x kx +-=，则124x x k +=-，128x x =-，再然后根据AOB AOM BOM S S S =+得出AOB S △=AOB 的面积为.【详解】（1）设动点(,)P x y ，因为动点P 到直线2y =的距离与到点(0,1)F -的距离之差为1，所以(2)1y -=，化简可得24x y =-，故轨迹C 的方程为24x y =-.（2）当直线l 斜率不存在时，其方程为0x =，此时，l 与C 只有一个交点，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设其方程为2y kx =-，联立方程224y kx x y=-⎧⎨=-⎩，化简得2480x kx +-=，216320k ∆=+>， 令11(,)A x y 、22(,)B x y ，则124x x k +=-，128x x =-，因为AOB AOM BOM S S S =+， 所以1212111222AOB S OM x OM x OM x x △=⨯+⨯=⨯⨯-122=⨯=因为AOB 的面积为=1k =或1-，故直线l 的方程为：2y x =-或2y x =--.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，能否根据题意列出等式是求动点的轨迹方程的关键，考查韦达定理的应用，在计算时要注意斜率为0这种情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.18．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1） 求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）当914p =. 【分析】（1）由题意可得：()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程，整理得24t p =，计算可得点C 的纵坐标值为12，从而得证； （2）由题意可得：BMNAMN SS=，求得直线l 的斜率，可求得直线l '的斜率和方程，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，求得MN 的值和点A 到直线l '的距离d =，进而根据三角形的面积公式和基本不等式可求BMN △的面积的最大值，即可求解. 【详解】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得222224t t p p p -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24t p =，∴42142C p p y p -==， 故点C 的纵坐标为定值. （2）∵点C 是AB 的中点，BMNAMNSS=，设直线l 的斜率为k ，则11322k t t -==， 所以直线l '的斜率为3k t'=-， ∴直线l '的方程为1322t y x t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即32y x t=-+， 不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+， 代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12122286,2121m x x x x m m +=-=++12|MN x x =-= 点A 到直线l '的距离d =所以4412AMNSN d M =≤=⋅===解得272m =，所以229187t m ==，从而29414t p ==故当914p =时，BMN △的面积最大.关键点点睛：设出2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭结合()0,1A -，可得222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭利用点C 在抛物线上可求出24t p =，利用其计算224t pp-的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l '与直线l 的斜率互为相反数，直线l '的方程为32y x t=-+，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将BMN △的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，||4AB =.过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,D E 两点，且||1DE =.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -，且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA 与PMB △的面积之比为λ，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由椭圆性质结合通径运算即可得解；（2）设直线l 的方程为4,0x my m =->，()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组结合韦达定理得1221102,3y y y y ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再由三角形的面积公式即可得解.（1）因为||4AB =，所以24a =即2a =， 设椭圆右焦点(),0F c ，当x c =时，2by a=±=±，所以221b a =，1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 的方程为4,0x my m =->，()()1122,,,M x y N x y ，则120y y <<，由22414x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2248120m y my +-+=， ()22264484161920m m m ∆=-+=->，解得212m >，所以12284m y y m +=+，122124y y m =+， 则()()22221212221122816422212344m y y y ym m y y y y m m ⎛⎫⎪++⎝⎭+=-=-=-++ 2161022,4331m ⎛⎫=-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 所以()211,3y y ∈，所以2211112,11332PNA PMBPA y S y S y PB y λ⋅⎛⎫==⎪⎭=∈ ⎝⋅△△.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将三角形的面积比转化为213y y ，结合韦达定理即可得解.20．已知双曲线C 的标准方程为22136x y -=，12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点.（1）若点P 在双曲线的右支上，且12F PF ∆的面积为3，求点P 的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点，求线段MN 的长度.【答案】（1）⎫⎪⎪⎝⎭或1⎫-⎪⎪⎝⎭；（2）【分析】（1）由双曲线方程可得126F F =，进而可得点P 的纵坐标，代入即可得解； （2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距126F F ==， 设点(),,0P m n m >，则12121332F PF S F F n n =⋅==△，解得1n =±，代入双曲线方程可得2m =， 所以点P的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或12⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭；（2）由题意，()23,0F ，则直线:3MN y x =-， 设()()1122,,,M x y N x y ，由221363x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简可得26150x x +-=， 则126x x +=-，1215x x =-，所以MN ===21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，直线1y =与C 的两个. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分别过12,F F 作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于,A B 两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3. 【分析】(I)利用离心率及直线y =1与C 的两个交点间的距离，求出a ， b ，即可求椭圆C 的方程; （Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形21ABF F 面积的最大值. 