圆锥曲线的面积问题(pdf版)

圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。

这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ）A. B. C. D.例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.8D.例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK △的面积是（ ）A. 4B.C.D. 8例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121P F M F F F M FP F F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -△△等于（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 1-例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IFF S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（）A.12+ B.1C. 1D. 1例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的c a 为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点 （1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的c a 为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2 （1）求椭圆C 的方程（2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=（1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQM PAM SS =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。

圆锥曲线解答题中的面积问题的解题策略圆锥曲线解答题中的面积问题主要可分为四类方法： 1、常规面积公式例1.（2021·山西运城市高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △．【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-， 因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS=⨯=， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=， 则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241my y k x x m k +=++=+． 因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==， 综上，MNP△ 解题思路：（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅即可求解. 例2.（2020·河北邯郸市高三期末）已知椭圆22:12+=x E y 长轴的左､右端点分别为12,A A ，点P 是椭圆E 上不同于12,A A 的任意一点，点Q 满足110QA PA ⋅=，220QA PA ⋅=,O 为坐标原点.（1）证明：1PA 与2PA 的斜率之积为常数，并求出点Q 的轨迹C 的方程； （2）设直线:l y x m =+与曲线C 交于()()1122,,,M x y N x y ，且12120x x y y λ+=，当λ为何值时OMN ∆的面积最大?【答案】（1）证明见解析，221(0)42y x y +=≠；（2）12λ=. 【详解】（1）设(,)(0)P x y y ≠，由已知12(A A ，2222122x x y -=-=- ，22122y x ∴=--12=-， 1211221,0,02PA PA k k QA PA QA PA ∴⋅=-⋅=⋅=，121122,,2QA QA QA PA QA PA k k ∴⊥⊥∴⋅=-，设(,)Q a b ，2=-， 即221(0)42b a b +=≠，∴轨迹C 的方程为221(0)42y x y +=≠. （2）将直线l 代入曲线C 中整理得()222223240,41240,6x mx m m m m ++-=∆=--><，()()22121212122424,,333m m m x x x x y y x m x m --∴+=-==++=，||MN O ∴==到l 的距离d =，MONS∴22126||232m m MN d -+==⨯=， 此时23m =，满足12121210,,,332x x y y λ∆>=-=∴=.解题思路：（1）设(,)(0)P x y y ≠，代入椭圆方程可得1212PA PA k k ⋅=-，再由题意可得122QA QA k k ⋅=-，设(,)Q a b ，直接列方程即可求解.（2）将直线与椭圆联立，利用韦达定理以及弦长公式求出MN ，再利用点到直线的距离公式可得O 到l 的距离d =，利用基本不等式即可求解. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直接法动点的轨迹方程，解题的关键是求出122QA QA k k ⋅=-，考查了弦长公式以及计算能力.2、正弦面积公式例3.（2021·东北三省（哈尔滨师大附中、东北师范大学、辽宁省实验中学）高三联考）过点()0,2P 作直线l 交抛物线2:4G x y =于,A B 两点，O 为坐标原点，分别过,A B 点作抛物线G 的切线，设两切线交于Q 点. （1）求证：点Q 在一定直线m 上；（2）设直线,AO BO 分别交直线m 于点,C D . （i ）求证：AOB COD S S =△△；（ii ）设AOD △的面积为1S ，BOC ∆的面积为2S ，记12P S S =+，求P 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii）【详解】（1）由题意，设:2l y kx =+，代入2:4G x y =得：2480x kx --=，216(2)0k ∆=+> 令1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,8x x k x x +==-.抛物线G 在点A 处的切线方程为：2111()42x x y x x -=-，即211()24x x y x =-，抛物线G 在点B 处的切线方程为：2222()42x x y x x -=-，即222()24x x y x =-，联立得：点Q 的坐标为1212(,)24x x x x +，即(2,2)Q k -. ∴点Q 在定直线:2m y =-上.（2）（i ）联立1:()4x AO y x =与:2m y =-得：18(,2)C x --，联立2:()4x BO y x =与:2m y =-得：28(,2)D x --， 由（1）知：218C x x x =-=， //BC y ∴轴，同理//AD y 轴，//BC AD ∴，即AOD BOC ，OA ODOC OB∴=，即OA OB OC OD ⋅=⋅且AOB DOC ∠=∠， ∴AOB COD S S =△△得证.（ii ）由（1）得：2121212()444x x y y k x x k -=+=++=+2ABCD OCDP S S=-11(||||)||22||22AD BC CD CD =+⋅-⋅⋅⋅()()12122||2||2y y CD CD =+++⋅-⎡⎤⎣⎦()221||k CD =+⋅()281k =+令t =，则t ≥2()8(1),(f t t t t =-≥2()8(31)0f t t '=->，即()f t在)+∞上递增，min P f ∴==0k =时，min P =解题思路：（2）（i ）由（1）可求得18(,2)C x --、28(,2)D x --，即可知,BC AD 都平行于y 轴即//BC AD ，进而有AODBOC ，即OA OB OC OD ⋅=⋅且AOB DOC ∠=∠，结论即得证. （ii ）由（i ）知2ABCD OCDP S S=-，结合（1）得()281P k =+，利用换元、函数与方程的思想，应用导数求其最小值即可. 【点睛】 关键点点睛：（1）由直线与抛物线的位置关系，应用韦达定理，联立切点处的切线方程求证其交点在定直线上；（2）（i ）求交点坐标并确定平行关系，根据三角形相似得OA OB OC OD ⋅=⋅，即可证结论；（ii ）应用换元法，结合函数与方程的思想，并利用导数研究函数单调性求最值.3、铅锤水平面积表达公式 ⑴过x 轴上的定点 2121y y a S -=（a 为x 轴上定长） ⑵过y 轴上的定点 2121x x a S -=（a 为y 轴上定长）例4.（2021·江西宜春市高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M12MF F △.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【详解】（1）∴3c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =+2213x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y+=-=因为2312t =≤+=，即1t =±时等号成立，所以直线l 的方程为0x y --=或0x y +=. 解题思路:（2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =+示出11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.例5.（2021·山东潍坊市·高三一模）在平面直角坐标系中，12,A A 两点的坐标分别为()()2,0,2,0-，直线12,A M A M 相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，且点P 位于x 轴上方，记直线12,AQ A P 的斜率分别为12,k k ． ①证明：12k k 为定值；②设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值．【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①证明见解析；． 【详解】（1）设点M 坐标为(),x y ， 则直线12,A M A M 的斜率分别为,,222y yx x x ≠±+-， 依题意知3224y y x x ⋅=-+-， 化简得221(2)43x y x +=≠±；（2）①设直线l 的方程为()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><，则()()()()()212121212111222122121121121121223332y x y my y my y y y y k my y y x y k x y my y my y y my y y x ---++-+=====++++-， 又221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得()2234690m y my ++-=，得122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，， 因此112221211229631343434993333434m m my y k m m m m m k y y m m -++-++++===-+-+++， 故12k k 为定值13； ②1Q 坐标为()22,x y -，则直线1PQ 方程为()121112y y y y x x x x +-=--， 令0y =解得()()()21121122112121121212121121x x y my y my y x y x y my y x xy y y y y y y y -++++=+===+++++22923414634m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-+， 即直线1PQ 恒过()4,0D 点，故11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△12113322y y =⨯-⨯123||||||2y y =-1232y y =+236||234m m =⨯+943||||m m =+4331229==， 当243m =，即m =时，等号成立， 此时1PFQ △解题思路：（2）设直线l 的方程为()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><，直接表示出斜率12,k k ，消元为关于12,y y 的式子，再根据直线与椭圆联立可得12,y y 的和、积，代入化简即可求证12k k 为定值；由题意1Q 坐标为()22,x y -，可得直线1PQ 恒过点D (4,0),11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△，化简后利用均值不等式求最值.4、四边形面积求解例6.（2021·陕西西安市西安中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，其长轴长为（1）求椭圆E 的方程；（2）直线11:l y k x =交E 于A 、C 两点，直线22:l y k x =交E 于B 、D 两点，若1212k k ⋅=-.求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2）【详解】（1）由已知得2c a a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,C x y --、()22,D x y --，联立12221222222y k x x k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩，则2121212x k =+， ()111AC x x ∴=--==，同理可得2222212x k =+， 且B 到直线1l的距离d ===，所以2ABC ABCD S S AC d ==⋅==△四边形又12211122k k k k =-⇒=-所以ABCD S =====四边形. 解题思路：（2）求出AC 以及点B 到直线AC 的距离d ，可得出四边形ABCD 的面积关于1k 、2k 的表达式，将2112k k =-代入四边形ABCD 的面积的表达式，化简即可得解.例7.（2021·安徽高三期末（理））已知D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）作圆O 的切线交曲线C 于,M N 两点，Q 为曲线C 上一动点(点,O Q 分别位于直线MN 两侧)，求四边形OMQN 的面积的最大值.【答案】（1）22194x y +=；（2）最大值为. 【详解】（1）设()00(,),,P x y D x y ，则()()00,0,0,A x B y ，由题意知||1AB =，所以2PA AB =，得()()000,2,x x y x y --=-，所以0032x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 因为22001x y +=，得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22194y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()()112212218,,,,94kn M x y N x y x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12||MN x =-=， 因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，22()194x kx m ++=，222(49)189360k x kmx m +++-=，由0∆=得2294k m +=，211||2294OMNQMNOMQN SSSMN d k =+=⨯=⨯+四边形===，可得 OMQN S 四边形随k 的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，此时(3,0)Q ， OMQN S =四边形综上所得四边形 OMQN 的面积的最大值为解题思路：（2）当直线MN 斜率存在时，设方程为y kx n =+，过Q 点与MN 平行的直线方程为y kx m =+，使得面积最大时，此直线与椭圆相切，由圆的切线，椭圆的切线可得,m k 的关系和,n k 的关系．求出原点O 到直线y kx m =+的距离d ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得MN ，然后表示出四边形OMQN 的面积为k 的函数，由函数性质求得其取值范围，再考虑直线MN 斜率不存在时，四边形的面积，两者结合可得最大值．例8.（2021·湖南长沙市长沙一中高三月考）在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，32DM DP =.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0Q -的两条相互垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ､D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）288649S ≤≤. 【详解】（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，∴3DM DP =，∴0x x =，0y y =，∴00,x x y y ==， ∴点P 在224x y +=上，∴22004x y +=，∴224x y ⎫+=⎪⎭，∴曲线C 的方程为22143x y +=.（2）①当直线AB 的倾斜角为0°，||4AB =，||3CD =，1||||62ABCD S AB CD ==四边形. 