第三章 向量空间

第三章向量空间I 考试大纲要求1、考试内容：向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关；向量组的极大无关组和秩；矩阵的秩；向量的内积、正交矩阵及其性质、线性无关向量组的正交规范化方法.数一还要求：向量空间的概念、基和坐标、基变换、过渡矩阵和坐标变换、规范正交基.2、考试要求：1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性表示.了解向量组的等价概念.2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的有关性质及判别法.3、理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，理解矩阵的秩的概念及其与行秩和列秩的关系，掌握求矩阵的秩及向量组的极大线性无关组和秩的方法.4、理解内积和正交矩阵的概念.5、掌握施密特正交化方法.数一还要求：6、理解n维向量空间，子空间，维数，基，坐标等概念.7、理解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.8、理解规范正交的概念及性质.II 重要知识点一、向量1、向量的定义由n 个实数n a a a ,,,21 组成的有序数组),,,(21n a a a 称为n 维行向量，记作),,,(21n a a a =α，其中),,2,1(n i a i =称为向量α的第i 个分量.同样也可定义n 维列向量T n b b b ),,,(21 =β.2、向量的运算（1） 向量的相等：设),,,(21n a a a =α，),,,(21n b b b =β，若),,2,1(n i b a i i ==，则称它们相等，记作βα=.（2） 零向量：)0,,0,0(0 =.（3） 负向量：：设),,,(21n a a a =α，令),,,(21n a a a ---=- α，叫作α的负向量. （4） 向量的加法运算及数乘运算：设),,,(21n a a a =α，),,,(21n b b b =β定义：),,,(2211n n b a b a b a ±±±=± βα，),,,(21n ka ka ka k =α.（5） 向量的加法及数乘满足的运算规律：①交换律：αββα+=+； ②结合律：γβαγβα++=++)()(；③ αα=+0 ； ④ 0)(=-+αα；⑤ βαβαk k k +=+)(； ⑥ αααl k l k +=+)(； ⑦ αα)()(kl l k =； ⑧ αα=1. 还可推出以下规律：00 =α，αα-=-)1(，00 =k 及若0 =αk ，则0=k 或0=α.二、线性方程组的基本概念及表达形式非齐次线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (I)A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m mn m m n n b b b a a a a a a a a a21212222111211 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j m n a a a b b b x x x x 212121,,αβ. A 叫作(I)的系数矩阵，A 叫作(I)的增广矩阵.(I) 还可改写为矩阵方程的形式：β=Ax和向量形式：βααα=+++n n x x x 2211.齐次线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (II)(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为：0=Ax向量形式为：02211=+++n n x x x ααα三、向量的线性相关性1、线性组合：s s k k k αααβ+++= 2211（向量形式）.非齐次线性方程组β=AX （矩阵形式）是否有解，相当于β是否可由A 的列向量线性表示.其中),,,(21s A ααα =.2、线性相关与线性无关：设s ααα,,,21 为一组n 维向量，如果存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得02211=+++s s k k k ααα（向量形式）成立，则称向量组s ααα,,,21 线性相关；如果上述等式仅当021====s k k k 时成立，则称向量组s ααα,,,21 线性无关.齐次线性方程组0=AX （矩阵形式）是否有非零解，相当于A 的列向量组是否线性相关.其中),,,(A ααα =.3、基本定理：定理1 向量组m ααα,,,21 线性相关⇔m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余的1-m 个向量线性表示（逆否命题）.定理 2 若向量组m ααα,,,21 线性无关，则向量组βααα,,,,21m 线性相关⇔β可由m ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一（逆否命题）.定理3 若r ααα,,,21 线性相关，则m r r ααααα,,,,,,121 +也线性相关（逆否）. 定理 4 若向量组m ααα,,,21 线性无关，则在相同位置随意扩充向量组各向量的分量，所得向量组仍线性无关（逆否命题）.定理5 设r ααα,,,21 和s βββ,,,21 是两个向量组，如果①向量组r ααα,,,21 可以经s βββ,,,21 线性表出；② s r >. 那么向量组r ααα,,,21 必线性相关.定理5' 如果向量组r ααα,,,21 可以经s βββ,,,21 线性表出，且向量组r ααα,,,21 线性无关，那么s r ≤.定理6向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关（逆否命题）. 