数学---湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试(文)

2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知复数z =21−i,则下列命题中正确的个数为①|z|=√2 ②z̅=1−i ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】本题考查复数的代数形式的运算.解答本题时要注意先对复数进行除法运算,然后对命题进行判断,确定真命题的个数.因为z =21−i =1+i ,所以|z|=√2,z̅=1−i,z 的虚部为1,z 在复平面上对应点(1,1)在第一象限.所以正确命题的序号为①②④,合计有3个.故选C.2．下列函数为偶函数且在(0,＋∞)上为增函数的是A.f(x)=(∫costdt x0)2 B.f(x)=x 2+3x 2C.f(x)=12x +x 2 D.f(x)=x(e x −e −x ) 【答案】D【解析】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意根据所给的函数进行逐一判断,确定满足条件的函数解析式.由题可得,因为f (x )=(∫costdt x 0)2=(sinx)2是偶函数但在(0,＋∞)上不单调,所以排除A;因为f(x)=x 2+3x 2是偶函数,但在(0,＋∞)上不单调,所以排除B.因为f(x)=12x +x 2不是偶函数,所以排除C;故选D.3．已知集合A ={x|y =lg2−x x+2},集合B ={y|y =1−x 2},则集合{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}为A.[−2,1]∪(2,+∞)B.(−2,1)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪[1,2)D.(−∞,−2]∪(1,2)【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算.解答本题时要注意先求得集合A,B,然后求得并集与交集,再求得结论.因为A ={x|y =lg 2−xx+2}={x |−2<x <2}, B ={y |y =1−x 2}={y|y ≤1}.所以A ∪B =(−∞,2),A ∩B =(−2,1].所以{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}=(−∞,−2]∪(1,2).故选D.4．下列说法正确的是A.“∀x,y ∈R ,若x +y ≠0,则x ≠1且y ≠−1”是真命题B.在同一坐标系中,函数y =f(1+x)与y =f(1−x)的图象关于y 轴对称.C.命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3>0”D.a ∈R ,“1a <1 ”是“a >1”的充分不必要条件【答案】B【解析】本题考查常用逻辑用语.解答本题时要注意对选项进行逐一判断,排除错误说法,确定正确说法.对于选项A,取x =1,y =0,则x +y ≠0,但x ≠1且y ≠−1不成立,所以是假命题,故排除A;对于选项C,命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3≥0”,故排除C;对于选项D,当1a <1时有a <0或a >1,所以是必要不充分条件,故排除D.所以说法正确的是选项B.故选B.5．如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上的一点,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为A.19B.13C.1D.3【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算.解答本题时要注意利用平面向量的基本定理及其线性运算,表示向量,通过向量相等,求得实数的值.由题可得,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以n 4=29,解得n =89,所以m =1−n =19.故选A.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有31天,记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ,则a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30的值为 A.2930B.1615C.13D.15【答案】B【解析】本题考查等差数列求和问题解答本题时要注意根据《九章算术》题中意思,构造等差数列,然后求和比较.由题可得,该问题可转化为等差数列求和问题.已知首项为5,设公差为d ,则31×5+31×322d =310,解得d =516.所以a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30=16×5+2+302×15×515×5+1+292×15×5=1615.故选B.7．若tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 A.±√210B.√25C.√210D.±√25【答案】C【解析】本题考查三角函数恒等变换.解答本题时要注意先根据条件求得tanα,再转化计算得到sinα及cosα.最后计算得到结论.因为tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),所以tanα=−12.所以sinα=√55,cosα=−2√55.所以sin (2α+π4)=√22sin2α+√22cos2α=√2sinαcosα+√22(2cos 2α−1)=√2×√55×(−2√55)+√22(2×25−1)=√210.故选C.8．某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:°C )满足函数关系y =e kx+b (e =2.718⋯为自然对数的底数,k,b 为常数),若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时,在22°C 的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C 的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33【答案】C【解析】本题考查函数模型的实际应用.解答本题时要注意根据条件确定函数关系式,然后求值计算.由题可得,{192=e b 48=e22k+b ,解得e 11k =12,所以当x =33时,y =e 33k+b =(e 11k )3∙e b=(12)3×192=24.故选C.9．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如所示,为了得到y =f(x)的图象需将y =cos2x 的图象A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度 C.向右平移π6个单位长度 D.向左平移π6个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意先根据给出的函数的部分图象确定函数的解析式,然后考查函数图象平移问题.由图可知,T4=7π12−π3=π4,解得T =π=2πω,解得ω=2.由五点法可知,当x =π3时,2π3+φ=π2,解得φ=−π6.所以f (x )=sin (2x −π6)=cos⁡(2x −π3).所以需将y =cos2x 的图象向右平移π3个单位长度即可得到y =f(x)的图象.故选A.10．已知定义在R 上的偶函数f(x),满足f (x +4)=f(x),且x ∈[0,2]时,f (x )=sin πx +2|sin πx |,则方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是 A.18 B.19C.10D.9【答案】B【解析】本题考查函数与方程.解答本题时要注意利用函数的奇偶性及周期性,画出函数的图象,结合图象判断方程的根的情况.由题可得,因为f (x +4)=f(x),所以函数是周期为4的函数,因为当x ∈[0,2],f (x )=sin πx +2|sin πx |={3sinπx,0≤x ≤1−sinπx,1<x ≤2.因为函数是偶函数,所以可知函数的图象如图所示,在同一坐标系内画出函数y =|lg x |的图象.结合函数的图象可知,方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是19个.故选B.11．在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6,CA =√33,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为A.12 B.23C.34D.−13【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意利用已知的向量数量积,化简求值,再结合数量积的定义,求得向量的夹角.因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.因为AB =1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√33×1×2×√33×1=−1,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1+BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−1=2,即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3cosθ=2.所以cosθ=23.故选B.12．设函数f(x)=e x (x −ae x )(其中e 为自然对数的底数)恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则下列说法中正确的是 A.0<a <13 B.0<x 2<1 C.−12<f(0)<0 D.f(x 1)+f(x 2)>0【答案】C【解析】本题考查导数及其应用.解答本题时要注意先对函数进行求导,然后利用函数恰有两个极值点,通过函数分解,考查函数图象的交点,判断选项的正确与否.由题可得,f ′(x )=e x (x −ae x )+e x (1−ae x )=e x (x +1−2ae x ).因为函数恰有两个极值点,所以f ′(x )=0有两个根,即x +1−2ae x =0有两个根x 1,x 2(x 1<x 2),所以函数y =x +1与y =2ae x 的图象有两个不同的交点.结合图形(图略)可知,要使满足条件,则0<2a <1,所以0<a <12.所以f (0)=−a ∈(−12,0).所以选项C 正确.故选C.二、填空题：共4题13．函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是________.【答案】(−3,−1]或(−3,−1)【解析】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意根据复合函数的单调性的判断方式,求得函数的单调递增区间.由题可得,令−x 2−2x +3>0,解得−3<x <1.因为函数y =lgx 在定义域内单调递增,函数y =−x 2−2x +3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,由复合函数的单调性判断方式可知,函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是(−3,−1)或(−3,−1].14．已知向量a =(6,−2),b =(1,m),且a ⊥b ,则|a −2b|= .【答案】4√5【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意先利用向量垂直,计算得到实数m的值,然后进行求模计算.因为向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,所以6−2m= 0,解得m=3.所以a−2b=(4,-8),所以|a−2b|=√16+64=√80=4√5.15．已知数列{a n}的通项公式为a n=−n2+10n−194,当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a n a n+1a n+2取得最大值时,n的值为_________.【答案】9【解析】本题考查数列的求和.