高考数学复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题热点一 最值问题求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.例1 (2019·邯郸模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为E 上的一个动点，且|PF 2|的最大值为2＋3，E 的离心率与椭圆Ω：x 22＋y 28＝1的离心率相等.(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值.解 (1)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2＋3，c a＝1－28， 解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)延长MF 1交E 于点M ′， 由(1)可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设M (x 1，y 1)，M ′(x 2，y 2)，设MF 1的方程为x ＝my －3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －3，x 24＋y 2＝1得(m 2＋4)y 2－23my －1＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝23m m 2＋4，y 1y 2＝－1m 2＋4.设F 1M 与F 2N 的距离为d ， 四边形F 1F 2NM 的面积为S ，则S ＝12(|F 1M |＋|F 2N |)d ＝12(|F 1M ′|＋|F 1M |)d＝12|MM ′|d ＝2MF M S △′， 而2MF M S △′＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝43m 2＋1m 2＋4＝43m 2＋1＋3m 2＋1≤4323＝2， 当且仅当m 2＋1＝3m 2＋1， 即m ＝±2时，等号成立，故四边形F 1F 2NM 面积的最大值为2.跟踪演练1 (2019·焦作模拟)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，点A ⎝⎛⎭⎫1，12，B (1,2). (1)若直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直线MN 的斜率； (2)若直线l 2：y ＝2x ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的面积的最大值. 解 (1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，故x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 将两式相减，可得x 212＋y 21－⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为A 为线段MN 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1. 得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故直线MN 的斜率k MN ＝－1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1可得9x 2＋8tx ＋(2t 2－2)＝0， 由Δ>0可得64t 2－36(2t 2－2)>0， 解得0<t 2<9.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)由根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－8t 9，x 3x 4＝2t 2－29.∴|PQ |＝1＋22(x 3＋x 4)2－4x 3x 4 ＝5×⎝⎛⎭⎫－8t 92－4(2t 2－2)9＝2109×9－t 2. 又∵点B 到直线l 2的距离d ＝|2－2＋t |5＝|t |5，∴S △BPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×2109×9－t 2×|t |5，∵9－t 2>0， ∴S △BPQ ＝29×9－t 2×|t |＝29×(9－t 2)×t 2 ≤29×(9－t 2)＋t 22＝22， 当且仅当t 2＝92，即t ＝±322时取等号.故△BPQ 的面积的最大值为22. 热点二 范围问题圆锥曲线的范围问题的常见解法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.例2 (2019·江西九校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，A ，B ，C 是椭圆上任意三点，A ，B 关于原点对称且满足k AC ·k BC ＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为k 的直线与圆：x 2＋y 2＝1相切，与椭圆E 相交于不同的两点P ，Q ，求|PQ |≥435时，k 的取值范围.解 (1)由题可设A (x A ，y A )，B (－x A ，－y A )，C (x C ，y C )，所以⎩⎨⎧x 2A a 2＋y 2Ab2＝1，x 2C a 2＋y2C b 2＝1，两式相减得(x A －x C )(x A ＋x C )a 2＋(y A －y C )(y A ＋y C )b 2＝0，⇒(y A －y C )(x A －x C )·(y A ＋y C )(x A ＋x C )＝－b 2a 2.即k AC ·k BC ＝(y A －y C )(x A －x C )·(y A ＋y C )(x A ＋x C )＝－b 2a 2＝－12，所以a 2＝2b 2，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线方程为y ＝kx ＋m ， 交椭圆于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， Δ＝8(2k 2＋1－m 2)>0，得2k 2＋1>m 2， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.所以|PQ |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－8m 2－81＋2k 2 ＝1＋k 216k 2m 2(1＋2k 2)2－(8m 2－8)(1＋2k 2)(1＋2k 2)2＝1＋k 216k 2m 2(1＋2k 2)2－8m 2＋16m 2k 2－8－16k 2(1＋2k 2)2＝1＋k2－8m 2＋8＋16k 2(1＋2k 2)2，因为直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以d ＝|m |1＋k2＝1⇒1＋k 2＝|m |， 即m 2＝1＋k 2，代入2k 2＋1>m 2，得k ≠0. 所以|PQ |＝1＋k 2－8(1＋k 2)＋8＋16k 2(1＋2k 2)2＝1＋k 28k 2(1＋2k 2)2＝22k 4＋k 2(1＋2k 2)2，因为|PQ |≥435， 所以22k 4＋k 2(1＋2k 2)2≥435，化简得k 4＋k 2－6≥0， 即(k 2＋3)(k 2－2)≥0， 解得k 2≥2或k 2≤－3(舍). 所以k ≥2或k ≤－2，故k 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞).