2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评13 用数学归纳法证明不等式举例

课后训练1．设111()12331f n n ＝＋＋＋＋－(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．132n ＋ B ．11331n n ＋＋ C ．113132n n ＋＋＋ D ．11133132n n n ＋＋＋＋ 2．某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )．A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题成立D ．当n ＝4时，该命题不成立3．设1111()1232f n n n n n＝＋＋＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．121n ＋ B ．122n ＋ C ．112122n n ＋＋＋ D ．112122n n －＋＋ 4．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．5．用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，n ＝1时，原式＝__________，从k 到k ＋1时需添加的项是__________．6．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N ＋)．7．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是f (n )＝12n (n －3)(n ∈N ＋，n ≥4)． 8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N ＋)．(1)求a 1、a 3、a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N ＋，其中x 1＝0，x 2＝a (a ＞0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．参考答案1. 答案：D解析：因为111()12331f n n ＝＋＋＋＋－. 所以111111(1)1233133132f n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋－＋＋. 所以111(1)()33132f n f n n n n ＋－＝＋＋＋＋. 2. 答案：D解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 时命题不成立，所以n ＝4时命题不成立． 3. 答案：D解析：因为111()122f n n n n＝＋＋＋＋＋， 所以11111(1)2322122f n n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋. 所以()11111(1)212212122f n f n n n n n n ＋－＝＋－＝－＋＋＋＋＋. 4. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2，而f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.5. 答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋46. 分析：当n ＝k ＋1时，左边的项应该增加两项(2k ＋1)2－(2k ＋2)2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，等式成立．7. 分析：利用“递推”法，f (k ＋1)－f (k )来寻找n ＝k ＋1比n ＝k 时增加的对角面的个数． 证明：(1)当n ＝4时，四棱柱有2个对角面，12×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f (k )＝12k (k －3)，现在考虑n ＝k ＋1的情形，第k ＋1条棱A k ＋1B k ＋1与其余和它不相邻的k －2条棱分别增加了1个对角面，共(k －2)个，而面A 1B 1B k A k 变成了对角面，因此对角面的个数变为f (k )＋(k －2)＋1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k －2)(k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，即f (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 由(1)(2)可知，命题对n ≥4，n ∈N ＋都成立．8. 解：(1)∵(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)(n ∈N ＋)，且a 2＝6， ∴当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 3＝3(a 2－1)＝15； 当n ＝3时，2a 4＝4(a 3－1)＝56，∴a 4＝28.(2)由a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13. 猜想a n ＋1－a n ＝4n ＋1，∴a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)． ∴a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，故猜想正确． ②假设当n ＝k 时，有a k ＝2k 2－k (k ∈N ＋，且k ≥1)． ∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(2k 2－k －1)． ∴a k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)． 即当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②知，a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．9. 解：(1)当n ≥3时，122n n n x x x －－＋＝. (2)a 1＝x 2－x 1＝a ， a 2＝x 3－x 2＝2122x x x ＋－＝2111()22x x a --－＝， a 3＝x 4－x 3＝3232x x x ＋－＝321111()()2224x x a -－＝－－＝． 由此推测112n n a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，012112a x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＝＝，通项公式成立． ②假设当n ＝k 时，112k k a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1 ＝11111()222k k k k k k x x x x x a --＋＋＋＋－＝－＝11122k a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭－＝ (1)112k a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋－＝，通项公式成立． 由①②知，112n n a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝(n ∈N ＋)．。

