第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A
y
n
n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若{}
n y 的极限存在
⇒{}n y 必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
∞→x 时，)(x f 的极限：
A
x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭
⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim
⑵当
0x x →时，)(x f 的极限：
A x f x x =→)(lim 0
左极限：
A
x f x x =-→)(lim 0
右极限：A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
A
x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
+∞
=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
,,
,
∞→+∞→-∞→x x x 00
0,,x x x x x x →→→+-
2．
无穷小量：
)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim 0)(lim ≠+∞=⇔=x f x f x f 4．
无穷小量的比较：
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若c =α
βlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若∞=α
βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
；，2211~~βαβα
则：
2
12
1
lim
lim
ββαα=
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：
n
n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且： a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则： a x n n =∞
→lim
2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：
)
()()(x h x f x g ≤≤
且：
A
x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则：A x f x x =→)(lim 0
㈣极限的运算规则
若：
B x v A x u ==)(lim ,)(lim
则：①
B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
②
B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[
③B
A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①
)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±Λ
)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=Λ
②
)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅
③n
n
x u x u )]
([lim )](lim [=
㈤两个重要极限
1．1
sin lim 0=→x
x
x 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e x
x
x =+∞→)11(lim e x x
x =+→10)1(lim
§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，
1o
0)]()([lim lim 000
=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x
2
o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续：
)
()(lim 00
x f x f x x =-→
右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件：
定理：)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→
4. 函数在[]b a ,上连续：
)(x f 在
[]
b a ,上每一点都连续。
在端点
a 和
b 连续是指：
)()(lim a f x f a x =+→ 左端点右连续；
)()(lim b f x f b
x =-→ 右端点左连续。
a
0 b x 5. 函数的间断点：
若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：
1o
)(x f 在
x 处无定义；
2o
)
(lim 0
x f x x →不存在；
3o
)(x f 在
x 处有定义，且
)
(lim 0
x f x x →存在，
但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→都存在。
可去间断点：
)
(lim 0
x f x x →存在，但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→，或
)(x f
在
0x 处无定义。
2o 第二类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(lim 0
x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1.
连续函数的四则运算：
设
)()(lim 00
x f x f x x =→，
)
()(lim 00
x g x g x x =→
1o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ⋅=⋅→
3o )
()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x
2.
复合函数的连续性：
)]([),
(),(x f y x u u f y ϕϕ===
)]
([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ϕϕϕϕ==→→
则：)]
([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→
3.
反函数的连续性：
)(),
(),
(001
x f y x f x x f y ===-
)
()(lim )()(lim 01
1
00
y f y f x f x f y y x x --→→=⇔=
㈢函数在
],[b a 上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。
-M
0 a b x
2. 有界定理：
)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定有界。 3.介值定理：
)(x f 在],[b a 上连续⇒在),(b a 内至少存在一点
ξ，使得：c f =)(ξ，
其中：
M
c m ≤≤
x
x
推论：
)(x f 在
]
,[b a 上连续，且
)(a f 与)(b f 异号
⇒
在
),(b a 内至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容
㈠导数的概念
1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，
x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：
)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
)
(lim )(0
0x f x f x x '='-→-
（或：
)(lim )(0
0x f x f x x '='+→+）
3.函数可导的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
)(00
x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，
且存在。
5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '
6.导数的几何性质：
y ∆
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ∆
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算： 1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（
3o
2v v u v u v u '⋅-⋅'='
⎪⎭
⎫
⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),(x f y x u u f y ϕϕ===
dx
du du dy dx dy ⋅=，或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意
})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：
})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。
4.高阶导数：
)(),(),
()3(x f x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
(Λ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
)(x f 在x 的某个邻域内有定义，
)()(x o x x A y ∆+∆⋅=∆
其中：
)(x A 与x ∆无关，)(x o ∆是比x ∆较高
阶的无穷小量，即：0
)(lim 0=∆∆→∆x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ∆=)(
dx x A dy )(= )0(→∆x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ⇒在x 处可导，
且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du
u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的
微分
dy 都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用
一、主要内容 ㈠中值定理
1.罗尔定理:
)(x f 满足条件:
.
0)(,),().()(3;),(2],[10.0.