【详解】（Ⅰ）易知椭圆过点(,1)3，所以228113a b+=，① 又12c a =，② 222a b c =+，③由①②③得24a =，23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D .与C 联立，消去x ，得22(34)690m y my +--=，2144(1)0m ∆=+>.设交点()()1122,,,A x y D x y则1212229,63434y y y y m m m ==-+++，||A D ∴== 又2F 到1l的距离为d =所以2ADFS =△.令1t =≥，则21213ADF S t r=+△， 所以当1t =时，最大值为3.又2212111111(||||)(||||)||222ADF ABF F S BF AF d AF DF d AD d S =+⋅=+⋅=⋅=△四边形 所以四边形21ABF F 面积的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：设直线1:1l x my =-，联立方程，消元后利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示三角形的面积，换元后由均值不等式可求出最值，找到四边形与三角形的关系即可解决，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的离心率为2e =，且点()21P ，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点,A B 都在椭圆C 上，且AB 的中点M 在线段OP （不包括端点）上. ①求直线AB 的斜率； ②求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22163x y +=；（2）①1-. 【分析】（1）利用离心率，点代入椭圆方程，及222a c b -=，解方程即得参数a ，b ，即得方程；（2）先利用两点坐标代入椭圆方程，再作差即求得直线AB 的斜率；设直线AB 的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB 的长度，再利用点到直线的距离公式计算AOB 的高，即得到面积，最后利用基本不等式求其最大值即可. 【详解】解：（1）离心率2c e a ==，()21P ，代入椭圆C 方程得22411a b +=，又222a c b -=，解得a b c ===C 的方程是22163x y +=；（2）①点,A B 都在椭圆C 上，设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,16363x y x y +=+=，作差得()()()()121212122x x x x y y y y +-=-+-，即()()()()1212121212y y y y x x x x +-+=--，因为1212AB y y k x x -=-，121212OP OMy y k k x x +===+，1AB k ∴=-，即直线AB 的斜率是1-； ②设直线AB 的方程是y x t =-+，联立椭圆22163x y+=得2234260x tx t -+-=，由()221612260t t ∆=-->解得33x -<<，且21212426,33t t x x x x -+==，故AB ===又O 到直线AB的距离为d =，故AOB面积22119223322t t S AB d +-=⋅==≤=，当且仅当229t t =-时，即292t =时等号成立，故AOB . 【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．23．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=212||34t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=.（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，。

F 2F 1OyxBA圆锥曲线专题 面积问题（一）【基础知识】1、弦长公式若N M 、在直线y kx m =+上，代入化简，得222121212||1(1)[()4]MN k x x k x x x x =+-=++-;2、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k -+==+00002211122'2'1ABP kx y mkx y m S AB d k A A k∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+3、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数.4、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+ 1212221''1ABCDm m m m SAB d kA A k-∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数.CDHOy xBA例1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，的左焦点(1,0)F -，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若(1,2)Q -，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求QMN ∆的面积．变式训练1：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点2F .(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为2的直线l 经过椭圆C 的左焦点1F ，且与椭圆C 相交于,A B 两点，求2ABF ∆的面积.例1.已知12,A A 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左右顶点，124A A =，椭圆C 的离心率为12．(1)求C 的方程．(2)斜率为1的直线l 与抛物线24x y =相切，且与C 相交于,M N 两点，求四边形12A MA N 的面积．变式训练1：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的下端点A 的坐标为(0,1)-，且124AF AF +=. (1)求椭圆E 的方程；(2)设B ，C 是椭圆E 上异于A 的两点，且直线BC 与坐标轴不垂直，||||AB AC =，BC 的中点为G ，求四边形12AF GF 的面积.考点二：已知面积求参例1．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的两焦点为()11,0F -和21,0F ，过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且1F AB ∆的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)若1F AB ∆的面积为7，求直线AB 的方程.变式训练1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，由C 形．(1)求C 的方程；(2)直线l 过C 的右焦点F ，且和C 交于点,A B ，设O 是坐标原点，若三角形OAB 的面积是23，求l 的方程．考点四：三角形面积最值例1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与x 的正半轴交于点()2,0P ，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过点()1,0Q 与椭圆C 交于A B ，两点，求A OB 面积的最大值并求此时的直线方程.变式训练1：已知椭圆2221x y a+=与抛物线28y x =有相同的焦点F .(1)求椭圆的方程；(2)O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值.考点五：面积比值（求解）例1．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，上顶点为H ，O 为坐标原点，230OHF ∠=︒，点3(1,)2在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，点()2,0P -，()2,0Q ．若,M N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记MPQ ，NPQ △的面积分别为MPQ S ，NPQ S △，求MPQ NPQS S △△的值．变式训练1：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，且斜率为12-的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，1B ，点P ，Q 为椭圆上异于1A ，1B 的两点，且以P ，Q 为直径的圆过点1B ，设1A PQ △，1B PQ △的面积分别为1S ，2S ，计算12S S 的值.。