解答本题时要注意根据数列的通项公式,判断数列的项是正项的情况,然后判断使得结论取到最大值时的n的值.令a n=−n2+10n−194>0,由n∈N∗解得n≤9.且有a10<0,a11<0.因为a8a9a10+a9a10a11=−(16−194)(9−194)×19 4+(9−194)×194×(11+194)=(9−194)×194×(−5+192)>0,所以可知当n=9时,a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a9a10a11取到最大值.16．若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2b(其中a2+b2≠0),则称函数y=f(x)为“中心对称函数”,称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”.现有如下命题:①函数f(x)=sinx+1是“中心对称函数”;②若“中心对称函数”y=f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),则函数F(x)=f(x+a)−f(a)是R上的奇函数;③函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2);④函数f(x)=2x−cos x是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(π2,π).其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)【答案】①②③【解析】本题考查函数的性质.解答本题时要注意根据中心对称函数的定义对命题逐一验证,得到正确的命题.由题可得,因为y=sinx图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=sinx+1,图象关于点(0,1)对称,所以是中心对称函数,所以①正确;因为函数是中心对称函数,所以有f(a+x)+f(a−x)=2f(a),所以F(−x)=f(−x+a)−f(a)=2f(a)−f(a+x)−f(a)=f(a)−f(a+x)=−[f(a+x)−f(a)]=−F(x),所以函数是奇函数,所以②正确;因为f(1−x)+f(1+x)=(1−x)3−2(1−x)2+6(1−x)−2+(1+x)3−2(1+x)2+6(1+x)−2=1−3x+3x2−x3−2+2x−2x2+6−6x−2+1+3x+3x2+x3−2−2x−2x2+6+6x−2=4=2×2.所以可知函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2),所以③正确;因为f(π2−x)+f(π2+x)=2(π2−x)−cos(π2−x)+2(π2+x)−cos(π2+x)=2π−2sinx≠2π,所以函数不是中心对称函数,所以④错误.所以正确的命题是①②③.三、解答题：共6题17．已知向量a=(sinx,cos(π−x)),b=(2cosx,2cosx),函数f(x)=a⋅b+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值,并求出相应x的值.【答案】(1)因为f(x)=a⋅b+1=2sin x cos x+cos(π−x)·2cos x+1=2sin x cos x−2cos2x+1=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),所以f(x)的对称中心为(kπ2+π8,0)(k∈Z).(2)由(1)得,f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),因为x∈[0,π2],所以2x−π4∈[−π4,3π4],所以当2x−π4=π2时,即x=3π8时,f(x)的最大值是√2;当2x−π4=π4时,即x=0时,f(x)的最小值是−1.【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用平面向量数量积的坐标表示,结合三角恒等变换,化简函数的解析式,利用整体代换,求得函数的对称中心;(2)利用整体代换,结合函数y=sin x的图象与性质,求得函数在给定区间的最大值与最小值.18．已知函数f(x)＝log4(4x+1)＋kx(k∈R).(1)当k=−12时,若方程f(x)−m＝0有解,求实数m的取值范围;(2)试讨论f(x)的奇偶性.【答案】(1)由m＝f(x)＝log4(4x+1)−12x,∴m＝log44x+12x＝log4(2x+12x).∵2x+12x ≥2,∴m≥12.(2)依题意得定义域为R,关于原点对称∵f(x)=log4(4x+1)＋kx,f(−x)=log4(4−x+1)−kx,令f(x)=f(−x),得log44x+14−x+1＝−2kx,即log44x＝−2kx, ∴x=−2kx对一切k∈R恒成立.∴k=−12时f(x)=f(−x),此时函数f(x)是偶函数,∵f(0)=log 4(40+1)−k ×0=log 42=12,∴函数f(x)不是奇函数, 综上,当k =−12时,函数f(x)是偶函数; 当k ≠−12时,函数f(x)是非奇非偶函数.【解析】本题考查函数的性质及函数与方程.解答本题时要注意(1)利用方程有解,转化为函数值域问题,由此得到实数m 的取值范围;(2)根据实数k 的取值情况,利用函数奇偶性的定义,判断函数的奇偶性.19．已知数列{a n },{b n },S n 为数列{a n }的前n 项和,且满足a 2=4b 1,S n =2a n −2,nb n+1−(n +1)b n =n 2+n(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)试问{bn n}能否为等差数列,请说明理由;(3)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n4,n 为偶数,令T n 为{c n }的前n 项的和,求T 2n .【答案】(1)当n =1时,S 1=2a 1−2⇒a 1=2,当n ≥2时,由{S n=2a n −2S n−1=2a n−1−2,得:a n =2a n −2a n−1,则a n =2a n−1, 综上,{a n }是公比为2,首项为2的等比数列,a n =2n ; (2){bn n}是等差数列,理由如下:∵a 2=4b 1,∴b 1=1,∵nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ,∴bn+1n+1−b n n=1综上,{b nn}是公差为1,首项为1的等差数列,且bn n=1+n −1⇒b n =n 2; (3)令p n =c 2n−1+c 2n =−(2n−1)2⋅22n−12+(2n)2⋅22n4=(4n −1)⋅22n−2=(4n −1)⋅4n−1,{T 2n =3×40+7×41+11×42+⋯+(4n −1)×4n−14T 2n=3×41+7×42+11×43+⋯+(4n −5)×4n−1+(4n −1)×4n ①②①-②,得:−3T 2n =3⋅40+4⋅41+4⋅42+⋯+4⋅4n−1−(4n −1)⋅4n =3+16−4⋅4n 1−4−(4n −1)⋅4n ,所以T 2n =79+12n−79⋅4n .【解析】本题考查等比数列及其求和问题.解答本题时要注意(1)根据数列的前n 项和与通项之前的递推关系式,判断得到数列是等比数列,并由此表示得到通项公式;(2)根据递推关系式,判断得到数列{bnn}时等差数列,由此得到其通项公式;(3)通过化简得到数列的通项公式,结合错位相减法,求得数列的前n 项和.20．已知函数f(x)=e x −ax(a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a =1,函数g(x)=(x −m)f(x)−e x +x 2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数m 的取值范围.【答案】(1)函数f(x)的定义域为R,f ′(x)=e x −a . 当a ≤0时,f ′(x)>0,∴f(x)在R 上为增函数; 当a >0时,由f ′(x)=0得x =lna ,当x ∈(−∞,lna)时,f ′(x)<0,∴函数f(x)在(−∞,lna)上为减函数, 当x ∈(lna,+∞)时,f ′(x)>0,∴函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数 (2)当a =1时,g(x)=(x −m)(e x −x)−e x +x 2+x , ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数;∴g ′(x)=xe x −me x +m +1≥0在(2,+∞)上恒成立, 即m ≤xe x +1e x −1在(2,+∞)上恒成立, 令ℎ(x)=xe x +1e x −1,x ∈(2,+∞),则ℎ′(x)=(e x )2−xe x −2e x(e −1)=e x (e x −x−2)(e −1),令L(x)=e x −x −2,L ′(x)=e x −1>0在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=e x −x −2在(2,+∞)上为增函数,即L(x)>L(2)=e 2−4>0, ∴ℎ′(x)>0,即ℎ(x)=xe x +1e x −1在(2,+∞)上为增函数,∴ℎ(x)>ℎ(2)=2e 2+1e 2−1,∴m ≤2e 2+1e 2−1,所以实数m 的取值范围是(−∞,2e 2+1e 2−1].【解析】本题考查函数与导数的应用.解答本题时要注意(1)对函数进行求导,利用实数a 的取值情况,结合导数的正负,判断函数的单调性,求得函数的单调区间;(2)先确定函数的解析式,利用函数在给定区间的单调性,结合导数大于0恒成立,构造不等式,并参变分离,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,由此计算得到实数m 的取值范围.21．如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ,其中OA =3km,OB =3√3km,∠AOB =90∘.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ,其中M,N 都在边AB 上(M,N 不与A,B 重合,M 在A,N 之间),且∠MON =30∘.(1)若M 在距离A 点2km 处,求点M,N 之间的距离;(2)为节省投入资金,三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小.试确定M 的位置,使△OMN 的面积最小,并求出最小面积.【答案】(1)在△ABO 中,因为OA =3,OB =3√3,∠AOB =90∘,所以∠OAB =60∘, 在△OAM 中,由余弦定理得:OM 2=AO 2+AM 2−2AO ⋅AMcosA =7, 所以OM =√7, 所以cos∠AOM =OA 2+OM 2−AM 22AO⋅AM=2√77,在△OAN 中,sin∠ONA =sin(∠A +∠AON)=sin(∠AOM +90∘)=cos∠AOM =2√77, 在△OMN 中,由MNsin30∘=OMsin∠ONA ,得MN =√72√77×12=74;(2)设∠AOM =θ,0∘<θ<60∘ ,在△OAM 中,由OMsin∠OAB =OAsin∠OMA ,得OM =3√32sin(θ+60∘), 在△OAN 中,由ONsin∠OAB =OAsin∠ONA ,得ON =3√32sin(θ+90∘)=3√32cosθ,所以S △OMN =12OM ⋅ONsin∠MON =12⋅3√32sin(θ+60∘)⋅3√32cosθ⋅12＝2716sin(θ+60∘)cosθ＝8sinθcosθ+8√3cos 2θ＝4sin2θ+4√3cos2θ+4√3＝8sin(2θ+60∘)+4√30<θ<60∘.当2θ+60∘=90∘,即θ=15∘时,S △OMN 的最小值为27(2−√3)4.所以应设计∠AOM =15∘,可使△OMN 的面积最小,最小面积是27(2−√3)4km 2【解析】本题考查解三角形的实际应用.解答本题时要注意(1)在三角形中利用余弦定理求得OM 及cos∠AOM 的值,再利用正弦定理求得MN 的值;(2)利用正弦定理分别求得OM 和ON 的值,然后表示三角形的面积,结合三角函数的有界性,求得面积的最小值.22．已知数列{a n }满足a n =n t+1(n,t ∈N ∗,t ≥3,t 为常数,n ≤t).