极大值与极小值同称为极值.
函数极值的定义
〔1〕极值是某一点附近的小区间而言的,是函数 的局部性质,不是整体的最值; 〔2〕函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内 可能有多个极大值和极小值； 〔3〕极大值与极小值没有必然关系，极大值可 能比极小值还小.
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
函数值有什么关系？
2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 3 这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0), 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记 作y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
函数的极值与导数〔一〕
观察以下图中P点附近图像从左到右的变化
趋势、P点的函数值以及点P位置的特点
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
S(x ,f(x ))
4
4
Q(x2,f(x2))
o
a x1 x2
x3 x4 b x
1 函数y=f(x)在 x1, x2, x3, x4 等点的函数值与这些点附近的
A、导数y/由负变正,那么函数y由减变为增,且有极大 值 B、导数y/由负变正,那么函数y由增变为减,且有极大 值 C、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极小
求函数f(x) 1 x3 4x 4的极值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
