第8讲回归分析方法教学材料
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回归分析法62页PPT文档
9.1概述
• 什么是回归分析？(Regression)
1. 定义：
• 关于变量间客观存在的相关关系描述模型及其性质 和应用的统计方法的总称。
• 被 预 测 或 被 解 释 的 变 量 称 为 因 变 量 (dependent
variable)，用y表示
• 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称
不良贷款
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
10
20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款
不 良 贷款
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12 10
多元线性回归，用于一个因变量Y同多个 自变量X1, X2,… Xm,线性相关的问题。
非线性回归，又可分为两类：一类可通过 数学变换变成线性回归，如取对数可使乘 法变成加法等；另一类可直接进行非线性 回归，如多项式回归。
回归模型
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 线性回归 非线性回归
9.1概述
高(x)之间的关系
▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
回归分析法(精品PPT课件)
b0
i 1
W 2 n yi b0 b1xi xi 0
b1
i 1
8
求解上述方程组得：
n
n
n
n xiyi
xi
yi
b1 i1
n
x x n i1
i 1 i 1
2
i
n
2
i
i 1
1 n
bn
b0
yi
补充内容：回归分析法
回归分析是计量经济学中最为基础的一 部份内容。在这里我们简单地介绍回归 分析中估计模型具体参数值的方法。
1
一、一元线性回归与最小二乘法
Y=b0+b1x+ε，其中y 为应变量，x为自变量， b0为模 型的截距，b1为x变量的系数， ε为随机误差项。
如果现在有一系列的y与x的值，我们可以用很多方法 来找到一个线性的方程，例如任意连接两个特定的点， 但这种方法显然不能给出一条最好的拟合直线。另一 种方法是找出一条直线，使得直线与已有的点之间的 距离的和最小，但由于这条直线与点之间的距离有时 为正有时为负，求和时会相互抵消，所以用这种方法 找到的直线也并不一定最好。于是我们想到要找到一 条这样的直线，使得直线与点之间的距离的平方和最 小：
xi
n i1
n i1
9
例1：
某地区人均收入与某耐用消费品销售额的资料如 下表所示：请求出其一元回归模型。
年份 1991
人均收 入x/元
680
耐用消
费品销 售额y/
164
万元
1992 760
180
1993 900
200
1994 940
228
《SPSS数据分析与应用》第8章 逻辑回归分析
准确率=TP TN / TP TN FP FN
➢ TPR—在所有真实值为阳性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
TPR=TP / TP FN
➢ FPR—在所有真实值为阴性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
FPR=FP / FP TN
Part 8.2
逻辑回归分析模型 的实现与解读
定性变量 （3水平）
定量变量
定性变量
取值范围 1代表幸存 0代表死亡 1=男、2=女 [0.42,80]
1代表一等舱, 2代表二等舱, 3代表三等舱
[0, 512.3292]
C = 瑟堡港， Q =昆士敦，S = 南安普顿
定性变量
0代表无家庭成员，1代表成员为1~3人的中 型家庭，2代表成员为4人及以上的大型家庭
2.逻辑回归分析模型
逻辑回归分析模型
在经过Logit变换之后，就可以利用线性回归模型建立因 变量与自变量之间的分析模型，即
经过变换，有
Sigmoid函数 （S型生长曲线）
逻辑回归分析模型
Sigmoid函数
➢ Sigmoid函数，表示概率P和自变量之间 的非线性关系。通过这个函数，可以计 算出因变量取1或者取0的概率。