同理直线AB 的倾斜角为90︒， 1||||62ABCD S AB CD ==四边形. ②当直线AB 的倾斜角不为0°和90°， 设直线AB 的方程：1x my =-， 则直线CD 的方程为：11(0)x y m m=--≠， 联立1x my =-和22143x y +=，得()2234690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，12||AB y y =-==22216123434m m m +=⨯=⨯++，用1m -换m 得221||1243m CD m +=⨯+，∴四边形ABCD 面积22221111||||1212223443m m S AB CD m m ++==⨯⨯⨯⨯++， 令21t m =+，0m ≠，∴1t >，∴101t<<，2111727272111131413412t t S t t t t t t=⨯⨯=⨯⨯=⨯+-+-+- 21721111224t =⨯⎛⎫--++ ⎪⎝⎭， ∴288649S ≤<. ∴综上所述，288649S ≤≤. 解题思路：（1）首先设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，根据32DM DP =，得到00,x x y y ==，利用点P 在224x y +=上，求得224x y ⎫+=⎪⎭，化简出结果；（2）根据题意，分直线与坐标轴平行与否来求解，当直线与坐标轴平行时，设直线AB 的方程：1x my =-，直线CD 的方程为：11(0)x y m m=--≠，分别与曲线方程联立，求得弦长，利用对角线互相垂直时四边形的面积等于两条对角线乘积的一半，之后换元，利用基本不等式求解，结合两种情况即可得结果.【巩固训练】1.（2021·广东揭阳市高三一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点A ⎭.设椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆C 上的一个动点（异于椭圆C 的左、右端点）. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作椭圆C 的切线l ，过点1F 作l 的垂线，垂足为Q ，求21F QF ∆ 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）2. 【分析】（1）根据已知条件可得出224a c =，223b c =，再将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出c 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+，联立直线l 与椭圆C 的方程，由0∆=可得出2243m k =+，求出点Q 的坐标，可计算得出点Q 的轨迹方程，进而可求得21F QF ∆面积的最大值. 【详解】（1）由椭圆C 的离心率12c a =，可得：2214c a =，即有224a c =.再结合a 、b 、c 三者的关系可得223b c =.椭圆C的方程可化为22221 43x yc c+=，将点2A⎫⎪⎪⎭代入上述椭圆方程可得2211122c c+=.求解得21c=，所以1c=，2a=，b=椭圆C的方程为22143x y+=；（2）设直线:l y kx m=+，联立直线l与椭圆C的方程可得()2224384120k x kmx m+++-=.若直线l与椭圆C相切，可得上述方程只有一个解，即有()()()22284434120km k m∆=-+-=，化简可得2243m k=+，（*）.设点Q的坐标为(),x y，过点1F作l的垂线为()11:1l y xk=-+，联立1l与l求得211kmxk--=+，21k myk-+=+.由上式可得()()()()2222222222221111km m k k k mymxk k++-++++==++，将（*）代入上式可得224x y+=，故可知点Q的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆.P是椭圆C上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点()2,0±.21F QF ∆的面积为1212122QF F Q Q S F F y y =⋅⋅=≤△，即21F QF ∆面积的最大值为2.2.（2020·全国高三专题练习）已知抛物线22x py =(0p >)上点P 处的切线方程为10x y --=.（1）求抛物线的方程；（2）设11()A x y ，和22()B x y ，为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠，且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24x y =；（2）8. 【分析】（1）先根据导数几何意义得1x p=,再根据切点在切线上,解方程组得2p =； （2）设线段AB 中点()00,M x y ，根据斜率公式得()012142AB x k x x =+=，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线l 方程,解得C 坐标,利用点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底AB 长,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值 【详解】（1）设点200()2x P x p ，，由22x py =得22x y p=，求导得x y p '=， ∴抛物线22x py =上点P 处的切线斜率为1，切线方程为10x y --=，∴01x p =，且20102x x p--=，解得2p =， ∴抛物线的方程为24x y =；（2）设线段AB 中点00()M x y ，，则1202x x x +=，12022y y y +==， 2221021122121144()42ABx x x y y k x x x x x x --===+=--，∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--，即02(4)0x x y +-+=，∴l 过定点(0)4，，即点C 的坐标为(0)4，， 联立0022()24x y x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩⇒22002280x xx x -+-=， 得220044(28)0x x ∆=-->⇒0x -<<12|||AB x x =-==，设4(0)C ，到AB的距离||d CM ==，∴1||2ABCSAB d =⋅=8=≤=， 当且仅当22004162x x +=-，即02x =±时取等号，∴ABCS的最大值为8.【点睛】关键点睛：∴由抛物线方程的特征设点，减少参数； ∴求面积最值使用均值不等式.3.（2021·湖南常德市一中高三月考）如图，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为()1,0F ，过点F 的直线交抛物线于A ､B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记AFG ，CQG 的面积为1S ，2S .（1）若直线AB的斜率为3，求以线段AB 为直径的圆的面积； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】（1）面积为64π；（2）最小值12+，此时()2,0G . 【分析】（1）先根据焦点坐标求抛物线方程，利用焦点弦长公式求直径AB ，再求面积；（2）设()2,2A t t ，设直线AB 方程2112t x y t-=+，与抛物线方程联立，求得点B的坐标，以及点,,G C Q 的坐标，12S S 表示为关于t 的函数，换元后利用基本不等式求最值. 【详解】 解：（1）由题意得12p=，即2p =，所以，抛物线的方程为24y x =. 由已知，设直线AB的方程为)13y x =-，与抛物线方程24y x =联立方程，得 21410x x -+=，1214x x +=，所以线段12216AB x x =++=以线段AB 为直径为圆的半径为8，故面积为64π.（2）设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，重心(),G G G x y ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()13G A B C x x x x =++，()13G A B C y y y y =++， 重心G 在x 轴上，故220C t y t-+=，得211,2C t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 422222,03t t G t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而422422144422222221123222211122221223AC t t t FG y t S t t t S t t t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====----+⋅--⋅-. 令22m t =-，则0m >，122122213434S m S m m m m =-=-≥=++++.当m =时，12S S取得最小值1+()2,0G .【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键就是将面积比值表示为某一个变量的函数，本题选择的是从点()2,2A t t 入手，依次得到所要表示的量，第二个关键就是计算能力，需有比较好的化简，变形能力.4.（2021·江西新余市高三期末（理））椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH ∆的面积的最大值.【答案】（1）22195x y +=；（2）52. 【分析】（1）利用勾股定理求出12||4F F =，得2c =，根据离心率求出a ，根据,,a b c 的关系式求出b 可得椭圆C 的方程；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出||GH ，根据点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH 的距离求出三角形的高，再求出MGH ∆的面积关于m 的函数关系式，然后换元，利用对勾函数的单调性可求得最大值. 【详解】（1）连接2F T ，则F 1T ∴2F T，由题意得12||4F F ==，∴c ＝2. ∴23c e a ==，则a ＝3，b == 故椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+.∴12||y y -===∴12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++. 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH 的距离，距故∴MGH的面积为222130(1)25959m S m m +==++. 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=，∴点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥，t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，∴4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增， ∴当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12， ∴∴MGH 的面积的最大值为52.【点睛】关键点点睛：利用弦长公式和点到直线的距离公式求出MGH 的面积关于m 的函数关系式是解题关键.5.（2020·天津河北区）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两个顶点分别为点()2,0A -，()2,0B （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .证明：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）设椭圆方程，由2a =根据椭圆的离心率公式可求得c ，从而求出b ，即可写出椭圆方程；（2）根据直线的位置关系分别求出直线DE 与直线BN 的斜率及方程，联立可求得点E 的坐标，根据三角形的面积公式即可求得两三角形面积之比. 【详解】（1）焦点在x 轴上，两个顶点分别为点()2,0A -，()2,0B ，2a ∴=，c e c a ==⇒=∴2221b a c =-=， ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）设()()000,0,,D x M x y ，()000,,0N x y y ->，可得22014x y =-，直线AM 的方程为：00(2)2y y x x =++，DE AM ⊥，002DE x k y +∴=-，直线DE 的方程：()0002x y x x y +=--， 直线BN 的方程：00(2)2y y x x -=--， 直线DE 与直线BN 的方程联立可得()000002(2)2x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩， 整理为：()000002(2)2x y x x x y x +-=--，即()()220004(2)x x x y x --=-， ()()22044(2)4x x x x x ---=-，计算可得0425E x x +=， 代入直线DE 的方程可得20000002244555E x x x y y y y +--=-⋅=-=-，则54N Ey y =， 又1||||4215||||2E BDEE BDNN N BD y S y S y BD y ∆∆⋅===⋅，所以BDE ∆与BDN ∆的面积之比为定值45.37． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点坐标，再用直线的斜率公式，本题考查学生的计算能力，考查推理论证能力，属于难题.6.（2021·广西梧州市高三其他模拟（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,0A -，点B 为其上顶点，且直线AB （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求点B 的坐标，根据,a b 求椭圆方程；（2）首先设点()()0000,0,0P x y x y ><，利用点P 的坐标表示点,M N 的坐标，并利用四边形ABNM 的对角线表示四边形的面积，化简为定值. 【详解】（1）由题意，设直线AB ：()022y x -=+，令0x =，则y =(B .所以2a =，b =故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()0000,0,0P x y x y ><，且22003412x y +=，又()2,0A -，(B ，所以直线AP ：000202y x y x -+=-+， 令0x =，0022M y y x =+，则000002222M y y BM y x x +===++. 直线BP00x x -=-，令0y =，N x =，则22N AN x =+=+=所以四边形ABNM 的面积为12S BM AN =⋅012=22=00002x y y +-==所以四边形ABNM 的面积为定值 【点睛】方法点睛：解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.7.（2021·湖南永州市高三二模）某城市决定在夹角为30的两条道路EB ､EF 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB =千米，O 为AB 的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN ，其中M ，N 在椭圆上，且MN 的倾斜角为45︒，交OD 于G .（1）若3OE =千米，为了不破坏道路EF ，求椭圆长半轴长的最大值；（2）当线段OG 长为何值时，游乐区域OMN ∆的面积最大？【答案】（1；（2）当线段OG MNP △的面积最大.【分析】（1）由题可设椭圆方程为2221x y a+=，可得出直线EF 的方程为3y =+，根据题意可得直线EF 与椭圆至多只有一个交点，联立方程利用0∆≤可求出a 的（2）由题可得椭圆方程为221(0)4x y x +=≥，设(),0G m ，将直线MN 的方程()02x y m m =+<<代入椭圆，利用韦达定理表示出三角形面积可求出最值.【详解】（1）以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因为3OE =，则()0,3E ， 又EB ､EF 夹角为30，所以直线EF的方程为3y =+.又因为2AB =，则1b =， 则椭圆方程为2221x y a+=， 为了不破坏道路EF ，则直线EF 与椭圆至多只有一个交点，联立方程组22213x y a y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22221380a x x a +-+=，由于直线EF 与半椭圆至多只有一个交点，则()422271380a a a -+⋅≤，又0a >，得03a <≤当3a =时半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以max 3a =. （2）设椭圆焦距为2c ，由椭圆的离心率c a =1b =，222a b c =+，解得24a =， 所以，椭圆的方程为221(0)4x y x +=≥. 设(),0G m ，又MN 倾斜角为45︒，且交OD 于G ， 所以直线MN 的方程为()02x y m m =+<<， 由2214x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得225240y my m ++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1225y y m +=-，21245m y y -=，12y y -===，则1211122OMN S OG y y m =⨯⨯-==△，当且仅当m =OMN ∆的面积最大. 所以当线段OGMNP △的面积最大.。