定理7 n 个n 维向量线性无关⇔由它们所构成的矩阵对应的行列式不等于零（逆否命题）.四、向量组的秩和矩阵的秩1、极大线性无关组：设s ααα,,,21 为一个n 维向量组，如果向量组中有r 个向量线性无关，且任意1+r 个向量线性相关，则称这r 个线性无关的向量为向量组s ααα,,,21 的一个极大线性无关组.若rj j j ααα,,,21是s ααα,,,21 的线性无关部分组，它是极大线性无关组的充分必要条件是：s ααα,,,21 中每一个向量都可由rj j j ααα,,,21线性表示.2、向量组的等价性：设有向量组r I ααα,,,:)(21 和s II βββ,,,:)(21 ，如果向量组)(II 线性表示. 如果向量组)(I 和向量组)(II 可以互相线性表示，则称向量组)(I 和向量组)(II 等价，记为≅},,,{21r ααα },,,{21s βββ .向量组等价具有性质：反身性、对称性、传递性.3、向量组的秩：向量组s ααα,,,21 的极大线性无关组中所含向量的个数称为此向量组的秩，记作秩),,,(21s ααα 或),,,(21s r ααα .4、极大线性无关组和向量组秩的性质：（1）任何向量组和它的极大线性无关组等价，从而同一向量组的所有极大无关组之间等价.（2） 等价的线性无关组所含向量的个数相等，从而等价的向量组的秩相等. （3） 若向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则这个向量组中任意r 个线无关的部分组都是这个向量组的一个极大线性无关组.（4） 若向量组)(I 可以由向量组)(II 线性表示，则秩)(I ≤秩)(II .（5） 若两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另外一个向量组线性表示，则这两个向量组等价.（6） β可由s ααα,,,21 线性表示⇔1212(,,,,)(,,,)s s r r αααβααα= . （7） β可由s ααα,,,21 唯一线性表示⇔1212(,,,,)(,,,)s s r r s αααβααα== . （8） 12,,,t βββ 可由s ααα,,,21 线性表示⇔121212(,,,,,,,)(,,,)s t s r r αααβββααα=（9）若s ααα,,,21 线性无关，且1212(,,,)(,,,)t s A βββααα= ，则12(,,,)()t r r A βββ= . 5、矩阵的秩：设n m ij a A ⨯=)(，则矩阵A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等，统称为矩阵A 的秩，记为秩)(A 或)(A r .也可用行列式来定义：r A r =)(的充要条件是：矩阵A 中至少有一个r 阶子式不等于零，而所有1+r 阶子式都等于零.初等变换不改变矩阵的秩.11220s s x x x ααα+++= 和11220s s x x x βββ+++=同解，即齐次线性方程组12(,,,)0s X ααα= 和12(,,,)0s X βββ= 同解，则称这两个向量组有相同线性关系. 当向量组12,,,s ααα 和12,,,s βββ 有相同线性关系时，（1） 它们对应的任何一个部分组有相同的线性相关性. （2） 它们的极大线性无关组相对应，从而它们的秩相等. （3）它们有相同的内在线性关系表示式.定理 初等行变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列向量之间的线性关系，进而不改变矩阵的列秩.证明：设矩阵()ij m n A a ⨯=经过一次初等行变换化为矩阵()ij m n B b ⨯=，A 的行向量组为：12,,,,,,,i j m ααααα ，则B 的行向量组为：12,,,,,,,j i m ααααα ，或12,,,,,,i j m k ααααα ，或12,,,,,,i j j m k αααααα+ ，无论是那种情形B 的行向量组和A 的行向量组都等价，故初等行变换不改变矩阵的行秩. 矩阵()ij m n A a ⨯=经过一次初等行变换化为矩阵()ij m n B b ⨯=，体现在齐次线性方程组0AX = 和0BX = 上，相当于0AX =经过了一次线性方程组的初等变换化为0BX = ，故0AX = 和0BX =同解，再设A 和B 的列向量组分别为：12,,,n βββ 和12,,,n γγγ ，则这两个齐次线性方程组的向量形式：11220n n x x x βββ+++= 和11220n n x x x γγγ+++=同解，从而12,,,n βββ 和12,,,n γγγ 有相同的线性关系，有相同的秩，进而A 和B 的列秩相等.同样初等列变换不改变矩阵的列秩，也不改变矩阵的行向量之间的线性关系，进而不改变矩阵的行秩.111212122222212210010000100000n n n rm m mn m mn a a a a a a b b E O A B OO a a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪=→→→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭6、向量组的秩和矩阵的秩的计算矩阵秩的计算：用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.向量组的极大线性无关组和秩的计算：用向量组12,,,s ααα 的各个分量作为一个矩阵A 的列，并且只用初等行变换将此矩阵化为阶梯形矩阵B ，由于0AX = 和0BX =同解，故A 的列向量组和B 的列向量组有相同线性关系，从而它们的极大线性无关组相对应，秩相等.因此此阶梯形矩阵B 的非零行数就是这个向量组的秩，并此阶梯形矩阵的各台角所在列号对应的部分组便是极大线性无关组.