总计
混淆矩阵
预测值
Y=0（N）
Y=1(P)
TN
FP
FN
TP
总计 TN+FP FN+TP TP+FP+FN+TN
➢ TP：预测为1，预测正确，即实际1； ➢ FP：预测为1，预测错误，即实际0； ➢ FN：预测为0，预测错确，即实际1； ➢ TN：预测为0，预测正确即，实际0。
4.模型评价
➢ 准确率
➢ TPR—在所有真实值为阳性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
TPR=TP / TP FN
➢ FPR—在所有真实值为阴性的样本中，被正确地判断为阳性的样本所占的比例。
FPR=FP / FP TN
Part 8.2
逻辑回归分析模型 的实现与解读
定性变量 （3水平）
定量变量
定性变量
取值范围 1代表幸存 0代表死亡 1=男、2=女 [0.42,80]
1代表一等舱, 2代表二等舱, 3代表三等舱
[0, 512.3292]
C = 瑟堡港， Q =昆士敦，S = 南安普顿
定性变量
0代表无家庭成员，1代表成员为1~3人的中 型家庭，2代表成员为4人及以上的大型家庭
2.逻辑回归分析模型
逻辑回归分析模型
在经过Logit变换之后，就可以利用线性回归模型建立因 变量与自变量之间的分析模型，即
经过变换，有
Sigmoid函数 （S型生长曲线）
逻辑回归分析模型
Sigmoid函数
➢ Sigmoid函数，表示概率P和自变量之间 的非线性关系。通过这个函数，可以计 算出因变量取1或者取0的概率。
总计
混淆矩阵
预测值
Y=0（N）
Y=1(P)
TN
FP
FN
TP
总计 TN+FP FN+TP TP+FP+FN+TN
➢ TP：预测为1，预测正确，即实际1； ➢ FP：预测为1，预测错误，即实际0； ➢ FN：预测为0，预测错确，即实际1； ➢ TN：预测为0，预测正确即，实际0。
4.模型评价
➢ 准确率
回归分析PPT课件
14
结果分析：
2.模型情况： 下表是对模型情况的概述，可以看出立方曲线模型的R
方最高，而且其模型也是很显著的。
观察上图结果，发现立方曲线模型的R方最高，也就是模型对数据的 解释能力最强，且模型也是最显著的。
15
结果分析：
3.拟合曲线图形： 下表是三条曲线的拟合情况，图中的圆圈表示实际值，
可以发现立方曲线的拟合效果是最好的。
21
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
6
简单线性回归
7
结果分析：
1.模型拟合情况： 模型的拟合情况反映了模型对数据的解释能力。修正
的可决系数（调整R方）越大，模型的解释能力越强。
观察结果1，模型的拟合优度也就是对数据的解释能力一般，修正的 决定系数为0.326；
8
结果分析：
2.方差分析： 方差分析反映了模型整体的显著性，一般将模型的检验
为了检验美国电力行业是否存在规模经济，Nerlove （1963）收集了1955年145家美国电力企业的总成本TC、 产量Q、工资率PL、燃料价格PF及资本租赁价格PK的数据。 试以总成本为因变量，以产量、工资率、燃料价格及资本租 赁价格为自变量 ，用多重回归分析方法研究其间的关系。
20
多重线性回归分析
P值（Sig）与0.05作比较，如果小于0.05，即为显著。
观察结果2，模型是显著的，显著性水平为0.049，小于0.05；
9
结果分析：
3.回归方程的系数以及系数的检验结果： 回归方程的系数是各个变量在回归方程中的系数值，
Sig值表示回归系数的显著性，越小越显著。一般将其与 0.05作比较，如果小于0.05，的变量之间的关系，是指 通过提供变量之间的数学表达式来定量描述变 量间相关关系的数学过程。
结果分析：
2.模型情况： 下表是对模型情况的概述，可以看出立方曲线模型的R
方最高，而且其模型也是很显著的。
观察上图结果，发现立方曲线模型的R方最高，也就是模型对数据的 解释能力最强，且模型也是最显著的。
15
结果分析：
3.拟合曲线图形： 下表是三条曲线的拟合情况，图中的圆圈表示实际值，
可以发现立方曲线的拟合效果是最好的。
21
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
6
简单线性回归
7
结果分析：
1.模型拟合情况： 模型的拟合情况反映了模型对数据的解释能力。修正
的可决系数（调整R方）越大，模型的解释能力越强。
