利用导数解决函数的极值问题（多维探究）
角度一根据图象判断函数的极值
设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（１—x）·f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
Ａ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（１）
Ｂ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（１）
Ｃ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（—２）
Ｄ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（２）
【解析】由题图可知，当x<—２时，１—x>３，此时f′（x）>0；当—２
错误!
知图判断函数的极值的情况；先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点．
角度二求函数的极值
（２0２0·湖南省五市十校联考）已知函数f（x）＝ln x—错误!ax２＋x，a∈R.
（１）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程；
（２）令g（x）＝f（x）—（ax—１），求函数g（x）的极值．
【解】（１）当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，
则f（１）＝１，所以切点为（１，１），
又f′（x）＝错误!＋１，
所以切线斜率k＝f′（１）＝２，
故切线方程为y—１＝２（x—１），
即２x—y—１＝0．
（２）g（x）＝f（x）—（ax—１）＝ln x—错误!ax２＋（１—a）x＋１，
则g′（x）＝错误!—ax＋（１—a）＝错误!，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，＋∞）上是增函数，函数g（x）无极值点．
当a＞0时，g′（x）＝错误!
＝—错误!，
令g′（x）＝0得x＝错误!.
所以当x∈错误!时，g′（x）＞0；
当x∈错误!时，g′（x）＜0．
因为g（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．
所以x＝错误!时，g（x）有极大值g错误!＝ln错误!—错误!×错误!＋（１—a）·错误!＋１＝错误!—ln a.
综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；
当a＞0时，函数g（x）有极大值错误!—ln a，无极小值．
错误!
利用导数研究函数极值问题的一般流程
角度三已知函数的极值求参数
设函数f（x）＝[ax２—（４a＋１）x＋４a＋３]e x.
（１）若曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线与x轴平行，求a；
（２）若f（x）在x＝２处取得极小值，求a的取值范围．
【解】（１）因为f（x）＝[ax２—（４a＋１）x＋４a＋３]e x，
所以f′（x）＝[ax２—（２a＋１）x＋２]e x.
f′（１）＝（１—a）e.
由题设知f′（１）＝0，即（１—a）e＝0，
解得a＝１．
此时f（１）＝３e≠0．
所以a的值为１．
（２）由（１）得f′（x）＝[ax２—（２a＋１）x＋２]e x＝（ax—１）（x—２）e x.
若a>错误!，则当x∈错误!时，f′（x）<0；
当x∈（２，＋∞）时，f′（x）>0．
所以f（x）在x＝２处取得极小值．
当a≤错误!，则当x∈（0，２）时，x—２<0，ax—１≤错误!x—１<0，
所以f′（x）>0．
所以２不是f（x）的极小值点．
综上可知，a的取值范围是错误!.
错误!
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
（１）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
（２）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
１．（２0２0·安徽毛坦厂中学４月联考）已知函数f（x）＝２ln x＋ax２—３x在x＝２处取得极小值，则f（x）的极大值为（）
Ａ．２Ｂ．—错误!
Ｃ．３＋ln ２Ｄ．—２＋２ln ２
解析：选Ｂ．由题意得，f′（x）＝错误!＋２ax—３，因为f（x）在x＝２处取得极小值，所以f′（２）＝４a—２＝0，解得a＝错误!，
所以f（x）＝２ln x＋错误!x２—３x，f′（x）＝错误!＋x—３＝错误!，
所以f（x）在（0，１），（２，＋∞）上是增加的，在（１，２）上是减少的，
所以f（x）的极大值为f（１）＝错误!—３＝—错误!.故选Ｂ．
２．已知函数f（x）＝ln x.