直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根， 所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。

=，得223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

圆锥曲线的面积问题一、单选题1．已知12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．D ．2．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．二、解答题3．已知动点P 与平面上两定点()A 、)B 连线的斜率的积为定值12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()11,0F -，21,0F 过1F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点1)P -是椭圆C 上一点，离心率为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点(0,2)M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值.5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC 的中点坐标为⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.6．已知椭圆()2222:10x yE a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，且122F F =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN 的面积．7．已知椭圆22:143x y C +=左，右焦点分别为1F ，2F ，S 为椭圆上任意一点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）当22AF F B =时，求SA SB ⋅的最大值；（2）点M 在线段AB 上，且2AM MB =，点B 关于原点对称的点为点P ，求BPM △面积的取值范围.8．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，6过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当点1F 到直线l 的距离取最大值时，256AF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若222BF F A =，求1F AB 的面积．9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为43P 作圆222:O x y b +=的两条切线，切点分别为A B 、，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q .（1）求椭圆的方程；（2）求EOQ △面积的最小值.10．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.11．已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC面积的最小值.12．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2,1M．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0作斜率为2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求||AB 的长； （3）过点()1,0的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()11,0F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C .（1）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积.14．已知1F ，2F 是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求12F F B △的面积．15．已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． （i ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率M是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点为圆心，过1F ，2F的圆的内接正三角形的面积为2F 为焦点的抛物线()2:20M y px p =>的准线与椭圆C 的一个公共点为P，且2PF =（1）求椭圆C 和抛物线M 的方程；（2）过2F 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C 于A ，B 两点，另一条交抛物线M 于G ，H 两点，求四边形AGBH 面积的最小值.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .（i ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ii ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积20．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点且倾斜角为4π，交椭圆与A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积.一、单选题1．已知12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ） A ．24 B ．26C．D．【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得18PF =，26PF =，1210F F =，由勾股定理可得12PF PF ⊥，即可得解. 【详解】由题意，椭圆249a =，所以7a =，所以12214PF PF a +==， 又12:4:3PF PF =，所以128,6PF PF ==，因为1210F F ==，所以2221212PF PF F F +=，所以12PF PF ⊥， 故12PF F △的面积1211862422S PF PF =⋅=⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.二、解答题3．已知动点P 与平面上两定点()A 、)B 连线的斜率的积为定值12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()11,0F -，21,0F 过1F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.【答案】（1）(2212x y x +=≠；（2）43. 【分析】（1）设点(),P x y 12=-，化简可得所求轨迹方程；（2）由题意可得直线l 的方程为：1y x =+，再与椭圆方程联立方程求出交点坐标，从而可求出2MF N 的面积为121212F F y y ⋅-. 【详解】（1）设点(),P x y 12=-，整理得2212x y +=，由于x ≠所以所求动点P 的轨迹C 的方程为：(2212x y x +=≠.（2）直线l 的斜率tan 451k =︒=， 故直线l 的方程为：1y x =+，与椭圆方程联立，消去x 得：23210y y --=，∴1y =或13y =-. ∴2MF N 的面积为12121423F F y y ⋅-=. 【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点1)P -是椭圆C 上一点，离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点(0,2)M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值.【答案】（1）22184x y +=；（2）. 【分析】（1）根据点1)P -是椭圆C 上一点，，由c e a ==，且22611a b +=求解.（2 ）先求得(0,2)m 到直线l 的方程为y x m =+的距离，再将直线y x m =+代入椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式求得||AB ，再利用1||2ABM S AB d =⋅△求解. 【详解】（1）由题意可得2c e a ==，且22611a b +=，222a c b -=，解得a =2b c ==，则椭圆的方程为22184x y +=；（2）由直线l 的方程为y x m =+，则(0,2)m 到直线l的距离d =， 将直线y x m =+代入椭圆方程可得2234280x mx m ++-=， 由判别式()22Δ1612280m m =-->，解得m -< 设()11A x y ，，()22B x y ，，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式可得||AB ===1||2ABM S AB d =⋅△，||3m =，=22122m m -+≤=，当且仅当m =时取得等号.即当ABM 面积最大时，m 的值为. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长公式为AB ===(k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC 的中点坐标为33⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）32163x y +=；（2）【分析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC 的方程，联立椭圆方程，可得A ，C 的坐标.设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(14OC k k <=)，联立椭圆方程，可得B ，D 的横坐标，则()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+，(1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法､基本不等式可得所求最大值. 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，可得2211221x y a b +=，2222222x y a b +=，两式相减得2221222212y yb x x a -=--，将12x x +=12y y +=代入上式， 即2212AC b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，222a b ∴=，又c =2223a b c -==，226,3a b ∴==，则椭圆E 的方程为32163x y +=；（2）直线AC的方程为0x y -+=，联立220163x y xy⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， AC ∴=设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(44OC k k <=)，联立2226y kx x y =⎧⎨+=⎩，得()22126k x +=，则||x =， 设1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离， 所以()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+343k x x k x =-⋅-=-⋅===令140t k =->，则1(1)4k t =-，故4ABCD S =≤= 当且仅当9t t =，即3t =，12k =-时，四边形ABCD 的面积取得最大值【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较难题.6．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2）23.【分析】（1）依题意得到方程，即可求出a 、c ，再根据222a c b -=，即可求出b ，从而得解； （2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20B l F k k +=，即可求出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，设()11,M x y ，()22,N x y ，即可求出M 、N 的坐标，从而求出MN ，再利用点到直线的距离公式求出原点O 到直线l 的距离d ，最后根据12△=⨯⨯OMN S MN d 计算可得；【详解】解：（1）由题得，222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为222a c b -=，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20B l F k k +=．由（1）知，椭圆E 的方程为2212x y +=，所以()21,0F ，()0,1B -，所以210101BF k --==-，从而1l k =-，所以直线l 的方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=．联立方程2221034012x y x x x y +-=⎧⎪⇒-=⎨+=⎪⎩，解得0x =或43x =．设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨取10x =，243x =，所以当10x =，11y =；当243x =，213y =-，所以()0,1M ，41,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2241420133MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设原点O 到直线l 的距离为d ，则2d =，所以1142222332OMN S MN d =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.7．已知椭圆22:143x y C +=左，右焦点分别为1F ，2F ，S 为椭圆上任意一点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）当22AF F B =时，求SA SB ⋅的最大值；（2）点M 在线段AB 上，且2AM MB =，点B 关于原点对称的点为点P ，求BPM △面积的取值范围. 【答案】（1）274；（2）(]0,1. 【分析】（1）由22AF F B =时，2F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性，可知AB x ⊥轴，所以AB 是通径，长度为223b a=，利用()()2222SA SB SF F A SF F B ⋅=+⋅+计算可得最大值．（2）首先设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,P x y --，利用面积比得212121221133323BPM ABP AOB S S S OF y y y y ===⨯⋅-=-△△△，直线方程代入椭圆方程整理应用韦达定理得1212,y y y y +，面积S 表示为m的函数S =，设t =后变形再利用函数的单调性得取值范围．【详解】（1）当22AF F B =时，2F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性，可知AB x ⊥轴，所以22632b AB a ===，所以()()2222222222327324SA SB SF F A SF F B SF F A ⎛⎫⋅=+⋅+=--=⎪≤⎝⎭，当点S 在椭圆的左顶点时，等号成立，故SA SB ⋅的最大值为274. （2）由题可知()21,0F ，设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,P x y --， 由题意可知，212121221133323BPM ABP AOB S S S OF y y y y ===⨯⋅-=-△△△， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由根与系数的关系得122643my y m -+=+，122943y y m-=+， 所12y y -==243m ==+， 令)1t t =≥，则24413133BPMt S t t ===++△，因为()13f t t t=+在[)1,+∞上是增函数，所以()()14f t f ≥=， 所以BPM △面积的取值范围为(]0,1. 【点睛】本题考查直线与椭圆相交，考查椭圆中的面积问题，平面向量的数量积，解题方法是“设而不求”的思想方法．直线方程（设出）与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，再代入其他条件求解．8．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当点1F 到直线l的距离取最大值时，2AF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若222BF F A =，求1F AB 的面积．【答案】（1）22165x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得226b AF a ==，再由2222221c b e a a ==-=⎝⎭，求出26a =，25b =，即可求解.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将直线与椭圆方程联立消去x ，求出12,y y ，再由222BF F A =可得212y y =-求出m ，由121212S F F y y =⋅-即可求解. 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，当点1F 到直线l 的距离取最大值时，l x ⊥轴，此时22b AF a ==又椭圆C 的离心率e =，所以22222216c b e a a ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得26a =，25b =，所以椭圆C 的标准方程为22165x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+． 代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，>0∆，解得m ∈R ，由韦达定理得1221056my y m -+=+，①1222556y y m -=+，②若222BF F A =，则()()22111,21,x y x y --=-， 所以212y y =-， 代入①②得121056m y m =+，21225256y m =+， 消去1y ，得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，所以121335268y y y -==⨯=⨯+，所以1F AB 的面积为121211222S F F y y =⋅-=⨯=． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于难题.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为4，离心率为2，过椭圆上一点P 作圆222:O x y b +=的两条切线，切点分别为A B 、，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q .（1）求椭圆的方程； （2）求EOQ △面积的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）12. 【分析】（1）利用已知条件求出,a b ，即可得到结果；（2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，利用0,0OA AP OB BP ⋅=⋅=，得到,A B 所在的直线方程，求出点,E Q 的坐标，即可得出EOQ △面积，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）依题意，24,a =得2,a =1.2c e c b a ==∴== ∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ， 直线,AP BP 为圆O 的两切线， 圆O 方程为：221x y +=.∴0OA AP ⋅=，010111(,),(,)AP x x y y OA x y =--=，∴101101()()0OA AP x x x y y y ⋅=-+-=，得到：221010111x x y y x y ⋅+⋅=+=，即10101x x y y ⋅+⋅=， 同理可得20201x x y y ⋅+⋅=，所以点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足直线方程001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 方程为：001x x y y ⋅+⋅=. 令0,x =得Q 点坐标为01(0,)y ， 令0,y =得E 点坐标为01(,0)x ， 所以00112EOQ S x y =⋅△，因为P 在椭圆上，有022014x y +=，所以0220001,4x y x y =+≥⋅得001 1.x y ≥⋅ 即EOQ S △最小值为12，当00|2|||x y ==. 所以EOQ △面积的最小值为12. 【点睛】关键点点睛：把平面解析几何中的垂直问题转换为向量问题求解，进而求出直线的方程，得到交点坐标，利用面积公式以及基本不等式求解最值.属于中档题.10．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【分析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，可得出4MP NP MN +=>，符合椭圆的定义，可知曲线C 是以M 、N 为焦点的椭圆，由此可得出曲线C 的方程；（2）设直线2l 的方程为1x ty =+，设点()11,D x y 、()22,E x y ，将直线2l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出DE ，同理得出AB ，并计算出两平行直线1l 、2l 的距离，可得出四边形ABDE 的面积关于t 的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形ABDE 面积的最大值. 