弯心坐标的通式推导及其应用

曲线坐标计算通用公式（复化Simpson 公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：(),A A A x y2、线元起点切线方位角：A α3、线元起点里程：A K4、线元终点里程：B K 5、线元起点曲率半径：A ρ 6、线元终点曲率半径：B ρ二、求解问题求线元上任意点的坐标：(),C x y 。

即推导曲线坐标计算通用公式。

三、图示：如右上图（图中未示y ∆值） 四、坐标计算公式线元上任意点C 的坐标计算公式为：A x x x =+∆————① A y y y =+∆————②由上式可知，关键问题是求出x ∆、y ∆。

五、x ∆计算若AC 是直线，直接采用公式cos x l α∆=可求出x ∆（其中l 为A 、C 两点间直线距离，α为AC 直线方位角），但是，A 、C 两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算x ∆,需利用微积分原理计算。

1、曲线AB 上任意一点的曲率ρ计算采用内插法得：()B AA AB Ak k k k ρρρρ-=+--————③其中：k ——曲线AB 上任意一点的里程。

2、曲线AB 上任意一点的切线方位角α计算如右图：C 是曲线AB 上任意一点，AT 、TC 是A 、C 两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：()90A A k k A R π-=()90A k k Rδβπ-==其中：k ——曲线上任意点里程。

R ——曲线上任意点的曲率半径。

（通过公式③求得，1R ρ=）()()1190A A A R R k k ααπ=++-()()90A A A k k αρρπ=++-————④ 使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：A ρ、B ρ均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。

线元左偏：A ρ、B ρ均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。

3、x ∆计算根据公式③、④可推知，()cos y k α=⎡⎤⎣⎦是里程间隔[],A C k k 上k 的一个连续函数，计算A 、C 两点的坐标增量x ∆，也就是求在里程段[],A C k k 内，x 坐标的改变量。

弯心坐标的通式推导
及其应用
弯心坐标的通式推导及其应用
［摘要］针对开口薄壁截面梁的剪流和弯心坐标的复杂计算问题，导出了简便计算公式。

对于由n个小矩形组成的开口薄壁截面，可以用图乘法计算弯心坐标避免了复杂的积分运算。

［关键词］开口薄壁截面；弯心坐标；剪流;静矩
当横向外力不作用于梁的纵向对称平面，而是非纵向对称平面的形心主惯性平面内时，要使得梁仍然只产生平面弯曲而不产生扭转变形，外力必须作用于特定的直线上。

由此，将梁在横向外力作用下，于两个形心主惯性平面内分别发生弯曲时，其横截面上两个剪力作用线的交点称为弯曲中心，简称弯心。

在工程上，如果横向外力作用线未通过弯心，则容易因扭转变形造成失稳。

所以,确定梁的弯心位置有着非常重要的工程意义。

在重庆大学出版社出版的《材料力学》（2011版）的第六章6.6节中，采用切应力流的概念推导了弯心，在随后的实际应用过程中，则主要套用了矩形
*
截面梁上任一点的弯曲切应力计算公式=-FSSz。

bi z
1.弯心坐标的通式推导
为了推导弯心坐标的通式，采用书上推导弯心定义时的切应力流的概念，首先计算切应力流
dx。

坐标旋转变换公式推导过程1. 旋转变换的基本概念在计算机图形学中，我们经常需要对图形对象进行旋转变换。

旋转变换是一种常见的线性变换，可以帮助我们调整图形的方向和角度。

旋转变换通常涉及到一个旋转角度和一个旋转中心。

2. 二维空间中的坐标旋转我们先来看二维空间中的坐标旋转。

假设有一个二维空间中的点P(x, y)，我们要将该点绕原点(0, 0)旋转一个角度θ，得到新的点P’(x’, y’)。

根据坐标旋转变换公式的推导过程，我们可以得到如下的数学表达式：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)3. 推导过程步骤一：旋转变换矩阵的推导我们知道，对于二维空间中的点P(x, y)，我们可以用齐次坐标来表示为P(x, y, 1)。

而旋转变换可以表示为一个2x2的矩阵R：R = | cos(θ) -sin(θ) | | sin(θ) cos(θ) |步骤二：推导旋转变换的推导根据矩阵乘法的定义，我们可以得到旋转后的点P’：P’ = R * P展开计算得到：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)因此，从矩阵和坐标的角度上，我们成功推导出了二维空间中的坐标旋转变换公式。