0.='⇒⎪⎭⎪
⎬⎫=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少在内可导在上连续；在
o
2.
a
b a f b f f b a b a b a --=
'⇒⎭⎬⎫)
()()(),(),(2],[10
ξξ，使得：在一点内至少存在内可导；在上连续，
在
㈡罗必塔法则：（∞∞
,0
型未定式）
定理：
)(x f 和)(x g 满足条件：
1o
）或）
或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f a
x a
x ；
2o 在点a 的某个邻域内可导，且
0)(≠'x g ；
3o
）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x
则：）
（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x
☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o 若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是
型或
∞∞型时，不可求导。
3o 应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。
4o 若
)(x f '和)(x g '还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
）（或∞=''''=''=∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )
()(lim )()(lim )()(lim )()()(
5o 若函数是
∞-∞∞⋅,0型可采用代数变
形，化成
或∞
∞
型；若是
0,0,1∞
∞型可
采用对数或指数变形，化成
或∞
∞型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
)
,
(
),
(
y
x
M
x
f
y=
切线方程：
)
)(
(
x
x
x
f
y
y-
'
=
-
法线方程：
)0
)
(
(
),
(
)
(
1
≠
'
-
'
-
=
-x
f
x
x
x
f
y
y
2．曲线的单调性：
⑴
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
≥
'内单调增加；
在)
,
(
)
(b
a
x
f
⇒
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
≤
'内单调减少；
在)
,
(
)
(b
a
x
f
⇒
⑵
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
>
'内严格单调增加；
在)
,
(b
a
⇒
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
<
'内严格单调减少。
在)
,
(b
a
⇒
3.函数的极值：
⑴极值的定义：
设
)
(x
f
在
)
,
(b
a
内有定义，
x
是
)
,
(b
a
内的一点；
若对于
x
的某个邻域内的任意点
x
x≠
，都有：
)]
(
)
(
)[
(
)
(
0 0
x f
x
f
x
f
x
f≤
≥或
则称
)
(
x
f
是
)
(x
f
的一个极大值（或极小值），
称
x
为
)
(x
f
的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
0)()(.2)()(.1000
00
=⇒⎭
⎬⎫
'x f x f x f x f 存在。存在极值
x 称为
)
(x f 的驻点
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在0000000
00
)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
''='
当x 渐增通过0x 时，)(x f 由（+）变（-）；
则
)
(0x f 为极大值；
当
x
渐增通过
x 时，
)(x f 由（-）变（+）
；则)(0x f 为极小值。
定理二：
是极值点。是极值；存在。；0000
00
)()(.20)(.1x x f x f x f ⇒⎭
⎬⎫''='
若
0)(0<''x f ，则
)(0x f 为极大值；
若0
)(0>''x f ，则)
(0x f 为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
()b a x x f ,,0)(∈>''；则)(x f 在),(b a 内是上凹的（或凹的）
，（∪）；
⑵若
()b a x x f ,,0)(∈<''；则)(x f 在),(b a 内是下凹的（或凸的）
，（∩）；
⑶
()的拐点。
为称时变号。过，)()(,)(.20)(.10000
00
x f x f x x x f x f ⇒⎭⎬⎫
''=''
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
的水平渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f A y A x f A x f x x =⇒⎪⎭⎪⎬⎫==+∞→-∞
→
⑵铅直渐近线：
的铅直渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f C x x f x f C x C
x =⇒⎪⎭⎪⎬⎫∞=∞=+-→→
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分 一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：
D x x F x f ∈),
(),(
若：
)()(x f x F ='
则称
)(x F 是)(x f 的一个原函数，
并称C x F +)(是
)(x f 的所有原函数,
其中C 是任意常数。
2．不定积分：
函数
)(x f 的所有原函数的全体，
称为函数
)(x f 的不定积分；记作：
⎰+=C
x F dx x f )()(
其中：)(x f 称为被积函数；
dx x f )(称为被积表达式；
x 称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴
[])
()(x f dx x f ='
⎰
或：
[]dx
x f dx x f d )()(=⎰
⑵
C x f dx x f +='⎰)()( 或：
C
x f x df +=⎰)()(
⑶
⎰+++dx
x f x f x f n
)]()()([2
1
Λ
⎰⎰⎰+++=dx
x f dx x f dx x f n )()()(21Λ
—分项积分法
⑷
⎰⎰=dx
x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)
4.基本积分公式：
㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
⎰
'dx x x f )()]([ϕϕ⎰⇑
=)
()]([x d x f ϕϕ凑微元
C
t F dt t f x t +==⎰⇑
=)()()
(ϕ令
C
x F x t +=⇑
=)]([)
(ϕϕ回代
常用的凑微元函数有：