（１）求f（x）的图象过点P（0，—１）的切线方程；
（２）若函数g（x）＝f（x）—mx＋错误!存在两个极值点x１，x２，求m的取值范围．
解：（１）由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!.设切点坐标为（x0，ln x0），则切线方程为y＝错误!x＋ln x0—１．
把点P（0，—１）代入切线方程，得ln x0＝0，
所以x0＝１，
所以过点P（0，—１）的切线方程为y＝x—１．
（２）因为g（x）＝f（x）—mx＋错误!＝ln x—mx＋错误!，所以g′（x）＝错误!—m—错误!＝错误!＝—错误!，
令h（x）＝mx２—x＋m，
要使g（x）存在两个极值点x１，x２，
则方程mx２—x＋m＝0有两个不相等的正数根x１，x２.
故只需满足错误!即可，解得0 利用导数研究函数的最值（师生共研） （２0１9·高考全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝２x３—ax２＋b. （１）讨论f（x）的单调性； （２）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，１]的最小值为—１且最大值为１？若存在，求出a，b 的所有值；若不存在，说明理由． 【解】（１）f′（x）＝6x２—２ax＝２x（３x—a）． 令f′（x）＝0，得x＝0或x＝错误!. 若a>0，则当x∈（—∞，0）∪错误!时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0． 故f（x）在（—∞，0），错误!上是增加的，在错误!上是减少的； 若a＝0，f（x）在（—∞，＋∞）上是增加的； 若a<0，则当x∈错误!∪（0，＋∞）时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0．故f（x）在错误!，（0，＋∞）上是增加的，在错误!上是减少的． （２）满足题设条件的a，b存在． （ⅰ）当a≤0时，由（１）知，f（x）在[0，１]上是增加的，所以f（x）在区间[0，１]的最小值为f（0）＝b，最大值为f（１）＝２—a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝—１，２—a＋b＝１，即a＝0，b＝—１． （ⅱ）当a≥３时，由（１）知，f（x）在[0，１]上是减少的，所以f（x）在区间[0，１]的最大值为f（0）＝b，最小值为f（１）＝２—a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当２—a＋b＝—１，b＝１，即a＝４，b＝１． （ⅲ）当0 若—错误!＋b＝—１，b＝１，则a＝３错误!，与0 若—错误!＋b＝—１，２—a＋b＝１，则a＝３错误!或a＝—３错误!或a＝0，与0 求函数f（x）在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路 （１）若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f（x）求导，并求f′（x）＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （２）若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f（x）求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f（x）的最值． [提醒] 求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 已知函数f（x）＝错误!＋k ln x，k<错误!，求函数f（x）在错误!上的最大值和最小值． 解：因为f（x）＝错误!＋k ln x， f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!. （１）若k＝0，则f′（x）＝—错误!在错误!上恒有f′（x）<0， 所以f（x）在错误!上是减少的． 所以f（x）min＝f（e）＝错误!， f（x）max＝f错误!＝e—１． （２）若k≠0，f′（x）＝错误!＝错误!. １若k<0，则在错误!上恒有错误!<0， 所以f（x）在错误!上是减少的， 所以f（x）min＝f（e）＝错误!＋k ln e＝错误!＋k—１，f（x）max＝f错误!＝e—k—１． ２若k>0，由k<错误!， 得错误!>e，则x—错误!<0， 所以错误!<0， 所以f（x）在错误!上是减少的． 所以f（x）min＝f（e）＝错误!＋k ln e＝错误!