学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【解析】 根据题中条件可知：由f (k )≥k 2，必能推得f (k ＋1)≥(k ＋1)2，但反之不成立，因为D 中f (4)＝25＞42，故可推得k ≥4时，f (k )≥k 2，故只有D 正确．【答案】 D2．用数学归纳法证明“对于任意x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1x n －4＋1xn －2＋1x n ≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A ．n 0＝1 B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D.以上答案均不正确【解析】 需验证：n 0＝1时，x ＋1x ≥1＋1成立． 【答案】 A3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )【导学号：32750070】A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项【解析】 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋12k＋2＋…＋12k ＋1－1，∴共增加2k项．【答案】 D4．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12 B．13C．14 D.不存在【解析】令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712.依题意712>m24，∴m<14.因此取m＝13.【答案】 B5．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1314(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1，12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1 k＋1D．以上各种情况均不对【解析】∵n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，∴增加了两项12k＋1，12k＋2，少了一项1k＋1.【答案】 C二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立． 【答案】 21＋1≥12＋1＋27．证明n ＋2n ＜1＋12＋13＋…＋12n ＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，要证明的式子为________．【解析】 当n ＝2时，要证明的式子为 2＜1＋12＋13＋14＜3.【答案】 2＜1＋12＋13＋14＜38．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，类似成立的不等式为________．【解析】 由题中已知不等式可猜想： 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N ＋)． 【答案】 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N ＋)三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S 21＋S 22＋…＋S 2n≤12－14n . 【解】 (1)S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即S n －S n －1＝－2S n S n －1， ∴1S n －1S n －1＝2.故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．(2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，不等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k 成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋14(k ＋1)2＝12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k －1(k ＋1)2＝12－14·k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<12－14·k 2＋k k (k ＋1)2＝12－14(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②可知对任意n ∈N ＋不等式成立．10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．【证明】 由f (x )＝13x 3－x ， 得f ′(x )＝x 2－1.因此a n ＋1≥f ′(a n ＋1)＝(a n ＋1)2－1＝a n (a n ＋2)， (1)当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥2k －1， 当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)＝22k －1.又k ≥1，∴22k ≥2k ＋1，∴n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2k ＋1－1，即不等式成立． 根据(1)和(2)知，对任意n ∈N ＋，a n ≥2n －1成立．[能力提升]1．对于正整数n ，下列不等式不正确的是( ) A ．3n ≥1＋2n B ．0.9n ≥1－0.1n C ．0.9n ≤1－0.1nD.0.1n ≤1－0.9n【解析】 排除法，取n ＝2，只有C 不成立． 【答案】 C2．利用数学归纳法证明“3×5×…×(2n －1)2×4×…×(2n －2)＜2n －1”时，n 的最小取值n 0应为________.【导学号：32750071】【解析】 n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32＜3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.【答案】 23．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，已知M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，则M ，N 的大小关系为____________________⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：利用贝努利不等式，令x ＝b a .【解析】 当n ＝1时，M ＝a ＋b ＝N ， 当n ＝2时，M ＝(a ＋b )2，N ＝a 2＋2ab ＜M ， 当n ＝3时，M ＝(a ＋b )3，N ＝a 3＋3a 2b ＜M ， 归纳得M ≥N . 【答案】 M ≥N4．已知f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ，对于n ∈N ＋，试比较f (2)与n 2－1n 2＋1的大小并说明理由．【解】 据题意f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ＝x 2n －1x 2n ＋1＝1－2x 2n ＋1，∴f (2)＝1－22n ＋1. 又n 2－1n 2＋1＝1－2n 2＋1，∴要比较f (2)与n 2－1n 2＋1的大小，只需比较2n 与n 2的大小即可，当n ＝1时，21＝2＞12＝1， 当n ＝2时，22＝4＝22， 当n ＝3时，23＝8＜32＝9， 当n ＝4时，24＝16＝42， 当n ＝5时，25＝32＞52＝25， 当n ＝6时，26＝64＞62＝36. 故猜测当n ≥5(n ∈N ＋)时，2n ＞n 2，下面用数学归纳法加以证明． (1)当n ＝5时，不等式显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥5且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即2k ＞k 2. 则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k ＞2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k －1 ＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2＞(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n ＞n 2成立．综上所述，当n ＝1或n ≥5时，f (2)＞n 2－1n 2＋1，当n ＝2或n ＝4时，f (2)＝n 2－1n 2＋1，当n ＝3时，f (2)＜n 2－1n 2＋1.。

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关闭Word 文档返回原板块.综合质量评估 （第一至第四讲) （90分钟 120分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1。

（2016·唐山高二检测）设函数f （x ）={(x +1)2(x <1)4−|x −1|(x ≥1),则使f （x ）≥1的自变量x 的取值范围是 （ ) A.（—∞,-2］∪ B 。

(-∞,-2]∪ C 。

(—∞，-2]∪ D.∪ 【解析】选A 。

当x<1时， 由(x+1)2≥1得x ≤—2或0≤x<1;当x ≥1时,由4-｜x-1｜≥1得1≤x ≤4.综合上述,使f(x ）≥1的自变量x 的取值范围是 （-∞，—2］∪。