4. 结论通过上述推导过程，我们可以得到二维空间中坐标旋转变换的具体数学表达式。

这些公式在计算机图形学和计算机视觉中具有重要的应用价值，能够帮助我们实现各种旋转形变效果。

在实际的编程实现中，我们可以根据这些公式进行简单的计算，从而实现图形的旋转变换效果。

希望本文的推导过程对读者有所帮助，引发对坐标旋转变换公式的更深一步探索和研究。

参考资料•计算机图形学教程•计算机视觉基础理论以上就是坐标旋转变换公式推导过程的详细内容，希望对您有所帮助。

圆弧的形心推导过程
我们要推导圆弧的形心位置。

形心是一个几何形状的质量中心，假设该形状的密度是均匀的。

对于圆弧，其形心并不在圆弧上，而是在圆弧所对应的圆心的某个位置上。

假设圆弧所对应的完整圆的半径为R，圆弧的圆心角为θ（单位为弧度）。

首先，我们知道一个完整圆的形心就是其圆心。

但对于圆弧，其形心会偏向圆弧的中心方向。

为了找到这个形心，我们可以使用Pappus定理的一个推论，该推论给出了均匀圆弧对其直径的静矩（也称为一阶矩）。

静矩公式为：S = (θ/2π) ×π×R^2 ×R = (θ×R^3) / 2
其中，S 是圆弧对其直径的静矩，θ是圆弧的圆心角（弧度制），R 是圆的半径。

而形心到圆弧底边的距离d 可以通过以下公式得到：
d = S / (1/2 ×θ×R^2) = (2 ×S) / (θ×R^2)
将静矩S 的公式代入上式，我们可以得到 d 的表达式。

现在我们要来计算d 的值。

计算结果为：d = R
所以，圆弧的形心到其底边的距离为：R。

需要注意的是，这个距离是从圆弧的底边（即弦）垂直测量
到形心的距离，而不是从圆心到形心的距离。

这个结果似乎有些问题，因为通常圆弧的形心不会恰好在圆的半径上。

这可能是由于我们在推导过程中使用了不恰当的假设或公式。

实际上，圆弧的形心位置与圆弧的角度和半径都有关，并且通常需要通过积分来计算。

对于小于半圆的圆弧，形心会偏向圆弧的中心；对于大于半圆的圆弧，形心会偏向圆弧的外侧。

心形的柱坐标方程可以用以下步骤进行推导：首先，我们需要明确心形曲线的参数方程。

在三维空间中，心形曲线通常可以用以下参数方程表示：x = a*cos(t) + b*sin(t)y = c*cos(t) - d*sin(t)z = √{a^2 + c^2 - 2ac*cos(t)}其中，a、b、c、d为常数，t为参数。

这个参数方程描述了心形曲线在三维空间中的位置。

现在，我们可以将上述参数方程转化为柱坐标系下的方程。

在柱坐标系中，半径r、高h和角度θ之间的关系为：r = h/(sinθ)。

因此，我们可以将参数方程中的x、y和z分别表示为半径、高和角度的函数，即：r = x/hh = zθ= atan(y/x)将上述关系代入心形曲线的参数方程中，得到柱坐标下的心形曲线方程：r = a*cos(t) + b*sin(t)/hh = zθ= atan(b*sin(t) - d*cos(t))/(a*cos(t))为了方便起见，我们假设a、b、c、d均为正数。

此时，可以将上述方程整理为柱坐标下的心形曲线的一般形式：ρ= a*(cosθ+ sinθ)^3 + b*(sinθ- cosθ)^3其中，ρ表示圆柱坐标系中的半径，可以通过r、h和θ的关系将r转化为ρ。

在这个方程中，我们可以通过替换θ的值来得到不同角度下的心形曲线。

需要注意的是，由于上述方程使用了高次幂，所以心形曲线可能并不唯一，不同角度下的心形曲线可能会有所不同。

另外，在实际应用中，我们通常需要将上述方程进行简化或者进行特殊形状的变换。

例如，我们可以将上述方程中的θ用参数a来表示，得到柱坐标下的心形曲线的简化形式：ρ= a*(3cos^3θ- 3sin^3θ) + b*(3sin^3θ- cos^3θ)这个方程可以被简化为：ρ= 2a*cos^3θ+ 2b*sin^3θ- a*(b^2 + 4a^2)*cos^2θ+ 4ab*sin^2θ+ b^3这个方程可以用于绘制不同角度下的心形曲线。