＋k—１， f（x）max＝f错误!＝e—k—１． 综上，k<错误!时，f（x）min＝错误!＋k—１， f（x）max＝e—k—１． 函数极值与最值的综合问题（师生共研） 已知函数f（x）＝错误!（a>0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为—３和0．（１）求f（x）的单调区间； （２）若f（x）的极小值为—e３，求f（x）在区间[—５，＋∞）上的最大值． 【解】（１）f′（x）＝错误! ＝错误!. 令g（x）＝—ax２＋（２a—b）x＋b—c， 因为e x>0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝—ax２＋（２a—b）x＋b—c的零点， 且f′（x）与g（x）符号相同． 又因为a>0．所以当—３ 所以f（x）的增区间是（—３，0），减区间是（—∞，—３），（0，＋∞）． （２）由（１）知，x＝—３是f（x）的极小值点，所以有 错误! 解得a＝１，b＝５，c＝５，所以f（x）＝错误!. 因为f（x）的增区间是（—３，0），减区间是（—∞，—３），（0，＋∞）， 所以f（0）＝５为函数f（x）的极大值， 故f（x）在区间[—５，＋∞）上的最大值取f（—５）和f（0）中的最大者， 而f（—５）＝错误!＝５e５>５＝f（0）， 所以函数f（x）在区间[—５，＋∞）上的最大值是５e５. 错误! 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． （２0２0·河南百校联盟模拟）已知函数f（x）＝e x—ax，a>0．（１）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值； （２）若对任意实数x，恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围． 解：（１）函数f（x）的定义域是（—∞，＋∞），f′（x）＝e x—a. 令f′（x）＝0，得x＝ln a， 易知当x∈（ln a，＋∞）时，f′（x）>0，当x∈（—∞，ln a）时，f′（x）<0， 所以函数f（x）在x＝ln a处取极小值， g（a）＝f（x）极小值＝f（ln a）＝e ln a—a ln a＝a—a ln a. g′（a）＝１—（１＋ln a）＝—ln a， 当0 当a>１时，g′（a）<0，g（a）在（１，＋∞）上是减少的． 所以a＝１是函数g（a）在（0，＋∞）上的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max＝g（１）＝１． （２）显然，当x≤0时，e x—ax≥0（a>0）恒成立． 当x>0时，由f（x）≥0，即e x—ax≥0，得a≤错误!. 令h（x）＝错误!，x∈（0，＋∞）， 则h′（x）＝错误!＝错误!， 当0 故h（x）的最小值为h（１）＝e，所以a≤e， 故实数a的取值范围是（0，e]． f（a）＝e a—a２，a∈（0，e]，f′（a）＝e a—２a， 易知e a—２a≥0对a∈（0，e]恒成立， 故f（a）在（0，e]上是增加的，所以f（0）＝１ 是（１，e e—e ２]． [基础题组练] １．（２0２0·辽宁沈阳一模）设函数f（x）＝x e x＋１，则（） Ａ．x＝１为f（x）的极大值点 Ｂ．x＝１为f（x）的极小值点 Ｃ．x＝—１为f（x）的极大值点 Ｄ．x＝—１为f（x）的极小值点 解析：选Ｄ．由f（x）＝x e x＋１，可得f′（x）＝（x＋１）e x，令f′（x）>0可得x>—１，即函数f（x）在（—１，＋∞）上是增函数；令f′（x）<0可得x<—１，即函数f（x）在（—∞，—１）上是减函数，所以x＝—１为f（x）的极小值点．故选Ｄ． ２．函数y＝错误!在[0，２]上的最大值是（） Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．0 Ｄ．错误! 解析：选Ａ．易知y′＝错误!，x∈[0，２]，令y′>0，得0≤x<１，令y′<0，得１＜x≤２，所以函数y＝错误!在[0，１]上是增加的，在（１，２]上是减少的，所以y＝错误!在[0，２]上的最大值是y|x＝１＝错误!，故选Ａ． ３．（２0２0·广东惠州４月模拟）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x ＝—２处取得极小值，则函数y＝x·f′（x）的图象可能是（） 解析：选Ｃ．因为函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝—２处取得极小值，所以当x>—２时，f′（x）>0；当x＝—２时，f′（x）＝0；当x<—２时，f′（x）<0．