2.（2016·北京高二检测）设a ，b ∈R ，下面的不等式能成立的是 ( ） A.a 2+3ab>b 2B.ab+a 〉b+abC 。

a b 〈a +1b+1 D.a 2+b 2≥2(a —b-1）【解析】选D 。

取a=0，b=1,验证排除A ，B ，再取a=4，b=3时，可排除C.【一题多解】选D 。

a 2+b 2-2(a —b —1)=a 2-2a+1+b 2—2b+1=(a —1）2+(b—1）2≥0,故选D 。

【补偿训练】若a ，b ，c ，d ∈R,且ab>0,—c a 〈-d b ，则下列各式恒成立的是 ( )A 。

bc<ad B.bc>adC. a c 〉b d D 。

a c <b d【解析】选B.对—c a <-d b 两边同乘以-ab,由-ab 〈0,得bc 〉ad 。

3。

（2016·聊城高二检测）“a 〉0且b>0”是“a +b 2≥√a b ”成立的 ( ）A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

2017年高中数学选修4-5全册配套试卷（人教A版共21份含答案)单元质量评估(二)(第二讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知a&gt;b&gt;&gt;0,A=a2ab2b2,B=ab+b+aa+b,则A与B的大小关系是()AA&gt;BBA&lt;BA=BD不确定【解析】选A因为a&gt;b&gt;&gt;0,所以A&gt;0,B&gt;0,所以= =aa-baa-bb-bb-a-a-b=因为a&gt;b&gt;0,所以&gt;1,a-b&gt;0,所以&gt;1,同理&gt;1, &gt;1所以&gt;1,即A&gt;B2若实数x,适合不等式x&gt;1,x+≥-2,则()Ax&gt;0,&gt;0Bx&lt;0,&lt;0x&gt;0,&lt;0Dx&lt;0,&gt;0【解析】选Ax,异号时,显然与x&gt;1矛盾,所以可排除,D假设x&lt;0,&lt;0,则x&lt;所以x+&lt;+ ≤-2与x+≥-2矛盾,故假设不成立又x≠0,所以x&gt;0,&gt;0 3(2016&#8226;威海高二检测)使不等式+ &gt;1+ 成立的正整数a的最大值是()A10B1112D13【解析】选用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立4设a&gt;0,b&gt;0,a+b=1,= + + ,则与8的大小关系是()A=8B≥8&lt;8D≤8【解析】选B因为a&gt;0,b&gt;0,a+b=1,所以1=a+b≥2 ,所以≤ ,所以≥4所以+ + =(a+b) + ≥2 &#8226;2 +4=8所以+ + ≥8,即≥8当且仅当a=b= 时等号成立(2016&#8226;石家庄高二检测)已知a&gt;b,则不等式①a2&gt;b2;②&lt; ;③&gt; 中不成立的个数是()A0B12D3【解析】选D因为a&gt;b,①a2-b2=(a-b)(a+b)符号不确定,即a2&gt;b2不一定成立;②- = 符号不确定,即&lt; 不一定成立;③- = 符号不确定,即&gt; 不一定成立,故三个不等式不成立的个数为36已知△AB中,∠=90°,则的取值范围是()A(0,2)BD【解析】选因为∠=90°,所以2=a2+b2,即= 又有a+b&gt;,所以1&lt; = ≤ =7若x,,a∈R+,且+ ≤a 恒成立,则a的最小值是()A B 1D【解题指南】根据≥ 得到≥ ( + )求解【解析】选B因为≥ ,即≥(x+),所以≥ ( + ),而+ ≤a ,即≥ ( + )恒成立,得≤ ,即a≥8(2016&#8226;济南高二检测)已知实数a,b,满足a+b+=0,ab&gt;0,则+ + 的值的情况为()A一定是正数B一定是负数可能是0D正负不能确定【解析】选B因为实数a,b,满足a+b+=0,ab&gt;0,不妨设a&gt;b&gt;,则a&gt;0&gt;b&gt;,+ + = == &lt;0二、填空题(本大题共4小题,每小题分,共20分请把正确答案填在题中横线上)9(2016&#8226;菏泽高二检测)已知a&gt;0,b&gt;0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项, 是, 的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为【解析】由已知得P= ,Q= ,= =所以R= ;所以R≤Q≤P答案:R≤Q≤P10若T1= ,T2= ,则当s,,n∈R+时,T1与T2的大小为【解析】因为- =s&#8226; = ≤0所以T1≤T2答案:T1≤T211(2016&#8226;湛江高二检测)若函数a,b满足a+b=1,则+ 