二次函数三种表达形式

浅谈二次函数的三种表示方法

摘要：函数是中学数学的一个重要概念，初中阶段主要学习一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数。尽管内容不多，但函数的思想已经有所体现，仍占据着重要地位。基础知识是否牢固，函数的思想是否基本形成，对高中阶段的进一步学习都有着相当大的影响。二次函数又是初中的一个难点，因此学好函数的表示方法及其重要。

关键词：二次函数 表示方法 解析式求法

函数是研究现实世界中数量关系的一种重要的数学模型之一，北师大版九年级（下）的数学知识中，函数的章节很大的比例，尤其是其中的二次函数更是重中之重，是中考的必考题目之一。下面根据笔者的教学经验谈谈二次函数的三种表达方法。

一、二次函数的表达方法及特点

1.列表法：用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。它表示了变量之间的变化趋势及规律；

2.图象法：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。 3.解析式法：用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做表达式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达。

二次函数虽有三种表示方法，但是在考试中考最常的还是解析式法。因而，求函数的解析式也成了考试的一个重点。很多题目求二次函数的解析式成了解整道题目的关键。

二次函数常见的表达形式有：

（1）一般式：yaxbxca20()；

（2）顶点式：yaxmh()2，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；

（3）交点式：yaxxxx()()12，其中点(,)()xx1200，，为该二次函数与x轴的交点。

1）二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c（a≠0）

复习

1．抛物线)0(2acbxaxy，对称轴为直线x＝2，且过点P（3，0），则cba=

；

2．函数baxy与cbxaxy2的图象如图所示，则ab 0，c 0（填“＜”或“＞”）

3．已知抛物线cbxxy2的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是 ；

4．已知抛物线y=3(x-1)2+k上有三点A(2,y1),B(2,y2),C(-5,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 ；

5．已知二次函数,2cbxaxy且0,0cbaa，则一定有b2-4ac 0；

例1. （南通市）已知抛物线yaxbxc2经过A，B，C三点，当x0时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

解：设所求抛物线的解析式为yaxbxc2（a0）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。

cabcabc216402553,,，解之，得abc12322,,抛物线的解析式为yxx123222

yxxx1232123225822()() 该抛物线的顶点坐标为()32258，。

例2 （江西省）一条抛物线yxmxn142经过点()032，与()432，。求这条抛物线的解析式。

1. （2006年长春市）二次函数yxbxc2的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。求二次函数yxbxc2的关系式。

第 1 页 共 1 页 §2.5用三种方式表示二次函数

学习目标：

1.经历三种方式表示二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；

2.掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；

3.掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。

学习重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础。

学习过程：

一、复习旧知，温故知新

1.二次函数的一般形式是 ，它的图象是一条 ，对称轴是 ，

顶点坐标是 。当a>0时，抛物线开口向 ，有最 点（填高或低），

函数有最 值（填大或小），是 ;当 a<0时，抛物线开口向 ，有最 点（填高或低），函数有最 值（填大或小，是 .

2. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。

3、作出函数图象的具体步骤是___________、_______________、_________________ 。

二、创设情境，引入新知

对于一般的二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）我们可以用哪些方式来表示呢？

三、合作探究，发现新知

1.已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？

(1)用函数表达式表示：__________________。（3）用图象表示：

(2)用表格表示：

x 1 2 3 4 5 6 7 8

9

10-x

y

(4)议一议：

①在上述问题中，自变量x的取值范围是_________________。

二次函数

1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c均是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数。a的绝对值越大，抛物线的开口越小

解析：

二次函数的表达式 a

（二次项系数） B

（一次项系数） C

（常数项） 自变量x取值范围

？

y=ax2+bx+c a≠0 b≠0 c≠0 全体实数

y=ax2 a≠0 b=0 c=0 全体实数

y=ax2+ c 》

a≠0 b=0 c≠0 全体实数

y=ax2+bx a≠0 b≠0 c=0 全体实数

2、二次函数的几种形式及性质

、

二次函数的形式 a的符号 抛物线开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

y=ax2 a＞0 向上 （0,0） ^

y轴 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0

a＜0 向下 （0,0) y轴 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0

y=ax2+ c

(上加下减) a＞0 &

向上 (0,c) y轴 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c

a＜0 向下 (0,c) y轴 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c

y=a(x-h)2

；

(左加右减) a＞0 向上 （h,0） x=h x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0

a＜0 向下 （h,0） x=h }

x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y

随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0

y=a(x-h)2+k

(左加右减) a＞0 向上 （h,k） x=h x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k

a＜0 向下 ?

（h,k） x=h x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k