跟踪演练2 (2019·合肥质检)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1)求抛物线C 的方程；(2)设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求|AP |·|BQ |的取值范围.解 (1)已知M (m ,9)到焦点F 的距离为10，则点M 到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为y ＝－p 2，∴9＋p2＝10，解得p ＝2，∴抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 因为F (0,1)，则l ：y ＝kx ＋1.设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，得 x 2－4kx －4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由于抛物线C 也是函数y ＝14x 2的图象，且y ′＝12x ，则P A ：y －x 214＝12x 1(x －x 1).令y ＝0，解得x ＝12x 1，∴P ⎝⎛⎭⎫12x 1，0，从而|AP |＝14x 21(4＋x 21). 同理可得，|BQ |＝14x 22(4＋x 22)， ∴|AP |·|BQ |＝116(x 1x 2)2(4＋x 21)(4＋x 22) ＝116(x 1x 2)2[16＋4(x 21＋x 22)＋(x 1x 2)2] ＝21＋k 2. ∵k 2≥0，∴|AP |·|BQ |的取值范围为[2，＋∞). 热点三 证明问题圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.例3 (2019·南开模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A ，B ，过F 与l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C ，D ，与l 3：x ＝4交于P ，求证：直线P A ，PF ，PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列. (1)解 由题意知e ＝c a ＝12，a 24即a 2＝43b 2又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x 2＋y 2＝b 2与直线x －y ＋6＝0相切， 所以圆心到直线的距离d ＝62＝b ＝3， 所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意，知当直线l 1的斜率存在且不为0时， 设直线l 1的方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 利用根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，由题意知直线l 2的斜率为－1k ，则直线l 2的方程为y ＝－1k (x －1)，令x ＝4，得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫4，－3k ， k P A ＋k PB ＝y 1＋3k x 1－4＋y 2＋3kx 2－4＝k (x 1－1)x 1－4＋k (x 2－1)x 2－4＋3k ⎝⎛⎭⎫1x 1－4＋1x 2－4＝k ×2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋3k ×x 1＋x 2－8x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝k ×2×4k 2－124k 2＋3－5×8k 24k 2＋3＋84k 2－124k 2＋3－4×8k 24k 2＋3＋16＋3k ×8k 24k 2＋3－84k 2－124k 2＋3－4×8k 24k 2＋3＋16＝k ×036(1＋k 2)＋3k ×－24k 2－2436(1＋k 2)k 即k P A ＋k PB ＝2k PF ，当直线l 1的斜率不存在时，k P A ＋k PB ＝0，k PF ＝0，满足题意， 所以k P A ，k PF ，k PB 成等差数列.跟踪演练3 (2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线x ＝4于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上. (1)解 方法一 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵一个焦点坐标为F (1,0)， ∴另一个焦点坐标为(－1,0)， ∴由椭圆定义可知， 2a ＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.方法二 不妨设椭圆C 的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0).∵一个焦点坐标为F (1,0)，∴m －n ＝1，① 又∵点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，∴1m ＋94n＝1，② 联立方程①②，解得m ＝4，n ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可设直线MN 的方程为x ＝my ＋1， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， ∵Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)>0，∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∵直线BM 的方程可表示为y ＝y 1x 1－2(x －2)，将此方程与直线x ＝4联立， 可求得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，2y 1x 1－2，∴AN →＝(x 2＋2，y 2)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫6，2y 1x 1－2∵6y 2－(x 2＋2)·2y 1x 1－2＝6y 2(x 1－2)－2y 1(x 2＋2)x 1－2＝6y 2[(my 1＋1)－2]－2y 1[(my 2＋1)＋2](my 1＋1)－2＝4my 1y 2－6(y 1＋y 2)my 1－1＝4m ⎝⎛⎭⎫－93m 2＋4－6⎝⎛⎭⎫－6m3m 2＋4my 1－1＝0，∴AN →∥AQ →，又向量AN →和AQ →有公共点A ， 故A ，N ，Q 三点在同一条直线上.真题体验(2019·全国Ⅱ，理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值.(1)解 由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)①证明 设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1，得x ＝±21＋2k 2. 记u ＝21＋2k2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0). 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u ).由⎩⎨⎧y ＝k2(x －u )，x 24＋y22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.