1o
)(1
)(1b ax d a
ax d a dx +== )
0,(≠a b a 为常数，
2o
)
()
1(1111
1b ax d m a dx m dx x m m m
++=+=++
为常数）（m
3o
)
(1)(b ae d a
e d dx e x
x
x
+==
)1,0(),(ln 1≠>=a a a d a
dx a x
x
4o
)(ln 1
x d dx x
= 5o
)(sin cos )(cos sin x d xdx x d dx =-=
)(cot csc )(tan sec 2
2
x d xdx x d xdx -==
6o
)
(arccos )(arcsin 11
2
x d x d dx x
-==-
)cot ()(arctan 11
2x arc d x d dx x
-==+
2.第二换元法：
⎰⎰⇑
==)
()]([)()
(t d t f dx
x f t x ϕϕϕ令
⎰+='=C t F dx t f t )()]([)(ϕϕ
C
x F x t +=-=⇑
-)]([1
)
(1ϕϕ反代
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换：
1o
0,,>=t n t x n
为偶数时
(当被积函数中有
n
x 时)
2o
2
0),cos (,sin π
≤
≤==t x a x t a x 或
(当被积函数中有
2
2x a -时)
3o
)0(,0),cot (,tan 22π
π≤<<≤==t t t a x t a x 或
(当被积函数中有
2
2
x
a +时)
4o
)0(,0),csc (,sec 22π
π≤<<≤==t t t a x t a x 或
第 函数 极限 连续 第一节 函 数 1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： ).()(2121x f x f x x '单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义： (2）设)(x f 可导，则： a))(x f 是奇函数? )(x f '是偶函数； b))(x f 是偶函数? )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3)周期性 定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性
定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈?>?则称)(x f 在I 上有界。 判定：（1）定义： （2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ?在],[b a 上有界； （3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ?在 ）（b a ,上有界； （4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ?在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数. 题型一 复合函数 例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a (C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B) 例1．2已知,1)]([,)(2 x x f e x f x -==?且,0)(≥x ?求)(x ?及其定义域。 解 由2 )(x e x f =，,1)]([x x f -=?知 x e x -=1) (2? )0() 1ln()(2≤-=x x x ? )0()1ln()(≤-=x x x ? 例1．3 设???≥<=0,10,0)(x x x f , ???≤-<-=||1,2||1||,2)(2x x x x x g 试求)]([)],([x f g x g f .
第一章函数极限与连续总结 函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有 着深远的影响。在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续 的定义与性质。本文将对第一章的内容进行总结。 函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。 当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中 一固定值，这个固定值就是函数的极限。 在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而 更好地研究它们的性质。我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。 通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区 间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。极限的计算方法也有 助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到 更加精确的近似值。 连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。 连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的 值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。 我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。 其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。通 过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。
在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。 例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。 总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。通 过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实 际问题和进行精确计算有着重要的作用。而学习连续性则可以帮助我们判 断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。对于进一步学 习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。 总之，函数的极限和连续性是高等数学中的重要概念，对于函数的性 质和特征有着深远的影响。通过学习函数的极限和连续性，我们可以更好 地理解和应用函数的性质，拓展数学思维，提高问题解决的能力。