观察结果1，模型的拟合优度也就是对数据的解释能力一般，修正的 决定系数为0.326；
8
结果分析：
2.方差分析： 方差分析反映了模型整体的显著性，一般将模型的检验
为了检验美国电力行业是否存在规模经济，Nerlove （1963）收集了1955年145家美国电力企业的总成本TC、 产量Q、工资率PL、燃料价格PF及资本租赁价格PK的数据。 试以总成本为因变量，以产量、工资率、燃料价格及资本租 赁价格为自变量 ，用多重回归分析方法研究其间的关系。
20
多重线性回归分析
P值（Sig）与0.05作比较，如果小于0.05，即为显著。
观察结果2，模型是显著的，显著性水平为0.049，小于0.05；
9
结果分析：
3.回归方程的系数以及系数的检验结果： 回归方程的系数是各个变量在回归方程中的系数值，
Sig值表示回归系数的显著性，越小越显著。一般将其与 0.05作比较，如果小于0.05，的变量之间的关系，是指 通过提供变量之间的数学表达式来定量描述变 量间相关关系的数学过程。
《回归分析》教学大纲
回归分析RegressionAna1ysis一、课程基本信息课程编号：111093适用专业：统计学专业课程性质：专业必修开课单位：数学与数据科学学院学时：48（理论学时40；实验学时8）学分：3考核方式：考试（平时成绩占30%+考试成绩70%）中文简介：回归分析是应用统计学中一个重要的分支，在自然科学、管理科学和社会经济等领域应用十分广泛。
《回归分析》课程是统计学专业的学科专业必修课是学生掌握统计学的基本思想、理论和方法的主要课程，是培养学生熟练应用计算机软件处理统计数据的能力的基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握应用统计的一些基本理论与方法，初步掌握利用回归分析解决实际问题的能力。
二、教学目的与要求本课程的主要目的是学生在学习后，能够系统掌握回归分析的理论与方法，并在此基础上，掌握回归分析应用的艺术技巧，并利用其分析认识实际问题。
本课程注重回归分析的基本理论与方法，同时通过案例教学与实际应用来剖析回归分析的理论与方法所蕴含的统计思想及其应用艺术。
教学中在回归分析理论与方法的基础上结合社会、经济、自然学科学领域的研究实例，把回归分析方法与实际应用结合起来，注重定性分析与定量分析的紧密结合，强调每种方法的优缺点和实际运用中应注意的问题,研究与实践中应用回归分析的经验和体会融入其中，使学生充分体会到回归分析的应用艺术，并提高解决问题的能力。
通过本课程的学习，在理论教学过程中，可以结合国内外回归分析相关学者的研究经历和成果，传播科学研究所需要的实事求是、脚踏实地的精神，培养学生的科学素养。
在实践教学中，利用案例分析、软件仿真等方式培养学生的实践能力和创新思维，激发学生主动研究新问题和设计新方法的兴趣，让学生在实践中深刻体会科学研究的乐趣，也可以鼓励有突出能力的学生通过创新创业或成果转化为社会发展贡献年轻的力量。
三、教学方法与手段1.教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力和创新能力。
回归分析公开课优质课件
使得上式达到最小值的直线 y a bx 就是我
们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.
y
y a bx
x4, y4
x2, y2
x1, y1
x3, y3
x5, y5
o
x
Q(a,b) y1 (a bx1)2 y2 (a bx2 )2 yn (a bxn )2
n
2
yi (a bxi )
i 1
i 1
为了简化表示，引入以下记号：
lxx
n
2
(xi x)
n
xi
2
n
2
x
i1
i1
n
n
lxy (xi x)( yi y) xi yi nx y
i1
i1
lyy
n
2
(yi y)
n
yi2 n y2
i1
i1
求回归直线方程
对于一组具有线性相关关系的数据x1, y1, x2, y2 ,..., xn , yn
（1）求出肱骨长度y对股骨长度x的线性回归方程； （2）还有一个化石标本不完整，它只有股骨，而肱 骨不见了，现测得股骨的长度为50cm，请预测它的肱 骨长度。始祖鸟.xls
求线性回归方程的步骤
1、算 2、代 3求 3
根据数据计算nnຫໍສະໝຸດ x, y,xi 2 ,
xi yi .