【详解】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+， 同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.11．已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC面积的最小值.【答案】（1）22y x =（2）8 【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线MN 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得2a =，进而得到抛物线方程；（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，直线PB 的方程为00y by b x x --=，由直线与圆相切的条件：d r =，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-， 联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=， 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，所以抛物线的方程为2:2y x Γ=（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=化简得：()0000y b x x y x b --+=， 圆心()1,0到直线PB 的距离为1，1=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，所以,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -⇒+=-，()()220002020042()22x y x x bc b c x x +--=⇒-=--， 由条件：2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ⇒-=⇒-=-- ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号. ∴PBC 面积的最小值为8. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d r =，以及基本不等式的运用，属于中档题.12．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)M．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0作斜率为2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求||AB 的长； （3）过点()1,0的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值．【答案】（1）22142x y +=；（2；（3）2【分析】（1）由题意，可列出方程组得22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，即可求出椭圆方程；（2）直线:22l y x =-，联立222422x y y x ⎧+=⎨=-⎩，整理得291640x x -+=，写出韦达定理，最后利用椭圆弦长公式能求出||AB 的长；（3）当直线l 的斜率不存在时，直线l x ⊥轴，分别求出A ，B 的坐标，根据12112S y y =-⨯求出OAB 的面积；当直线l 的斜率存在，且不为0时，可得直线l 的方程为：1x my =+，与椭圆的方程联立，得()222230m y my ++-=，写出韦达定理12y y +和12y y ，再根据12112S y y =-⨯=OAB 的面积，最后根据双勾函数的性质求出面积的取值范围，综合即可得出OAB 的面积的最大值. 【详解】解：（1）由题可知，椭圆C，且椭圆过点)M ，则222222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：24a =，222c b ==， 故椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）过点(1,0)作斜率为2直线l ，∴直线:22l y x =-，联立2214222x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：291640x x -+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12169x x +=，1249x x =， 2221212216164||()4535999AB x x x x ∴=+-=-=；（3）由于直线l 过点()1,0直线l ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l x ⊥轴，此时将1x =代入22142x y +=，解得：2y =±， 即A ，B的坐标分别为,1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 则OAB的面积为：1211122S y y =-⨯==当直线l 的斜率存在，且不为0时，可设直线l 的方程为：1x my =+，联立221421x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()222230m y my ++-=， 则12122223,11m y y y y m m --+==++， 而OAB 的面积为：12112S y y =-⨯=即S ==221222m m ==⨯=++令t =>2246t m =+，得 2264t m -=，所以(224426224t t S t t t t t ====>-+++， 由于t >23t t +>=，则(422S t t t=<=>+ 所以综上得：2S ≤，所以OAB 的面积最大值为2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，解题关键是根据离心率和椭圆的简单几何性质，找到关于,,a b c 的等量关系，考查椭圆弦长的求法以及根据直线与椭圆的位置关系和应用韦达定理求出12y y +和12y y ，从而解决椭圆中三角形面积的最值问题，考查分析解题能力和函数与方程的思想，属于难题.13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()11,0F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C .（1）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积. 【答案】（1）22198x y ；（2）43. 【分析】（1）由题意，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -，由左焦点为()11,0F -，得1c =，从而可得直线1BF ：y bx b =+，然后将点,22a b M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的坐标代入直线方程可求出3a =，再由22221a b c b =+=+可求出b 的值，从而可得椭圆方程；（2）由题意可得椭圆方程为2212x y +=，直线1BF ：1y x =+，两方程联立方程组可求得点41,33D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而可求得三角形2BDF 的面积为1212B D S F F y y =⋅-【详解】解：（1）由题意，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -，又()11,0F -，所以1c =，直线1BF ：y bx b =+. M 为AC 的中点，所以,22a b M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 代入直线1BF ：y bx b =+，则3a =，由22221a b c b =+=+，所以28b =，29a =， 所以椭圆E 的标准方程是22198x y .（2）因为直线1BF 的斜率为1，则1b c ==，a =M ：2212x y +=，又直线1BF ：1y x =+，由22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得0x =（舍），或43x =-，所以41,33D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为()11,0F -，21,0F ，()0,1B ， 所以三角形2BDF 的面积为121114212233B D S F F y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯--= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题14．已知1F ，2F 是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求12F F B △的面积．【答案】（1）12(F F，e =（2【分析】（1）根据椭圆的方程求出2,a c ==C 的焦点坐标和离心率；； （2）先写出直线l 的方程，再与椭圆联立求出点B 的坐标，进而求出△12F F B 的面积． 【详解】（1）因为椭圆方程为22142x y +=，所以，2,a c =焦点坐标分别为12(F F ，离心率2c e a ==． （2）椭圆C 的左顶点为(2,0)A -，直线l 的方程为2y x =+，由222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理可得：23840x x ++=，解得1222,3x x =-=-，所以点B 坐标为24(,)33-，所以12121414||23233F F BSF F =⨯⨯=⨯=． 【点睛】本题考查求椭圆的标准形式及直线与椭圆的综合，以及三角形的面积公式的应用，属于基础题．15．已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． （i ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值．【答案】（Ⅰ）准线方程是12x =-，抛物线的焦点到准线的距离为1．（Ⅱ）（i ）(2,0)M -．（ii）【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义直接得出结论；（Ⅱ）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，设AB l ：2x my =+，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和OAM OAB S S +△△，结合基本不等式可得． 【详解】（Ⅰ）由题意22p =，1p =，所以准线方程是12x =-，抛物线的焦点到准线的距离（Ⅱ）（i ）令1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -，且令10y >， 令AB l ：2x my =+，由222x my y x=+⎧⎨=⎩，得2240y my --=， 所以122y y m +=，124y y =-， 则直线AD 的方程为21212111112121221()()()()2y y y y y y x x x x x y x x m y y y y ++-=-=-=----，当0y =时，21211()()2y y y x y --=-，所以122y y x =，又124y y =-，所以2x =-，即(2,0)M -． （ii ）1122OAM S y =⨯⋅△，12112222OAB S y y =⨯⋅+⨯⋅△， 则1121142OAM OAB S S y y y y y -+=++=+△△1142y y =+≥=当且仅当1142y y =，即1y =所以面积之和的最小值为． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，考查了学生运算求解能力，属于中档题．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率M是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为8.（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合离心率可求得c 的值，根据a 、b 、c 的关系可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）计算出点P 的坐标为()2,1，可得出直线OP 的斜率为12，可设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理并求得AB ，求出点P 到直线l 的距离d ，由已知条件得出4PAB PAQB S S =△四边形，然后利用基本不等式可求得四边形PAQB 面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的定义及1242MF MF +=，得242a =，即22a =. 设椭圆半焦距为c ，因为3c a =，所以36c a ==，则2222b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得2202182y +=，00y >，可得01y =，即点()2,1P ，所以12OP k =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，联立2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理可得222240x tx t ++-=， 由()()2224424440t t t∆=-⋅-=->，又0t ≠，则204t<<，且122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长()()221212114544AB x x x x t =++-=-P 到直线AB 的距离为d，则d ==设Q 到直线AB 的距离为d '，由3PD DQ =得3PD DQ =，所以3d d '=， 所以113322QAB PAB S d AB d AB S '==⋅=△△，所以422PAB QAB PAB PAQB S S S S d AB ===+=△△△四边形224482t t +-=≤⨯=，当且仅当22t =时，等号成立， 因此，四边形PAQB 面积的最大值为8. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积【答案】（1）221369x y +=；（2）12k A F F S =△． 【分析】（1）根据离心率以及椭圆定义求解出,a c 的值，即可求解出2b 的值，则椭圆G 方程可求；（2）将圆的一般方程化简为标准方程，即可求解出圆心k A 的坐标，根据121212k K A F F A S F F y ⨯⨯=△即可求解出12k A F F 的面积.【详解】（1）设椭圆G 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，设半焦距为c，则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴22236279b a c =-=-=，所求椭圆G 的方程为：221369x y +=；（2）圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈，即()()222225x k y k ++-=+，则点k A 的坐标为(),2k -，则1212112222k A F F S F F ⨯⨯=⨯==△ 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及由圆的方程确定圆心，主要考查学生的基本计算能力，难度一般.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点为圆心，过1F ，2F的圆的内接正三角形的面积为2F 为焦点的抛物线()2:20M y px p =>的准线与椭圆C 的一个公共点为P，且2PF =（1）求椭圆C 和抛物线M 的方程；（2）过2F 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C 于A ，B 两点，另一条交抛物线M 于G ，H 两点，求四边形AGBH 面积的最小值.【答案】（1）22:184x y C +=；2:8M y x =；（2）()minAGBHS =四边形.【分析】（1）根据三角形的面积求解出c 的值，从而抛物线方程可求，再求解出1PF 的长度，并根据椭圆的定义求解出a 的值，从而椭圆的方程可求；（2）分直线的斜率0k =和0k ≠讨论：当0k =时直接计算；当0k ≠时分别联立直线与椭圆、抛物线，利用弦长公式表示出,AB GH ，根据12AGBH S AB GH =四边形求解出四边形AGBH 面积的最小值. 【详解】（1）圆O 半径为c，故内接正三角形的面积为2324c c =⇒= ∴22p=，即2:8M y x =又2PF =124F F =，故1PF =∴122a PF PF a =+==2224b a c =-=∴椭圆22:184x y C +=. （2）由已知得直线AB 的斜率存在，记为k（i ）当0k =时，AB =8GH =，故AGBH S =四边形（ii ）当0k ≠时，设():2AB y k x =-，代入2228x y +=，得：()2222128880k xk x k +-+-=∴22112k AB k +==+.此时，()1:2GH y x k=--，代入28y x =得：()228440x k x -++=∴()281GH k ==+.∴()2242211121212AGBHk k SAB GH k k +⎫===+>⎪++⎭四边形综上，()minAGBH S =四边形.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到椭圆和抛物线的方程求解、直线与圆锥曲线交点围成面积的最值，对学生的计算能力要求较高，难度一般.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点P ⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .（i ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ii ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）见解析，（ii ）85 【分析】（1）根据题意2a =，将点P ⎭代入椭圆方程即可求解.（2）（i ）利用分析法，只需证直线PQ的方程为x =或y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可，设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，消y ，利用韦达定理求出0PA PB k k +=即可证出；（ii ）可知直线AP和BP 的倾斜角应该分别为45︒，135︒，即斜率分别为1和-1，不妨令1PA k =，1PB k =-，求出直线PA 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点A 的坐标，同理求出点B ，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）解：2a =，将2P ⎭代入椭圆方程，得222214b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）（i ）证明：∵PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行， 即证明直线PQ的方程为x2y =， 只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可. 当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B为2-⎭， 经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，12PA PBy y k k --+=((1221y x y x ⎛⎛+ =，((1221y x y x ⎛⎛+-⎝⎭⎝⎭))121212212x x y y x y x y =++++)121212************x x x m x m x x m x x m ⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭(()12122m x x x x =-+++(()222220m m m =-+-+-=，得证.（ii ）解：若AP BP ⊥，即90APB ∠=︒，则可知直线AP 和BP 的倾斜角应该分别为45︒，135︒， 即斜率分别为1和-1，不妨就令1PA k =，1PB k =-， 则PA l：y x -=y x =，22214520x y x y x ⎧+=⎪⎪⇒--=⎨⎪=⎪⎩，已知x =125=-，∴15x =-，∴510A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，同理，可得,510B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，AB == 因为A P B x x x <<，故PQ 的方程只能是x .设直线l 的倾斜角为α，与PQ 所成角为θ，故90αθ+=︒， 而1tan 2α=，故tan2θ=，∴sin 5θ=，又PQ =1sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅182555=⨯=. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了运算求解能力，属于难题.20．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点且倾斜角为4π，交椭圆与A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程组，求解从而求得椭圆的方程；（2）结合（1），写出椭圆的左焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，联立方程组，利用弦长公式求得247AB =，利用点到直线的距离求得2h =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）由题，2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由（1）知椭圆左焦点1(1,0)F -， 直线l 的斜率tan14πk ==，∴直线l 的方程为10x y -+=. 设()11,A x y ､()22,B x y ，联立椭圆和直线方程2214310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩。