(1)设S n =∑1a ini=1=1a 1+1a 2+⋯+1a n,n ∈N ∗,证明:S n >(t +1)ln(n +1);(2)证明:a n <e a n −1(e 为自然对数底数);(3)设T n =∑(a k )t nk=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯(a n )t ,n ∈N ∗,试比较与T n 与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)即证:1(t+1)a 1+1(t+1)a 2+⋯+1(t+1)a n>ln(n +1),即证:1+12+13+⋯+1n >ln(n +1),设g(x)=x −ln(x +1),g ′(x)=1−1x+1=xx+1,∵当x >0时,g ′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,当−1<x <0时,g ′(x)<0,g(x)在(−1,0)上单调递减,∴g(x)=x −ln(x +1)≥g(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),即x >0时,有x >ln(x +1),∴1+12+13+⋯+1n >ln 2+ln 32+ln 43+⋯+lnn+1n =ln(n +1), ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n >(t +1)ln(n +1), (2)由(1)知:当x >−1且x ≠0时,有x >ln(x +1),即当x >0且x ≠1时,有x −1>lnx ,因为0<a n =n t+1≤t t+1<1,所以a n −1>lna n ,即a n <e a n −1(3)T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1,理由如下:由(2)知:(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <(e a 1−1)t +(e a 2−1)t +(e a 3−1)t +⋯+(e a n −1)t =(e t )a 1−1+(e t )a 2−1+(e t )a 3−1+⋯+(e t )a n −1=e −t 2t+1(1−e tn t+1)1−e t t+1≤e −t 2t+1(1−e t 2t+1)1−e t t+1=e −t 2t+1−11−e t t+1, 设e t t+1=q ,因为q =e t t+1≥e 34>2,∴e −t 2t+1−11−e t t+1=q −t −11−q =1−q −t q−1<1q−1<1,所以T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1.【解析】本题考查数列与不等式.解答本题时要注意(1)通过将问题转化,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,通过构造,证明不等式成立;(2)根据(1)的结论,构造不等式,通过证明a n −1>lna n ,得到结论成立;(3)利用(2)的结论,结合放缩法,构造等比数列,利用等比数列求和及放缩法,比较得到T n 与1的大小关系.。

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{1,2},{}M N a ==，则“1a =”是“N M ⊆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则15S 的值为A ．250B ．260C ．350D ．3603．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．15B ．30C ．45D ．604．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5．已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若 b n a m + 与 b a2-共线，则 n m 等于A ．21- B ．21 C ．2- D ．26．偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0，3]与[3,)+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,1)(1,4)-- C ．(,4)(1,0)-∞--D ．(,4)(1,0)(1,4)-∞--7．若41)6sin(=-θπ，则=+)232cos(θπA ．87-B ．41- C ．41D ．879．若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是A ．3[22-，）B ．322-（，）C ．3[32-，）D ．332-（，）10．如图，A 地在高压线l (不计高度)的东侧0.50km 处，B 地在A 地东北方向1.00km 处，公路沿线PQ 上任意一点到A 地与高压线l 的距离相等．现要在公路旁建一配电房向A 、B 两地降压供电(分别向两地进线) ．经协商，架设低压线路部分的费用由A 、B 两地用户分摊, 为了使分摊费 用总和最小，配电房应距高压线l A ．1.21km B ．0.50km C ．0.75km D ．0.96km二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．化简：2)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ．12．若,x y R ∈，且162=+y x ，则 xy 的最大值为 ． 13．已知五个实数1,,,,16a b c 依次成等比数列，则a b c ++ = ．14．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是_________．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（l（第15题图） （第16题图）16．把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动． （1）当A 点与原点重合时，OB OC ⋅= ； （2）OB OC ⋅的最大值是_________．17．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如3]5.2[-=-，[2.5]2=，设函数]][[)(x x x f =． (1)=)6.3(f ；（2）若函数)(x f 的定义域是)0[n ，，+∈N n ，则其值域中元素个数为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin2f x x x a =-． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设[0,]()2x f x π∈时的最小值是2-，求()f x 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，ABCD 是矩形， E 是棱PD 的 中点，4PA AD ==，3AB =． （1）证明//PB ACE 平面；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．ABCDEP21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在x ，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴 分别交于点E F 、． （1）求椭圆标准方程； （2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．22．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）求)(x f 的解析式； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设n 是正整数，用!n 表示前n 个正整数的积，即n n ⋅⋅⋅⋅= 321!．求证： 4)1(!+<n n en ．华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测数学（文科）试题参考答案三、解答题18．解析：（1）()sin2cos2)f x x x a =+sin 2x x a =+2sin(2)3x a π=-+，令3222232+≤-≤+k x k πππππ，得511,1212+≤≤+∈k x k k Z ππππ，()∴f x 的单调递减区间 511[,]()1212++∈k k k Z ππππ ……6分（2）20,22333x x ππππ≤≤∴-≤-≤，sin(2)13x π≤-≤ min ()f x a ∴=； max ()=f x 2a +，令 2,2a a =-得，所以 max ()=f x 2……12分19．解析：（1）连BD 交AC 于O ，连EO则EO 是PBD ∆的中位线，所以//PB EO ， 因为PB ACE ⊄平面，EO ACE ⊂平面，//PB ACE 所以平面． ………6分(2)BH AC H PH ⊥作于，连PA ABCD PAC ABCD ⊥⊥因为底面，所以平面平面 由两平面垂直的性质定理得，BH PAC ⊥平面所以BPH PB PAC ∠就是直线与平面所成的角， 因为 125,5PB BH ==，1225BH BPH PB ∠==所以sin ， 即直线PB PAC 和平面所成角的正弦值是1225． ………12分20．解析：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--， 又1174b =-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（也可直接求出n T ，再求n b ） ………7分A BC D E POH（2）由（1）得 3n c n =-，于是 111111()9(1)91n n c c n n n n +==-++ 所以12231111n n c c c c c c ++++ 111111[(1)()()]92231n n =-+-++-+ 11(1)919(1)nn n =-=++ 令9(1)nn +11100>，得99n >所以n 的最小值为100 ． ………13分21．解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =，又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b +=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += ………4分（2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-=令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<． 又由题设知直线不过M(4,1)，所以3,14-≠≠+m m ，所以m 的取值范围是 )5,3()3,5(-⋃--． ………8分1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+--1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0，120k k ∴+=，所以MEF ∆是等腰三角形． ……………14分 22．解析（1）∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-， ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-.所以 ()ln 2xf x x =-…………4分（2）由（1）得当1x >时，()0k f x x +<恒成立即 ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. 令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ∴ k 的取值范围是1(,]2-∞. ………11分（3）由（2）知，当1x >时，()0f x <（0k =时），又 1x =时()0f x <也成立， 所以当1≥x 时，2ln xx <， 于是211ln <，222ln <，233ln <， ，2ln n n <。