①设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k ，因为k PQ ·k PG ＝－1.所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形. ②解 由①得|PQ |＝2u1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝⎛⎭⎫1k ＋k 1＋2⎝⎛⎭⎫1k ＋k 2.设t ＝k ＋1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号.因为S ＝8t 1＋2t 2在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169.因此，△PQG 面积的最大值为169.押题预测已知椭圆W ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (2a ，3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形. (1)求椭圆W 的方程；(2)过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A (0,1)，另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点(不与A ，B 重合)，且D 点不与点(0，－1)重合.过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G . ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |.解 (1)由已知e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝c ，a ＝2c ，∵ △PF 1F 2为等腰三角形， ∴|F 1F 2|＝|F 2P |，则(2c )2＝(2a －c )2＋(3)2， 代入a ＝2c ，解得c ＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆W 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①由题意可得直线l 1的方程为y ＝x ＋1.与椭圆方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，可求B ⎝⎛⎭⎫－43，－13. ②当l 2与x 轴垂直时，D ，C 两点与E ，G 两点重合， 由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |. 当l 2不与x 轴垂直时，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，l 2的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y －1＝y 2－1x 2x ， 令x ＝－1，得点E 的纵坐标y E ＝x 2－y 2＋1x 2.把y 2＝k (x 2＋1)代入，得y E ＝(x 2＋1)(1－k )x 2.由已知，x 1≠－43，则直线BC 的方程为y ＋13＝y 1＋13x 1＋43⎝⎛⎭⎫x ＋43， 令x ＝－1，得点G 的纵坐标y G ＝y 1－x 1－13⎝⎛⎭⎫x 1＋43.把y 1＝k (x 1＋1)代入，得y G ＝(x 1＋1)(k －1)3x 1＋4.y E ＋y G ＝(x 2＋1)(1－k )x 2＋(x 1＋1)(k －1)3x 1＋4＝(1－k )[(x 2＋1)(3x 1＋4)－x 2(x 1＋1)]x 2·(3x 1＋4)＝(1－k )[2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4]x 2·(3x 1＋4)，把x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1代入到2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4中，2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4＝2×2k 2－22k 2＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋4＝0.即y E ＋y G ＝0，即|EF 1|＝|F 1G |.A 组 专题通关1.(2019·吉林调研)已知A ，B 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点，|AB |＝2，且离心率为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)(x 0≠0)为直线y ＝2上任意一点，P A ，PB 交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.解 (1)依题意|AB |＝2b ＝2，则b ＝1，又由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32，a 2－c 2＝1，解得a ＝2，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (t,2)(不妨设t >0)， 则直线P A 的方程为y ＝1t x ＋1，代入椭圆方程化简得t 2＋4t 2x 2＋8t x ＝0，解得x A ＝0，x 1＝－8tt 2＋4，同理x B ＝0，x 2＝24tt 2＋36，∴S 四边形ACBD ＝S △ACB ＋S △ADB ＝12|AB |·|x 2－x 1|＝32(t 3＋12t )t 4＋40t 2＋144＝32⎝⎛⎭⎫t ＋12t t 2＋144t 2＋40＝32⎝⎛⎭⎫t ＋12t ⎝⎛⎭⎫t ＋12t 2＋16，令u ＝t ＋12t≥43，当且仅当t ＝23时，取等号，则四边形ACBD 面积为g (u )＝32×u u 2＋16＝32u ＋16u ，又g (u )在[43，＋∞)上单调递减， ∴(S ABCD )max ＝g (43)＝2 3.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(－3,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM →·ON →的取值范围.解 (1)因为椭圆C 的短轴长为2， 所以2b ＝2，所以b ＝1， 又椭圆C 的离心率为32， 所以c a ＝a 2－b 2a ＝a 2－1a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意直线l 的斜率存在，可设其方程为 y ＝k (x ＋3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将y ＝k (x ＋3)代入x 24＋y 2＝1，消去y 可得(1＋4k 2)x 2＋24k 2x ＋36k 2－4＝0， 所以Δ＝(24k 2)2－4×(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 即k 2<15，且x 1＋x 2＝－24k 21＋4k 2，x 1x 2＝36k 2－41＋4k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1＋3)·k (x 2＋3)＝(1＋k 2)x 1x 2＋3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2 ＝(1＋k 2)·36k 2－41＋4k2＋3k 2·⎝⎛⎭⎫－24k 21＋4k 2＋9k 2 ＝41k 2－41＋4k 2＝－4＋57k 21＋4k 2， 因为0≤k 2<15，所以0≤57k 21＋4k 2<193，所以－4≤－4＋57k 21＋4k 2<73，所以OM →·ON →的取值范围是⎣⎡⎭⎫－4，73. 