进一步只用初等行变换将此矩阵化到最简形式C ，同样A 的列向量组和C 的列向量组有相同线性关系，故它们的极大线性无关组相对应且有相同的内在线性关系表示式，进而得到12,,,s ααα 由这个极大线性无关组线性表示的表达式. 7、向量的内积、长度及正交定义 在n R 中，设12(,,,)n a a a α= ，12(,,,)n b b b β= ，定义α与β的内积为 1122(,)T T n n a b a b a b αβαββα=+++== ，这是行向量的内积.同样也可以定义列向量的内积，设12(,,,)T n a a a α= ，12(,,,)T n b b b β= ， 定义α与β的内积为：1122(,)T T n n a b a b a b αβαββα=+++== .于是两个实矩阵n m ij a A ⨯=)(和()ij n s B b ⨯=的乘积也可以用内积表示出来，设n m ij a A ⨯=)(的行向量组为：12,,,m ααα ，()ij n s B b ⨯=的列向量组为：12,,,s βββ ，则111211112111121212222122221222121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)T TT n s s T TT n s s T TT m m mn n n ns m m m s a a a b b b aa ab b b AB a a a b b b αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 内积具有的基本性质：（1）),(),(αββα=； （2）),(),(βαβαk k =；（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； （4）(,)0,(,)00ααααα≥=⇔=.内积具有的其他性质：（1）(,0)(0,)0αα==； （2）(,)(,)k k αβαβ=；（3）(,)(,)(,)γαβγαγβ+=+； （4）1111(,)(,)r s r si i j j i j i j i j i j k l k l αβαβ=====∑∑∑∑.向量的长度：a ==ka k α===.显然0αα⇔= ，当0α≠ ，取1k α=，则1αα=，令0ααα=是一个单位向量. 向量间的夹角：22221222212211),(),(cos nnnn bb b a a a b a b a b a +++⋅++++++=⋅=∠ βαβαβα.正交：若1122(,)0T n n a b a b a b αβαβ==+++= ，则称α与β正交，记为αβ⊥. 例如：n 维零向量和任何n 维向量正交. 正交向量组：非零向量组12,,,s ααα ，且两两正交.定理 正交向量组必是线性无关的线性无关的向量组. 反之不成立.标准正交向量组：向量组12,,,s ααα 各向量都是单位向量，且两两正交.例如：n 维基本单位向量组12,,,n εεε . 8、向量组的正交化方法（施密特正交化方法） 设s ααα,,,21 为一个n 维线性无关向量组，令11αβ=， 111βηβ=. 1111222),(),(ββββααβ-=， 222βηβ=.…… …… 121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)s s s s s s s s s αβαβαββαβββββββββ----=---- ， s s sβηβ=. 定理 12,,,s βββ 是和s ααα,,,21 等价的正交向量组，12,,,s ηηη 是和9、正交矩阵定义 若n 阶实矩阵()ij n n A a ⨯=满足T T AA A A E ==，则称A 为正交矩阵.例如：E . 正交矩阵的性质：（1）若A 为正交矩阵，则1T A A -=，A -都是正交矩阵； （2）若A 和B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵； （3）若A 为正交矩阵，则1A =±；（4）方阵()ij n n A a ⨯=为正交矩阵⇔A 的行（列）向量组为标准正交向量组.（4）的证明：设A 的行向量组为：12,,,n ααα ，T A 的列向量组为：12,,,T T Tnααα ，则A 为正交矩阵⇔T AA E =，即111211121111121212221222221222121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n Tn n nn n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a AA E a a a a a a αααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1122(,)(,)(,)1,(,)0,n n i j i j αααααααα⇔=====≠ ，⇔A 的行向量组12,,,n ααα 为标准正交向量组.设n ααα,,,21 为n R 中线性无关的列向量组，先将其正交化得n βββ,,,21 ，再将其单位化得111ββη=，222ββη=，…，nn n ββη=.令[]n Q ηηη,,,21 =，则Q 为正交矩阵.这是以后我们构造正交矩阵的主要方法.10、向量空间n 维向量空间n R ：全体n 维实向量构成的集合在向量的加法和数乘运算下做 成的向量空间.子空间：若n R 的非空子集V 对n R 的加法和数乘运算封闭，则称V 是n R 的一 个子空间.设12,,,s ααα 是n R 中一个向量组，令{}12112212(,,,)|,,,,s s s s V L k k k k k k R αααααααα===+++∈ ，如：齐次线性方程组的解空间就是由它的基础解系生成的n R 的子空间. 