图论实验三个案例
单源最短路径问题 1.1 Dijkstra 算法
Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点
v 到源点v 1的最短距离，
,i j v v V
∀∈，若
(,)i j v v E
∉，记i v
到j v 的权ij w =∞。
Dijkstra 算法：
① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ∀∉-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③；
③ ()min{(),(,)}
j l v l v d v v =，
j v S
∈，v S ∀∈；
④ 存在
1
i v +，使
1()min{()}
i l v l v +=，v S ∈；
⑤
1{}
i S S v +=U ，
1{}
i S S v +=-，1i i =+，转②；
实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果121n n
v v v v -L 是从1v 到
n
v 的最短路径，则
121
n v v v -L 也必然是从1v 到
1
n v -的最优路径。
在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元
素表示顶点i v 到j v 的权ij w ，若i v
到j v 无边，则realmax ij w =，其中realmax 是
MATLAB 常量，表示最大的实数(1.7977e+308)。
function re=Dijkstra(ma)
%用Dijkstra算法求单源最短路径
%输入参量ma是距离矩阵
%输出参量是一个三行n列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点
n=size(ma,1);%得到距离矩阵的维数
s=ones(1,n);s(1)=0;%标记集合S和S的补
r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化
for i=2:n;%控制循环次数
mm=realmax;
for j=find(s==0);%集合S中的顶点
for k=find(s==1);%集合S补中的顶点
if(r(2,j)+ma(j,k)r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;
end
if(mm>r(2,k))
mm=r(2,k);t=k;
end
end
end
s(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合S end re=r;
1.2 动态规划求解最短路径
动态规划是美国数学家Richard Bellman 在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。动态规划应用了最佳原理：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n 个决策
12,,,n
D D D L ，如若这个决策是最优的，对于
任何一个整数k ，112,,,k k n
D D D ++L 也是最优的。
如图1，从A 1点要铺设一条管道到A 16点，中间必须要经过5个中间站，第一站可以在{ A 2，A 3}中任选一个，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是：{ A 4，A 5，A 6，A 7}，{ A 8，A 9，A 10}，{ A 11，A 12，A 13}，{ A 14，A 15}。连接两地管道的距离用连线上的数字表示，要求选一条从A 1到A 16的铺管线路，使总距离最短。
图1 可选择的管道图
解决此问题可以用穷举法，从A1到A16有48条路径，只须比较47次，就可得到最短路径为：A1→A2→A5→A8→A12→A15→A16，最短距离为18。
也可以使用Dijkstra算法。这里，我们动态规划解决此问题。注意到最短路径有这样一个特性，即如果最短路径的第k站通过P k，则这一最短路径在由
P k出发到达终点的那一部分路径，对于始点为P k到终点的所有可能的路径来说，必定也是距离最短的。根据最短路径这一特性，启发我们计算时从最后一段开始，从后向前逐步递推的方法，求出各点到A16的最短路径。
在算法中，我们用数组六元数组ss表示中间车站的个数(A1也作为中间车站)，用距离矩阵path表示该图。为简便起见，把该图看作有向图，各边的方向均为从左到右，则path不是对称矩阵，如path(12,14)=5，而path(14,12)=0(用0表示不通道路)。用3´16矩阵spath表示算法结果，第一行表示结点序号，第二行表示该结点到终点的最短距离，第三行表示该结点到终点的最短路径上的下一结点序号。下面给出MATLAB实现算法。
function [scheme] = ShortestPath(path,ss)
%利用动态规划求最短路径
%path是距离矩阵,ss是车站个数
n=size(path,1);%结点个数
scheme=zeros(3,n);%构造结果矩阵
scheme(1,:)=1:n;%设置结点序号
scheme(2,1:n-1)=realmax;%预设距离值
k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号
for i=size(ss,2):-1:1;%控制循环阶段数
