图论实验三个案例
单源最短路径问题 Dijkstra 算法
Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点v 到源点v 1的最短距离，,i j v v V
∀∈，若
(,)i j v v E
∉，记i v
到j v 的权ij w =∞。
Dijkstra 算法：
① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ∀∉-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③； ③
()min{(),(,)}
j l v l v d v v =，
j v S
∈，v S ∀∈；
④ 存在1
i v +，使
1()min{()}
i l v l v +=，v S ∈；
⑤
1{}
i S S v +=U ，
1{}
i S S v +=-，1i i =+，转②；
实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果121n n
v v v v -L 是从1v 到
n
v 的最
短路径，则
121
n v v v -L 也必然是从1v 到
1
n v -的最优路径。
在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元素表
示顶点i v 到j v 的权ij w ，若i v
到j v 无边，则realmax ij w =，其中realmax 是MATLAB
常量，表示最大的实数+308)。 function re=Dijkstra(ma)
%用Dijkstra 算法求单源最短路径 %输入参量ma 是距离矩阵
%输出参量是一个三行n 列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点
n=size(ma,1);%得到距离矩阵的维数
s=ones(1,n);s(1)=0;%标记集合S 和S 的补
r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化 for i=2:n;%控制循环次数 mm=realmax;
for j=find(s==0);%集合S 中的顶点
for k=find(s==1);%集合S 补中的顶点
if(r(2,j)+ma(j,k)r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j; end
if(mm>r(2,k)) mm=r(2,k);t=k; end end end
s(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合S end re=r;
动态规划求解最短路径
动态规划是美国数学家Richard Bellman 在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。动态规划应用了最佳原理：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n 个决策
12,,,n
D D D L ，如若这个决策是最优的，对于任何一
个整数k ，112,,,k k n
D D D ++L 也是最优的。
如图1，从A 1点要铺设一条管道到A 16点，中间必须要经过5个中间站，第一站可以在{ A 2，A 3}中任选一个，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是：{ A 4，
解决此问题可以用穷举法，从A 1到A 16有48条路径，只须比较47次，就可得到最短路径为：A 1→A 2→A 5→A 8→A 12→A 15→A 16，最短距离为18。
也可以使用Dijkstra 算法。这里，我们动态规划解决此问题。注意到最短路径有这样一个特性，即如果最短路径的第k 站通过P k ，则这一最短路径在由P k 出发到达终点的那一部分路径，对于始点为P k 到终点的所有可能的路径来说，必定也是距离最短的。根据最短路径这一特性，启发我们计算时从最后一段开始，从后向前逐步递推的方法，求出各点到A 16的最短路径。
在算法中，我们用数组六元数组ss 表示中间车站的个数(A 1也作为中间车站)，用距离矩阵path 表示该图。为简便起见，把该图看作有向图，各边的方向均为从左到右，则path 不是对称矩阵，如path(12,14)=5，而path(14,12)=0(用0表示不通道路)。用3´16矩阵spath 表示算法结果，第一行表示结点序号，第二行表示
图1 可选择的管道图
该结点到终点的最短距离，第三行表示该结点到终点的最短路径上的下一结点序号。下面给出MATLAB 实现算法。
function [scheme] = ShortestPath(path,ss) %利用动态规划求最短路径
%path 是距离矩阵,ss 是车站个数 n=size(path,1);%结点个数
scheme=zeros(3,n);%构造结果矩阵 scheme(1,:)=1:n;%设置结点序号
scheme(2,1:n-1)=realmax;%预设距离值 k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号 for i=size(ss,2):-1:1;%控制循环阶段数
for j=k:-1:(k-ss(i)+1);%当前阶段结点循环 for t=find(path(j,:)>0);%当前结点邻接结点 if path(j,t)+scheme(2,t)k=k-ss(i);移入下一阶段 end
先在MATLAB 命令窗口中构造距离矩阵path ，再输入： >> ShortestPath(path,ss) 得到以下结果：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 13 16 13 10 9 12 7 6 8 7 5 9 4 3 0 2 5 6 8 8 9 10 12 12 12 14 15 15 16 16 0 将该结果表示为图，即为图1粗线所示。
棋盘覆盖问题 问题的提出
在一个22k k
⨯个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方
格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊的棋盘。如图1就是当3k =时的特殊棋2所示4种不同形态的L 形骨牌覆盖一个特殊
图1 当k =3时的特殊棋盘
(a) (b) (c) (d)