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三期中检测数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合)}1ln(|{},0232|{22-==>--=x y x B x x x A ，则=⋂B A （ ）A ．)21,1(- B ．),1()2,(+∞⋃--∞ C ．)1,2(-- D ．),1()1,2(+∞⋃-- 2.已知i 是虚数单位，R b a ∈,，则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知βα,是两相异平面，n m ,是两相异直线，则下列错误的是（ ）A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥nB ．若βα⊥⊥n m ,，则βα//C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =⋂βαα,//，则n m //4.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（ ） A ．91 B ．92 C. 31 D ．94 5.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知7075,100571=--=S S a .则101S 等于（ ） A ．100 B ．50 C. 0 D ．50-6.已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（ ）A ．6B ．0 C. 2 D ．22 7.设201620172017201620171log ,log ,2016===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．a b c >> 8.执行如下图的程序框图，如果输入的01.0=t ，则输出的=n （ ）A ．5B ．6 C. 7 D ．89.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π16 C. π32 D ．π6410.若向量b a ,满足2|2|||=+=b a a ，则a 在b方向上投影的最大值是（ ）A ．3B ．3- C. 6 D ．6-11.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在点P 处的切线过双曲线的左焦点)0,1(-F ，则双曲线的离心率是（ ）A ．215+ B ．225+ C. 213+ D ．2312.若对于任意的正实数y x ,都有mexx y e y x ≤⋅-ln )2(成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．)1,1(e B ．]1,0(2e C. )1,0( D ．]1,0(e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知41)4cos(=+x π，则x 2sin 的值为 ． 14.已知π43,||,1||=∠==→→AOB m OB OA ，点C 在AOB ∠内且0=⋅→→OC OA .若)0(2≠+=→→→λλλOB OA OC ，则=m ．15.已知函数)4cos(2)(x x f +=π，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m v 平移后，所得图象恰好为函数)(x f y '=的图象，则m 的最小值为 ． 16.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知42=+b a ，C B a B b A a sin sin 6sin 4sin =+，则C B A ,,的面积取最小值时有=2c ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列n a 的前n 项和为n S ，且}{,2121n n n b S --=为等差数列，且112211)(,a b b a b a =-=.（1）求数列n a 和}{n b 的通项公式； （2）设nnn a b c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 18. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组)25,20[，第2组)30,25[，第3组)35,30[，第4组)40,35[，第5组]45,40[，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第5,4,3组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第5,4,3组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.19. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且SD SA SC SA ⊥=,.（1）求证：⊥SO 平面ABCD ；（2）设P SD AB BAD ,2,60===∠是侧棱SD 上的一点，且//SB 平面APC ，求三棱锥PCD A -的体积.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若椭圆的C 左、右焦点分别为21F F 、，过2F 作直线l 与椭圆分别交于两点N M 、，求→→⋅N F M F 11的取值范围.21. 函数m x x x g x x f --==2)(,ln )(.（1）若函数)()()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值；（2）若xe x x x g xf )2()()(2--<+在)3,0(∈x 恒成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标. 23.选修4-5：不等式选讲设函数)(|||1|)(R a a x x x f ∈-+-=. （1）当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集； （2）若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CADBC 6-10:AACCB 11、12：AD 二、填空题 13.87 14. 22 15. π23 16. 5345- 三、解答题17.解：（1）当1=n 时，111==S a ，当2≥n 时，121121)212()212(----=---=-=n n n n n n S S a ， 经验证当1=n 时，此时也成立，所以121-=n n a ，从而2,1211211==-==a a b b a b ， 又因为}{n b 为等差数列，所以公差122)1(1,2-=⋅-+=∴=n n b d n ， 故数列}{n a 和}{n b 通项公式分别为：12,211-==-n b a n n n . （2）由（1）可知112)12(2112--⋅-=-=n n n n n c ， 所以12102)12(252321-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T ①①2⨯得nn n n n T 2)12(2)32(25232121321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ② ①-②得：nn n n T 2)12()222(2112⋅--++++=--n n n n n n n n 2)32(32)12(4212)12(21)21(22111⋅---=⋅---+=⋅----+=+-∴数列}{n c 的前n 项和n n n T 2)32(3⋅-+=.18.解：（1）由题意第2组的人数为n ⨯⨯=07.0535，得到100=n ，故该组织有100人. （2）第3组的人数为30100506.0=⨯⨯，第4组的人数为20100504.0=⨯⨯，第5组的人数为10100502.0=⨯⨯，所以第5,4,3组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组366030=⨯；第4组266020=⨯；第5组166010=⨯. 所以应从第5,4,3组中分别抽取3人，2人，1人.（3）记第3组的3名志愿者为321,,A A A ，第4组的2名志愿者为21,B B ，第5组的1名志愿者为1C ，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有),,(),,(),,(113121B A A A A A ),,(),,(1121C A B A ),,(),,(1232B A A A ),,(22B A),,(12C A ),,(),,(),,(132313C A B A B A ),(),,(),,(121121C B C B B B ，共15有种.其中第3组的3名志愿者321,,A A A 至少有一名志愿者被抽中的有),,(),,(),,(),,(21113121B A B A A A A A),,(11C A ),,(),,(),,(),,(12221232C A B A B A A A ),(),,(),,(132313C A B A B A ，共12有种.则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为541512=. 19.（1）证明： 底面ABCD 是棱形，∴对角线AC BD ⊥，又⊥∴=⋂⊥BD A AC SA SA BD ,,平面⊂SO SAC ,平面SO BD SAC ⊥∴,， 又O SC SA ,=为AC 中点，⊥∴=⋂⊥∴SO O BD AC AC SO ,,平面ABCD . （2）连//,SB PO 平面⊂SB APC ,平面SBD ，平面⋂SBD 平面PO APC =，PO SB //∴，在三角形SBD 中，O 是BD 的中点，P ∴是SD 的中点，取OD 的中点E ，连PE ，则⊥PE SO PE ,//底面ACD ，且SO PE 21=， 在直角三角形ADO 中，1,30,2=∴=∠=DO DAO AD，在直角三角形SDO 中，23,3,2=∴==PE SO SD ，3120sin 2221=⨯⨯⨯= ACD S 三角形，2123331=⨯⨯==∴--ACD P PCD A V V 三棱锥三棱锥.20.（1）由题意⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=121cos sin 1222222222b a c c b a c a c θθ 故椭圆12:22=+y x C . （2）①若直线l 斜率不存在，则可得x l ⊥轴，方程为)22,1()22,1(,1-=N M x 、， )22,2(),22,2(11-==∴→→N F M F ，故2711=⋅→→N F M F .②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 消去y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x N y x M ，则222122212122,214k k x x k k x x +-=+=+.),1(),,1(221111y x N F y x M F +=+=→→，则)1()1()1)(1()1)(1(2121212111-⋅-+++=+++=⋅→→x k x k x x y y x x N F M F2212212111))(1()1(k x x k x x k N F M F +++-++=⋅⇒→→代入韦达定理可得12292712171124412)1(222222422411+-=+-=+++-++-=⋅→→k k k k k k k k k N F M F 由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅→→N F M F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅→→N F M F .21.解：（1）m x x x x F ++-=2ln )(，定义域xx x x F )1)(12()(),,0(-+-='+∞，由0)(>'x F 得10<<x ，由0)(<'x F 得)(,1x F x ∴>在)1,0(递增，在),1(+∞递减，m F x F ==∴)1()(最大，没有极小值.（2）由xe x x x g xf )2()()(2--<+在)3,0(∈x 恒成立，整理得x x e x m x-+->ln )2(在)3,0(恒成立，设x x e x x h x -+-=ln )2()(，则)1)(1()(xe x x h x --='，1>x 时，01>-x ，且0)(,01,11,>'∴>-∴<>x h xe x e e x x ，10<<x 时，01<-x ，设01)(,1)(2>+='-=xe x u x e x u x x .)(x u ∴在)1,0(递增，又)1,21(,01)1(,02)21(0∈∃>-=<-=x e u e u 使得0)(0=x u ，),0(0x x ∈∴时，)1,(,0)(0x x x u ∈<时，0)(>x u ， ),0(0x x ∈∴时，)1,(,0)(0x x x h ∈>'时，0)(<'x h . ∴函数)(x h 在),0(0x 递增，)1,(0x 递减，)3,1(递增，又000000021)2(ln )2()(0x x x x x e x x h x-⋅-=-+-=， 1221)(,22),1,0(00000-<--=∴-<-∴∈x x x h x x ， )3,0(,33ln )3(3∈∴-+=x e h 时，)3()(h x h <，)3(h m ≥∴，即m 的取值范围是),33ln [3+∞-+e .22.解：（1）曲线C 的方程为1322=+y x ，直线l 的方程为04=-+y x . （2）在⎩⎨⎧==θθsin cos 3:y x C 上任取一点)sin ,cos 3(θθ，则点P 到直线l 的距离为232|4)3sin(2|2|4sin cos 3|≤-+=-+=πθθθd ， ∴当1)3sin(-=+πθ时，23max =d ，此时这个点的坐标为)21,23(-. 23.解：（1）5|4||1|≥-+-x x 等价于⎩⎨⎧≥+-<5521x x 或⎩⎨⎧≥≤≤5341x 或⎩⎨⎧≥->5524x x ，解得0≤x 或5≥x ，故不等式5)(≥x f 的解集为0|{≤x x 或}5≥x . （2）因为：|1||)()1(||||1|)(-=---≥-+-=a a x x a x x x f 所以|1|)(min -=a x f ，由题意的：4|1|≥-a ，解得3-≤a 或5≥a .。