的最大值是【解析】+ = ==2- ,则a+b=1≥2 知ab≤ ,所以+ =2- ≤2- =当且仅当a=b= 时,取最大值答案:12(2016&#8226;太原高二检测)已知a&gt;b&gt;,且+ ≥ 恒成立,则实数的最大值为【解析】因为a&gt;b&gt;,所以a-b,b-,a-均为正数,(a-) =[(a-b)+(b-)]= + +2≥4,当且仅当|a-b|=|b-|时取等号,于是+ ≥所以≤4答案:4三、解答题(本大题共6小题,共60分解答时应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤)13(10分)设a,b,为三角形的三边,求证: + + ≥3【证明】设x=b+-a,=a+-b,z=a+b-,则有a+b+=x++z,a= (+z),b= (x+z), = (x+)此时,原不等式等价于+ + ≥3而+ + =≥=3所以原不等式成立14(10分)已知x,∈R,且&lt;1, &lt;1,求证: + ≥【证明】因为&lt;1, &lt;1,所以&gt;0, &gt;0所以+ ≥故要证明结论成立,只需证≥ 成立,即证1-x≥ 成立即可,因为(-x)2≥0,有-2x≥-x2-2,所以(1-x)2≥(1-x2)(1-2),所以1-x≥ &gt;0,所以不等式成立1(10分)(2016&#8226;莱芜高二检测)已知函数f(x)=tanx,x∈若x1,x2∈且x1≠x2求证: [f(x1)+f(x2)]&gt;f【证明】要证[f(x1)+f(x2)]&gt;f即证: (tanx1+tanx2)&gt;tan ,只需证明&gt;tan ,只需证明&gt;由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π),所以sx1sx2&gt;0,sin(x1+x2)&gt;0,1+s(x1+x2)&gt;0故只需证明1+s(x1+x2)&gt;2sx1sx2即证1+sx1sx2-sinx1sinx2&gt;2sx1sx2即证s(x1-x2)&lt;1由于x1,x2∈且x1≠x2上式函数成立因此[f(x1)+f(x2)]&gt;f16(10分)(2016&#8226;盐城高二检测)已知x1,x2均为正数,求证: ≥ 【解题指南】直接证明不易找到切入点,可采用分析法或反证法完成证明【证明】假设&lt; ,两边平方得:&lt;1+即&lt;1+x1x2再两边平方得1+ + + &lt;1+2x1x2+ ,即+ &lt;2x1x2这与+ ≥2x1x2矛盾,所以原式成立17(10分)(201&#8226;湖南高考)设a&gt;0,b&gt;0,且a+b= + ,证明:(1)a+b≥2(2)a2+a&lt;2与b2+b&lt;2不可能同时成立【解题指南】(1)将已知条中的式子可等价变形为ab=1,再由基本不等式即可得证(2)利用反证法,假设a2+a&lt;2与b2+b&lt;2同时成立,可求得0&lt;a&lt;1,0&lt;b&lt;1,从而与ab=1矛盾,即可得证【证明】由a+b= + = ,a&gt;0,b&gt;0,得ab=1(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2 =2,即a+b≥2(2)假设a2+a&lt;2与b2+b&lt;2同时成立,则由a2+a&lt;2及a&gt;0得0&lt;a&lt;1,同理0&lt;b&lt;1,从而ab&lt;1,这与ab=1矛盾,故a2+a&lt;2与b2+b&lt;2不可能同时成立18(10分)(201&#8226;全国卷Ⅱ)设a,b,,d均为正数,且a+b=+d证明:(1)若ab&gt;d,则+ &gt; +(2) + &gt; + 是|a-b|&lt;|-d|的充要条【解题指南】(1)由a+b=+d及ab&gt;d,可证明( + )2&gt;( + )2,开方即得+ &gt; + (2)本小题可借助第一问的结论证明,但要分必要性与充分性证明【证明】(1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=+d+2由题设a+b=+d,ab&gt;d得( + )2&gt;( + )2因此+ &gt; + (2)(i)若|a-b|&lt;|-d|,则(a-b)2&lt;(-d)2,即(a+b)2-4ab&lt;(+d)2-4d因为a+b=+d,a,b,,d均为正数,所以ab&gt;d由(1)得+ &gt; +(ii)若+ &gt; + ,则( + )2&gt;( + )2,即a+b+2 &gt;+d+2因为a+b=+d,所以ab&gt;d于是(a-b)2=(a+b)2-4ab&lt;(+d)2-4d=(-d)2因此|a-b|&lt;|-d|综上, + &gt; + 是|a-b|&lt;|-d|的充要条。