所以当—２ 当x<—２时，xf′（x）>0．故选Ｃ． ４．（２0２0·河北石家庄二中期末）若函数f（x）＝（１—x）（x２＋ax＋b）的图象关于点（—２，0）对称，x１，x２分别是f（x）的极大值点与极小值点，则x２—x１＝（） Ａ．—错误!Ｂ．２错误! Ｃ．—２错误!Ｄ．错误! 解析：选Ｃ．由题意可得f（—２）＝３（４—２a＋b）＝0， 因为函数图象关于点（—２，0）对称，且f（１）＝0， 所以f（—５）＝0， 即f（—５）＝6（２５—５a＋b）＝0， 联立错误!解得错误! 故f（x）＝（１—x）（x２＋7x＋１0）＝—x３—6x２—３x＋１0， 则f′（x）＝—３x２—１２x—３＝—３（x２＋４x＋１）， 结合题意可知x１，x２是方程x２＋４x＋１＝0的两个实数根，且x１>x２， 故x２—x１＝—|x１—x２|＝—错误!＝—错误!＝—２错误!. ５．已知函数f（x）＝x３＋３x２—9x＋１，若f（x）在区间[k，２]上的最大值为２8，则实数k的取值范围为（） Ａ．[—３，＋∞）Ｂ．（—３，＋∞） Ｃ．（—∞，—３）Ｄ．（—∞，—３] 解析：选Ｄ．由题意知f′（x）＝３x２＋6x—9，令f′（x）＝0，解得x＝１或x＝—３，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： x（—∞，—３）—３（—３，１）１（１，＋∞） f′（x）＋0—0＋ f（x）极大值极小值 又f k≤—３． 6． 函数f（x）＝x３＋bx２＋cx＋d的大致图象如图所示，则x错误!＋x错误!＝________． 解析：函数f（x）的图象过原点，所以d＝0．又f（—１）＝0且f（２）＝0，即—１＋b—c＝0且8＋４b＋２c＝0，解得b＝—１，c＝—２，所以函数f（x）＝x３—x２—２x，所以f′（x）＝３x２—２x—２，由题意知x１，x２是函数的极值点，所以x１，x２是f′（x）＝0的两个根，所以x１＋x２＝错误!，x１x２＝—错误!，所以x错误!＋x错误!＝（x１＋x２）２—２x１x２＝错误!＋错误!＝错误!. 答案：错误! 7．若函数f（x）＝x３—３ax在区间（—１，２）上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 解析：因为f′（x）＝３（x２—a），所以当a≤0时，f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上递增，f（x）没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′（x）＝0得x＝±错误!，当x变化时，f′（x）与f （x）的变化情况如下表所示： 答案：[１，４） 8．函数f（x）＝x３—３a２x＋a（a>0）的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．解析：f′（x）＝３x２—３a２＝３（x＋a）（x—a）， 由f′（x）＝0得x＝±a， 当—a 当x>a或x<—a时，f′（x）>0，函数递增， 所以f（x）的极大值为f（—a），极小值为f（a）． 所以f（—a）＝—a３＋３a３＋a>0且f（a）＝a３—３a３＋a<0． 解得a>错误!. 所以a的取值范围是错误!. 答案：错误! 9．已知函数f（x）＝错误!x３—错误!（a２＋a＋２）x２＋a２（a＋２）x，a∈R. （１）当a＝—１时，求函数y＝f（x）的单调区间； （２）求函数y＝f（x）的极值点． 解：（１）当a＝—１时，f（x）＝错误!x３—x２＋x， f′（x）＝x２—２x＋１＝（x—１）２≥0， 所以函数f（x）是R上的增函数，增区间为（—∞，＋∞），无递减区间． （２）因为f′（x）＝x２—（a２＋a＋２）x＋a２（a＋２）＝（x—a２）·[x—（a＋２）]， １当a＝—１或a＝２时，a２＝a＋２，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）为增函数，无极值点． ２当a＜—１或a＞２时，a２＞a＋２， 可得当x∈（—∞，a＋２）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（a＋２，a２）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（a２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．所以当x＝a＋２时，函数f（x）有极大值f（a＋２）；当x＝a２时，函数f（x）有极小值f（a２）．