i 1
i 1
代入公式求b,a的具体数值
实例探究
例题：始祖鸟是一种已经灭绝的动物。在一次考古
活动中，科学家发现了始祖鸟的化石标本共6个，其
中5个同时保有股骨（一种腿骨）和肱骨（上臂的骨
头）。科学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度如
们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.
y
y a bx
x4, y4
x2, y2
x1, y1
x3, y3
x5, y5
o
x
Q(a,b) y1 (a bx1)2 y2 (a bx2 )2 yn (a bxn )2
n
2
yi (a bxi )
i 1
i 1
为了简化表示，引入以下记号：
lxx
n
2
(xi x)
n
xi
2
n
2
x
i1
i1
n
n
lxy (xi x)( yi y) xi yi nx y
i1
i1
lyy
n
2
(yi y)
n
yi2 n y2
i1
i1
求回归直线方程
对于一组具有线性相关关系的数据x1, y1, x2, y2 ,..., xn , yn
（1）求出肱骨长度y对股骨长度x的线性回归方程； （2）还有一个化石标本不完整，它只有股骨，而肱 骨不见了，现测得股骨的长度为50cm，请预测它的肱 骨长度。始祖鸟.xls
求线性回归方程的步骤
1、算 2、代 3求 3
根据数据计算nnຫໍສະໝຸດ x, y,xi 2 ,
xi yi .
i 1
i 1
代入公式求b,a的具体数值
实例探究
例题：始祖鸟是一种已经灭绝的动物。在一次考古
活动中，科学家发现了始祖鸟的化石标本共6个，其
中5个同时保有股骨（一种腿骨）和肱骨（上臂的骨
头）。科学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度如
《回归分析课程教案》课件
《回归分析课程教案》课件第一章：引言1.1 课程目标让学生了解回归分析的基本概念和应用领域。
让学生掌握回归分析的基本原理和方法。
培养学生应用回归分析解决实际问题的能力。
1.2 教学内容回归分析的定义和分类回归分析的应用领域回归分析的基本原理和方法1.3 教学方法讲授法：讲解回归分析的基本概念和原理。
案例分析法：分析实际案例，让学生了解回归分析的应用。
1.4 教学资源课件：介绍回归分析的基本概念和原理。
案例：提供实际案例，让学生进行分析。
1.5 教学评估课堂讨论：学生参与课堂讨论，回答问题。
第二章：一元线性回归分析2.1 教学目标让学生了解一元线性回归分析的基本概念和原理。
让学生掌握一元线性回归模型的建立和估计方法。
培养学生应用一元线性回归分析解决实际问题的能力。
2.2 教学内容一元线性回归分析的定义和特点一元线性回归模型的建立和估计方法一元线性回归模型的检验和预测2.3 教学方法讲授法：讲解一元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析法：分析实际数据，让学生了解一元线性回归模型的建立和估计方法。
2.4 教学资源课件：介绍一元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析软件：用于一元线性回归模型的建立和估计。
2.5 教学评估课堂练习：学生进行课堂练习，应用一元线性回归分析解决实际问题。
第三章：多元线性回归分析3.1 教学目标让学生了解多元线性回归分析的基本概念和原理。
让学生掌握多元线性回归模型的建立和估计方法。
培养学生应用多元线性回归分析解决实际问题的能力。
3.2 教学内容多元线性回归分析的定义和特点多元线性回归模型的建立和估计方法多元线性回归模型的检验和预测3.3 教学方法讲授法：讲解多元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析法：分析实际数据，让学生了解多元线性回归模型的建立和估计方法。
3.4 教学资源课件：介绍多元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析软件：用于多元线性回归模型的建立和估计。
3.5 教学评估课堂练习：学生进行课堂练习，应用多元线性回归分析解决实际问题。
回归分析应用PPT课件
回归分析的应用场景
A
经济预测
通过分析历史数据，预测未来的经济趋势，如 股票价格、GDP等。
市场营销
通过研究消费者行为和购买历史，预测未 来的销售趋势和客户行为。
B
C
医学研究
研究疾病与风险因素之间的关系，预测疾病 的发生概率。
科学研究
在各种科学领域中，如生物学、物理学、化 学等，回归分析被广泛应用于探索变量之间 的关系和预测结果。
06 回归分析的局限性
多重共线性问题
总结词
多重共线性问题是指自变量之间存在高 度相关关系，导致回归系数不稳定，影 响模型预测精度。
VS
详细描述