圆锥曲线之面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

当且仅当2219k k=，即k =时等号成立。

当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =。

∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。

2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BD xx k x x x x⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S ．综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25．。

F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。

圆锥曲线中的三⾓形⾯积圆锥曲线同步拔⾼，难度4颗星！知识剖析焦点三⾓形⾯积椭圆x2a2+y2b2=1的焦点三⾓形△PF1F2⾯积S=b2tan∠P2，双曲线x2a2−y2b2=1的焦点三⾓形△PF1F2⾯积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).直线与圆锥曲线中的三⾓形⾯积(以下以椭圆为例)通法：底×⾼÷2S△=12×底×⾼，适合⼀切题型，属于通法，但计算量会⼤些，如图，S△PAB=12⋅AB⋅PC(其中底为弦长AB，⾼为点P到直线AB的距离)两边之积×夹⾓正弦值÷2S△=12ab sin C，适合边⾓已知的题型割补法适合三⾓形某⼀顶点在坐标轴上的题型情况1 同边如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}+S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot|y_A |+\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot|y_B |=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot |y_A-y_B |当A,B是在x轴同侧时，S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}-S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot |y_A |-\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_B |=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_A-y_B | {\color{Red}{PS }}不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_A-y_B |依然成⽴.若点在y轴类似可得S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |x_A-x_B |.情况2 利⽤倾斜⾓如图，点P在x轴上，直线AB的倾斜⾓为\theta，当A,B是在x轴异侧时，.S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}+S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AC\cdot sin(π-θ)+\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot BC\cdot sinθ=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ当A,B是在x轴同侧时，.S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}-S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AC\cdot sinθ-\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot BC\cdot sinθ=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ{\color{Red}{PS }}不管A,B是在x轴同侧还是异侧，公式S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ依然成⽴.(点在轴类似)经典例题焦点三⾓形⾯积【典题1】设双曲线C : x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的左、右焦点分别为F _ { 1 } , F _ { 2 }，P是C上⼀点，且F_1 P⊥F_2 P，若△PF_1 F_2的⾯积为4，则离⼼率e=\underline{\quad \quad } .【解析】{\color{Red}{⽅法⼀ }}由题意可知a=1，设|PF_2 |=m ,|PF_1 |=n，可得|m－n|=2∵△PF_1 F_2的⾯积为4∴\dfrac{1}{2} mn=4⇒mn=8{\color{Red}{(遇到焦点三⾓形△PF_1F_2，想到定义和解三⾓形的内容)}}∵F_1 P⊥F_2 P∴m^2+n^2=4c^2∴(m-n)^2+2mn=4c^2⇒4c^2=4+16=20⇒c=\sqrt 5∴e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 5 }.{\color{Red}{⽅法⼆ }}由双曲线焦点三⾓形⾯积公式S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac {\angle P } { 2 } }，{\color{Red}{(椭圆焦点三⾓形⾯积公式S= b ^ { 2 } \tan \dfrac { \angle P } { 2 } ) }}由题意可知\dfrac{b^2}{tan45°}=4，∴b=2⼜∵a=1，∴c=\sqrt5，∴e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 5 }.两边之积×夹⾓正弦值÷2【典题2】已知直线l与双曲线E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的两条渐近线分别交于A(x_1 ,y_1 )、B(x_2 ,y_2)两点，且x_1 x_2>0，若\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4，且△AOB的⾯积为2\sqrt3，则E的离⼼率为\underline{\quad \quad }.【解析】∵\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4，S _ { \triangle A O B } = 2 \sqrt { 3 }，∴\begin{cases} { Q A \cdot O B \cdot \cos \angle A O B = - 4 } \\ { \dfrac { 1 } { 2 } O A \cdot O B \cdot \sin\angle A O B = 2 \sqrt { 3 } }\end{cases}，∴tan∠AOB=-\sqrt3,∴∠AOB=120°，故∠AOx=60°, ⼜直线OA⽅程为y=\dfrac{b}{a} x,∴ \dfrac { b } { a } = \tan 60 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }，即b=\sqrt 3 a，∴e = \dfrac { c } { a } = 2.【点拨】本题对“\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4”的处理是⽤数量积的定义得到OA⋅OB⋅cos∠AOB=-4，⽽△AOB的⾯积⽤到S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}⋅OA⋅OB⋅sin∠AOB⽐较合理.通法与割补法【典题3】已知双曲线\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为2，焦点到渐近线的距离等于\sqrt3，过右焦点F_2的直线l交双曲线于A、B两点，F_1为左焦点．(1) 求双曲线的⽅程；(2) 若△F_1 AB的⾯积等于6\sqrt2，求直线l的⽅程．【解析】(1)过程略，x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1.(2) {\color{Red}{ ⽅法⼀}}设A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 )，当直线l的斜率不存在，则直线l的⽅程x=2，此时易得S_{△F_1 AB}=12≠6\sqrt2，故可设直线l的⽅程为y=k(x-2)，由\begin{cases} { y = k ( x - 2 ) } \\ { x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \end{cases}，得(k^2-3) x^2-4k^2 x+4k^2+3=0，∵有两个交点，∴k≠±\sqrt3，且x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 4 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - 3 },x _ { 1 } x _ { 2 } = \dfrac { 4 x ^ { 2 } + 3 } { k ^ { 2 } - 3 }，| A B | = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } }= \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 6 \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { k ^ { 2 } - 3 }= \dfrac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { k ^ { 2 } - 3 },∵F_1 (-2 ,0)到直线l的距离d = \dfrac { 4 | k | } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }，∴△F_1 AB的⾯积S = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot d \cdot | A B | = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot \dfrac { 4|k| } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \cdot \dfrac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { k ^ { 2 } - 3 }12 | k | \cdot \dfrac { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { k ^ { 2 } - 3 } = 6 \sqrt { 2 }，{\color{Red}{(利⽤三⾓形⾯积公式S_Δ=\dfrac { 1 } { 2 } ×底×⾼) }}∴k^4+8k^2-9=0，解得k=±1，∴所以直线l的⽅程为y=±(x-2)．{\color{Red}{⽅法⼆ }}设A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 )，同⽅法⼀可得k≠±\sqrt3，且x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 4 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - 3 }，∴|y_1－y_2 |=|k(x_1－x_2 )|= | k | \cdot \dfrac { \sqrt { ( 4 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( k ^ { 2 } - 3 ) ( 4 k ^ { 2 } + 3 ) } } { | k ^ { 2 } - 3 | } = \dfrac { 6 | k | \sqrt{ | k ^ { 2 } + 1 } } { | k ^ { 2 } - 3 | }，∴△F_1 AB的⾯积S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |12 \cdot \dfrac { | k | \cdot | \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { | k ^ { 2 } - 3 | } = 6 \sqrt { 2 }，{\color{Red}{(由于点F_1在x轴，利⽤S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |) }}化简得k^4+8k^2－9=0，解之得k^2=1，∴k=±1，得直线l的⽅程为y=±(x-2)【点拨】①注意分类讨论直线l的斜率是否存在；②因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式Δ是否⼤于0，但要注意k^2－3≠0⇒k≠±\sqrt3；③第⼆问⽅法⼀是利⽤三⾓形⾯积公式S_Δ=\dfrac { 1 } { 2 } ×底×⾼，得S=\dfrac { 1 } { 2 } \cdot |AB|\cdot d，其中以弦长AB为底，点F_1到直线AB的距离为⾼；⽅法⼆利⽤分拆三⾓形的⽅法得S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |，此时要理解“不管AB是在x轴同侧还是异侧，公式依然成⽴”.【典题4】过抛物线C：y^2=2px(p>0)的焦点F且倾斜⾓为\dfrac{π}{3}的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且|AF|=|FC| ,|BC|=2．(1)求抛物线C的⽅程；(2)直线l交抛物线C于D、E两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M, 若\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE}=4，求S_{△DFO}+S_{△DOE}的最⼩值．【解析】(1)过点A作抛物线准线的垂线，垂⾜为A_1，过点B作准线的垂线，垂⾜为B_1，设准线与x轴交于点G，如图所⽰，∵∠AFx=∠CBB_1=\dfrac{π}{3} ,BC=2，∴BB_1=1，∴BF=1，⼜点F为AC的中点，∴AF=CF=BC+BF=3，∴|GF|=\dfrac { 1 } { 2 } |AA_1 |=\dfrac { 1 } { 2 } |AF|=\dfrac { 3 } { 2 } ，∴p=\dfrac { 3 } { 2 }，所以抛物线C的⽅程为y^2=3x．{\color{Red}{(注意抛物线定义和平⼏知识的运⽤) }}(2)设D(x_1 ,y_1),E(x_2 ,y_2), 设y_1>0 ,y_2<0，l_{DE}：x=my+t，{\color{Red}{ (这样设⽅程计算简便些)}}联⽴得⽅程组\begin{cases} { x = m y + t } \\ { y ^ { 2 } = 3 x } \end{cases}，得y^2-3my-3t=0，\begin{cases} { y _ { 1 } + y _ { 2 } = 3 m } \\ { y _ { 1 } y _ { 2 } = - 3 t } \end{cases}，∴\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE}=x_1 x_2+y_1 y_2=\dfrac{y_1^2⋅y_2^2}{9}+y_1 y_2=4，{\color{Red}{ (曲线代换：利⽤抛物线⽅程消“x_1 x_2”)}}∴y_1 y_2=3(舍去)或y_1 y_2=－12，∴－3t=－12，∴t=4，即M(4 ,0)，S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E } = \dfrac { 1 } { 2 } | O F | \cdot y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } | O M | \cdot ( y _ { 1 } - y _ { 2 } )= \dfrac { 3 } { 8 } y _ { 1 } + 2 ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = \dfrac { 19 } { 8 } y _ { 1 } + ( -2 y _ { 2 } )\ge 2 \sqrt { \dfrac { 19 } { 8 } \times 2 | y _ { 1 } y _ { 2 } | } = 2 \sqrt { \dfrac { 19 } { 4 } \times 12 } = 2 \sqrt { 57 }，(当且仅当\dfrac{19}{8} y_1=-2y_2，即y _ { 1 } = \dfrac { 8 \sqrt { 57 } } { 19 } , y _ { 2 } = - \dfrac { \sqrt { 57 } } { 2 }时，取到等号)所以S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E }的最⼩值为2 \sqrt { 57 }．【点拨】在抛物线上设直线⽅程为l_{DE}：x=my+t较为常见，同时也配合上三⾓形⾯积S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E } = \dfrac { 1 } { 2 } | O F | \cdot y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } | O M | \cdot ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ).【典题5】已知A、B是椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M ,N，交直线x=4于点P，且直线PA、PF、PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交x轴于T点(1)求椭圆C的⽅程；(2)求△MNT的⾯积的最⼤值.【解析】(1)由题意知a=2，A(-2 ,0)，设P(4 ,y_0 ) ,F(c ,0)，k _ { P A } = \dfrac { y _ { 0 } } { 6 } , k _ { P B } = \dfrac { y _ { 0 } } { 2 } , k _ { P F } = \dfrac { y _ { 0 } } { 4 - C },依题意可知\dfrac { 2 y _ { 0 } } { 4 - c } = \dfrac { y _ { 0 } } { 6 } + \dfrac { y _ { 0 } } { 2 }，解得c=1,∴b^2=a^2-c^2=3，∴椭圆C的⽅程\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1.(2)设R(x_1 ,y_1 ),Q(x_2 ,y_2)，∵R和Q的横坐标之和为2,∴x_1+x_2=2，∵R、Q均在椭圆上，\dfrac { x _1^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 } = 1①\dfrac { x _2^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 3 } = 1②{\color{Red}{(点差法) }}① - ②得\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = - \dfrac { 3 } { 2 ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) }，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR=TQ，即\sqrt { ( t - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { ( t - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } }，化简得2 t = 2 + \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } }= 2 + ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) \dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = 2 - \dfrac { 3 } { 2 } = \dfrac { 1 } { 2 }，∴ t = \dfrac { 1 } { 4 }，即T(\dfrac { 1 } { 4 },0).设M(x_3 ,y_3 ),N(x_4 ,y_4)，直线MN:x=my+1与椭圆联⽴可得(3m^2+4) y^2+6my-9=0，y _ { 3 } + y _ { 4 } = \dfrac { 6 m } { 3 m ^ { 2 } + 4 } , y _ { 3 } y _ { 4 } = - \dfrac { 9 } { 3 m ^ { 2 } + 4 }，{\color{Red}{(因为直线MN过椭圆内⼀点F，故m可取全体实数R，不需要考虑判别式Δ>0) }}| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^ { 2 } = ( y _ { 3 } + y _ { 4 } ) ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } y _ { 4 }= \dfrac { 36 m ^ { 2 } } { ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } } + \dfrac { 36 } { 3 m ^ { 2 } + 4 } = 144 \dfrac { m ^ { 2 } + 1 } { ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } }，令n=m^2+1≥1，{\color{Red}{(使⽤换元法降次，化难为简，函数思想注意⾃变量的取值范围) }}则| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^ { 2 } = 144 \cdot \dfrac { n } { ( 3 n + 1 ) ^ { 2 } } = 144 \cdot \dfrac { 1 } { 9 n + \dfrac { 1 } { n } + 6 }∵ y = 9 n + \dfrac { 1 } { n }在[1 ,+∞)是递增的，∴y_{min}=10，{\color{Red}{(由对勾函数图像易得，由于n∈[1 ,+∞)不能⽤基本不等式) }}| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^2_ { m a x } = 144 \cdot \dfrac { 1 } { 10 + 6 } = 9，即|y_3-y_4 |_{max}=3，故S _ { m a x } = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot F T ^ { \prime } \cdot | y _ { 3 } - y _ { 4 }|_{m a x} = \dfrac { 1 } { 2 } \times \dfrac { 3 } { 4 } \times 3 = \dfrac { 9 } { 8 }.【点拨】① “R和Q的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ⽅程导致计算量增⼤；②本题最重要的想法是求△MNT的⾯积，⽤到了公式S=\dfrac{1}{2} \cdot FT \cdot|y_3-y_4 |，同时设直线⽅程为MN:x=my+1，联⽴⽅程时消x得到y的⼀元⼆次⽅程较易得到|y_3-y_4 |的表达式，⼤⼤减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④求函数形如y = \dfrac { a _ { 1 } x ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意⾃变量的取值范围，这是常考的题型.巩固练习1(★★)设F_1 ,F_2是椭圆\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 6 } = 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF_1 |：|PF_2 |=2：1，则△F_1 PF_2的⾯积等于\underline{\quad \quad }.2(★★)过双曲线\dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } - y ^ { 2 } = 1的右焦点F，作倾斜⾓为60°的直线l, 交双曲线的渐近线于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的⾯积为\underline{\quad \quad }.3(★★)抛物线C：y^2=8x的焦点为F，N为准线上⼀点，M为y轴上⼀点，且\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NF}=0，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的⾯积为\underline{\quad \quad }.4(★★)已知双曲线C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为\sqrt5，虚轴长为4．(1)求双曲线的标准⽅程；(2)过点(0 ,1)，倾斜⾓为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求ΔOAB的⾯积．5(★★)椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } +\dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )过点A ( 1 , \dfrac { 3 } { 2 } )，离⼼率为\dfrac {1 } { 2 }，左、右焦点分别为F_1,F_2，过F_1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的⽅程；(2)当△F_2 CD的⾯积为\dfrac { 12 \sqrt { 2 } } { 7 }时，求直线的⽅程．6(★★★)如图，设椭圆的中⼼为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F_1 ,F_2，线段OF_1 ,OF_2的中点分别为B_1,B_2，且△AB_1 B_2是⾯积为4的直⾓三⾓形．(1)求该椭圆的离⼼率和标准⽅程；(2)过B_1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB_2⊥QB_2，求△PB_2 Q的⾯积．7(★★★)已知椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } +\dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为\dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }，F是椭圆的焦点，点A(0 ,－2)，直线AF的斜率为\dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }，O为坐标原点．(1)求椭圆C的⽅程；(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的⾯积最⼤时，求l的⽅程．8(★★★★)已知双曲线C的⼀个焦点为(-\sqrt5 ,0)，且过点Q(2\sqrt5 ,2)．如图，F_1，F_2为双曲线的左、右焦点，动点P(x_0 ,y_0)(y_0≥1)在C的右⽀上，且∠F_1 PF_2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(-\sqrt5<m<\sqrt5)、N，设过点F_1,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准⽅程；(2) 求△F_2 DE的⾯积最⼤值．答案2 \sqrt {3 }\dfrac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 }6 \sqrt { 2 }x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 \quad ( 2 ) \dfrac { 4 } { 3 }( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1( 2 ) x - y + 1 = 0 或 x + y + 1 = 0( 1 ) e = \dfrac { 2 } { 5 } , \dfrac { x ^ { 2 } } { 20 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\quad ( 2 ) \dfrac { 16 } { 9 } \sqrt { 10 }(1)\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1\quad ( 2 )y = \pm \dfrac { \sqrt { 7 } } { 2 } x - 2Processing math: 5%( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1 \quad ( 2 ) 4 \sqrt { 30 }。

02圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）．（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算．这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x ya b a b -=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________． 思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等．且四边形12PFQF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PFQF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p S F F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大．即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大．由2214x y +=可知2,1,a b c ===，所以()())120,1,,P F F ，进而计算出12PF PF ⋅的值为2-例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为-12PF F 的面积是___________．思路：将椭圆化为标准方程为22110064x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，设(),P x y ，则有26PF y k x ==--所以221625160060x y yx y ⎧+=⎪⎪=-⎨-⎪⎪>⎩可解得y =y =去），所以1212111222PF F S F F y =⋅=⋅⋅=例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是___________．思路：由2OA OB ⋅=入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122x x y y +=，进而想到可用韦达定理．所以设AB 与x 轴交于(),0M m 直线:AB x ty m =+．联立方程220y x y ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，所以2221212120,y y m x x y y m =-<==，所以由12122x x y y +=可得：222m m m -=⇒=，所以122y y =-，不妨设A 在x 轴上方，如图可得：()12112119228ABO AFO S S OM y y OF y y y +=⋅-+⋅=-，由122y y =-可知212y y =-，消元后可得：111192922388ABOAFOSSy y y y +=+≥⋅=，等号成立当且仅当143y =，所以ABOAFOS S+的最小值为3例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK 的面积是___________．思路：斜率为3可知直线的倾斜角为3π，从而可得3KAF π∠=，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得1sin 23AKF S AK AF π=⋅，由抛物线性质可得AK AF =，所以只需求得焦半径AF ，即只需解出A 点横坐标．利用几何关系可得12A x OF FM OF AF =+=+，另一方面，由焦半径公式可得：1A AF x =+，所以可得方程：()1132A A A x OF x x =++⇒=，从而14A AF x =+=，所以21sin 4323AKF S AF π== 小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角3π，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单．（2）本题的A x 也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：()1,0F ，设():31l y x =-，联立方程：()()22431431y xx x y x ⎧=⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，整理可得：231030x x -+= 3x ∴=或13x = 323x y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或13233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍） 3A x ∴=例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF SS-等于___________．思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，22195x y +=的顶点为()()3,0,3,0-，即为12,F F 的坐标，椭圆的焦点为()()2,0,2,0-，所以双曲线中2,3a c ==，进而5b = 观察11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=可联想到投影，即1MF 在1PF 的投影与1MF 在21F F 的投影相等，由几何关系可得1F M 为12PF F ∠的角平分线．由()()22,1,3,0M F 可得21MF k =-，即2F M 平分21PF F ∠，从而M 为12PF F 的内心，且内切圆半径1M r y ==．从而()1212121112222PMF PMF SSPF r PF r r PF PF -=⋅-⋅=-= 例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212bF F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+成立，则λ的值为___________．思路：由三角形内心的性质可得I 到三边的距离相等，所以1212,,IPF IPF IF F 的高均为r ，从而12121212IPF IPF IF F SSSPF PF F F λλ=+⇒=+，即1212F F cPF PF aλ==-，所以只需利用212b F F a=确定,a c 的关系即可．解：I 为三角形12PF F 的内心12211221111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∴=⋅=⋅=⋅12121212IPF IPF IF F S S S PF PF F F λλ=+⇒=+1212F F PF PF λ∴=-P 在双曲线上，且12,F F 是焦点12122,2PF PF a F F c ∴-== caλ∴=即λ为离心率由212b F F a =可得：22222b c ac c a a=⇒=-，两边同时除以2a 得：2210e e --=， 21e ∴=+即21λ=+例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为3，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点（1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程解：（1）设(),0F c 223AF k c ∴==3c ∴= 3c e a ==23a ∴== 2221b a c ∴=-= 22:14x E y ∴+= 思路：首先设:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y ，由图像可得12OPQO PQ Sd PQ -=⋅，考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k 表示出,O PQ d PQ -，从而OPQS也可用k 进行表示：222443444343OPQk Sk k -==-+-，再利用均值不等式即可得到最大值．等号成立的条件224343k k -=-即为k 的值．（注意直线与椭圆相交，所以消元后的方程0∆>）（2）设直线:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y∴联立方程可得：()2222242444y kx x kx x y =-⎧⇒+-=⎨+=⎩，整理后可得： ()224116120kx kx +-+= ，因为方程有两个不等实根()()221648410k k ∴∆=-+>解得：k或k < 12OPQO PQ Sd PQ -=⋅O PQ d -12PQ x =-= 由方程()224116120k x kx +-+=可得：1212221612,4141k x x x x k k +=⋅=++代入PQ 可得：PQ ==2142OPQ S ∴===44=4≥2434k k =⇒-=⇒= 1OPQS∴≤此时k =，l∴的方程为2y x -或2y =- 例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（1）求椭圆C 的方程 （2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值解：（1）1c e ==，设(),0F c ，则:l y x c =-1O l d c -∴=⇒=，2222,3a b a c ∴==-=，22143x y ∴+=（2）由（1）可得：()1,0F ，因为0PF MF PF MF ⋅=⇒⊥，12PMQN S MN PQ ∴=⋅设()()1122,,,P x y Q x y ，():1PQ y k x =-，联立方程可得：()2234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 可得： ()22234112x k x+-=整理后可得：()22224384120k x k x k +-+-=()212212143k PQ x k +∴=-==+ ① 设()1:1MN y x k =--，以1k -替换①中的k 可得： 2222112112124343k k MN k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++()2222121111212224334PMQN k k S MN PQ k k ++∴=⋅=⋅⋅++242242221221727211225121225k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 设221u k k =+，可得[)2,u ∈+∞，21726112251225PMQN u S u u +⎛⎫∴=⋅=- ⎪++⎝⎭，2u ∴=时，min 28849S = 例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k += （1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQMPAMSS=？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（1）思路：本题设点(),P x y ，且,O A 已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设(),P x y ，由()()1,1,0,0A O -可得：1,1,1OP OA PA y y k k k x x -==-=+，依题意OP OA PA k k k +=可得： ()()()111111y y y x x x x y x x --=⇒+-+=-+整理后可得： 2y x =，其中0,1x x ≠≠-所以P 的轨迹方程为()20,1y x x x =≠≠-‘（2）思路：从图可得PQA 和PAM 的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即22PQMPAMSSQA AM =⇒=，再由PQ OA λ=可得PQ OA ∥，进而22QA AM OP OM =⇒=，由,,O P M 共线再转成向量关系则只需求出M 的坐标即可解出P 的坐标解：设()()221122,,,P x x Q x x PQ OA λ= PQ OA ∴∥1PQ OAk k ==-，即2221212111x x x x x x -=-⇒=---222121121QAx k x x x -∴==-=--+，()()1:121QA y x x ∴+=--- 因为1:OP y x x = ()()11121:y x x M y x x+=---⎧⎪∴⎨=⎪⎩ 可解得12M x =-11,22PQM P QM PAM P QM S QA d S AM d --=⋅=⋅且2PQMPAMSS=2QA AM ∴= PQ OA ∥22QA AM OP OM ∴=⇒=，即2OP OM =- 21P M x x ∴=-= ()1,1P ∴ ，所以存在符合条件的()1,1P例10：设抛物线22y x =的焦点为F ，过点()3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于,2C BF =，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACFS S=___________．思路：由2BF =联想到焦半径公式，从而可解得332B x =<，从而可判断出B 在M 的左侧，作出图像可发现两个三角形具备同“高”的特点（即F 到BC的距离），所以BCF ACF BC SS AC =，若直接从,BC AC 长度出发，则运算量较大，所以考虑将比值视为整体，并进行线段的转移，可过,A B 分别引准线的垂线，从而将B lA lBC d ACd --=，只需联立直线抛物线方程求出A 点横坐标即可．解：由22y x =可得1p =，设()()1122,,,A x y B x y22322222p p BF x x ∴=+=⇒=-=，设F 到直线AB 的距离为d 则1212BCF ACFd BC BC S SAC d AC ⋅==⋅ 过,A B 分别引准线的垂线,AP BQ AP BQ ∴∥，2211122=122p x x BC BQ p AC AP x x ++∴==++ 设(:AB y k x =，联立方程：(22y xy kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消元可得：(222k x x =整理后可得：()2222230k x x k -++=，12132x x x ∴=⇒= 21142152BCF ACFx S S x +∴-==+小炼有话说：本题设计的精妙之处在于允许有多种解题方向（比如计算坐标，计算底边长）等，但方法层次不同，所耗费的时间也不一样．通过本题要体会以下几点：（1）在抛物线中焦半径与点横坐标的联系，已知焦半径可迅速求出该点的横坐标 （2）处理面积的比值问题时，可考虑两个图形共同的部分（底，高），从而将比值转化为线段的比值（3）在抛物线中常用的辅助线是过抛物线上的点引准线的垂线．本题恰好利用这一点转移了比例，简化了运算。

