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第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用双基达标限时20分钟1．下列命题中正确的是( )．①任何两个变量都具有相关关系②圆的周长与圆的半径具有相关关系③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究A．①③④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤解析显然①是错误的，而②中圆的周长与圆的半径的关系为：C＝2πR，是一种确定性的函数关系，故应选C.答案 C2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )．A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.答案 A3．在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1的相关指数R2为0.98，模型2的相关指数R2为0.80，模型3的相关指数R2为0.50，模型4的相关指数R2为0.25.其中拟合效果最好的模型是( )．A．模型1 B．模型2C．模型3 D．模型4解析相关指数R2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，相关指数R2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．答案 A4．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1,2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析 由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0，故R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i 2∑i ＝1ny i －y2＝1－0＝1.答案 15．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析 由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.答案 y ^＝1.23x ＋0.086．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：(1)(2)画出散点图．(3)求纯获利y 与每天销售件数x 之间的回归方程． 解 (1)x ＝6，y ≈79.86，中心点(6,79.86)． (2)散点图如下：(3)因为b ^＝∑i ＝17x i －xy i －y ∑i ＝17x i －x 2≈4.75，a ^＝y －b ^x ≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.综合提高 限时25分钟7．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是( )． A ．l 1和l 2有交点(s ，t )B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是(s ，t )C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合解析 都过样本中心点(s ，t )，但斜率不确定． 答案 A8．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得y ^＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y 为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )． A ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90% B ．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D ．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%解析 当x ＝37时，y ^＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%. 答案 C9．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________． 解析 由表格得(x ，y )为(10,38)，又(x ，y )在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上，且b ^≈－2，∴38＝－2×10＋a ^，a ^＝58，所以y ^＝－2x ＋58，当x ＝6时，y ^＝－2×6＋58＝46. 答案 4610．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(千箱)与单位成本(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481，b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2， a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1千箱，单位成本下降________元．解析 由已知可得，y ^＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 答案 1.818 211．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y 与x 解 由数值表可作散点图如右图．根据散点图可知y 与x 近似地呈反比例函数关系，设y ＝k x ，令t ＝1x，则y ＝kt ，原数据变为：由散点图可以看出y 与t 呈近似的线性相关关系．列表如下：续表所以t ＝1.55，y ＝7.2.所以b ^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t 2＝4.134 4，a ^＝y －b ^t ＝0.8.所以y ^＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 的回归方程是y ^＝4.134 4x＋0.8.12．(创新拓展)某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出回归方程； (3)作出残差图； (4)计算相关指数R 2；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．解 (1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ^＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2＝1.041 5，a ^＝y －b ^x ＝－0.003 88，∴回归方程为y ^＝1.0415x －0.003 88. (3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)计算得相关指数R 2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)由上述分析可知，我们可用回归方程y ^＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57. 故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
11.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、 i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()iii ii y y y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.第三课时。
第一章回归分析概述习题参考答案1.1 变量间的统计关系和函数关系有什么区别?（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。
1.2 相关分析和回归分析的区别与联系？相关分析和回归分析的联系是：它们通常都是基于两正态连续变量的假设，都是处理两变量间相互关系的统计方法，通常两种方法不同时出现；二者的区别是作为相互关系分析的方法，相关分析是通过提供一个相关系数来考察两变量间的联系程度，而回归分析则是重在建立两变量间的函数关系式，因此通常可以先考察相关系数的显著型，如果显著则可以进一步考虑建立变量间的回归方程。
此外，相关分析和回归分析又各有一些具体方法用于处理不同的情况，如相关分析还包括等级相关、质量相关和品质相关，回归分析还包括非线性回归等。
（其余区别在课本第四页最上面那段）1.3 线性回归模型中随机误差项ε的意义是什么？引入随机误差 使得变量之间的关系描述为一个随机方程，因而我们可以借助数学方法研究自变量和因变量之间的关系。
由于客观经济现象是错综复杂的，随机误差项可以概述表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑到的种种偶然因素。
引入随机项扰动的理由如下：第一，表示被解释变量Y与解释变量X的不确定性关系第二，模型不可能包含所有变量，次要变量要省略；第三，确定模型数学形式肯定会有误差；第四，样本数据会有测量误差；第五，一些随机因素无法选入模型。
1.4 线性回归方程的基本假设是什么？假设1、解释变量X（x1 ，x2，…，xp）是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、等方差和序列不相关性：E(εi)=0 i=1,2, …Var (εi)=σ2 i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3 ε服从零均值同方差、零协方差的正态分布。
εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n假设4、样本容量的个数多于解释变量的个数,即:n>p假设5、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n（在课本第7页到第8页）1.6收集整理数据包括哪些内容？在课本第10到12页1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？（1）散点图（2）实际问题背景的理论及方法建模技术原理（3）经验公式1.8至于回归模型建立之后为什么要检验？是因为我们不明确这个模型是否真正揭示了被解释变量与解释变量之间的关系，因而用此模型区做预测、控制和分析时不够慎重的。
§1 回归分析 1.1 回归分析学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.掌握建立线性回归模型的步骤．知识点 线性回归方程 思考 (1)什么叫回归分析？(2)回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？ 答案 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．(2)不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．梳理 (1)平均值的符号表示假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，在统计上，用x 表示一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值，即x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1n∑i ＝1nx i ；用y 表示一组数据y 1，y 2，…，y n 的平均值，即y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n∑i ＝1ny i .(2)参数a ，b 的求法b ＝l xy l xx＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .(3)样本点的中心(x ，y )，回归直线过样本点的中心．1．现实生活中的两个变量要么是函数关系，要么是相关关系．( × ) 2．散点图能准确判定两个变量是否具有线性相关关系．( × ) 3．回归直线不一定过样本中的点，但一定过样本点的中心．( √)类型一 概念的理解和判断 例1 有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； ③通过回归方程y ＝bx ＋a 可以估计观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 C解析 ①反映的正是最小二乘法思想，正确；②反映的是画散点图的作用，正确；③反映的是回归方程y ＝bx ＋a 的作用，正确；④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．跟踪训练1 下列变量关系是相关关系的是( ) ①学生的学习时间与学习成绩之间的关系； ②某家庭的收入与支出之间的关系； ③学生的身高与视力之间的关系； ④球的体积与半径之间的关系． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 A解析 对①，学习时间影响学生的学习成绩，但是学生学习的刻苦程度、学生的学习方法、教师的授课水平等其他因素也影响学生的成绩，因此学生的学习时间与学习成绩之间具有相关关系；对②，家庭收入影响支出，但支出除受收入影响外，还受其他因素影响，故它们是相关关系；对③，身高与视力之间互不影响，没有任何关系；对④，球的体积由半径决定，是一种确定性关系，故它们是函数关系． 类型二 回归分析命题角度1 求线性回归方程例2 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．⎝⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)如图：(2)∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝14x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344，b ＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ＝y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y ＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x ＝9时，y ＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． ②计算：x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1n y 2i ，∑i ＝1nx i y i . ③代入公式求出y ＝bx ＋a 中参数b ，a 的值． ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．跟踪训练2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：求y 对x 的线性回归方程．(保留两位小数) 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 制表b ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x2＝5 798－7×7×8097371－7×72≈4.82， a ＝y －b x ＝8097－4.82×7≈81.83.所以线性回归方程为y ＝81.83＋4.82x . 命题角度2 线性回归分析与回归模型构建例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润． 考点 线性回归分析 题点 回归直线方程的应用解 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)因为x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34.∑i ＝14x i y i ＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410.∑i ＝14x 2i ＝352＋402＋452＋502＝7 350.所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125≈－3.a ＝y －b x ＝34－(－3)×42.5＝161.5. 所以线性回归方程为y ＝161.5－3x .(3)依题意，有P ＝(161.5－3x )(x －30)＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎫x －251.562＋251.5212－4 845. 所以当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．反思与感悟 解答线性回归题目的关键是首先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求线性回归方程的公式求解线性回归方程，在此基础上，借助线性回归方程对实际问题进行分析．跟踪训练3 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出线性回归方程；(3)若在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 考点 线性回归分析 题点 回归直线方程的应用解 (1)根据表中的数据画出散点图如图．(2)设线性回归方程为：y ＝bx ＋a ，并列表如下：x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875， 所以y ＝0.73x －0.875.(3)令0.73x －0.875≤10，解得x <14.9≈15， 故机器的运转速度应控制在15转/秒内.1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200 D ．y ＝10x －200考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 A解析 因为y 与x 负相关，所以排除B ，D ， 又因为C 项中x >0时，y <0不合题意，所以C 错．2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 B解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型． 3．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点( )A.(2,3) B ．(1.5,4) C ．(2.5,4) D ．(2.5,5)考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用 答案 C解析 回归直线必过样本点中心(x ，y )，即(2.5,4)．4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x (单位：千箱)与单位成本y (单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 1.818 2解析 由题意知，b ＝1 481－6×72×7179－6×⎝⎛⎭⎫722≈－1.818 2，a ＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，∴y 关与x 的线性回归方程为 y ＝－1.818 2x ＋77.36，即销量每增加1千箱，单位成本下降1.818 2元． 5．已知x ，y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：x ，y ，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4，x 21＋x 22＋x 23＋x 24；(2)已知变量x 与y 线性相关，求出线性回归方程． 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14.