三角形重心坐标公式怎么推
重心坐标公式的推导：
设三点为A(x1.y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)
重心坐标(xm,ym)
考虑xm，任取两点（不妨设为A和B）,则重心在以AB为底的中线上.
AB中点横坐标为(x1+x2)/2
重心在中线距AB中点1/3处
故重心横坐标为xm=1/3*(x3-(x1+x2)/2)+(x1+x2)/2=(x1+x2+x3)/3
同理，ym=(y1+y2+y3)/3
重心坐标的公式：
平面直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z2）/3
扩展资料：
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

坐标旋转变换公式推导在我们学习数学的过程中，坐标旋转变换公式就像是一个神秘的魔法，能让图形在坐标系中奇妙地转动起来。

今天，咱们就一起来揭开它神秘的面纱，好好推导推导这个神奇的公式。

话说有一天，我在教室里给学生们讲这个知识点。

我刚在黑板上写下“坐标旋转变换公式”这几个字，下面就传来一阵小小的嘀咕声。

“这听起来好难啊！”一个学生皱着眉头说。

我笑了笑，心里想着，得让他们感受到这其实没那么可怕。

咱们先从最简单的情况说起。

假设在平面直角坐标系 xOy 中，有一个点 P(x, y) ，现在我们要把这个坐标系绕着原点 O 逆时针旋转一个角度θ ，得到新的坐标系 x'Oy' 。

那点 P 在新坐标系中的坐标 (x', y') 会是多少呢？为了搞清楚这个，咱们先来看看旋转前后点 P 到原点 O 的距离 r 是不变的。

根据勾股定理，r = √(x² + y²) 。

接下来，咱们看看角度的关系。

在原来的坐标系中，点 P 与 x 轴正半轴的夹角是α ，那么tanα = y / x 。

旋转之后，新的角度是α + θ 。

那么在新坐标系中，x' = r cos(α + θ) ，y' = r sin(α + θ) 。

根据三角函数的和角公式，cos(α + θ) = cosα cosθ - sinα sinθ ，sin(α + θ) = sinα cosθ + cosα sinθ 。

因为cosα = x / r ，sinα = y / r ，所以x' = r (cosα cosθ - sinα sinθ) = x cosθ - y sinθ ，y' = r (sinα cosθ + cosα sinθ) = x sinθ + y cosθ 。

这就是坐标旋转变换的公式啦！讲完这些，我看了看学生们的表情，还是有一些迷茫。

于是我又在黑板上画了一个具体的例子，一个点 (3, 4) ，旋转 45 度。

圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角△X=sinβ×R△Y=(1-cosβ)×RC= 弦长X=X1+cos (α ±β/2)×CY=Y1+sin (α ±β/2)×Cβ代表偏角,（既弧上任一点所对的圆心角）。

β/2是所谓的偏角（弦长与切线的夹角）△X、△Y代表增量值。

X、Y代表准备求的坐标。

X1、Y1代表起算点坐标值。

α代表起算点的方位角。

R 代表曲线半径缓和曲线坐标计算公式β= L2/2RL S ×180°/πC= L - L5/90R2L S2X=X1+cos (α ±β/3)×CY=Y1+sin (α ±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。

LS代表缓和曲线总长。

X1、Y1代表起算点坐标值。

直线坐标计算公式X=X1+cosα×LY=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值α代表直线段方位角。

L代表起算点到准备算的距离。

左右边桩计算方法X边=X中+cos（α±90°)×LY边=Y中+sin（α±90°)×L在计算左右边桩时，先求出中桩坐标，在用此公式求左右边桩。

如果在线路方向左侧用中桩方位角减去90°，线路右侧加90°，乘以准备算的左右宽度。

例题:直线坐标计算方法α(方位角)=18°21′47″X1=84817.831 Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″+90°)×7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02曲线半径2500 缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2C=120-1205/(90×25002×1202)=119.997X=X1+cos(α±β/3)×CX=86437.901+cos(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=86552.086Y=Y1+sin(α±β/3)×CY=889.941+sin(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=926.832求DK186+541.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574缓和曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 18°21′47″-1°22′30.36″=16°59′16.64″注:缓和曲线在计算坐标时,此公式只能从两头往中间推,只能从ZH点往HY点推,HZ点往YH点推算,如果YH往HZ点推算坐标,公式里的β为β2/3.例题:圆曲线坐标计算方法α(HY点起始方位角)= 16°59′16.64″X1=86552.086 Y1=926.832曲线半径2500 曲线长748.75 起始里程DK186+541.02求YH点坐标,也可以求QZ点坐标或任意圆曲线一点坐标.解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C= 弦长C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=87290.023Y=Y1+sin(α±β/2)×CY=926.832+ sin(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=1035.905圆曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″=359°49′40.33″求DK187+289.77里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″-90°)×3.75=87290.012Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。