基、维数、坐标：n 维向量空间n R 的子空间V 的一个极大线性无关组，叫做V的一个基.基中所含向量的个数叫做V 的维数，记为dim V .设12,,,s ααα是V 的一个基，则V 中每一个向量α都可唯一的表示为1122s s k k k αααα=+++ ，则s 维向量12(,,,)s k k k 叫做向量α在V 的基12,,,s ααα 下的坐标.如果V 的一个基12,,,s ααα 是标准正交组，则称12,,,s ααα 是V 的 一个标准（规范）正交基.若,αβ在V 的基12,,,s ααα 下的坐标分别12(,,,)s k k k ，12(,,,)s l l l ，则,k ααβ+在V 的基12,,,s ααα 下的坐标分别12(,,,)s kk kk kk ，1122(,,,)s s k l k l k l +++ .如：n 个未知数的齐次线性方程组AX O =的解空间的维数为()n r A -，它的基础解系便是它的一个基.过渡矩阵、坐标转换公式：设12,,,s ααα 和12,,,s βββ 都是V 的基.而11112121212122221122s s s s s s s ss s a a a a a a a a a βαααβαααβααα=++⎧⎪=++⎪⎨⎪⎪=++⎩ （表达式唯一）令111212122212s s s s ss a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（为唯一）便有1212(,,,)(,,,)s s A βββααα= ，则A 叫做基12,,,s ααα 到12,,,s βββ 的过渡 矩阵，同样基12,,,s βββ 到12,,,s ααα 的也有过渡矩阵B ，亦有1212(,,,)(,,,)s s B αααβββ= ，将前面的式子代入有1212(,,,)(,,,)s s AB αααααα= ， 而本身1212(,,,)(,,,)s s E αααααα= ，故A B E =，所以是过渡矩阵A 和B 都是可逆 的，且是互逆的.若V 中向量α在V 的基12,,,s ααα 下的坐标为12(,,,)T s X x x x = ， 在V 的基12,,,s βββ 下的坐标为12(,,,)T s Y y y y = ，则有111112112221222212s s s s s s ss s x y a a a y x y a a a y X A x y a a a y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（坐标转换公式） 同一向量空间V 的两个标准（规范）正交基的过渡矩阵是正交矩阵，这III 题型归纳及思路提示题型1 讨论向量组的线性表示及线性相关性解题方法：（1）利用线性表示及线性相关的定义和性质； （2）判别向量β是否为向量组s ααα,,,21 的线性组合： ① 令s s k k k αααβ+++= 2211；② 写出与上式等价的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ss sn n n s s s s b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a 22112222211211221111 ③ 若方程组无解，则β不能由s ααα,,,21 线性表示； 若方程组有解，则β为s ααα,,,21 线性组合.例1 设向量组321,,ααα线性无关，若向量组133221,,αααααα+++m l 也线性无关，则参数m l ,的关系是 .解答：取一组参数123,,k k k ，令112223331()()()0k l k k m αααααα+++++=，整理得131122233()()()0lk k k k k mk ααα+++++=，由于321,,ααα线性无关，故有关于参数123,,k k k 的齐次线性方程组131223000lk k k k k mk +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，若向量组133221,,αααααα+++m l 也线性无关，则112223331()()()0k l k k m αααααα+++++= 只有零解，即131223000lk k k k k mk +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩只有零解，故其系数行列式011101001l D lm m==+≠，亦为参数m l ,满足的关系.例2 设s ααα,,,21 均为n 维向量，则下列结论不正确的是 .答案：（2） （1）若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα，则s ααα,,,21 线性无关；（2）若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，有02211=+++s s k k k ααα ；（3）s ααα,,,21 线性无关的充要条件是此向量组的秩为s ； （4）s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. 例3 设)(,,,21n r a a a r ≤ 是两两互不相同的数，令),,,,1(12-=r i i i i a a a α， ),,2,1(r i =，问12,,,r ααα 是否线性无关.解答：由于以12,,,r ααα 的各分量为列构造一个r 阶行列式12111121110rr r r r a a a D a a a ---=≠，故12,,,r ααα 是否线性无关. 例4 设有三维列向量,),,0(,)1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(2321T T T T λλβλαλαλα=+=+=+=问λ取何值时，（1）β可由321,,ααα线性表示，且表达式唯一； （2）β可由321,,ααα线性表示，且表达式不唯一； （3）β不能由321,,ααα线性表示.