３当—１＜a＜２时，a２＜a＋２， 可得当x∈（—∞，a２）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（a２，a＋２）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（a＋２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．所以当x＝a＋２时，函数f（x）有极小值f（a＋２）; 当x＝a２时，函数f（x）有极大值f（a２）．综上所述，当a＝—１或a＝２时，f（x）无极值点； 当a＜—１或a＞２时，f（x）的极大值点为x＝a＋２，极小值点为x＝a２； 当—１＜a＜２时，f（x）的极大值点为x＝a２，极小值点为x＝a＋２． １0．已知函数f（x）＝错误!—１． （１）求函数f（x）的单调区间； （２）设m>0，求函数f（x）在区间[m，２m]上的最大值． 解：（１）因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!， 由错误!得0 由错误!得x>e. 所以函数f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，＋∞）． （２）１当错误!， 即0 所以f（x）max＝f（２m）＝错误!—１； ２当m 函数f（x）在区间[m，e）上是增加的，在（e，２m]上是减少的， 所以f（x）max＝f（e）＝错误!—１＝错误!—１； ３当m≥e时，[m，２m]?（e，＋∞），函数f（x）在区间[m，２m]上是减少的，所以f（x）max ＝f（m）＝错误!—１． 综上所述，当0 [综合题组练] １．（２0２0·重庆模拟）已知函数f（x）＝２e f′（e）ln x—错误!（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（） Ａ．２e—１Ｂ．—错误! Ｃ．１Ｄ．２ln ２ 解析：选Ｄ．由题意知f′（x）＝错误!—错误!， 所以f′（e）＝错误!—错误!，f′（e）＝错误!， 所以f′（x）＝错误!—错误!， 令f′（x）＝0，得x＝２e， 所以f（x）在（0，２e）上是增加的，在（２e，＋∞）上是减少的，所以f（x）的极大值为f（２e）＝２ln（２e）—２＝２ln ２，选Ｄ． ２．若函数f（x）＝错误!x３＋x２—错误!在区间（a，a＋５）上存在最小值，则实数a的取值范围是（） Ａ．[—５，0）Ｂ．（—５，0） Ｃ．[—３，0）Ｄ．（—３，0） 解析：选Ｃ．由题意，f′（x）＝x２＋２x＝x（x＋２），故f（x）在（—∞，—２），（0，＋∞）上是增函数，在（—２，0）上是减函数，作出其大致图象如图所示， 令错误!x３＋x２—错误!＝—错误!得，x＝0或x＝—３，则结合图象可知，错误!解得a∈[—３，0）．３．（２0２0·河南驻马店模拟）已知函数f（x）＝错误!在[—２，２]上的最大值为３，则实数a的取值范围是（） Ａ．（ln ３，＋∞）Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，ln ３] 解析：选C.由题意，当x≤0时，f（x）＝２x３＋３x２＋２，可得f′（x）＝6x２＋6x＝6x（x＋１），所以当—２≤x<—１时，f′（x）>0，函数f（x）在[—２，—１）上是增加的，当—１ 解析：因为f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１，所以f′（x）＝（２x＋a）e x—１＋（x２＋ax—１）e x—１＝[x２＋（a＋２）x＋a—１]e x—１.因为x＝—２是函数f（x）＝（x２＋ax—１）e x—１的极值点，所以—２是x２＋（a＋２）x＋a—１＝0的根，所以a＝—１，f′（x）＝（x２＋x—２）e x—１＝（x＋２）（x—１）e x—１.令f′（x）>0，解得x<—２或x>１，令f′（x）<0，解得—２ 答案：—１—１ ５．（２0２0·石家庄市质量检测）已知函数f（x）＝a e x—sin x，其中a∈R，e为自然对数的底数．（１）当a＝１时，证明：对任意的x∈[0，＋∞），f（x）≥１； （２）若函数f（x）在错误!上存在极值，求实数a的取值范围． 解：（１）证明：当a＝１时，f（x）＝e x—sin x，于是f′（x）＝e x—cos x. 当x∈[0，＋∞）时，e x＞１且cos x≤１． 故当x∈[0，＋∞）时，e x—cos x＞0，即f′（x）＞0． 所以函数f（x）＝e x—sin x为[0，＋∞）上的增函数，因为f（0）＝１， 所以对任意的x∈[0，＋∞），f（x）≥１． （２）法一：由f（x）在错误!上存在极值，得f′（x）＝a e x—cos x在错误!上存在零点． １当a∈（0，１）时，f′（x）＝a e x—cos x为错误!