三角形内心坐标计算公式(三角形内心坐标公式推导最简单) 大家好，今天给各位分享三角形内心坐标计算公式的一些知识，其中也会对三角形内心坐标公式推导最简单进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！本文目录形心坐标公式求三角形内心的坐标已知一个三角形三顶点坐三角形的内心公式是什么数学中三角形内心的坐标公式是己知三点坐标求所成三角形内心坐标三角形内心坐标公式推导最简单三角形外心坐标计算公式形心坐标公式形心坐标计算公式是∫∫Dxdxdy=重心横坐标某D的面积，∫∫Dydxdy=重心纵坐标某D的面积。

扩展资料：高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，考察学生解题的技巧。

二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧。

二重积分的一般计算步骤如下：画出积分区域D的草图，根据积分区域D以及被积函数的特点确定合适。

求三角形内心的坐标已知一个三角形三顶点坐三角形内心坐标是三个横坐标取平均值，三个纵坐标取平均值。

因此内心坐标O（x，y）x=（1+8+3）/3=4y=（2+9+10）/3=7三角形的内心公式是什么三角形的内心公式是ai=2S/b+c-a，其中ai为三角形内心到边ai的距离，S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三条边。

这个公式的原理是根据三角形的内切圆性质得出的。

内心是三角形内接圆圆心，内接圆是三角形内切于三边的圆，所以根据内接圆性质，可以得到内心公式。

此外，三角形有很多重要的定理和公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等，这些都是研究三角形的基础知识，对于数学和物理等科学领域的学习都有很重要的作用。

数学中三角形内心的坐标公式是内心是角平分线的交点,到三边距离相等.设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)BC=a,CA=b,AB=c内心为M（X,Y）M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）内心是角平分线的交点,到三边距离相等.设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)BC=a,CA=b,AB=c内心为M（X,Y）M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）己知三点坐标求所成三角形内心坐标内心是角平分线的交点，到三边距离相等.设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)BC=a,CA=b,AB=c内心为M（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1-X，Y1-Y）MB=(X2-X,Y2-Y)MC=(X3-X,Y3-Y)则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0，a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)∴M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）三角形内心坐标公式推导最简单您好，三角形内心坐标公式可以用数学方法推导出来，但是需要一定的数学知识。

心形曲线极坐标方程推导心形曲线是一种美丽而富有韵律的几何形状，它的极坐标方程可以通过一系列推导来得到。

在这篇文章中，我们将从最基础的概念开始，逐步推导出心形曲线的极坐标方程，并解释其几何意义和数学特性。

首先，让我们回顾一下极坐标的基本概念。

在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离和与极轴的夹角来确定。

假设我们有一个点P，它的极坐标表示为(r,θ)。

其中，r表示点P到极点O的距离，θ表示点P到极轴的夹角。

接下来，让我们来考虑心形曲线的定义。

心形曲线是指在平面上的一条曲线，它的轨迹形状类似于一个心形。

通常来说，心形曲线可以用数学方程来描述。

现在，让我们开始推导心形曲线的极坐标方程。

首先，我们来考虑一个简单的情况：心形曲线的基本形状。

心形曲线可以看做是由两个对称的圆形组成的。

假设这两个圆的半径分别为a和b，我们可以将它们的极坐标方程分别表示为：r1=a*cos(θ)r2=b*cos(θ)其中，r1和r2分别表示两个圆上任意一点的极坐标半径，θ表示与极轴的夹角。

现在，我们希望将这两个圆形合并成一个心形曲线。

为了实现这一点，我们可以将两个圆形的极坐标方程相加。

这样，我们就可以得到心形曲线的极坐标方程：r=a*cos(θ)+b*cos(θ)这就是心形曲线的极坐标方程。

通过这个方程，我们可以在极坐标系中绘制出心形曲线的形状。

接下来，让我们来分析一下这个极坐标方程的几何意义。

我们可以看到，当θ=0时，r=a+b；当θ=π时，r=a-b。

这意味着心形曲线在极轴上的最远点到极点的距离为a+b，在极轴上的最近点到极点的距离为a-b。

这也解释了为什么心形曲线的形状类似于一个心形的原因。

此外，我们还可以通过对极坐标方程进行一些变换来得到其他形式的心形曲线。

例如，我们可以将极坐标方程中的cos(θ)改为sin(θ)：r=a*sin(θ)+b*sin(θ)这样就得到了另一种形式的心形曲线。

通过这种方法，我们可以得到许多不同形式的心形曲线，它们的形状也各有特点。