2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．（5分）已知集合A={x|2﹣3x﹣2x2＞0}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，）D．（﹣2，﹣1）∪（l，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n4．（5分）两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣506．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．27．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π10．（5分）若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）13．（5分）已知，则sin2x的值为．14．（5分）已知||=1，||=m，∠AOB=π，点C在∠AOB内且=0，若（λ≠0），则m=．15．（5分）已知函数f（x）=cos（x+），把f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，所得图象恰好为函数y=f′（x），则m的最小值为．16．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则△ABC的面积最小值时有c2=．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，{b n}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召N名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数．（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ﹣1=0相切（θ为常数）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆分别交于两点M、N，求•的取值范围．21．（12分）函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣x﹣m．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值；（2）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．二.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且长度单位相同，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．（5分）已知集合A={x|2﹣3x﹣2x2＞0}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，）D．（﹣2，﹣1）∪（l，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（2x﹣1）＜0，解得：﹣2＜x＜，即A=（﹣2，）；由B中y=ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1，x＞1∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）则A∩B=（﹣2，﹣1）．故选：A．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．3．（5分）已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n【解答】解：由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α，故A正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故D不正确．故选：D．4．（5分）两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：两次抛掷一枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值等于2包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），共8个，∴向上的点数之差的绝对值等于2的概率是p==．故选：B．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣50【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，又a1=﹣100，∴5S7﹣7S5=5（﹣700+d）﹣7（﹣500+d）=70，解得d=2，∴S101=101×（﹣100）+×2=0，故选：C．6．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．7．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵，＞20160=1，0=log 20161＞b=＞=，c=＜=，∴a＞b＞c．a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．9．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C．10．（5分）若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵|2|=2，||=2，∴||2+4+16=4，设的夹角为θ，则||2+8||cosθ+12=0．∴cosθ=﹣．∴在方向上投影为||cosθ=﹣=﹣（+）．∵+≥2=．∴||cosθ≤﹣．故选：B．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设，函数y=的导数为：y′=，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，∴P（1，1），双曲线的左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的右焦点F2（1，0），既c=1．则|PF1|﹣|PF2|=2a，既﹣=2a解得a=所以离心率e===12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）13．（5分）已知，则sin2x的值为．【解答】解：∵，则sin2x=﹣cos（2x+）=﹣[2﹣1]=﹣（2×﹣1）=，故答案为：．14．（5分）已知||=1，||=m，∠AOB=π，点C在∠AOB内且=0，若（λ≠0），则m=．【解答】解：如图，过C分别作CD∥OB，CE∥OA，并分别交OA，OB于D，E，则：，；∴，；△OCE为等腰直角三角形；∴；即；∴．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=cos（x+），把f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，所得图象恰好为函数y=f′（x），则m的最小值为．【解答】解：图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，得到函数f（x）=cos（x﹣m+）；函数y=f′（x）=﹣sin（x+）=cos（x+），因为两个函数的图象相同，所以﹣m+=+2kπ，k∈Z，所以m的最小值为：，故答案为：．16．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则△ABC的面积最小值时有c2=5﹣．【解答】解：由正弦定理，asinA+4bsinB=6asinBsinC即为a2+4b2=6absinC，又S=absinC，即有a2+4b2=12S，由于a+2b=4，即有a2+4b2=（a+2b）2﹣4ab=16﹣4ab，即有4ab=16﹣12S，由4ab≤2（）2=8，即有16﹣12S≤8，解得S≥．当且仅当a=2b=2，取得等号．当a=2，b=1，S取得最小值，sinC=，（C为锐角），则cosC==．则c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2×2×1×=5﹣．故答案为：5﹣．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，{b n}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b1=a1=1，，又因为{b n}为等差数列，所以公差d=2，∴b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，故数列{a n}和{b n}通项公式分别为：，b n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以+（2n﹣1）•2n﹣1①①×2得+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n②①﹣②得：﹣（2n﹣1）•2n==1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n．∴数列{c n}的前n项和．18．（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召N名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数．（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07n，得到：n=100，故该组织有100人．（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60，名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；∴对角线BD⊥AC；又BD⊥SA，SA∩AC=A；∴BD⊥平面SAC，SO⊂平面SAC；∴BD⊥SO，即SO⊥BD；又SA=SC，O为AC中点；∴SO⊥AC，AC∩BD=O；∴SO⊥平面ABCD；（2）如图，连接PO；∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；∴SB∥PO；在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；∴PE⊥底面ACD，且PE=；根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=；∴；又；=V三棱锥P﹣ACD=．