三年级奥数.计数综合.几何计数(ABC通用).学生版

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。

图形计数知识要点(n m++-数线段【例1】请数出下图中线段的总条数。

【例2】数一数，下图中共有多少条线段？【例3】请问下图有多少条线段？【例4】数一数下图一共有多少条线段？【例5】数一数下图中共有多少条线段？数长方形【例6】 数一数：下图中有几个长方形（包括正方形）？【例7】 图171--中有多少个长方形（包括正方形）？【例8】 图中有多少个长方形（包括正方形）？【例9】 图中有多少个长方形（包括正方形）？【例10】 下图中有多少个长方形？FJI HGBC D E A图1-7-2图1-7-3图1-7-1【例11】下图中有多少个长方形？数正方形【例12】数一数：下图中有几个正方形？【例13】下图中共有多少个正方形？【例14】如图182--所示，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成44⨯的正方形钉阵，现在有足够的橡皮筋，请问能在这个正方形钉阵上套出多少个正方形？【例15】如图182--所示为44⨯的正方形网格由16个11⨯的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。

那么，以网格的格点为顶点的正方形一共有个_______。

数三角形【例16】数一数下图中共有多少个三角形？【例17】数一数下图中共有多少个三角形？【例18】数一数下图一共有多少个三角形？【例19】（第十四届华罗庚少年数学邀请赛决赛试题A（小学组））如下图所示，在边长为1的小正方形组成的44方格图中，共有25个格点.在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有________个.【例20】数一数下图一共有多少个三角形？【例21】数一数下图中的三角形个数是多少？【例22】数一数下面图形中各有多少个三角形？a 【例23】下图中共有几个三角形？图1-5-2一课一练【练习1】数一数下图一共有多少条线段？【练习2】数一数下图一共有多少条线段？【练习3】下图中有多少个长方形？【练习4】下图中，大大小小的长方形共有多少个？【练习5】下图中有多少个正方形？【练习6】下面图中有多少个正方形？【练习7】数一数下面图形中有多少个三角形？【练习8】数一数下图共有多少个三角形？补充题库【补充1】数一数，图154--中共有多少个锐角?你能用两种方法解答这个问题么？图1-5-4【补充2】下图中共有几个三角形？【补充3】数一数下图中梯形有_________个。

第9讲图形计数知识要点几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了。

实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法--枚举法，具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时，不重复不遗漏。

在列举时要学会总结规律。

精典例题例1:数一数图中图形的个数。

（1）（2）（3）模仿练习1.数一数下图图形的个数。

可以从最小的图形入手，寻找规律。

例2:下图中分别有几个长方形 、正方形？模仿练习1.下图中各有几个长方形。

2.在6×5的方格中，共有多少个正方形？长方形和正方形都可以转化成数线的问题解决B AC D例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题）三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。

模仿练习数一数图中三角形的个数。

精典例题例4:从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大陆，铁路局要为这次快车准备多少种不同车票？这些车票中有多少种不同的票价？可以用线段图来表示车站，要考虑往返的情况。

模仿练习从武汉到深圳，除起点站和终点站外还有7个中间站。

如果你是从武汉到深圳的列车长。

那么，你认为从武汉到深圳，铁路站要为这趟列车准备多少种车票才合适？家庭作业1.下图共有几个三角形?2.下图中各有多少个正方形？3.下图共有几个长方形?4.下图共有几个三角形?5.在5×7的方格中，共有多少个正方形？6.成都到达州的某次列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？。

1.掌握計數常用方法；2.熟記一些計數公式及其推導方法；3.根據不同題目靈活運用計數方法進行計數．本講主要介紹了計數的常用方法枚舉法、標數法、樹狀圖法、插板法、對應法等，並滲透分類計數和用容斥原理的計數思想．一、幾何計數在幾何圖形中，有許多有趣的計數問題，如計算線段的條數，滿足某種條件的三角形的個數，若干個圖分平面所成的區域數等等．這類問題看起來似乎沒有什麼規律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的．常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．n 條直線最多將平面分成21223(2)2n n n ++++=++……個部分；n 個圓最多分平面的部分數為n (n -1)+2；n 個三角形將平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 個四邊形將平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其他計數問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．解題時需要仔細審題、綜合所學知識點逐步求解．排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先後順序有關；組合問題與各事物所在的先後順序無關，只與這兩個組合中的元素有關．二、幾何計數分類數線段：如果一條線段上有n +1個點(包括兩個端點)（或含有n 個“基本線段”），那麼這n +1個點把這條線段一共分成的線段總數為n +(n -1)+…+2+1條數角：數角與數線段相似，線段圖形中的點類似於角圖形中的邊．數三角形：可用數線段的方法數如右圖所示的三角形（對應法），因為DE 上有15條線段，每條線段的兩端點與點A 相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC 上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形．E DCB A數長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對於任意長方形（平行四邊形），教學目標知識要點7-8-3.幾何計數（三）若其橫邊上共有n 條線段，縱邊上共有m 條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn 個．模組一、立體幾何計數【例 1】 用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那麼一共用了__________塊小正方體。