函数极限与连续性 函数极限和连续性是微积分中的重要概念，它们对于理解函数的性 质和计算复杂函数的导数和积分具有重要的作用。本文将从理论和实 际的角度来讨论函数极限和连续性的概念及其应用。 1. 函数极限 函数极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也趋近于 某一确定值的现象。这一概念主要用于研究函数在某一点的局部性质。数学上通常用极限符号来表示函数的极限，例如: lim (x->a) f(x) = L 其中，lim表示当x趋近于a时的极限，f(x)表示函数f在x点的取值，L表示函数极限的确定值。 在计算函数的极限时，可以利用一系列的极限性质和运算法则来简 化问题。例如，当函数分母为无穷大或分子分母次数相等时，可以利 用洛必达法则来求解函数的极限。 2. 函数连续性 函数连续性是指函数在其定义域内的任意一点处都存在极限，且极 限值等于函数在该点的取值。换句话说，函数连续性要求函数图像在 整个定义域内没有任何的突变或间断。
函数连续性是微积分中最基础的性质之一，它为导数和积分提供了基础。根据函数在某点的连续性，可以将函数的定义域划分为若干个区间，使得在每个区间内函数满足一致性的性质。 3. 函数极限与连续性的应用 函数极限和连续性在实际问题的建模和求解中具有重要的作用。以下是一些应用的例子： 3.1. 求解导数 根据函数的连续性和极限的定义，可以利用导数的定义求解函数在某一点的斜率。导数是函数极限的一种表示方式，通过求解函数的导数，可以研究函数的变化趋势和最值问题。 3.2. 优化问题 在经济学、物理学和工程学等领域，经常会遇到最优化问题。通过研究函数的极限和连续性，可以建立数学模型，求解最优化问题。 3.3. 系统稳定性分析 在控制理论中，系统的稳定性是一个重要的概念。通过研究函数的极限和连续性，可以判断系统的稳定性，并进行合理的控制设计。 4. 结论 函数极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解函数的性质和计算复杂函数的导数和积分具有重要的作用。本文从理论和实际应用
函数的极限与连续性 是微积分的基础内容，也是很多其他数学学科的基础。在这篇文章中，我们将探讨函数的极限和连续性的概念，以及它们之间的关系。 一、函数的极限 在介绍函数的极限之前，我们需要先了解一下数列的极限。数列的极限是指当数列中的元素无限逼近于某个值时，这个值就是数列的极限。例如，当数列{1,1/2,1/3,1/4,…}中的元素越来越接近于0时，0就是这个数列的极限。 函数的极限也是类似的概念。当一个函数在自变量逐渐逼近某个值时，对应的因变量是否有一个确定的极限值，就是这个函数的极限。数列中的极限是数列中的元素趋近于某个值，而函数的极限则是函数在这个值附近的趋势。 下面以函数y=f(x)为例，来解释函数的极限的定义。当x趋近于a时，如果存在一个常数L，使得对于任意足够小的正数ε，总
存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数在x=a处有极限，记为： lim f(x)=L (x→a) 其中，L是函数的极限值，x→a表示x无限逼近于a的过程，lim表示函数的极限。 例如，当函数f(x)=1/x+1，x→0时，其极限为正无穷大。我们可以用下面的方法证明： 当x接近于0时，f(x)的值会越来越大，但是这个增长有一个上限。具体来说，如果我们让f(x)的值大于1/M，那么x必须小于1/(M-1)，否则f(x)的值就会小于1/M。因此，当x很小时，f(x)的值必须大于M，即： lim f(x)=正无穷(x→0) 类似地，当f(x)=sinx/x，x→0时，其极限等于1。这个结论可以用夹逼定理证明，不再赘述。
二、函数的连续性 函数的连续性是指函数在某个点处存在极限，并且这个极限等 于函数在该点处的函数值。函数在某个点处连续，就意味着在这 个点的左右两侧，函数的图像没有出现断层，如图所示：图1 一个连续函数示例 形式上，给定函数f(x)和点a，如果f(x)在a的某个邻域内有定义，同时lim f(x)=f(a)，那么就可以说函数f(x)在点a连续。用数 学符号表示为： f(a-) = f(a) = f(a+) 其中，f(a-)表示a的左侧极限，f(a+)表示a的右侧极限。 例如，当f(x)=x^2在点x=0处是连续的，因为lim x^2=0^2=0，f(0)=0，两者相等。
第一章 函数、极限与连续 初等数学的研究对象基本上是不变的量，高等数学的研究对象是变动的量。而函数是高等数学的主要研究对象，极限是微积分的理论基础，极限方法是研究变量的一种基本方法，连续是函数的一个重要性态。本章将介绍函数、极限与连续的基本概念、基本方法以及一些性质。 第一节 函数 一、集合 1、集合概念 集合是数学中的一个重要概念，下面我们通过几个例子来理解它. 例如：一个专业的学生、一批灯泡、全体实数等，这些由某种特定事物组成的集体都是集合。一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 通常用大写英文字母如C B A 、、等表示. 而组成集合的事物称为集合的元素，用小写英文字母如c b a ，，. 表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记为A a ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记为A a ∉或A a ∈. 由有限个元素组成的集合称为有限集，由无限个元素组成的集合称为无限集. 下面举几个集合的例子： (1) 某大学2009级的全体学生； (2) 不等式0862<+-x x 的所有解； (3) 全体有理数； (4) 抛物线232 +-=x x y 上所有的点. 2、集合的表示 (1) 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，并用{ }括起来. 例如由 f e d c b a ，，，，，组成的集合A ，可表示为} {f e d c b a A ，，，，， =. (2) 描述法：若集合A 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成，则A 可表示为}{P x x A 具有性质=，例}086{2<+-x x x . 对于数集，我们介绍几个特殊的数集及其记法. 全体非负整数即自然数构成的集合记为N , 即 } 2 1 0{ ，，，，，n N =. 全体正整数构成的集合记为+Z , 即 } 2 1 { ，，，，n Z =+. 全体整数构成的集合记为Z ，即 } 2 1 0 1 2 { ，，，，，，，，，，n n Z ---=. 全体有理数构成的集合记为Q ，即