∴V三棱锥A﹣PCD20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ﹣1=0相切（θ为常数）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆分别交于两点M、N，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ﹣1=0相切，∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，方程为x=1，M（1，），N（1，﹣），∴=（2，），=（2，﹣），∴=．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），则由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，，=（x2+1，y2），则=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）+k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2，代入韦达定理得：=++k2+1==，由k2≥0，得•∈[﹣1，）．综上，•的取值范围是[﹣1，]．21．（12分）函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣x﹣m．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值；（2）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=lnx﹣x2+x+m，定义域（0，+∞），F′（x）=﹣2x+1=﹣，F′（x）=0，可得x=1，则F（x）的极大值为F（1）=m，没有极小值；（2）f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在（0，3）恒成立；整理为：m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立；设h（x）=（x﹣2）e x+lnx﹣x，则h′（x）=（x﹣1）（e x﹣），x＞1时，x﹣1＞0，且e x＞e，＜1，即h′（x）＞0；0＜x＜1时，x﹣1＜0，设u=e x﹣，u′=e x+＞0，u在（0，1）递增，x→0时，→+∞，即u＜0，x=1时，u=e﹣1＞0，即∃x0∈（0，1），使得u0=e x0﹣=0，∴x∈（0，x0）时，u＜0；x∈（x0，1）时，u＞0，x∈（0，x0）时，h′（x）＞0；x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．函数h（x）在（0，x0）递增，（x0，1）递减，（1，3）递增，h（x0）=（x0﹣2）e x0+lnx0﹣x0=（x0﹣2）•﹣2x0=1﹣﹣2x0，由x0∈（0，1），﹣＜﹣2，h（x0）=1﹣﹣2x0＜﹣1﹣2x0＜﹣1，h（3）=e3+ln3﹣3＞0，即x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），即m≥h（3），则实数m的取值范围是（e3+ln3﹣3，+∞）．二.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且长度单位相同，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．【解答】解：（1）曲线C的普通方程为=1，直线l的直角坐标方程为x+y ﹣4=0．（2）在上任取一点P（cosθ，sinθ）则点P到直线l的距离为d==≤3，∴当sin（θ+）=﹣1时，d max=3，此时这个点的坐标为（﹣，﹣）．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（2）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a ﹣1|≥4，解得 a ≤﹣3，或a ≥5． …（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测高三年级文科数学试题参考答案一、选择题：BBBDA CDDCA BA二、填空题：13.2 14. 且15. 4 16. ②③三、解答题：17.解：对于命题，成立，若为真，（1）当时，，，符合题意，（2）当时，，在有解，且，综合（1）、（2）可知，命题为真，有；-------------------4分对于命题，成立，成立，，（当且仅当时取等号）对于命题为真，有，--------------------8分如果或为真，且为假，则它们两个一真一假，若真假，则有且，得到，若假真，则有且，得到. ---------------------10分综上所述，所求实数的取值范围为。

---------------------------12分18.解：（1）由正弦定理得，即，即有，即,又，所以，因为角为锐角，所以． --------6分（2）由（1）得，所以，又，由余弦定理可得：，所以． ---------------12分19.解：（1）设，则由已知得，所以为常数，所以数列是以为首项以为公比的等比数列，则，所以. ------------------------------------6分（2）由（1）知两式相减得，所以--------------------------------------12分20.解：（Ⅰ）证明：设，连结，在中，因为，且平分，所以为的中点，又为的中点，从而，因为平面，平面，所以平面； ---------------4分（Ⅱ）因为平面，平面，所以，由（1）知，，平面，平面，从而平面；--------------------8分（Ⅲ）在中，，，得在中，从而，则故四棱锥的体积. -----------------------12分21.解:（1）因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，由得.由，得. ----------------------3分（2）因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以的取值范围是。

2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A={x |x 2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}2．已知i 是虚数单位，复数z=（a ∈R ）在复平面内对应的点位于直线x +2y=0上，则a=（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．3．已知命题p ；≤x ≤1，命题q ：（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0，若￢p 是￢q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[，1]C ．[，]D ．4．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则•的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．5．已知x ，y 满足不等式组，则z=x +y 的最大值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．146．已知函数y=2sin （ωx +）（ω∈N *）经过点（2π，），则ω的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k +2﹣S k =28，则k=（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．58．设两正数a ，b （a ≠b ）满足a 2+ab +b 2=a +b ，则a +b 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，）C ．[1，]D ．（0，1）9．一几何体的三视图如图，则它的体积是（ ）A． B． C．D．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b11．若圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A．[4，6]B．（4，6）C．[5，7]D．（5，7）12．已知f（x）=，存在x2＞x1≥0，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．[1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．数列{a n}满足a n=，记其前n项和为S n．若S n=5，则项数n的值为．14．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为．15．已知向量=（1，t），=（﹣2，1）满足（2﹣）⊥，则t=．16．已知函数f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=•，sinA=．（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．18．已知数列{a n}满足a1=2，n（a n+1﹣n﹣1）=（n+1）（a n+n）（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n=﹣15，求数列{|b n|}的前n项和T n．19．如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE ⊥平面CDE，AE=1．（1）求证；平面ABCD⊥平面ADE；（2）求几何体A﹣BDE的体积．20．在平面直角坐标系中，已知动点T到点A（﹣4，0），B（﹣1，0）的距离比为2．（1）求动点T的轨迹方程Γ；（2）已知点P是直线l：y=x与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P引两条直线分别交曲线Γ于Q，R，且直线PQ，PR的倾斜角互补，试判断直线QR的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，且函数f（x）满足f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证x1+x2＞4．（参考公式：[ln（m﹣x）]'=，m为常数）22．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求正数a的取值范围．2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C2．已知i是虚数单位，复数z=（a∈R）在复平面内对应的点位于直线x+2y=0上，则a=（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===+i在复平面内对应的点（，）在位于直线x+2y=0上，∴+2×=0，解得a=﹣2．故选：C．3．已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．【解答】解：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴，且等号不能同时成立．解得．则实数a的取值范围是．故选：A．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：B．5．已知x，y满足不等式组，则z=x+y的最大值为（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6），代入目标函数z=x+y得z=4+6=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故选：B6．已知函数y=2sin（ωx+）（ω∈N*）经过点（2π，），则ω的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数y的图象过点（2π，），代入解析式，再结合ω∈N*，即可求出答案．【解答】解：函数y=2sin（ωx+）图象经过点（2π，），∴2sin（2πω+）=，即sin（2πω+）=；又ω∈N*，∴ω的最小值为1．故选：A．7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=28，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：S k+2﹣S k=28=a k+2+a k+1=2×1+（2k+1）×2，解得：k=6．