在回归分析中，如果多个自变量之间存在 高度相关关系，会导致回归系数的不稳定 性，使得模型预测精度降低。这种情况在 数据量较小或者自变量较多的情况下更容 易出现。为了解决这个问题，可以采用减 少自变量数量、使用主成分分析等方法。
预测能力评估
使用模型进行预测，并比较预 测值与实际观测值之间的误差
，评估模型的预测能力。
03 多元线性回归分析
多元线性回归模型
01
确定因变量和自变 量
在多元线性回归模型中，因变量 是我们要预测的变量，而自变量 是影响因变量的因素。
02
建立数学模型
03
模型参数解释
通过最小二乘法等估计方法，建 立因变量与自变量之间的线性关 系式。
回归分析可以帮助我们理解数据的内在规律，预测未来的趋势，并优化决 策。
回归分析的分类
01
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
02
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
03
线性和非线性回归分析
回归分析法PPT课件
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
通过最小化误差平方和的方法来估计 模型参数。
最大似然估计
通过最大化似然函数的方法来估计模 型参数。
参数估计的步骤
包括数据收集、模型设定、参数初值、 迭代计算等步骤。
参数估计的注意事项
包括异常值处理、多重共线性、自变 量间的交互作用等。
线性回归模型的假设检验
假设检验的基本原理
回归分析法的历史与发展
总结词
回归分析法自19世纪末诞生以来，经历 了多个发展阶段，不断完善和改进。
VS
详细描述
19世纪末，英国统计学家Francis Galton 在研究遗传学时提出了回归分析法的概念 。后来，统计学家R.A. Fisher对其进行了 改进和发展，提出了线性回归分析和方差 分析的方法。随着计算机技术的发展，回 归分析法的应用越来越广泛，并出现了多 种新的回归模型和技术，如多元回归、岭 回归、套索回归等。
回归分析法的应用场景
总结词
回归分析法广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、生物学、医学等。
详细描述
在经济学中，回归分析法用于研究影响经济发展的各种因素，如GDP、消费、投资等；在金融学中，回归分析法 用于股票价格、收益率等金融变量的预测；在生物学和医学中，回归分析法用于研究疾病发生、药物疗效等因素 与结果之间的关系。
梯度下降法
基于目标函数对参数的偏导数， 通过不断更新参数值来最小化目 标函数，实现参数的迭代优化。
非线性回归模型的假设检验
1 2
模型检验
对非线性回归模型的适用性和有效性进行检验， 包括残差分析、正态性检验、异方差性检验等。
参数检验
通过t检验、z检验等方法对非线性回归模型的参 数进行假设检验，以验证参数的显著性和可信度。
第八讲多元线性回归分析-精选文档
ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
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7
2020年9月19日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析
假设有一组试验数据 (xi , yi )(i 1,2,, n) ，并且 yi
是相互独立的随机变量，则
yi 0 1xi i ,i 1,2,, n i iid ,ie i ~ N (0, 2 )
且 yi ~ N (0 1xi , 2 ) 。
P
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
P
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 49 98 147 196 294 391 489 587 685
称为 0 , 1 的最小二乘估计，其中
y1 n ni1
yi
，x1 n ni1
xi
n
，lxx (xi
i1
x)2
n
i1
xi2
1 n ni1
xi
2
，
lxy
n i1
(xi
x)(yi
n
y)
i1
xi
yi
1 n ni1
xi
n i1
yi
。
12
2020年9月19日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
y 0 1x
（1）
其中 0 , 1 是未知的待定常数，称为回归系数，x 是回归变量。
是随机因素对响应变量 y 所产生的影响—--随机误差，都是随
机变量。总是假设 E( ) 0, D( ) 2 ，亦即 ~ N(0, 2 ) 。
随机变量 y 服从正态分布 N ( 0 1x, 2 ) 。
yˆi ˆ0 ˆ1xi 的拟合最佳。
n
若记
Q(0 , 1 ) ( yi 0 1xi )2
i 1
n
则
Q(ˆ0 , ˆ1 )
min
0 ,1
Q(
0
,
1
)
i 1
( yi
ˆ0
ˆ1xi )2