解答：（1）β可由321,,ααα线性表示，且表达式唯一的充要条件是线性方程组112233x x x αααβ++=（向量形式）有解而且有唯一解，故112233x x x αααβ++=的系数矩阵123(,,)A ααα=的秩和其增广矩阵A 的秩相等且都等于3，故其系数行列式2123111(,,)111(3)0111D A λαααλλλλ+===+=+≠+，即0λ≠且3λ≠-时，β可由321,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）β可由321,,ααα线性表示，且表达式不唯一的充要条件是线性方程组112233x x x αααβ++=（向量形式）有解而且有无穷多解，故112233x x x αααβ++=的系数矩阵123(,,)A ααα=的秩和其增广矩阵A 的秩相等且都小于3，故其系数行列式2123(,,)(3)0D A αααλλ===+=，即0λ=或3λ=-，当0λ=时，112233x x x αααβ++=的系数矩阵A 的秩和增广矩阵A 的秩相等等于1且都小于3，此时β可由321,,ααα线性表示，且表达式不唯一.（3）当3λ=-时，112233x x x αααβ++=的系数矩阵A 的秩等于2，而其增广矩阵A 的秩等于3，112233x x x αααβ++=无解，此时β不能由321,,ααα线性表示. 例5 设有三维列向量组T T T a I )2,1,1(,)3,1,1(,)2,0,1(:)(321+-===ααα和向量组T T T a a a II )4,1,2(,)6,1,2(,)3,2,1(:)(321+=+=+=βββ，问a 取何值时，)(I 和)(II 等价？问a 取何值时，)(I 和)(II 不等价？解答：)(I 和)(II 等价的充要条件)(I 和)(II 可以互相线性表出，首先对于同一参数a ，)(II 123,,βββ可由)(I 321,,ααα线性表出，则其充要条件为123123(,,,,,)r αααβββ 123(,,)r ααα=，故构造下面矩阵A ，并对这个矩阵只作初等行变换，有123123111122111122()0112110112112323640112A a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-→-→⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭111122011211001111a a a a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭当10a +≠，即1a ≠-时，123123123(,,,,,)(,,)3r r αααβββααα==，故)(II 123,,βββ可由)(I 321,,ααα线性表出，而此时易验证123(,,)3r βββ=，有123123(,,,,,)r αααβββ123(,,)3r βββ==，故)(I 321,,ααα可由)(II 123,,βββ线性表出，即)(I 和)(II 等价. 当10a +=，即1a =-时，显然123123123(,,,,,)32(,,)r r αααβββααα=>=，此时)(II 123,,βββ不能由)(I 321,,ααα线性表出，进而)(I 和)(II 不等价.例6设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===不能由向量组123(1,1,1),(1,2,3),(3,4,)T T T a βββ===线性表示.（1）求a 的值； （2）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.解答：（1）321,,ααα不能由123,,βββ线性表出的充要条件为123123123(,,,,,)(,,)r r αααββββββ≠，故构造下面矩阵A ，并对这个矩阵只作初等行变换，有123123101113101113101113()01312401312401312411513014023001107A a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭接着再对下面矩阵B 只作初等行变换，有123113113113()124011011107014005B a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当5a =时，1231231233(,,,,,)(,,)2r r αααββββββ=≠=，321,,ααα不能由123,,βββ线性表出. （2）显然123123123(,,,,,)(,,)3r r αααβββααα==，故123,,βββ可由123,,ααα线性表示，当5a =时，继续对矩阵A 只作初等行变换，有123123101113100215()0131240104210001102001102A αααβββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故123,,βββ用123,,ααα线性表示的表达式为11232123312324205102βαααβαααβααα=+-=++⋅=+-⎧⎪⎨⎪⎩.题型2 有关向量线性相关性命题的证明（主要利用定义和性质） 例7证明：若)3(,,,121≥-m m ααα 线性相关，而m αα,,2 线性无关，则：（1）1α可由12,,-m αα 线性表示； （2）m α不可由11,,-m αα 线性表示. 证明：（1）由于m αα,,2 线性无关，故12,,-m αα 线性无关，而121,,,m ααα- 线性相关，故1α可由12,,-m αα 线性表示.