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( B ) A ．+∞< 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x 函数的极限与连续性 函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。 一、函数的极限 函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。首先，我们来定义函数在某一点的极限。 定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。 根据上述定义，我们可以推导出一些性质： 性质1：函数极限的唯一性。如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。 性质2：函数极限的局部性。如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。 性质3：函数极限与函数值的关系。如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。 二、函数的连续性 连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。 定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果 lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。 根据连续性的定义，我们可以得到以下结论： 结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。 结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。 结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。 三、函数极限与连续性的应用 函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明： 例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。 解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求 lim(x→0)(sin(x)/x)。 利用泰勒展开的方法，我们可以将sin(x)展开成其幂级数形式： sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-... 第一章函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的￡ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 （I）概念综述 设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可 1 2 商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0) v 比较性质 (1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v (2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v 有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界 (2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。 存在性质 (1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 (2) 夹逼准则：若u v ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个 变量u 、v 、国极限过程相同)。 注 的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数; 1 l x m o xsin ;= , 1 lim e x 不存在, x (IV )极限之间的联系 (1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x) i x o 十 x T x o — (2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A. X - X ) - . X (3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 A v 是函数变量， 极限过程是X — xj 时, X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是 x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。 (III )基本极限公式 lim 0, n t ：n lim ( 一 n 1 — n) = 0, n 「 1 lim (1 )n = e , + n lim Q n = lim =1(a > 0) n n j ：: lim ( . n 2 n n _. lim (-1)不存在 n —jpc 1 lim (1 X )，=e, X 0 lim (1 丄广=e, x r ：： x X n X 叫 X Hx lim 凶不存在。 x 10 x 第一章 函数 极限 连续 知识点拔 1.1 函数 一、函数的概念 设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域. 如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0 x x y =或)(0x f . 注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则； ②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：2 2 )(2---= x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同； x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同； x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同 时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同. ③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数. 二、函数的基本性质 1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于 D x x ∈∀21, 21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的. 1 第一章 函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 设v u ,表示数列变量n x 或函数变量，在同一个极限过程中,lim ,lim B v A u ==该极限过程可以是数列极限或函数极限中的任一种,A 、B 、a 、β是常数，则极限有以下性质。 2 注 X 的形式与极限过程相关，当u 、v 是数列时，n n X |{=≥}N ，N 是某个自然数； 当u 、v 是函数变量，极限过程是- →0x x 时，),(00x x X δ-=，极限过程是 ),(,00δx U X x x =→时，其余类推。 （III ）基本极限公式 e n n n n n =+=∞→∞→)1 1(lim ,01lim ， )0(1lim lim , 0)1(lim >===-+∞ →∞ →∞ →a a n n n n n n n n n n n n n n )1(lim ,2 1 )(lim 2-= -+∞ →∞ →不存在 ,)1 1(lim , )1(lim 10 e x e x x x x x =+=+∞→→ ,11lim ,1sin lim 00=-=→→x e x x x x x ,01 sin lim , 1) 1ln(lim 0==+→→x x x x x x x x e 1 lim →不存在， x x x | |lim 0→不存在。 （IV ）极限之间的联系 （1）)(lim )(lim )(lim 0 x f A x f A x f x x x x x x -+→→→==⇔= （2）.)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞ →+∞ →∞ → （3）⇔=→A x f x x )(lim 0 对任意趋于0x 的数列n x ，有A x f n n =∞ →)(lim 2．无穷小量与无穷大量 （I ）概念 无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量 函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结 函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。 一、函数极限 1. 定义： 函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。 2. 基本性质： - 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。 - 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。 - 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。 3. 常用的函数极限： - 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。 - 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。 - 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。 - 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。 二、连续函数 1. 定义： 连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。 2. 基本性质： - 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。 - 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。 - 连续函数的复合函数仍然是连续函数。 - 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。 3. 常见连续函数： - 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。 - 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。 三、注意事项 1. 极限的计算要点： - 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。 - 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。 第一章函数、极限与连续性 一．求函数的定义域 （一）对具体函数而言：分母不能为零/偶次方根下≥0/log a b 中a ＞0且a ≠1，b ＞0/arcsinx 及arccosx 中|x|≤1 （二）对抽象函数而言：运用复合函数定义域法则，f(g(x))，则g （x ）的值域包含于f(x)的定义域 【例1】求y=arcsin x 3 x -的定义域 二．反函数的计算 Step1：求出y=f(x)，x ∈D 的值域I ，如y=2x,x ∈R ，值域为R Step2：由y=f(x)求出x=f -1(x)，如x=y/2 Step3：交换x 和y ，得y=f -1(x)，x ∈I ，如y=x/2,x ∈R 【例2】求函数y=f(x)＝（x-1）2,x ≤1 x 11-，x ＞1，的反函数 三．复合函数的相关计算 （一）分段函数求复合函数 F(g(x))= f 1(g(x)),g(x)∈D1,根据g(x)解析式，解出使得g(x)∈D1的范围，再将f1(x)中的x 替 f 2(g(x)),g(x)∈D2换为 g （x ） （二）已知f(g(x)),g(x)求f(x) 令u ＝g(x),解出x=g -1(u)从而f(u)=f(g(x)),再代入x=g -1(u)得f （u ）即f(x) 【例3】f(x)= (x+1)2,x ≥-1， x 11+，x ＜-1，求f(f(x)) 四．奇偶性及周期性的判断 （一）奇偶性的判断 1. 定义：f(-x)=f(x);f(-x)=-f(x) 2. 性质:奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称/f(x)与g(x)奇偶性相同则f(x)g(x)为偶函数，否则为奇函数。 3. 微分学：f(x)为偶函数，f(x)导数为奇函数；f(x)为奇函数，f(x)导函数为偶函数；f(x)为偶函数，f(x)的原函数有且仅有一个奇函数；f(x)为奇函数，f(x)的原函数都为偶函数。 4. 利用常见奇偶函数：奇函数：sinx/tanx/x 2k+1/ln(x+2x 1+)/cotx/f(x)-f(-x)；偶函数： cosx/x 2k /|x|/f(|x|)/f(x)+f(-x)/f(x)f(-x) 【例4】判断函数的奇偶性： 第一章 函数、极限和连续性 内容提要： 1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。因此，在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。 函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性和有界性。 2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生巧，对各种方法融会贯通。 无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。它们既是对极限计算的应用，又可以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限。 3.函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的函数。对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。 另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。 第一节 函数 Ⅰ考点精讲 一．基本概念 1.函数： 从实数集的子集D 到R 的一个映射f 称之为函数，记作(),y f x x D =∈，称x 为自变量， y 为因变量。函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因为这两者可以决定值域）。其中，定义域是自变量x 的取值范围；值域是因变量的取值范围 记作()f D 。函数由其解析式和定义域唯一确定，与符号的选取无关，如(),y f x x D =∈与 (),u f t t D =∈是同一个函数。 