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2) B ．(－2,1) C ．(2,3)D ．(0,1)【解析】 代入检验知曲线经过点(2,3)． 【答案】 C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 【答案】 A3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1|【解析】 ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )，∴|P 1P |＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝t 21＋t 21＝2|t 1|. 【答案】 C4．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)【解析】 ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ， ∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. 【答案】 A5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【解析】 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．【答案】 D 二、填空题6．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.【解析】 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 【答案】 4π3＋2k π，k ∈Z7．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．【解析】 ∵⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆． 【答案】 圆8．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，则实数a ＝________.【解析】 ∵点M (5,4)在曲线C 上， ∴⎩⎨⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1， ∴a 的值为1. 【答案】 1 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52是否在曲线C 上.【导学号：91060017】【解】 将A (1,3)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎨⎧ 1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝－1， 由0≤θ<2π得θ＝π.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 【解】 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.[能力提升]1．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25 【解析】 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角，∴最大值为36. 【答案】 A2．如图2-1-4，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图2-1-4【解析】 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． 【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．【解析】 由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.【答案】 －1＋3 24．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0且为已知常数，φ为参数)，(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值． 【解】 (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)． 设圆心坐标为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)， 消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0，x 2＋y 2＝a 2，得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0， 圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值，∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值)．。

学业分层测评（五）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)D.(－4，－2)∪(0,2)【解析】 由1<|x ＋1|<3，得 1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1， ∴0<x <2或－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)． 【答案】 D2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 【解析】 由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 等价于x －2x <0，即x (x －2)<0，解得0<x <2.【答案】 A3．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D.－8【解析】 原不等式化为－6＜ax ＋2＜6， 即－8＜ax ＜4.又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合． 【答案】 C4．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＞3D.a ＜3【解析】 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知 只要t min ≥a 即可，因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以t min ＝3，∴a ≤3. 即实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选B. 【答案】 B5．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D.|a －b |≥3【解析】 由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1. 由|x －b |>2，得x <b －2或x >b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2， 即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 【答案】 D 二、填空题6．不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为________.【导学号：32750023】【解析】 当x <－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x ≤5时，原不等式为(5－x )－(x ＋3)≥4，解得x ≤－1，所以－3≤x ≤－1；当x >5时，原不等式为(x －5)－(x ＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为{x |x ≤－1}．【答案】 {x |x ≤－1} 7．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，则a ＝________.【解析】 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a .又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. 【答案】 －38．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．【解析】 法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 【答案】 (－∞，3] 三、解答题9．已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．【解】 设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1. 则y 1＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|＋k . (1)若f (x )≥3恒成立，求k 的取值范围； (2)当k ＝1时，求不等式f (x )<3x 的解集．【解】 (1)|x －3|＋|x －2|＋k ≥3，对任意x ∈R 恒成立，即(|x －3|＋|x －2|)min ≥3－k .又|x －3|＋|x －2|≥|x －3－x ＋2|＝1，(|x －3|＋|x －2|)min ＝1≥3－k ，解得k ≥2. (2)当x ≤2时，5x >6，解得x >65，∴65<x ≤2. 当2<x <3时，3x >2，解得x >23，∴2<x <3.当x ≥3时，x >－4，∴x ≥3. 综上，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，＋∞.[能力提升]1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)【解析】 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 【答案】 D2．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D.[0，＋∞)【解析】 作出y ＝|x ＋1|与y ＝kx 的图象，如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k ＞0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]． 【答案】 C3．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立， a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值， ∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 4．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A . (1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围.【导学号：32750024】【解】 (1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3. 当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0. 当x ＞12时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2. 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立． 当x ＞－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4， 得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2. 综上，a 的取值范围为(－∞，－2]．。

