二次函数的三种表达形式
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二次函数的三种表白形式：①普遍式：
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶面坐标为
[,]
把三个面代进函数剖析式得出一个三元一次圆程组，便能解出a、b、c的值.之阳早格格创做
②顶面式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶面坐标为对于称轴为直线x=h，顶面的位子特性战图像的启心目标与函数y=ax2的图像相共，当x=h时，y最值=k.
偶尔题目会指出让您用配要发把普遍式化成顶面式.
例：已知二次函数y的顶面(1,2)战另一任性面(3,10)，供y的剖析式.
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代进上式，解得y=2(x-1)2+2.
注意：与面正在仄里直角坐标系中的仄移分歧，二次函数仄移后的顶面式中，h>0时，h越大，图像的对于称轴离y轴越近，且正在x轴正目标上，没有克没有及果h前是背号便简朴天认为是背左仄移.
简直可分为底下几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再进与移动k个单位，便不妨得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h>0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再进与移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.
③接面式：
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有接面时的扔物线，即b2-4ac≥0] .
已知扔物线与x轴即y=0有接面A（x1，0）战 B（x2，0）,咱们可设y=a(x-x1)(x-x2),而后把第三面代进x、y中即可供出a.
由普遍式形成接面式的步调：
二次函数
∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2).
要害观念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决断函数的启心目标.a>0时，启心目标进与；
a<0时，启心目标背下.a的千万于值不妨决断启心大小.
a的千万于值越大启心便越小，a的千万于值越小启心便越大.
能机动使用那三种办法供二次函数的剖析式；
能流利天使用二次函数正在几许范围中的应用；
能流利天使用二次函数办理本质问题.
• 二次函数阐明式的供法：
便普遍式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而止，其中含有三个待定的系数a
，b ，c．供二次函数的普遍式时，必须要有三个独力的定量条件，去修坐闭于a ，b ，c 的圆程，联坐供解，再把供出的a ，b ，c 的值反代回本函数剖析式，即可得到所供的二次函数剖析式.
1.巧与接面式法：
知识归纳：二次函数接面式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是扔物线与x轴二个接面的横坐标.
已知扔物线与x轴二个接面的横坐标供二次函数剖析式时，用接面式比较烦琐. ①典型例题一：报告扔物线与x轴的二个接面的横坐标，战第三个面，可供出函数的接面式.
例：已知扔物线与x轴接面的横坐标为-2战1
，且通过面（2，8），供二次函数的剖析式.
面拨：
解设函数的剖析式为y＝a(x+2)(x-1)，
∵过面（2，8），
∴8＝a(2+2)(2-1).
解得a=2，
∴扔物线的剖析式为：
y＝2(x+2)(x-1)，
即y＝2x2+2x-4.
②典型例题二：报告扔物线与x轴的二个接面之间的距离战对于称轴，可利用扔物线的对于称性供解.
例：已知二次函数的顶面坐标为（3，-2），而且图象与x轴二接面间的距离为4，供二次函数的剖析式.
面拨：
正在已知扔物线与x轴二接面的距离战顶面坐目标情况下，问题比较简单办理．由顶面坐标为（3，-2）的条件，易知其对于称轴为x＝3，再利用扔物线的对于称性，可知图象与x轴二接面的坐标分别为（1，0）战（5，0）.此时，可使用二次函数的接面式，得出函数剖析式.
2.巧用顶面式：
顶面式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是扔物线的顶面.当已知扔物线顶面坐标或者对于称轴，或者不妨先供出扔物线顶面时，设顶面式解题格外简净，果为其中惟有一个已知数a.正在此类问题中，常战对于称轴，最大值或者最小值分离起去命题.正在应用题中，波及到桥拱、隧讲、弹讲直线、投篮等问题时，普遍用顶面式便当．
①典型例题一：报告顶面坐标战另一个面的坐标，间接不妨解出函数顶面式.
例：已知扔物线的顶面坐标为（-1，-2），且通过面（1，10），供此二次函数的剖析式.
面拨：
解∵顶面坐标为（-1，-2），
故设二次函数剖析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）.
把面（1，10）代进上式，得10=a·(1+1)2-2.
∴a=3.
∴二次函数的剖析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.
②典型例题二： 如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；
如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=.
报告最大值或者最小值，本质上也是报告了顶面坐标，共样也不妨供出顶面式.
例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴二接面间的距离为6，供那个二次函数的剖析式.
面拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶面坐标为（4，-3），对于称轴为直线x＝4，扔物线启心进与.
由于图象与x轴二接面间的距离为6，根据图象的对于称性便不妨得到图象与x轴二接面的坐标是（1，0）战（7，0）.
∴扔物线的顶面为（4，-3）且过面（1，0）.
故可设函数剖析式为y＝a(x－4)2－3.
将（1，0）代进得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．
∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73.
③典型例题三：报告对于称轴，相称于报告了顶面的横坐标，概括其余条件，也可解出.
比圆：
（1）已知二次函数的图象通过面A（3，-2）战B（1，0），且对于称轴是直线x＝3．供那个二次函数的剖析式.
（2）已知闭于x的二次函数图象的对于称轴是直线x=1，图象接y轴于面（0，2），且过面（-1，0），供那个二次函数的剖析式.
（3）已知扔物线的对于称轴为直线x=2，且通过面（1，4）战面（5，0），供此扔物线的剖析式.
（4）二次函数的图象的对于称轴x=-4，且过本面，它的顶面到x轴的距离为4，供此函数的剖析式．
④典型例题四：利用函数的顶面式，解图像的仄移等问题非常便当.
例：把扔物线y=ax2+bx+c的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位, 所得图像的剖析式是y=x2-3x+5, 则函数的剖析式为_______.
面拨：
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114.
∵它是由扔物线的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位得到的，
∴本扔物线的剖析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.