上的增函数， 注意到f′（0）＝a—１＜0，f′错误!＝a·e错误!＞0， 所以，存在唯一实数x0∈错误!，使得f′（x0）＝0成立． 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为（0，x0）上的减函数； 当x∈错误!时，f′（x）＞0，f（x）为错误!上的增函数． 所以x0错误!为函数f（x）的极小值点． ２当a≥１时，f′（x）＝a e x—cos x≥e x—cos x＞0在错误!上恒成立． 所以f（x）在错误!上是增加的， 所以f（x）在错误!上没有极值． ３当a≤0时，f′（x）＝a e x—cos x＜0在错误!上恒成立， 所以f（x）在错误!上是减少的， 所以f（x）在错误!上没有极值． 综上所述，若f（x）在错误!上存在极值，则实数a的取值范围是（0，１）． 法二：由函数f（x）在错误!上存在极值， 得f′（x）＝a e x—cos x在错误!上存在零点， 即a＝错误!在错误!上有解． 设g（x）＝错误!，x∈错误!，则g′（x）＝错误!＜0在错误!上恒成立，所以g（x）为错误!上的减函数．所以g（x）的值域为（0，１），所以当实数a∈（0，１）时，f′（x）＝a e x—cos x在错误!上存在零点． 下面证明，当a∈（0，１）时，函数f（x）在错误!上存在极值． 事实上，当a∈（0，１）时，f′（x）＝a e x—cos x为错误!上的增函数， 注意到f′（0）＝a—１＜0，f′错误!＝a·e错误!＞0，所以存在唯一实数x0∈错误!， 使得f′（x0）＝0成立． 当x∈错误!时，f′（x）＜0，f（x）为（0，x0）上的减函数； 当x∈错误!时，f′（x）＞0，f（x）为错误!上的增函数． 即x0错误!为函数f（x）的极小值点． 综上所述，若函数f（x）在错误!上存在极值，则实数a的取值范围是（0，１）． 6．已知函数f（x）＝a ln x＋错误!（a>0）． （１）求函数f（x）的单调区间和极值； （２）是否存在实数a，使得函数f（x）在[１，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：由题意，知函数的定义域为{x|x>0}，f′（x）＝错误!—错误!（a>0）． （１）由f′（x）>0，解得x>错误!， 所以函数f（x）的增区间是错误!； 由f′（x）<0，解得x<错误!， 所以函数f（x）的减区间是错误!. 所以当x＝错误!时，函数f（x）有极小值f错误!＝a ln 错误!＋a＝a—a ln a. （２）不存在．理由如下： 由（１）可知，当x∈错误!时，函数f（x）是减少的； 当x∈错误!时，函数f（x）是增加的． １若0<错误!≤１，即a≥１时，函数f（x）在[１，e]上为增函数， 故函数f（x）的最小值为f（１）＝a ln １＋１＝１，显然１≠0，故不满足条件． ２若１<错误!≤e，即错误!≤a<１时，函数f（x）在错误!上为减函数，在错误!上为增函数， 故函数f（x）的最小值为f（x）的极小值f错误!＝a ln 错误!＋a＝a—a ln a＝a（１—ln a）＝0，即ln a＝１，解得a＝e，而错误!≤a<１，故不满足条件． ３若错误!>e，即0 综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f（x）在[１，e]上的最小值为0． 《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f 专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x ) 利用导数研究函数的极值、最值 【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 角度2已知函数求极值 【例1－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝1 2 时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(角度2) 设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数. ①若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； ②若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值. 考点二已知函数的极值求参数函数的极值与导数教案完美版
高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
利用导数研究函数的极值、最值