综合检测 (四)(120 分，分 150 分)一、 (本大共 12 小，每小 5 分，共 60 分．在每小出的四个中，只有一是切合目要求的)1．用数学法明“1＋2＋22＋⋯＋25n－1(n∈N＋ )能被 31 整除”，当 n＝ 1原式 ()A．1B．1＋2C．1＋2＋3＋4D．1＋2＋22＋23＋24【分析】25n－1，所以 n＝ 15×1左＝ 1＋2＋2 ＋⋯＋2， 1＋2＋⋯＋2－1＝ 1＋ 2＋ 22＋23＋24.故 D.【答案】 D2．以下法中正确的选项是 ()A．若一个命当n＝1,2 真，此命真命B．若一个命当 n＝k 建立且推得 n＝k＋1 也建立，此命真命C．若一个命当 n＝1,2 真，当 n＝3 此命也真D．若一个命当n＝1 真， n＝ k 真能推得 n＝ k＋1 亦真，此命真命【分析】由数学法定可知，只有当n 的初始取建立且由 n＝k 成立能推得 n＝k＋ 1 也建立，才能够明正确，两者缺一不行．A，B，C 均不全面．【答案】 D1＋1＋113． S(n)＝n n＋1n＋2＋⋯＋2)n， (11A．S(n)共有 n ，当 n＝ 2 ， S(2)＝2＋3111B．S(n)共有 n＋1 ，当 n＝2 ， S(2)＝2＋3＋4C．S(n)共有 n2－ n ，当 n＝2 ， S(2)＝12＋13＋14D．S(n)共有 n2－ n＋ 1 项，当 n＝2 时， S(2)＝12＋13＋14S(n)共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时， S(2)＝111【分析】2＋3＋4.【答案】D4．数列 a n中，已知 a1＝1，当 n≥2时， a n－a n－1＝2n－1，挨次计算 a2，a3，4 后，猜想a n 的表达式是()aA．3n－ 2B．n2C．3n－1D．4n－ 3【分析】计算知 a1＝1，a2＝4, a3＝9，a4＝ 16，∴可猜想 a n＝n2.【答案】 B5．平面内原有 k 条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增添一条直线 l 后，它们的交点个数最多为 ()A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)【分析】第 k＋1 条直线与前 k 条直线都有不一样的交点，此时应比原来增加 k 个交点．【答案】 B．以下代数式，n∈N *，能被 13 整除的是 ()634n＋12n＋1A．n ＋ 5n B．3＋5C．62n－1＋1D．42n＋1＋3n＋ 2【分析】当 n＝1 时，n3＋5n＝ 6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋ 1＝ 7,42n＋1＋3n＋2＝ 91，只有 91 能被 13 整除．【答案】Dn n7．用数学概括法证明命题“当n是正奇数时，x＋y能被x＋y整除”时，第二步正确的证明方法是 ()A．假定 n＝k(k∈N＋ )时建立，证明 n＝k＋1 时命题也建立B．假定 n＝k(k 是正奇数 )时建立，证明 n＝ k＋ 1 时命题也建立C．假定 n＝2k＋ 1(k∈N＋ )时建立，证明 n＝ 2k＋3 时命题也建立D ．假 n ＝2k － 1(k ∈ N ＋) 建立， 明 n ＝ 2k ＋1 命 也建立【分析】假 n 的取 必 取到初始1，且后边的 n 的 比前方的 大2.A 、 B 、 C ．故 D.【答案】 D．π2＋ a ， 猜想 a ()θ ，已知 a ＝ 2cos θ，a ＋ ＝80<<21 n 1nnθθA ．2cos 2nB ．2cos 2n － 1θθC ．2cos 2n ＋ 1D ．2sin 2nθθ θ【分析】 a 1＝2cos θ，a 2＝ 2＋2cos θ＝ 2cos 2，a 3＝2＋ 2cos 2＝2cos 4，猜想 a n ＝2cos θn － 1.2 【答案】B．用数学 法 明422＝n＋n， 当 n ＝k ＋1 左端 在91＋ 2＋ 3＋ ⋯＋n2n ＝k 的基 上加上 ()A ．k 2B ．(k ＋1)2k ＋4＋ k ＋2 C.2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ⋯＋(k ＋1)2【分析】当 n ＝k ，左端＝ 1＋1＋2＋3＋⋯ ＋k 2，当 n ＝ k ＋1 ，左端＝ 1＋2＋3＋ ⋯＋k 2＋(k 2＋ 1)＋(k 2＋ 2)＋⋯＋ (k ＋1)2.222故当 n ＝ k ＋ 1 ，左端 在 n ＝k 的基 上加上 (k ＋1)＋ (k ＋2)＋⋯＋(k ＋ 1) .2n － 1＋ 3n ＋1 (n ∈N ＋)能被 13 整除 ”的第二步中，当 n10．用数学 法 明 “4＝ k ＋1 了使用 假 ，42k ＋1＋3k ＋ 2形正确的选项是 ()A ．