3.(2019·恩施州质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线L ：x ＝－1与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)点A 关于x 轴的对称点为D ，证明：存在实数t ∈(0,1)，使得KF →＝tKB →＋(1－t )KD →. (1)解 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为直线L ：x ＝－1， 所以－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明 易知点K 的坐标为(－1,0)， 据题意可设直线l 的方程为 x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x 整理得y 2－4my ＋4＝0，所以Δ＝16m 2－16>0，得m 2>1，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. 因为点A (x 1，y 1)关于x 轴的对称点为D ， 所以D (x 1，－y 1).则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 得y －y 2＝y 2＋y 1(my 2－1)－(my 1－1)(x －x 2)，得y －y 2＝y 2＋y 1m (y 2－y 1)(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224. 令y ＝0，得0－y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224， 得x ＝y 224－y 2·y 2－y 14＝y 22－y 22＋y 1y 24＝y 1y 24＝44＝1. 所以直线BD 恒过定点(1,0). 所以点F (1,0)在直线BD 上， 所以不妨令DF →＝tDB →(t ∈(0,1)). 因为KF →＝KD →＋DF →， 所以KF →＝KD →＋tDB →， 所以KF →＝KD →＋t (KB →－KD →)， 所以KF →＝(1－t )KD →＋tKB →. 所以存在实数t ∈(0,1)，使得KF →＝tKB →＋(1－t )KD →，命题得证.B 组 能力提高4.(2019·泰安质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点⎝⎛⎭⎫－22，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (－2,0)且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过右焦点F 的直线AF ，BF 分别交椭圆C 于点M ，N ，设AF →＝αFM →，BF →＝βFN →，α，β∈R ，求α＋β的取值范围.解 (1)由题意可得⎩⎨⎧c a ＝22，12a 2＋34b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，则椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设M (x 3，y 3)， 则AF →＝(1－x 1，－y 1)，FM →＝(x 3－1，y 3)， 由AF →＝αFM →，可得－y 1＝αy 3，则α＝－y 1y 3，当AM 与x 轴不垂直时，直线AM 的方程为 y ＝y 1x 1－1(x －1)，即x ＝(x 1－1)y ＋y 1y 1，代入曲线C 的方程x 22＋y 2＝1，整理可得(3－2x 1)y 2＋2y 1(x 1－1)y －y 21＝0，∴y 1y 3＝－y 213－2x 1，∴α＝－y 1y 3＝3－2x 1，当AM 与x 轴垂直时，A 点横坐标为x 1＝1，α＝1，显然α＝3－2x 1也成立， ∴α＝3－2x 1，同理可得β＝3－2x 2， 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，k ≠0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 22＋y 2＝1，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0， 由Δ＝(8k 2)2－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0， 解得0<k 2<12，∴x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，∴α＋β＝3－2x 1＋3－2x 2＝6－2(x 1＋x 2) ＝14－82k 2＋1∈(6,10)，即α＋β的取值范围是(6,10).5.(2019·六安模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 是椭圆E 上动点，且横坐标大于2，点B ，C 在y 轴上，(x －1)2＋y 2＝1内切于△PBC ，试判断点P 的横坐标为何值时△PBC 的面积S 最小. 解 (1)由已知a ＝2b ，b 2a ＝3，解得a ＝23，b ＝6， 故所求椭圆方程为x 212＋y 26＝1.(2)设P (x 0，y 0)(2<x 0≤23)，B (0，m )，C (0，n ). 不妨设m >n ，则直线PB 的方程为l PB ：y －m ＝y 0－mx 0x ，即(y 0－m )x －x 0y ＋x 0m ＝0， 又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1， 即|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20＝1，化简得(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0， 同理(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0，所以m ，n 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0x 0－2，则(m －n )2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2， 因为P (x 0，y 0)是椭圆上的点，所以y 20＝6⎝⎛⎭⎫1－x 2012，则(m －n )2＝2x 20－8x 0＋24(x 0－2)2，所以S 2＝14·2x 20－8x 0＋24(x 0－2)2·x 20 ＝x 20－4x 0＋122(x 0－2)2·x 20 ＝(x 0－2)2＋82(x 0－2)2·x 20， 令x 0－2＝t (0<t ≤2(3－1))， 则x 0＝t ＋2，令S 2＝f (t )＝(t 2＋8)(t ＋2)22t 2，化简可得f (t )＝12t 2＋2t ＋6＋16t ＋16t 2，则f ′(t )＝t ＋2－16t 2－32t 3＝(t ＋2)(t 3－16)t 3，令f ′(t )＝0，得t ＝232>2(3－1)， 可知当t ∈(0,2(3－1)]时，f ′(t )<0， 所以函数f (t )在(0,2(3－1)]上单调递减，当t ＝2(3－1)即点P 的横坐标为x 0＝23时，△PBC 的面积S 最小.。