浅谈二次函数的三种表示方法
浅谈二次函数的三种表示方法
学习了二次函数,我们知道二次函数有三种表示方法: 表达式法______用表达式表示函
数;数表法______用表格表示函数;图象法_____用图象表示函数.下面我们一起来详细地探究一下这种表示方法以及它们的区别与联系.
一、二次函数的三种表示方法
1． 表达式法
两个变量之间的函数关系用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫表达式法.
如：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的？用表达式表示y与x之间的函数关系.
2. 数表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格表示函数关系，这种表示法叫数表法.
如上面问题中y与x之间的函数关系，可以通过数表法表示出来，如下表：
3.图象法
将自变量与因变量的对应值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即得到函数的图象，用图象表示函数关系的方法，就叫图象法. 如上面的问题，可以用下面的图象来表示y与x之间的对应关系.
二、二次函数三种表示法之间的关系
（1）表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达；
（2）在列函数表达式或列表或画图象时都应注意自变量的取值范围，特别是实际问题中的自变量的取值范围，切忌使问题失去意义.
（3）分析函数图象的性质时，应尽可能地从三种不同的表示方法中综合分析，才能使问题回答得更全面、更准确.
（4）二次函数的三种表示方式一般可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，由表格法表示可以写出函数表达式，知道图象点的坐标也可以确定函数表达式.这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要． x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=(x-1)2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 …
用三种方式表示二次函数
学习目标：
1、经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
2、能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
3、能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
学习重点：探究三种表示二次函数关系方式的不同特点。
学习难点：能根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。
学习过程：
一、知识回顾
1、 我们学习了哪些函数？
2、函数的表达方式有哪些？
二、新知探究
引例：香蕉1元一斤，2元二斤，3元三斤，……
1、如果设数量为x总价为y,你能根据上面的信息写出y与x的函数关系式吗？
2、你能用表格来表示这种关系吗？
x（斤） 0 ……
Y(元） 0 ……
3、你能画出它的函数图象吗？
例题学习：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
探究：y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？它们各自的优缺点是什么？
1、解析法—用表达式表示函数 ：
⑴优点 ： ⑵ 缺点：
2、列表法—用表格表示函数：
⑴优点 ：
⑵缺点：
图象法—用图象法表示函数：
⑴优点
⑵ 缺点：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y x y 4、在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?你是怎么得到的?请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
做一做
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
1、 解析法—用表达式表示函数 ：
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数，它有三种标准形式的表达式，分别是一般型、完全型、标准型的表达式，它们可以应用于多学科，对于任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。
一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式，其中a，b，c为实数，其中a不能等于0，这是一般型表达式的特点，这也是二次函数最基本的表达方式。
二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展，它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c +
dx + e， 其中a、d不能同时为0，其他的参数都可以为0，但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式，它可以很好地表示一个函数的形状，起到了很重要的作用。
三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式，它有一个标准的表达式形式，即 y = a(x - h)^2 + k，参数a不能等于0，其中h为x轴上的横坐标，k为y轴上的纵坐标。标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值，这个特点使得它在实际应用中非常有用。
总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍，它们各有优缺点，在具体应用中应根据具体情况来选择适合的表达式。正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。
解读二次函数
山东沂源县徐家庄中学 左效平
邮政编码：256116
一、全面理解二次函数的定义
（1）二次函数有四种表达形式
①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。
②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。
③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。
④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。
（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。
二、掌握二次函数的图像和性质
①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质
②y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0）的图像和性质
③y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0）的图像和性质
④y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的性质
a＞0时 ，开口向上；a＜0时，开口向下
顶点坐标是（-，），对称轴是直线x=-。
a＞0时 ，函数有最小值，y=；a＜0时，函数有最大值，y=；
性质，
当a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；
当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小.
三、会结合图像确定y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号
a的符号：
看抛物线的开口方向：
开口向上，a＞0；开口向下a＜0;
b的符号：
有对称轴的位置和的a符号确定：
对称轴是y轴，b=0；
对称轴在原点的左侧：，
对称轴在原点的右侧，；
c的符号：
看抛物线与y轴交点的位置：
交点在原点，c=0；
交点在原点以上，c＞o；
交点在原点以下，c＜0。