16(42k － 1＋3k ＋1)－ 13×3k ＋1B ．4×42k ＋9×3kC ．(42k － 1＋3k ＋ 1)＋15×42k － 1＋2×3k ＋1D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1【分析】42k＋1＋3k＋2＝ 16×42k－1＋ 3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋ 3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－ 13×3k＋1.【答案】A11．假如命题 P(n)关于 n＝k 建立，则它对 n＝k＋2 亦建立，又若 P(n)对 n＝ 2 建立，则以下结论正确的选项是()A．P(n)对全部自然数n 建立B．P(n)对全部偶自然数n 建立C．P(n)对全部正自然数n 建立D．P(n)对全部比 1 大的自然数 n 建立【分析】因为 n＝2 时，由 n＝k＋2 的“递推”关系，可获得 n＝4 建立，再获得 n＝6 建立，挨次类推，所以，命题 P(n)对全部的偶自然数 n 建立．【答案】B112．在数列 { a n} 中，a1＝3且 S n＝ n(2n－1)a n，经过求 a2，a3， a4，猜想 a n的表达式为 ()11A.n－n＋B．2n n＋C.1D．1n－n＋n＋n＋1【分析】∵a1＝3，由 S n＝n(2n－ 1)a n得，a1＋a2＝ 2(2 ×2－1)a2，1 1解得 a2＝15＝3×5，a1＋a2＋ a3＝3×(2 ×3－1)a3，1 1解得 a3＝35＝5×7，a1＋a2＋ a3＋a4＝ 4(2 ×4－1)a4，1 1解得 a4＝63＝7×9，1所以猜想 a n ＝.n －n ＋【答案】C二、填空 (本大 共 4 小 ，每小 5 分，共 20 分． 把答案填在 中横上 )13．探究表达式 A ＝ (n －1)(n －1)！＋ (n － 2)(n －2)！＋ ⋯＋2·！＋ 1·1！(n>1且 n ∈N ＋)的 果 ，第一步 n ＝ ________ ， A ＝ ________.【分析】第一步 n ＝2 ，A ＝(2－1)(2－1)！＝ 1.【答案】2 114．已知 1＋2×3＋ 3×32＋ 4×33＋⋯ ＋n ×3n －1＝3n (na －b)＋c 全部 n ∈ N ＋都建立，那么 a ＝________， b ＝ ________，c ＝________.【分析】 先分 取 n ＝1,2,3 并 立方程 得1＝31a －b ＋c ，1＋2×3＝32a －b ＋c ，2＝33－＋c.1＋2×3＋3×3a b111解得 a ＝2， b ＝ 4， c ＝ 4.而后可用数学 法 明．【答案】1 1 12 4 415． 明 1＋1＋1＋1＋⋯ ＋ n1>n(n ∈ N ＋)，假 n ＝k 建立，当 n ＝ k ＋2 34 2 －1 21 ，左 增添的 数是 ________．【分析】左 增添的 数 2k ＋1－ 1－ 2k ＋1＝2k .【答案】2k16．假 凸 k 形的 角 有 f(k)条， 凸 k ＋1 形的 角 的条数 f(k ＋1) ________．【分析】凸 k ＋1 形的 角 的条数等于凸 k 形的 角 的条 ，加上多的那个点向其余点引的 角 的条数 (k － 2)条，再加上本来有一 成 角，共有 f(k)＋k －1 条 角 ．【答案】f(k)＋ k －1三、解答 (本大 共 6 小 ，共 70 分，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 )17． (本小 分 10 分)用数学 法 明：1111n (n ∈N ＋ )．2×4＋4×6＋6×8＋⋯＋2n＋ ＝＋nn【 明】(1)当 n ＝ 1 ，11左 ＝2×1× ＋＝8，11 右 ＝ ＋ ＝8，左 ＝右 ．∴当 n ＝1 ，等式建立．(2)假 n ＝k(k ∈N ＋ ) 等式建立，即有1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋12×4 4×66×8 2k＋k＝k，k ＋当 n ＝k ＋ 1 ，1 ＋ 1 ＋ 1＋ 1 ＋k ＋12×4 4×6 6×8 2k k ＋k ＋ ＋ 2]＝k ＋1k ＋k ＋k ＋k k ＋＋1k ＋2＝＝k ＋k ＋ k ＋k ＋k ＋ 1＝k ＋1.＝k ＋1＋k ＋所以当 n ＝k ＋1 ， 等式也建立．由(1)(2)可知， 于全部n ∈ N ＋等式都建立．18．(本小 分 12 分)求 ： 于整数 n ≥0 ，11n ＋ 2＋ 122n ＋ 1能被 133 整除．【 明】 (1)n ＝0 ，原式＝ 112＋ 12＝133 能被 133 整除．