在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使得函数运算有意义的自变量的取值范围。易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集。常见的函数的定义域如下： 第一章 函数、极限与连续 一、 基本内容 （一）函数 1. 函数的定义 设变量x 在某个实数集D 中取定一数值时,另一变量y 按照一定的规则总有一确定的数值与其对应，则称y 是x 的函数.记为)(x f y =.称x 为自变量，y 为因变量，实数集D 为定义域. 2. 函数的几种特性 (1)单调性 (2)有界性 (3)奇偶性 (4)周期性 3. 反函数 在函数)(x f y =中，若将y 当作自变量，x 当作因变量，则由)(x f y =确定的函数)(y x ϕ=称为)(x f y =的反函数. 4. 复合函数 若y 是u 的函数)(u f y =，1D u ∈，而u 又是x 的函数，)(x u ϕ=，2D x ∈，且 {}φϕ≠∈∈=1 2)(,D x D x x D ，则函数D x x f y ∈= )],([ϕ称为由函数)(u f y =和) (x u ϕ=复合而成的复合函数，称u 为中间变量. 5. 初等函数 幂函数、指数函数、三角函数以及它们的反函数都称为基本初等函数.有常数和基本初等函数经有限复合步骤所形成的，并且可用一个式子表示的函数称为初等函数. （二）极限 1. 极限的定义 (1)设数列n x 与常数a 有如下关系：对任意给定的正数ε，总存在正整数N ，当N n >时，有ε<-a x n 成立，则称数列n x 收敛于a ，记作a x n n =∞ →lim . (2)对任意给定的正数ε，总存在正数δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(成立，则称 )(x f 当0x x →时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 . (3)对任意给定的正数ε，总存在正数X ，当ε<-A x f )(时，ε<-A x f )(成立，则称 )(x f 当0x x →时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 . 2. 极限存在准则 (1)单调有界数列必存在极限. (2)设n x ，n y ，n z 为三个数列),2,1( =n ，若n n n x z y <<且a y x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，则数列 n z 的极限存在，且a z n n =∞ →lim .此定理称为夹逼定理. 此定理同样适应于函数的极限. 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x ； (2) e x x x =+∞→)1 1(lim . 第一章函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ⎡⎤⎣⎦，即 ,{|}a b x a x b =≤≤⎡⎤⎣⎦； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ⎤⎦ (或),a b ⎡⎣)，即 (,{|}a b x a x b =<≤⎤⎦ (或),{|}a b x a x b =≤<⎡⎣)， 左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a ，b 称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有无限区间： (){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ，， (,{|}b x x b -∞=-∞<≤⎤⎦， (,){|}b x x b -∞=-∞<<， ){|}a x a x +∞=≤<+∞⎡⎣， ， (){|}a x a x +∞=<<+∞，， 等等.这里记号“-∞”与“+∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设0x 是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集: 极限与连续函数知识点 在微积分学中，极限和连续函数是两个重要的概念。它们在数 学领域的应用极为广泛，对于理解和解决各种问题都起着关键作用。本文将介绍极限和连续函数的基本概念、性质以及它们在实 际问题中的应用。 一、极限的概念 极限是微积分学中最基本的概念之一。通俗地说，极限可以理 解为一个数列或者函数在某一点无限接近于某个确定的值。在数 学符号中，我们用lim表示极限。一个数列或者函数的极限有两种可能情况：正向极限和负向极限。 1.1 正向极限 设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的右侧无限接近a时， f(x)的值趋于L。我们将此时的极限称为正向极限。数学上表示为：lim┬(x→a⁺)f(x)=L 其中，x→a⁺表示x趋于a的右侧。 1.2 负向极限 类似地，设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的左侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。我们将此时的极限称为负向极限。数学上表示为： lim┬(x→a⁻)f(x)=L 其中，x→a⁻表示x趋于a的左侧。 二、极限的性质 在研究极限的过程中，我们需要掌握一些重要的性质。 2.1 极限的唯一性 一个函数在某一点的极限值是唯一确定的。也就是说，如果一个函数在某一点的极限存在，那么它只能有一个确定的值。 2.2 极限的四则运算 对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点的极限存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过以下公式计算： lim┬(x→a)(f(x)±g(x))=lim┬(x→a)f(x)±lim┬(x→a)g(x) lim┬(x→a)(f(x)g(x))=lim┬(x→a)f(x)⋅lim┬(x→a)g(x) lim┬(x→a)(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)f(x)/lim┬(x→a)g(x) (其中lim┬(x→a)g(x)≠0) 三、连续函数的概念 连续函数是一类与极限相关的函数。在数学中，我们称一个函数f(x)在某一点x=a处连续，如果满足以下条件： 1) f(a)存在； 2) lim┬(x→a)f(x)存在； 3) lim┬(x→a)f(x)=f(a)。 如果一个函数在定义域的每个点都连续，那么我们称该函数为连续函数。第一章 函数极限和连续
函数的极限与连续性
第一章函数的极限与函数的连续性
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数的极限与函数的连续性
函数极限与连续知识点总结大一
高等数学题型整理第一章函数极限与连续性
函数极限和连续性
(整理)第1章 函数、极限与连续
大学高等数学(高数)函数极限与连续
极限与连续函数知识点
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