圆锥曲线中的面积问题一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点A ，B ，点P 为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB 的面积，一般是先利用弦长公式求出AB ，再利用点到直线距离公式求出点P 到直线AB 的距离d ，则S ΔPAB =12AB d .【例1】(2023届浙江省名校协作体高三上学期考试)如图，已知双曲线C :x 22-y 2=1，经过点T 1,1 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ,B 两点，与C 的渐近线交于M ,N 两点(从左至右的顺序依次为A ,M ,N ,B )，其中k∈0,22 .(1)若点T 是MN 的中点，求k 的值；(2)求△OBN 面积的最小值.【解析】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2联立直线l 与双曲线方程y =k x -1 +1x 22-y 2=0，消去y 得1-2k 2 x 2-4k 1-k x -2(1-k )2=0，由韦达定理可知，x 1+x 2=4k -4k 21-2k 2,x 1⋅x 2=-21-k 21-2k 2联立直线l 与其中一条渐近线方程y =k x -1 +1y =22x，解得x =1-k22-k即x N =1-k 22-k ，同理可得x M =k -122+k ，则x M +x N =4k -4k21-2k 2=x 1+x 2，则可知AB 的中点与MN 中点重合.由于T 1,1 是MN 的中点，所以4k 1-k 1-2k2=2，解得k =12；(2)y =k x -1 +1与x 22-y 2=1联立，消去y 得1-2k 2 x 2-4k 1-k x -2(1-k )2-2=0由(1)知，BN =AM =AB -MN 2.或S △OBN =12S △OAB -S △OMN 由于AB =1+k 222(1-k )2+1-2k 21-2k 2,MN =1+k 222(1-k )21-2k 2，所以BN =1+k 22(1-k )2+1-2k 2-(1-k )2 1-2k 2，又O 到直线的距离d =1-k1+k 2，所以S △OBN =12BN ⋅d =22⋅1-k (1-k )2+1-2k 2-(1-k )21-2k 2=22⋅1-k (1-k )2+1-2k 2+(1-k )2整理得S △OBN =22⋅11+1-2k 2(1-k )2+1，令t =1-k ∈1-22,1 ，则1-2k 2(1-k )2=-2t 2+4t -1t 2=-1t 2+4t -2，当1t =2，即k =12时，1-2k 2(1-k )2的最大值为2，所以S △OBN 的最小值为6-24.(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q 的直线与圆锥曲线交于点A ，B ，点P 为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB 的面积，可先求出点A ，B 到直线PQ 的距离之和d ，则S ΔPAB =12PQ d ，特别的，若PQ 与y 轴垂足，S ΔPAB =12PQ y A -y B ，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例2】(2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上的点到左、右焦点F 1、F 2的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点F 2的距离为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线y =kx 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记△MNA 的面积为S ，当S =3时求k 的值.【解析】(1)由题意2a =4，a =2，因为右顶点A 到右焦点F 2的距离为1，即a -c =1，所以c =1，则b =a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，且OA =2根据椭圆的对称性得S △AMN =12OA ⋅y 1 +12OA ⋅y 2 =12OA ⋅y 2-y 1 =y 2-y 1 ，联立方程组y =kxx 24+y 23=1，整理得3k 2+4 y 2=12，解得y =±12k 24k 2+3，因为△AMN 的面积为3，可得|y 1-y 2|=212k 24k 2+3=3，解得k =±32.(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例3】(2023届山东省青岛市高三上学期调研)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG 面积S =12AB ×DG =12×12k 2+1 4k 2+3×12k 2+1 3k 2+4=72k 2+1 24k 2+3 3k 2+4(法一)S =72k 2+1 24k 2+3 3k 2+4≥72k 2+1 24k 2+3+3k 2+422=28849等号当且仅当4k 2+3=3k 2+4时取，即k =±1时，S min =28849(法二)令k 2+1=t ,∵k ≠0,∴t >1，则S =72t 212t 2+t -1=72-1t2+1t +12=72-1t -12 2+494当1t =12，即k =±1时，S min =28849(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例4】(2023届THUSSAT 中学生标准学术能力高三9月测试)已知A 、B 分别为椭圆Γ：x 2a2+y 2=1a >1 )的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，C 是椭圆Γ上异于A 、B 的点，点D 在坐标平面内．(1)若∠AFB =π3，求椭圆Γ的标准方程；(2)若a =2，且CA ⊥AD ，CB ⊥BD ，求四边形CADB 面积S 的最大值．【解析】(1)由已知△AFB 是等边三角形，因为AB =2，AF =a ，所以a =2，得椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，因为CA ⊥AD ，CB ⊥BD ，所以CA ⋅AD =0，CB ⋅BD=0则A 0,1 ,B 0,-1 ,所以CA =-x 1,1-y 1 ,AD=x 2,y 2-1 ，CB =-x 1,-1-y 1 ,BD=x 2,y 2+1 ，所以x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，x 1x 2+y 1+1 y 2+1 =0，两式相减得y 2=-y 1，带回原式得x 1x 2+1-y 21=0，因为x 214+y 21=1，所以x 2=-x 14，S ▱CADB =S △CAB +S △DAB =x 1 +x 2 =1+14 x 1 ≤52(当x 1=±2时取等)所以四边形CADB 面积S 的最大值为52．(五)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例5】(2023届河南省名校联盟2高三上学期联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，左､右焦点分别为F 1,F 2,M ,N 是椭圆上关于原点对称的两点，F 1M +F 1N =4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆左顶点为A ，上顶点为B ，直线l ∥AB 且交椭圆于P ，Q ，求△PQB 的面积最大时，l 的方程.【解析】(1)由题意得c 2a2=34，化简得3a 2=4c 2=4a 2-b 2 ，则a 2=4b 2.根据对称性得F 1M =F 2N ，故F 2N +F 1N =4，即2a =4，所以a 2=4,b 2=1，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得k AB =12，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，l 的方程为y =12x +t (t ≠1)，代入椭圆方程x 24+y 2=1，整理得x 2+2tx +2t 2-2=0，则x 1+x 2=-2t ，x 1x 2=2t 2-2,Δ=4t 2-42t 2-2 >0，解得-2<t <2且t ≠1.故|PQ |=1+14⋅x 1-x 2 =5⋅2-t 2，点B (0,1)到直线l 的距离为d =|2t -2|5，则S △BPQ =12|PQ |⋅d =12×5⋅2-t 2⋅|2t -2|5=2-t 2 (t -1)2.令f (t )=2-t 2 (t -1)2，则f(t )=-2t (t -1)2+22-t 2 (t -1)=-4(t -1)⋅t -1+174 t -1-174 .当t 变化时，f (t ),f (t )的变化情况如下表：t-2,1-174 1-174,11,1+174 1+174,2f t +-+-f t↗↘↗↘比较f 1-174与f 1+174 知，当t =1-174时，△PQB 面积取最大，此时，l 的方程为y =12x +1-174.(六)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例6】(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知抛物线T :y 2=2px p >0 ，点F 为其焦点，点M 、N在抛物线上，且直线MN 过点G -p2,0 ，FM =2FN =6.(1)求抛物线T 的方程；(2)过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线T 分别相交于点A 、B 和C 、D ，点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值.【解析】(1)过点M 、N 分别作抛物线T 的准线l 的垂线，垂足分别为M1、N 1，易知MM 1 =MF ，NN 1 =NF ，因为FM =2FN ，则MM 1 =2NN 1 ，则点N 为MG 的中点，连接ON ，则ON 为△FGM 的中位线，所以，FM =2ON =2NF ，则ON =NF ，所以，点N 在线段OF 的垂直平分线上，则点N 的横坐标为p4，∴FN =p 2+p4=3，解得p =4，所以，抛物线T 的标准方程为y 2=8x .(2)因为F 2,0 ，若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直，则直线AB 、CD 中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线AB 、CD 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的斜率为k k ≠0 ，则直线AB 的方程为y =k x -2 ，联立y 2=8x y =k x -2，得ky 2-8y -16k =0，则Δ=64+64k 2>0，设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=8k，设P x P ,y P ，则y P =y 1+y 22=4k ，则x P =y P k +2=4k 2+2，所以P 4k2+2,4k ，同理可得Q 4k 2+2,-4k ，故QF =4k2+2-2 2+-4k 2=16k 4+16k 2=4k 21+k 2 ，PF =16k 4+16k 2=41+k 2k 2，因为PF ⊥QF ，所以S △FPQ =12PF ⋅QF =12×4k 21+k 2×41+k 2k 2=81+k 2 k =8×k +1k≥8×2k ⋅1k =16，当且仅当k =1k，即k =±1时等号成立，故△FPQ 面积的最小值为16.三、跟踪检测1.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研)已知点A (2,1)在双曲线C :x 2a 2-y 2a 2-1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan ∠PAQ =22，求△PAQ 的面积.【解析】(1)将点A (2,1)代入x 2a 2-y 2a 2-1=1中，得4a 2-1a 2-1=1，即a 4-4a 2+4=0，解得a 2=2 ，故双曲线方程为x 22-y 2=1；由题意知直线l 的斜率存在，设l :y =kx +m ，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则联立直线与双曲线x 22-y 2=1得：(2k 2-1)x 2+4km x +2m 2+2=0，需满足2k 2-1≠0,Δ=8(m 2+1-2k 2)>0，故x 1+x 2=-4km 2k 2-1，x 1x 2=2m 2+22k 2-1，k AP +k AQ =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2+kx 2+m -1x 2-2=0，化简得：2kx 1x 2+(m -1-2k )(x 1+x 2)-4(m -1)=0，故2k (2m 2+2)2k 2-1+(m -1-2k )-4km 2k 2-1 -4(m -1)=0，即2k 2+(m +1)k +m -1=0 ，即(k +1)(m +2k -1)=0，由题意可知直线l 不过A 点，即m +2k -1≠0，故l 的斜率k =-1.(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan ∠PAQ =22，∴2tan∠PAQ21-tan2∠PAQ 2=22，得tan ∠PAQ 2=22，(负值舍去)，由直线AP ，AQ 的斜率之和为0,可知2α+∠PAQ =π，即tan π-2α2=22，则tan π2-α =cos αsin α=22，得k AP =tan α=2，即y 1-1x 1-2=2，联立y 1-1x 1-2=2，及x 212-y 21=1得x 1=10-423，y 1=42-53，将x1=10-423，y1=42-53代入l:y=-x+m中，得m=53，故x1+x2=203，x1x2=689，而|AP|=2+1|x1-2|=3|x1-2|，|AQ|=3|x2-2|，由tan∠PAQ=22，得sin∠PAQ=22 3，故S△PAQ=12|AP|⋅|AQ|sin∠PAQ=2|x1x2-2(x1+x2)+4|=2689-2×203+4=1629.2.(2023届上海市松江二中高三上学期月考)如图，已知A x1,y1、B x2,y2为抛物线Γ：y=14x2的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于P x0,y0.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1、x0、x2成等差数列，y1、y0、y2成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及△PAB面积的最小值.【解析】(1)抛物线的标准方程为x2=4y,于是焦点坐标为F(0,1),准线方程为y=-1.(2)y =12x,所以l AP:y=12x1x-x1+14x21=12x1x-14x21l BP:y=12x2x-x2+14x22=12x2x-14x22联立y=12x1x-14x21y=12x2x-14x22,得x0=x1+x22,y0=x1x24,而y1=14x21,y2=14x22于是y20=x21x2216=y1y2,即x0=x1+x22,y20=y1y2故x1，x0，x2成等差数列,y1，y0，y2成等比数列(3)由于A,F,B三点共线,设l AB:y=kx+1联立y=kx+1y=14x2,得x2-4kx-4=0.即动点P的轨迹方程为y=-1设AB中点为C,则Cx1+x22,y1+y22,即C2k,2k2+1S△PAB=12|PC|x1-x2=122k2+216k2+16=41+k232≥4当k=0时取等所以△PAB面积的最小值为43.(2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试)已知椭圆C:x24+y2b2=10<b<2，直线l1:y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且AB的最大值为46 3．(1)求椭圆C的方程；(2)当AB=463时，斜率为-2的直线l2交椭圆C于P，Q两点(P，Q两点在直线l1的异侧)，若四边形APBQ的面积为1669，求直线l2的方程．【解析】(1)设A x1,y1，B x2,y2，联立直线l1与椭圆方程得x24+y2b2=1 y=x+m ，消去y得b2+4x2+8mx+4m2-b2=0，又x1，x2是这个方程的两个实根，所以Δ=64m2-16b2+4m2-b2>0x1+x2=-8mb2+4x1x2=4m2-b2b2+4，由弦长公式得AB=1+k2x1-x2=2⋅-8mb2+42-4×4m2-b2b2+4=42bb2+4⋅b2+4-m2，所以当m=0时，AB取到最大值，即ABmax=42bb2+4=436，解得b=2．所以椭圆C的方程为x24+y22=1．(2)设直线l2方程为y=-2x+n，P x3,y3，Q x4,y4，联立直线l2与椭圆方程x24+y22=1y=-2x+n，消去y得9x2-8nx+2n2-4=0，所以Δ=-8n2-4×9×2n2-4>0x3+x4=8n9x3x4=2n2-49，且n∈-32,32，记点P，Q到直线l1的距离分别为d1，d2，又d1=x3-y32，d2=x4-y42且x3-y3x4-y4<0，所以d1+d2=x3-y32+x4-y42=x3-y3-x4-y42=3x3-x42=32x3+x42-4x3x4=328n92-4×2n2-49=2318-n2，所以S APBQ=12|AB|d1+d2=12⋅463⋅2318-n2=46918-n2，因为S APBQ=1696，所以46918-n2=1669，整理得n2=2，所以n=±2满足条件，综上所述直线的方程为l2:y=-2x±2，即为l2:2x+y±2=0．4.(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2是椭圆Γ的左、右焦点，点A1,3 2在椭圆Γ上，点P4,0 在椭圆Γ外，且PF2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B1,-32，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别为S1，S2，求S21-S1S2+S22的最小值．【解析】(1)因为点A1,3 2在椭圆Γ上，所以1a2+34b2=1，①因为点P4,0在椭圆Γ外，且PF2=4-3，所以c=3，即a2-b2=c2=3，②由①②解得a2=4，b2=1，故椭圆Γ的方程为x24+y2=1．(2)设点M x1,y1，N x2,y2，设直线MN：x=my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t>2，将直线MN代入方程x24+y2=1并化简可得，my+t2+4y2-4=0，即m2+4y2+2mty+t2-4=0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m2t2-4m2+4t2-4=0，即t2=m2+4．直线AP的方程为：x=4-23y；直线BP的方程为l BP：x=4+23y，联立方程x=my+t,x=4-23y,得y1=4-t23+m，同理得y2=t-423-m，所以y1-y2=4-t-43m2-12=43t+4，所以S1=12t y1-y2，S2=124-ty1-y2，所以S21-S1S2+S22=14t2y1-y22-t4-t4y1-y22+14(4-t)2y1-y22=14y1-y22t2-4t+t2+16-8t+t2=14×48t+423t2-12t+16=36-489t+8t2+8t+16，令9t+8=λλ>26，则S21-S1S2+S22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t=209时，不等式取等号，故当t=209时，S21-S1S2+S22取得最小值97．5.(2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，椭圆上一动点P与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左､右顶点分别为A,B，直线PQ交椭圆C于P,Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ 的斜率为k2，已知k1=3k2.①求证：直线PQ恒过定点；②设△APQ和△BPQ的面积分别为S1,S2，求S1-S2的最大值.【解析】(1)由题意ca=32bc=3a2=b2+c2，解得a2=4b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1．(2)①依题意A(-2,0),B(2,0)，设P x1,y1,Q x2,y2，若直线PQ的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有k AP=-k BQ，不合题意．所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=ty+n(n≠±2)，与椭圆C联立x2+4y2=4x=ty+n，整理得：t2+4y2+2tny+n2-4=0，所以Δ=16t2+4-n2>0，且y1+y2=-2tnt2+4,y1y2=n2-4t2+4.