(2)b ＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2，a ＝y －b x ＝4－2×1.5＝1， 故线性回归方程为y ＝2x ＋1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量．(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ＝bx ＋a )． (4)按一定规则估计回归方程中的参数．一、选择题1．对变量x ，y 由观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 由观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 C解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．2．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得y＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是()A．年龄为37岁的人体内脂肪含量为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量约为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%D．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为31.5%考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 C解析当x＝37时，y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计，年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%.3．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是() A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 A解析由正相关和负相关的定义知A正确．4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y线性相关，线性回归方程为y＝0.7x＋a，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量约为() A．8.0万盒B．8.1万盒C．8.9万盒D．8.6万盒考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 B解析回归直线一定过样本点中心．由已知数据可得x＝3，y＝6，代入回归方程，可得a ＝y－0.7x＝3.9，即线性回归方程为y＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得y＝8.1，故选B. 5．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是()①劳动生产率为1 000元时，工资约为730元；②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元．A．1 B．2 C．3 D．4考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 C解析 代入方程计算可判断①②④正确．6．某化工厂为预测某产品的回收率y ，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 与x 的线性回归方程是( ) A ．y ＝11.47＋2.62x B ．y ＝－11.47＋2.62x C ．y ＝2.62＋11.47x D ．y ＝11.47－2.62x考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 答案 A解析 由题中数据，得x ＝6.5，y ＝28.5，∴b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52＝367140≈2.62，a ＝y －b x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴y 对x 的线性回归方程是 y ＝2.62x ＋11.47，故选A.7．为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( ) A ．l 1与l 2一定重合 B ．l 1与l 2一定平行C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )D ．无法判断l 1和l 2是否相交 考点 回归直线方程 题点 样本点中心的应用 答案 C解析 因为两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是x ，对变量y 的观测数据的平均值都是y ，所以两组数据的样本点中心都是(x ，y )，因为回归直线经过样本点的中心，所以l 1和l 2都过(x ，y )． 二、填空题8．某校小卖部为了了解奶茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的奶茶杯数与当天的气温，得到下表中的数据，并根据该样本数据用最小二乘法建立了线性回归方程y ＝－2x ＋60，则样本数据中污损的数据y 0应为________.考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 64解析 由表中数据易知x ＝10，代入y ＝－2x ＋60中， 得y ＝40.由y 0＋34＋38＋244＝40，得y 0＝64.9．调查某移动公司的三名推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表所示.由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ＝726.若该公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他的年推销金额约为________万元． 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 3解析 x ＝6，y ＝3，由回归直线经过样本点中心可知，该推销员年推销金额约为3万元． 10．某人对一地区人均工资x (千元)与该地区人均消费y (千元)进行统计调查，发现y 与x 有相关关系，并得到线性回归方程y ＝0.66x ＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，则估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．(精确到0.1%) 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 82.9%解析 当y ＝7.675时，x ≈9.262，所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6759.262×100%≈82.9%.11．某数学老师身高为176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm. 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 183.5解析 记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5，用变量x 表示，其中5代表孙子．各代人的身高为变量y ，则有计算知x ＝2.5，y ＝175.25.由回归系数公式得b ＝3.3，a ＝y －b x ＝175.25－3.3×2.5＝167，∴线性回归方程为y ＝3.3x ＋167，当x ＝5时，y ＝3.3×5＋167＝183.5，故预测其孙子的身高为183.5 cm. 三、解答题12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .考点 线性回归方程 题点 线性回归方程的应用解 (1)由题意，n ＝10，∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∴x ＝8010＝8，y ＝2010＝2.又∑i ＝110x 2i －10x 2＝720－10×82＝80，∑i ＝110x i y i －10x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ＝0.3 x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 13．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ＝bt ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2019年(t ＝10)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t2，a ＝y －b t .考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)列表计算如下：此时n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －nt 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝10代入回归方程，可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×10＋3.6＝15.6(千亿元)． 四、探究与拓展14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解 (1)x ＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∵b ＝－20，a ＝y －b x ， ∴a ＝80＋20×8.5＝250， ∴线性回归方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25， ∴该产品的单价应定为334元，才使工厂获得的利润最大．。