（2）反设m α可由11,,-m αα 线性表示，由（1）知1α可由12,,-m αα 线性表示，故m α可由12,,-m αα 线性表示，这与m αα,,2 线性无关矛盾，故m α不可由11,,-m αα 线性表示.例8 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，其中m n <，E 为n 阶单位矩阵，若E AB =，证明：B 的列向量线性无关.证明：由于()()()n r E r AB r B n ==≤≤，故()r B n =，则B 的列秩也等于n ，即B 的列向量线性无关.例9 设A 是n 阶方阵，x 是n 维列向量.若对于某一自然数m 有01 ≠-x A m ，0=x A m （规定E A =0）证明：x A Ax x m 1,,,- 线性无关.解答：取m 个参数12,,,m k k k ，令1120m m k x k Ax k A x -+++=，给这个式子两边同时左乘于1m A-，有110m k Ax -= ，由于01≠-x A m ，故10k =，代入上式得，120m m k Ax k A x -++= ，在对这个式子两边同时左乘于2m A -，有120m k A x -= ，由于01≠-x Am ，故20k =，继续下去便可得到120m k k k ==== ，故xA Ax x m 1,,,- 线性无关.例10设n 维向量组（I ）12,,,r ααα 可以用（II ）n 维向量组12,,,s βββ 线性表出，则下列命题正确的是（ ） 答案：（1）（1）若（I ）线性无关，则r s ≤； （2）若（I ）线性相关，则r s >；（3）若（II ）线性无关，则r s ≤；（4）若（II ）线性相关，则r s >. 题型3 求向量组的极大线性无关组解题思路：求向量组的秩及其极大线性无关组可通过其所构成的矩阵的秩来完成，具体步骤为：（1） 将向量组中的各向量的分量作为矩阵的列； （2） 对上述矩阵作行初等变换；（3） 变成阶梯形矩阵后，即可知道这个向量组的秩，然后每一阶梯上取一列，则对应的向量所构成的向量组即为其极大线性无关组.例11 求向量组TT T T T )1,4,1,2(,)2,6,1,5(,)1,0,1,2(,)3,14,0,7(,)0,2,3,1(54321-==-===ααααα的秩及其极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组来表示.解答：以这个向量组中的各向量的分量作为矩阵的列，形成下面矩阵A ，并对这个矩阵只作初等行变换，有172521725217252301110217147031212140640044000110031210312100000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211703210017032331103011110100103333001100011000110000000000000000⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭故这个向量组的秩为3，321,,ααα为其极大线性无关组，剩余向量45,αα由这个极大线性无关组表示的表达式为41234123213311033αααααααα=++=-++⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.例12 设四维向量组4321,,,αααα，令),,,(4321αααα=A ，且方程组0=Ax 的通解为T k x )0,1,0,1(=，求向量组4321,,,αααα的极大线性无关组.解答：由于方程组0=Ax 的未知数个数为4，其基础解系中仅含有一个线性无关的解向量，故其系数矩阵),,,(4321αααα=A 的秩为3，即A 的列秩为3，而由于(1,0,1,0)T是0 =Ax 的解向量，故130αα+=，即13,αα线性相关，故向量组4321,,,αααα的极大线性无关组中含有3个向量但不能同时含有13,αα，故其极大线性无关组只可能是124,,ααα或234,,ααα. 由于13αα=-，故124,,ααα和234,,ααα等价，所以其极大线性无关组就是124,,ααα或234,,ααα.题型4 有关向量组或矩阵秩的计算与证明解题思路：（1）利用初等变换求矩阵的秩；（2）利用公式求秩. 例13 设B A ,为两个m n ⨯阶矩阵，证明：()()()r A B r A r B ±≤+.证明：设向量组12,,,n ααα 和12,,,n βββ 分别是矩阵A 和B 的列向量组，()r A r =，()r B s =，12,,,r ααα 是12,,,n ααα 的一个极大线性无关组，12,,,s βββ 是12,,,n βββ 的一个极大线性无关组，则12(,,,)n A ααα= ，12(,,,)n B βββ= ，进一步有1122(,,,)n n A B αβαβαβ+=+++ ，1122(,,,)n n A B αβαβαβ-=--- .显然A B +的列向量组1122,,,n n αβαβαβ+++ 可由向量组12,,,r ααα ，12,,,s βββ ，故11221212(,,,)(,,,,,,,)n n r s r r r s αβαβαβαααβββ+++≤≤+ ，即()()()r A B r A r B +≤+.同样A B -的列向量组1122,,,n n αβαβαβ--- 可由向量组12,,,r ααα ，12,,,s βββ ，故11221212(,,,)(,,,,,,,)n n r s r r r s αβαβαβαααβββ---≤≤+ ，即()()()r A B r A r B -≤+.