因为P x1,y1是椭圆上一点，即x214+y21=1，所以k AP ⋅k BP =y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=1-x 214x 21-4=-14，则k AP =-14k BP =3k BQ ，即12k BP ⋅k BQ =-1因为12k BP ⋅k BQ =12y 1y 2x 1-2 x 2-2 =12y 1y 2ty 1+n -2 ty 2+n -2=12y 1y 2t 2y 1y 2+t (n -2)y 1+y 2 +(n -2)2=12n 2-4t 2+4t 2n 2-4 t 2+4-2t 2n (n -2)t 2+4+(n -2)2=12(n +2)t 2(n +2)-2t 2n +(n -2)t 2+4=3(n +2)n -2=-1，所以n =-1，此时Δ=16t 2+4-n 2 =16t 2+3 >0，故直线PQ 恒过x 轴上一定点D -1,0 ．②由①得：y 1+y 2=2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4，所以S 1-S 2 =12⋅y 1-y 2 ⋅2--1 -12⋅y 1-y 2 ⋅-2--1 =y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+3t 2+4=4t 2+4 -1t 2+4 2=41t 2+4-1t 2+42=4-1t 2+4-12 2+14，而1t 2+4∈0,14，当1t 2+4=14时S 1-S 2 的最大值为3．6.(2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点3,12 ，其右焦点为F 3,0 .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点P ,Q 在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求△APQ 面积的最大值.【解析】(1)依题可得，c =33a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.所以离心率e =32.(2)易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设PQ :y =kx +m ,k ≠0,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由x 24+y 2=1y =kx +m可得，1+4k 2 x 2+8mkx +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=-8mk 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2，Δ=164k 2+1-m 2 >0，而k AP k AQ =120，即y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=120，化简可得20kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ，20k 2x 1x 2+20km (x 1+x 2)+20m 2=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4，20k 2⋅4m 2-41+4k 2+20km ⋅-8mk 1+4k 2+20m 2=4m 2-41+4k 2-2×-8mk 1+4k 2+4化简得6k 2+mk -m 2=0，所以m =-2k 或m =3k ，所以直线PQ :y =k x -2 或y =k x +3 ，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点-3,0 .设定点B -3,0 ,S △APQ =S △ABP -S △ABQ =12AB y 1-y 2 =52k x 1-x 2 =52k (x 1+x 2)2-4x 1x 2=52k -8km 1+4k 2 2-4×4m 2-41+4k 2=5k 2164k 2+1-m 2 1+4k 2=101-5k 2 k 21+4k 2，因为1-5k 2>0，所以0<k 2<15，设t =4k 2+1∈1,95，所以S △APQ =52-5t 2+14t -9t 2=52-91t -79 2+49≤53，当且仅当t =97即k 2=114时取等号，即△APQ 面积的最大值为53.7.(2023届山东省济南市高三上学期9月考试)已知点F 是抛物线C :x 2=4y 与椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的公共焦点，椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M 作C 的两条切线，记切点分别为A ,B ，求△MAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,1 ，即c =1，椭圆上的点M 到点F 的最大距离为a +c =3，所以a =2，b 2=3，所以椭圆方程为y 24+x 23=1.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ，即y =x 24，对该函数求导得y =x2，设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M (x 0,y 0)，直线MA 的方程为y -y 1=x12(x -x 1)，即y =x 1x2-y 1，即x 1x -2y 1-2y =0，同理可知，直线MB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0，由于点M 为这两条直线的公共点，则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0，所以点A ，B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0，所以直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0，联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24，可得x 2-2x 0x +4y 0=0，由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，所以AB =1+x 022⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0 ，点M 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4，所以S △MAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 2-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32，因为x 2-4y 0=3-3y 204-4y 0=-34y 0+83 2+253，由已知可得-2≤y 0≤2，所以当y 0=-2时，△MAB 面积的最大值为82.8.(2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l :x -my -1=0与x 轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求△MNQ 面积的最大值．【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则e =c a =32，即c 2a 2=a 2-b 2a2=34，所以1-b 2a2=34，即a =2b ，又C 的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83，所以4×12bc =83，即bc =43，综上解得a 2=16,b 2=4，所以椭圆C 的方程为x 216+y 24=1．(2)易得M (1,0)，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则N x 1,-y 1 ，联立直线l 与椭圆C 的方程x =my +1x 216+y 24=1，得m 2+4 y 2+2my -15=0，则y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-15m 2+4．又S △PQN =12×2y 1 ×x 2-x 1 ,S △PMN =12×2y 1 ×1-x 1 ，易知x 2-x 1与1-x 1同号，所以S △MNQ =S △PQN -S △PMN =y 1 ×x 2-x 1 -1-x 1 =y 1 ×x 2-x 1 -1-x 1 =y 1 ×x 2-1 =y 1 ×my 2 =my 1y 2 =15|m |m 2+4=15|m |+4|m |≤152|m |×4|m |=154，当且仅当|m |=4|m |，即m =±2时等号成立，所以△MNQ 面积的最大值为154．9.(2023届河南省部分学校高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1-1,0 ，上、下顶点分别为A ，B ，∠AF 1B =90°．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM =OP +OQ ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．【解析】(1)依题意c =1，又∠AF 1B =90°，所以b =c =1，所以a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)证明：设M x ,y ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，因为OM =OP +OQ，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且x =x 1+x 2y =y 1+y 2 ，所以x 1+x 2 22+y 1+y 2 2=1，即x 122+y 12+x 222+y 22+x 1x 2+2y 1y 2=1，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，所以x 1x 2+2y 1y 2=-1，若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合，则x P =x Q =22，所以y P =y Q =32，所以S OPMQ =12×2x P ×2y P =62，若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y =kx +t ，代入椭圆方程整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，所以Δ=82k 2+1-t 2 >0，x 1+x 2=-4kt 1+2k 2，x 1x 2=2t 2-21+2k 2，所以y 1y 2=kx 1+t kx 2+t =k 2x 1x 2+kt x 1+x 2 +t 2=k 2⋅2t 2-21+2k 2+kt ⋅-4kt 1+2k2 +t 2所以2k 2+1 ⋅2t 2-21+2k 2+2kt ⋅-4kt 1+2k2 +2t 2=-1，整理得4t 2=1+2k 2，又PQ =k 2+1x 1-x 2 =k 2+1⋅81+2k 2-t 21+2k 2，又原点O 到PQ 的距离d =tk 2+1，所以S △POQ =12PQ d =2⋅1+2k 2-t 2⋅t 1+2k 2，将4t 2=1+2k 2代入得S △POQ =2⋅3t 2⋅t 4t2=64，所以S OPMQ =2S △POQ =62，综上可得，四边形OPMQ 的面积为定值62.10.(2022届河南省高三上学期联考)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且椭圆E 经过点1,32 ，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ．(1)求椭圆E 的方程；(2)当四边形ACBD 的面积取得最小值时，求弦AB 所在直线的方程．【解析】(1)已知可得c a =12a 2=b 2+c 21a 2+94b2=1 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，不妨设AB ⊥x 轴，因为焦点F 的坐标为1,0 ，所以直线AB 的方程为x =1，将x =1代入椭圆方程可得y =±32，则AB =3，CD =4，四边形ACBD 的面积S =12×4×3=6；当AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k k ≠0 ，由(1)知F 1,0 ，所以直线AB 的方程为y =k x -1 ，与椭圆E 的方程x 24+y 23=1联立并消去y 得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0．设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，Δ=64k 4-43+4k 2 4k 2-12 =144k 2+1 >0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅64k 43+4k 22-16k 2-483+4k 2=1+k 23+4k 2⋅64k 4-16k 2-48 3+4k 2=121+k 2 3+4k 2．同理可得可得CD =121+1k2 3+4k2=12k 2+1 3k 2+4，所以四边形ACBD 面积S =12AB ×CD =12×122k 2+1 24k 2+3 3k 2+4 =72k 2+1 24k 2+3 3k 2+4≥72k 2+1 24k 2+3+3k 2+422=72×27 2=28849，当且仅当4k 2+3=3k 2+4时，即当k =±1时，等号成立，因为6>28849，故当四边形ACBD 的面积取得最小值时，直线AB 的方程为y =x -1或y =-x +1．11.(2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛)顺次连接椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的四个顶点，得到的四边形的面积为82，连接椭圆C 的某两个顶点，可构成斜率为22的直线.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点A (-4,0)的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，点B 在线段EF 上，若|AE ||AF |=|BE ||BF |，求△OAB(O 为坐标原点)面积的取值范围.【解析】(1)依题意得b a=22,2ab =82,解得b =2,a =22, 所以椭圆C 的标准方程是x28+y 24=1.(2)设直线l 的方程为x =ty -4(t ≠0)，代入椭圆C 的方程得t 2+2 y 2-8ty +8=0，由Δ>0得t 2>2,|t |>2.设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，所以y 1+y 2=8t t 2+2,y 1y 2=8t 2+2,，|EF |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=t 2+1y 1-y 2 ，设|AE ||AF |=|BE ||BF |=λ，则AE =λAF ,EB =λBF AB =AE +EB =λ1-λEF +λ1+λEF =2λ1-λ2EF .原点O 到直线l 的距离d =4t 2+1， 故△OAB 的面积S =12×2λ1-λ2 t 2+1⋅y 1-y 2 ⋅4t 2+1=4λ1-λ2 ⋅y 1-y 2 .因为y 1=λy 2⇒λ=y 1y 2，故S =4y 1y 21-y 21y 22⋅y 1-y 2 =4y 1y 2y 1+y 2=4|t |∈(0,22)，故△OAB 面积的取值范围为(0,22).12.(2022届广西“智桂杯”高三上学期联考)如图，已知抛物线：C :x 2=y ，M 0,1 ，N 0,-1 ，过点M 垂直于y 轴的垂线与抛物线C 交于B ，C ，点D ，E 满足CE =λCN ，ND =λNB 0<λ<1 .(1)求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；(2)设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ，记△BCQ 与△DEN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的值.【解析】(1)易知B 1,1 ,C -1,1 ，设D x ,y ，由ND =λNB，可得x ,y +1 =λ1,2 ，故有D λ,2λ-1 ，同理E λ-1,1-2λ ，于是直线DE 的方程是y -2λ-1 =4λ-2 x -λ ，即y =4λ-2 x -2λ-1 2①与抛物线方程联立，即y =4λ-2 x -2λ-1 2x 2=y得到x -2λ-1 2=0，此方程有两个相等的根：x =(2λ-1)代入①，得y =2λ-1 2，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点Q 2λ-1,2λ-1 2(2)S 1=S △BCQ =12BC ⋅h =12×2×1-y Q =12×2×1-2λ-1 2 =4λ-λ2设直线DE 与y 轴交于G ，则G 0,-2λ-1 2 ，于是S 2=S △DEN =12NG ⋅x D -x E =12⋅-2λ-1 2+1 ⋅λ-λ-1 =2λ-λ2故有S1S 2=2.13.(2022届河南省名校联盟高三上学期12月考)已知椭圆C :x 2a2+y 2=1a >1 的离心率为32，F 1，F 2是C的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．(1)证明：MN ≤4；(2)设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y =kx k >0 与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．【解析】(1)C 的离心率为32，即a 2-1a =32，解得a =2．由题意知PF 1 =PM ，PF 2 =PN ，MN ≤PM +PN =PF 1 +PF 2 =2a =4(2)直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx k >0 ，设E x 1,kx 1 ，F x 2,kx 2 ，其中x 1<x 2，由y =kx ,x 24+y 2=1,得x 1=-21+4k 2，x 2=21+4k 2，所以点E ，F 到AB 的距离分别为h 1=x 1+2kx 1-25=21+2k +1+4k 251+4k 2h 2=x 2+2kx 2-25=21+2k -1+4k 251+4k 2又AB =22+1=5所以四边形AEBF 的面积为S =12AB h 1+h 2 =12×5×41+2k 51+4k 2=21+4k 2+4k 1+4k 2=21+4k 1+4k 2=21+41k+4k 当k ∈0,+∞ 时，1k+4k ∈4,+∞ ，则41k+4k ∈0,1 ，所以21+41k+4k ∈2,22 ，即四边形AEBF 面积的取值范围为2,2214.(2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点，AB =3(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 过点M -4,0 且与椭圆相交于A ，B 两点，求△ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率.【解析】(1)由题知：c a =122b 2a =3a 2=b 2+c 2⇒a =2b =3c =1，所以椭圆C :x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为x =my -4，设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ，与椭圆方程联立得x =my -4x 24+y 23=1，消去x 得3m 2+4 y 2-24my +36=0.则Δ=576m 2-4×363m 2+4 =144m 2-4 >0，所以m 2>4.由根与系数的关系知y 1+y 2=24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4，所以S △ABF =32y 1-y 2 =18m 2-43m 2+4.①令t =m 2-4t >0 ，则①式可化为S △ABF =18t 3t 2+16=183t +16t ≤1823t ⋅16t=334.当且仅当3t =16t，即t =163时，等号成立.此时m =±2213，所以直线l 的斜率为±2114.15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +12m ≠0 ，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+12,m ，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知D 0,-12m，因此P 18m 2,-12m ，设直线PQ 的方程为x =ty +12，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，所以y P y Q =-12m ⋅y Q=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，故点M 的坐标为M 1,0 ，因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点Q 2m 2,2m 到直线l :x =my +12的距离d =2m 2-m ⋅2m -12m 2+1=12m 2+1，由A x 1,y 1 ，F 12,0，可得AF =m 2+1y 1 ， 因此S △QAF =12AF ⋅d =14y 1 ，同理可得S △QBF =14y 2 ，所以S △QAF ⋅S △QBF =116y 1y 2 =116，为定值.。