10
2020年9月19日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法
显然 Q( 0 , 1 ) 0 ，且关于 0 , 1 可微，则
正态分布:
N (0 1x, 2 )
的含义你清楚吗？
8
2020年9月19日
2. 一元线性回归模型 （2）对模型的分析
?? 现在的问题：
1）如何根据 (xi , yi )(i 1,2,, n) 来求 0 , 1 的估计值，
若用 ˆ0 , ˆ1 分别表示 0 , 1 的估计值，则称 yˆ ˆ0 ˆ1x 为
数学建模教学片
第八章 回归分析方法
什么是回归方主法要；内容
多元线性回归模型； 最小二乘估计方法； 回归方程的显著性检验； 回归方法的拟合性检验； 案例分析：沼气的生成问题。
3
2020年9月19日
引例: 农作物的施肥效果分析
土豆:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
回归分析的主要内容： （1）从一组数据出发，确定这些变量间的定量关 系； （2）对模型的可信度进行统计检验； （3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性； （4）应用结果是对实际问题做出的判断。
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2020年9月19日
一、 一元线性回归方法
2.一元线性回归模型 （1）一般形式：
一元回归模型的一般形式： (x) 0 1x 并设观测值为 y :
6.39 9.48 12.46 14.38 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53
5
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
Q
0, Q
0 ，
0 ( ˆ0 ,ˆ1 )
1 ( ˆ0 ,ˆ1 )
Q
0
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
Q
1
( ˆ0 ,ˆ1 )
0
即
n
i
1 n
( yi
ˆ0
ˆ1xi )
0
i 1
(
yi
ˆ0
ˆ1xi )xi
0
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2020年9月19日
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法
ˆ0 y ˆ1x 此方程称为正规方程组，求解可以得到： ˆ1 lxy lxx
(2)ˆ0,ˆ1的 性 质
① ˆ0 ~N0,(1nlxx2x)2;
②ˆ1
~N1,lx2x
;
③Co(vˆ0,ˆ1)
x 2
lxx
.
事实上：
E(ˆ0
)
0
,
D(ˆ0
)
(1 n
x2 lxx
)
2
;
E(ˆ1 )
1
,
D( ˆ1 )
2
lxx
由此可知 ˆ0 , ˆ1 是 0 , 1 的无偏估计。
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2020年9月19日
y 关于 x 的一元线性回归方程。
2）如何检验回归方程的可信度呢？
你知道最小 二乘法吗？
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2020年9月19日
一、 一元线性回归方法
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
（1）最小二乘法: 估计 0 , 1 的方法，即取 0 , 1 的一组
估计值 ˆ0, ˆ1 使其随机误差 i 的平方和达到最小，即使 yi 与
(x
x)2 l xx2故 Nhomakorabeayˆ
K
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
2020年9月19日
一、 一元线性回归方法
1. 什么是回归方法
回归方法---用回归分析来研究建模问题的方法， 回归分析---研究随机变量之间的关系的方法。
15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
生菜:
N
施肥量
产量
（kg/ha） （t/ha）
0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
11.02 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11
3．参数 0 , 1 的最小二乘估计
对固定的 x 有
E(yˆ) E(ˆ0 ˆ1x) E(ˆ0 ) E(ˆ1)x 0 1x E(y)
即 yˆ 是 y 的无偏估计， 且有
D( yˆ ) D(ˆ0 ˆ1 x)
D(ˆ0 ) D(ˆ1) x 2Cov(ˆ0 , ˆ1) x
1 n