例14 设B A ,为两个n 阶矩阵，证明：()()A O r r A r B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 证明：设()r A r =，()r B s =，则存在n 阶可逆矩阵1122,,,P Q P Q ，使得11r E O P AQ OO ⎛⎫=⎪⎝⎭，22sE O P BQ OO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令12P O P O P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12Q O Q OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则,P Q 可逆，且使得11112222A OA O A O P Q OB O B O B P O Q O P Q O P O Q P Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎪，即rs E O OO A O O O O O P Q O B O O E O OO OO ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，则()()A O r r s r A r B O B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 例15设n m ij a A ⨯=)(，s n ij b B ⨯=)(，证明：若O AB =，则n B r A r ≤+)()(.证明：设()r A r =，12,,,s βββ 是s n ij b B ⨯=)(的列向量组，12,,,n r ηηη- 是0Ax =的一个基础解系，则12(,,,)s B βββ= ，1212(,,,)(,,,)(0,0,,0)s s AB A A A A O ββββββ====⇔120s A A A βββ==== ⇔12,,,s βββ 是齐次线性方程组0Ax =的解向量，故向量组12,,,s βββ 可由12,,,n r ηηη- 线性表出，则12(,,,)s r n r βββ≤- ，即()()r B n r n r A ≤-=-，所以n B r A r ≤+)()(.例16 设B A ,为两个n 阶非零矩阵，且O AB =，则关于(),()r A r B 说法正确的是（ ）（1）必有一个等于零； （2）都小于n ； （3）一个小于n ，一个等于n ； （4）都等于n .解答：由于B A ,为两个n 阶非零矩阵，故()1,()1rArB ≥≥，而O AB =，有n B r A r ≤+)()(，(),()r A r B 都小于n ，故应选择（2）.例17设B A ,均为n 阶方阵且1-=B ABA ，证明：n AB E r AB E r =++-)()(. 证明：由1-=B ABA 知2()AB ABAB E ==，故2()E AB O -=，即()()E AB E AB O -+=，故(2)()()()n r E r E AB E AB r E AB r E AB n ==-++≤-++≤，有n AB E r AB E r =++-)()(. 例18 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，证明：***)(A B AB =.证明：由于B A ,均为n 阶可逆矩阵，故AB 也为n 阶可逆矩阵，所以有 *11111**()()()()AB AB AB A B B A B B A A B A -----====. 例19 *A 是)2(≥n n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r ； （2）1*-=n A A .证明：（1）当()r A n =时，0A ≠，有*1A A A -=，故1*110n n A A A A A A ---===≠，此时*()r A n =.当()1r A n =-时，0A =，则*()1r A ≥，并由*AA A E O ==知*()()r A r A n +≤，故*1()()1r A n r A ≤≤-=，即*()1r A =.当()1r A n <-时，有*A O =，此时*()0r A =，故有⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r .（2）当0A ≠时，已有1*-=n AA ，当0A =时，*()1r A ≤，有*0A =，亦有1*-=n AA .例20设A 为n 阶方阵)3(≥n ，证明：A A A n 2**)(-=.证明：当()r A n =时，0A ≠，有1*0n A A-=≠，*A 可逆，有 1112****111()()()n n n A A A AA A AAA AA -------====.当()r A n ≤时，*()11r A n ≤<-，有**(())0r A =，则**()A O =，亦有A AA n 2**)(-=.例21 设A 均为n m ⨯阶实矩阵，证明：)()(A A r A r T =.例22设s ααα,,,21 是线性无关的n 维向量组，A 是n 阶方阵，如果1212(,,,)(,,,)s s r A A A r αααααα< ，证明：A 是不可逆矩阵.证明：反设A 是可逆矩阵，取一组参数12,,,s k k k ，令11220s s k A k A k A ααα+++=，则有1122()0s sA k k k ααα+++=，给此式两边同时左乘于1A -得11220s s k k k ααα+++=，而s ααα,,,21 线性无关，故120s k k k ==== ，因此12,,,s A A A ααα 线性无关，这与1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα<= 矛盾，故A 是不可逆矩阵.例23设A 为n m ⨯实矩阵，m n <，且方程组b Ax =有唯一解，证明：A A T 可逆. 例24 设n n ij a A ⨯=)(，1)(-=n A r ，证明：存在常数k ，使得*2*)(kA A =.