故选：C．8．设两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．[1，]D．（0，1）【考点】基本不等式．【分析】两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，可得0＜（a+b）2﹣（a+b）=ab＜，即可得出．【解答】解：∵两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，∴0＜（a+b）2﹣（a+b）=ab＜，解得．则a+b的取值范围是．故选：B．9．一几何体的三视图如图，则它的体积是（）A． B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，∴圆锥的体积是=，下面是一个棱长是a的正方体，正方体的体积是a3，∴空间几何体的体积是，故选A．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b【考点】正弦定理．【分析】A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论．C、在△ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论．D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则根据三角形形状可判断出．【解答】解：A，∵，∴由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，又∵B，C为△ABC的内角，∴B=C=45°，故A=90°，A正确；B，∵由正弦定理可得=2R，∴==2R=，故B正确；C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得a＞b，即A＞B；若A＞B，即有a＞b，即2RsinA＞2RsinB，即a＞b．则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；D，∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．11．若圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A．[4，6]B．（4，6）C．[5，7]D．（5，7）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于1，以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件，可得要求的r的范围．【解答】解：∵圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2（r＞0）的圆心到直线4x+3y+2=0的距离为：d==5，当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，∴圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1时，圆的半径r的取值范围是：4＜r＜6，故选：B．12．已知f（x）=，存在x2＞x1≥0，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．[1，）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，≤f（x）＜，②当x＞1时，f（x）≥1，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2≤log23，则1≤f（x2）≤，∴×1≤x1•f（x2）＜1×，即≤x1•f（x2）＜，故x1•f（x2）的取值范围为[，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．数列{a n}满足a n=，记其前n项和为S n．若S n=5，则项数n的值为35．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】化简数列的表达式，列出关系式求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a n==．前n项和为S n=（）+（）+…+（）=，S n=5，可得=5，解得n=35．故答案为：3514．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为y=（x+4）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】利用割线定理求出AB，再利用点到直线的距离公式建立方程，即可得出结论．【解答】解：由割线定理可得，MA•MB=（5﹣）（5+），∵点A恰好是线段MB的中点，∴2AB2=20，∴AB=，∴圆心到直线的距离为=，设直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，∴=，∴k=，∴直线l的方程为y=（x+4）．故答案为y=（x+4）．15．已知向量=（1，t），=（﹣2，1）满足（2﹣）⊥，则t=．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为0，列出方程求出t的值．【解答】解：向量=（1，t），=（﹣2，1），且（2﹣）⊥，∴（2﹣）•=2•﹣=0，2×（﹣2+t）﹣5=0，解得t=．故答案为：．16．已知函数f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，则实数a的取值范围是﹣9＜a＜0．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=（2x﹣3）e x+=0，可得a=x（3﹣2x）e x，令y=x（3﹣2x）e x，则y′=﹣（x﹣1）（2x+3）e x，取得函数的单调性，求出函数的极值，即可得出结论．【解答】解：由f（x）=（2x﹣3）e x+=0，可得a=x（3﹣2x）e x，（x≠0）令y=x（3﹣2x）e x，则y′=﹣（x﹣1）（2x+3）e x，∴x＜﹣或x＞1时，y′＜0，函数单调递减，﹣＜x＜0或0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增，∴x=﹣时，函数取得极小值﹣9，x=1时，函数取得极大值0，∵f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，∴﹣9＜a＜0，故答案为﹣9＜a＜0．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=•，sinA=．（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由已知及向量的运算可求||=||，进而可得A=B，A与B都是锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用二倍角公式即可得解sinC的值．（2）由（1）及三角形面积公式可求a=b=，由二倍角公式求得cosC 的值，利用余弦定理可求BD 的值．【解答】解：（1）•=•，得=0，即（）•（）=||2﹣||2=0，故||=||，（也可以由向量数量积的几何意义得出||=||）从而A=B ，A 与B 都是锐角则cosA==．sinC=sin （A +B ）=sin2A=2sinAcosA=，即sinC=．（2）由题意知，S △ABC =absinC==6，得a=b=，如右图，CD=，BC=，又cosC=cos （π﹣2A ）=﹣cos2A=﹣（1﹣2sin 2A ）=﹣，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2=CD 2+BC 2﹣2CD •BCcosC=+﹣2×××（﹣）=．故BD=．18．已知数列{a n }满足a 1=2，n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =﹣15，求数列{|b n |}的前n 项和T n ．【考点】数列递推式． 【分析】（1）n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *），可得na n +1﹣（n +1）a n =2n （n +1），变形﹣=2．利用等差数列的定义及其通项公式即可证明．（2）b n =﹣15=2n ﹣15，可得数列{b n }的前n 项和S n =n 2﹣14n ．令b n ≤0，解得n ≤7．∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b n =﹣S n ．n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b 7+b 8+…+b n =﹣2S 7+S n ． 【解答】（1）证明：∵n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *），∴na n +1﹣（n +1）a n =2n （n +1），∴﹣=2．∴数列是等差数列，公差为2，首项为2．∴=2+2（n ﹣1）=2n ，∴a n =2n 2．（2）解：b n =﹣15=2n ﹣15，则数列{b n }的前n 项和S n ==n 2﹣14n ．令b n =2n ﹣15≤0，解得n ≤7．∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b n =﹣S n =﹣n 2+14n ．n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b 7+b 8+…+b n =﹣2S 7+S n =﹣2×（72﹣14×7）+n 2﹣14n=n 2﹣14n +98．∴T n =．19．如图所示，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ，AE=1．（1）求证；平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求几何体A ﹣BDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由AE ⊥平面CDE 得AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面ADE ，于是平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）由AE ⊥平面CDE 得AE ⊥DE ，利用勾股定理计算DE ，求出S △ADE ，由CD ⊥平面ADE ，CD ∥AB 可知AB ⊥平面ADE ，故V A ﹣BDE =V B ﹣ADE =S △ADE •AB ． 【解答】证明：（1）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又AD ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，AD ∩AE=A ， ∴CD ⊥平面ADE ，∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE ． 解：（2）∵AE ⊥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴AE ⊥DE ，∴DE==．∴S △ADE ==．∵CD ⊥平面ADE ，CD ∥AB ， ∴AB ⊥平面ADE ，∴V A ﹣BDE =V B ﹣ADE =S △ADE •AB=．20．在平面直角坐标系中，已知动点T 到点A （﹣4，0），B （﹣1，0）的距离比为2． （1）求动点T 的轨迹方程Γ；（2）已知点P 是直线l ：y=x 与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P 引两条直线分别交曲线Γ于Q ，R ，且直线PQ ，PR 的倾斜角互补，试判断直线QR 的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点】轨迹方程． 【分析】（1）设T （x ，y ），由题意知：|TA |=2|TB |，由此即可求得曲线C 的方程； （2）确定Q ，R 的坐标，从而可得直线QR 的斜率． 【解答】解：（1）设T （x ，y ），由题意知：|TA |=2|TB |．即=2，化简得x 2+y 2=4，即为动点T 的轨迹方程．（2）直线QR 的斜率为定值1．证明过程如下：当x=y 时，代入x 2+y 2=4，得P （）（第一象限内）．