证明：由于1)(-=n A r ，故*()1r A =，则*A 的各行各列成比例，因此*A 可以表示为一个列向量12(,,,)T n a a a α= 右乘于一个行向量12(,,,)n b b b β= ，即*A αβ=，所以*2*1122()()()()n n A a b a b a b kA αβαβαβαββααβαβ====+++= ，1122n n k a b a b a b =+++ .例25 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有：（1）02=+=b a b a 或； （2）02≠+=b a b a 或； （3）02=+≠b a b a 且； （4）02≠+≠b a b a 且.解答：由于A 的伴随矩阵的秩为1，故A 的秩为2，所以2(2)()0a b bA b a b a b a b b b a==+-=，有02=+=b a b a 或，若a b =，则A 的秩小于等于1，故只有（3）为正确答案.题型5 有关过渡矩阵及正交矩阵的命题解题思路：主要利用过渡矩阵与正交矩阵的定义及性质. 例26 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα，其中T )2,2,1(1=α， T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求矩阵A .解答：将三个等式11A αα=，222A αα=，333A αα=转化为矩阵形式123123123123100(,,)(,,)(,2,2)(,,)020003A A A A αααααααααααα⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭， 令123122(,,)221212P ααα-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，有100020003AP P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1100020003A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 例27 求3R 中的向量α在基)1,2,1(1=α，)3,3,2(2=α，)1,7,3(3=α和基 )4,1,3(1=β，)1,2,5(2=β，)6,1,1(3-=β下的坐标变换公式.解答：设1(1,0,0)ε=，2(0,1,0)ε=，3(0,0,1)ε=是3R 中的基本向量组，则有123123123(,,)(,,)237131αααεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123123351(,,)(,,)121416βββεεε⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 整理得1123123123123351277141(,,)(,,)237121(,,)92091314164128βββαααααα----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为27714192094128---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，设向量α在基123,,ααα下坐标为123(,,)T X x x x =，在基123,,βββ下的坐标为123(,,)T Y y y y =，则有11122233327714192094128x y y X x A y y x y y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为其坐标变换公式. 例28 设α为n 维非零列向量，E 为单位矩阵，试证：T T E A αααα2-=为正交矩阵.证明：222244()()()T T T T TT T T AA A E E E αααααααααααααα==-=-+=，故结论成立.21例29在n R 中，设向量组121,,,n ααα- 是线性无关的，且与向量12,ββ都正交，试证明：向量12,ββ线性相关.证明：考虑向量组12112,,,,,n αααββ- 中向量个数为1n +大于其维数，故12112,,,,,n αααββ- 线性相关，所以存在不全为零的1n +个数12112,,,,,n k k k l l - 使得11221111220n n k k k l l αααββ--+++++=，由于121,,,n ααα- 线性无关，故12,l l 不全为零，给11221111220n n k k k l l αααββ--+++++=两边同时和1122l l ββ+作内积有1122112211112211221122(,)(,)(,0)0n n l l k k k l l l l l l ββαααββββββ--+++++++=+=，进一步有11221122(,)0l l l l ββββ++=，故11220l l ββ+=，而12,l l 不全为零，所以12,ββ线性相关.IV 本章小结重点难点：1、向量的线性相关与线性无关的定义及判断； 2、含参数的向量的线性表示； 3、向量组的极大线性无关组.数一：4、n 维向量空间，子空间，维数，基，坐标等概念.5、过渡矩阵、基变换和坐标变换公式.向量既是重点又是难点，从以往试题来看，首先应理解向量的线性组合，掌 握求线性表示的方法；其次（也是重点）要理解线性相关、线性无关等概念，要掌 握向量线性相关、线性无关的有关性质及判别方法，这一类题目出现频率最高；第 三，要理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握其求法，要理解向量组秩的概念， 会求向量组的秩；第四，要了解内积的概念，掌握施密特正交化方法.。