显然，直线PQ 的斜率存在，不妨设直线PQ ：y=k （x ﹣）+，Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），联立圆的方程，得（1+k 2）x 2﹣2k （k ﹣1）x +2（k 2﹣2k ﹣1）=0．则x 1=，y 1=﹣．即Q （，﹣）．同理，直线PR 的斜率为﹣k ，用﹣k 代替k ，则R （，﹣）．那么直线QR 的斜率为1为定值．21．已知函数f （x ）=lnx +．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a=2时，且函数f （x ）满足f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），求证x 1+x 2＞4．（参考公式：[ln （m ﹣x ）]'=，m 为常数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出=，x＞0，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）当a=2时，f（x）=lnx+．不妨令x1＜x2，要证明x1+x2＞4，即证x2＞4﹣x1．只需证f（x1）＞f（4﹣x1）．设g（x）=lnx+﹣ln（4﹣x）﹣，g′（x）=≤0，由此能证明x1+x2＞4．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+，∴=，x＞0，当a≤0时，f′（x）≥0总成立；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a．当x∈（0，a）时，f′（x）＜0．当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．证明：（2）当a=2时，f（x）=lnx+．不妨令x1＜x2，要证明x1+x2＞4，即证x2＞4﹣x1．由（1）知f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．则0＜x1＜2，x2＞2，只需证f（x2）＞f（4﹣x1），有f（x1）=f（x2），即证f（x1）＞f（4﹣x1）．设g（x）=f（x）﹣f（4﹣x），（0＜x＜2），则令g（x）=lnx+﹣ln（4﹣x）﹣，g′（x）=﹣﹣﹣=≤0，那么g（x）在（0，2）内单调递减，g（x）＞g（2）=0，故证得f（x1）＞f（4﹣x1）．∴x1+x2＞4．22．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求正数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题转化为a2﹣a≥，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|=，当x≤﹣时，由x+4＞2，解得：x＞﹣2，即﹣2＜x≤﹣；当﹣＜x＜1时，由﹣3x﹣2＞2，解得：x＜2，即﹣＜x＜﹣；当x≥1时，由﹣x﹣4＞2，解得：x＜﹣6，无解；所以原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在x=﹣处取函数的最大值f（﹣）=，要使关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，只需a2﹣a≥，即3a2﹣2a﹣5≥0，解得a≤﹣1或a≥，又a为正数，则a≥．2016年11月27日。

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题考试用时120分钟，满分150分。

请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数的实部是，虚部是，则的值是（ ）A ． B. C. D. 2．已知集合{}2|ln(9)A Z B x y x ===-，，则为（ ）A ． B. C. D. 3．下列命题错误的是（ ） A ．命题“若，则”的逆否命题为 “若中至少有一个不为0，则”B ．若命题：2000,10x x x ∃∈-+≤R ，则：C ．中，是的充要条件D ．若为假命题，则、均为假命题由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的男生的体重大约为（ ）A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.055．已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）A. B.C.D.6．已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（ ） A. B.C. D.7．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.8．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,0653y y x y x ，当且仅当时，取最小值,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.9．若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点．若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数的定义域为D,若对于任意,当时都有,则称函数在D 上为非减函数,设函数在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件①;②;③,则等于（ ）A. B. C. 1 D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） （一）必考题（1114题）11．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是_________．（用数字作答） 12．在中，OB OD OA OC 21,41==，与交于点，设=， =， 则 (用,表示)13．若正数满足，则的最小值为 ．14．在平面直角坐标系中，已知点在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是 （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修：几何证明选讲）如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于， 共线．若, ,，则圆的半径是 16．（选修：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分） 设角是的三个内角,已知向量(sin sin ,sin sin )m A C B A =+-，(sin sin ,sin )n A C B =-,且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若向量2(0,1),(cos ,2cos)2Bs t A =-=,试求的取值范围 18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ．（Ⅰ）求数列和的通项公式（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段后得到如下图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （Ⅲ）若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出 的2辆车中车速在的车辆数的分布列及 数学期望. 21．（本小题满分13分）已知椭圆C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：与椭圆C 相交于A 、B 两点，且 ①求证：的面积为定值②在椭圆上是否存在一点P ，使为平行四边形，若存在，求出的取 值范围，若不存在说明理由. 22．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；（Ⅲ）令，如果图象与轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <， 中点为，求证：．华中师大一附中2014——2015学年度上学期期中检测高三数学（理）试题参考答案及评分标准三、解答题：(本大题共6小题，共75分)17．（本小题满分12分）解： (Ⅰ)由题意得0)sin sin (sin )sin (sin 222=-+-=⋅B A B C A ，即B A B A C sin sin sin sin sin 222-+=，由正弦定理得，再由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C ，3,0ππ=∴<<C C .……………6分(Ⅱ))cos ,(cos )12cos 2,(cos 2B A B A =-=+ ， 222222cos cos cos cos ()3s t A B A A π+=+=+-41cos(2)1cos 2113cos 221sin(2)122426A A A A A ππ+-+=+=+=--+ 67626,320ππππ<-<-∴<<A A 1sin(2)126A π∴-<-≤， 所以，故.……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由341b b q =，得354272q ==， 从而3q =，因此，又123223361824a a a a b b ++==+=+=， 28a ∴=， 216d a a =-=，故………………………6分（Ⅱ）14(32)3n n n n c a b n -==⋅-⋅令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯…则12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯………………9分两式相减得1217(67)321333333(32)322nnn n n T n ---=+⨯+⨯++⨯--⨯=--… 73(67)44n n n T -∴=+，故nn n S 4T 7(6n 7)3==+-⋅ ………………………12分19．（本小题满分12分）解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB 证明：连AC 交BQ 于N ，连．由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽， 12AQ AN BC NC ∴==，所以．若13t =，即，//PA MN ∴，由平面PAC ，故//PA 平面MQB ．……………………6分（II ）由2PA PD AD ===，为的中点，则又平面⊥平面，所以⊥平面，连，∵四边形为菱形，， 由得为正三角形，又为的中点， ，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图 所示的坐标系，则各点坐标为，，，设平面的法向量为，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n =，取平面ABCD 的法向量， 设所求二面角为θ，而θ为锐角，则,故二面角M BQ C --的大小为60°．…………12分 20．（本小题满分12分） 解：（I ）系统抽样 ……………………2分 （II ）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于，设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估计值为0.0150.0250.0450.06(95)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得即中位数的估计值为 ……………………6分均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=. ……………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得，，，又，联立解得，∴椭圆的方程为13422=+yx .……………………3分（Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422 消去y 化简得，()0124843222=-+++m kmx x k∴221438k km x x +-=+，222143124km x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。