假k ＋ 2＋ 122k ＋1 能被 133 整除， (2) n ＝k(k ≥0， k ∈ N ) ， 11n ＝k ＋ 1 ，原式＝ 11k ＋ 3＋122k ＋ 3＝11(11k＋2＋122k＋1)－11·122k＋1＋122k＋3＝11(11k＋2＋122k＋1)＋122k＋1·133 也能被 133 整除．由(1)(2)可知：于整数 n≥0,11n＋2＋122n＋1能被 133 整除．19． (本小分 12 分)平面内有 n 个，随意两个都订交于两点，随意三个不订交于同一点，求：n 个将平面分红f(n)＝n2－n＋2 个部分 (n∈N＋)．【明】(1)当 n＝ 1 ，一个将平面分红两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝ 2，所以 n＝1 命建立．(2)假 n＝k(k∈N＋，k≥1)命建立，即 k 个把平面分红 f(k)＝ k2－k＋ 2个部分．n＝ k＋1 ，在 k＋1 个中任取一个 O，剩下的 k 个将平面分红 f(k) 个部分，而 O 与 k 个有 2k 个交点， 2k 个交点将 O 分红 2k 段弧，每段弧将原平面一分二，故得 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝ (k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当 n＝k＋1 ，命建立．由(1)(2)可知，全部 n∈N＋，命建立，即几个将平面分红 f(n)＝n2－n＋ 2 个部分 (n∈N＋)．1 1 11n－ 220． (本小分 12 分)求：2＋3＋4＋⋯＋2n－1>2 (n≥ 2)．1【明】(1)当 n＝ 2 ，2>0，不等式建立．(2)假 n＝k(k≥2)，原不等式建立．11111k－2即2＋3＋4＋5＋⋯＋2k－1> 2.当 n＝k＋ 1 ，1111111左＝2＋3＋4＋⋯＋2k－ 1＋2k－1＋1＋2k－ 1＋2＋⋯＋2k－ 1＋2k－1>k－ 21＋ k－11k－ 1 2＋ k－11＋⋯＋ k－ 12＋1 2＋22＋2k－ 2111－1> 2＋2k＋2k＋⋯＋2k(共2k 1 个2k)k －2 2k －1k －1＝2 ＋ 2k ＝ 2k ＋－ 2＝.2∴当 n ＝k ＋ 1 ，原不等式建立．由(1)(2)知，原不等式n ≥2 的全部的自然数都建立．－1＋3a n21．(本小 分 12 分 )假如数列 { a n } 足条件： a 1＝－ 4，a n ＋ 1＝2－a n (n＝ 1,2， ⋯)， 明： 任何自然数 n ，都有 a n ＋1>a n 且 a n <0. 【 明】(1)因为 a 1＝－ 4，－ 1＋ 3a 1－1－12 －13a 2＝ 2－a 1 ＝ 2＋ 4 ＝ 6 >a 1.且 a 1<0，所以，当 n ＝1 不等式建立．(2)假 当 n ＝ k(k ≥1) ， a k ＋1>a k 且 a k <0.－ 1＋ 3a k那么 a k ＋ 1＝ 2－a k <0.当 n ＝ k ＋1 ，－1＋3a k ＋ 1有a k ＋2＝2－a k ＋ 1－1＋3a k ＋ 1 －1＋ 3a k∴a k ＋ 2－ a k ＋1＝ 2－a k ＋ 1－2－a ka k ＋1 －a k＝>0.－ a k ＋1－a k所以 a k ＋ 2>a k ＋1 且 a k ＋1<0，就是 ，当 n ＝k ＋1 不等式也建立，依据 (1)(2)，不等式 任何自然数n 都建立．所以， 任何自然数n ，都有 a n ＋ 1>a n 且 a n <0.22． (本小 分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 和 S n ，且 S n ，a n 的等差中1.(1)写出 a 1， a 2，a 3；(2)猜想 a n 的表达式，并用数学 法 明．1【解】(1)由 意 S n ＋a n ＝ 2，可得 a 1＝1，a 2＝2，1a 3＝4.1 n －1(2)猜想 a n ＝ (2).下边用数学概括法证明：①当1 n － 11 0＝1，等式建立． n ＝1 时， a 1＝1，( )＝ ( ) 22②假定当 n ＝k 时，等式建立，即 a k ＝( 1 k － 12)，则当 n ＝k ＋ 1 时，由 S k ＋ 1＋a k ＋ 1＝2，S k ＋a k ＝ 2，得(S k ＋1－S k )＋a k ＋ 1－a k ＝ 0，即 2a k ＋ 1＝ a k ，∴a k ＋ 1＝1k ＝ (1 1 k －11 ( k ＋ 1)－12a·＝(2) (2)2). 即当 n ＝k ＋ 1 时，等式建立．*1 n － 1由①②可知，对 n ∈N ，a n ＝( 2).。

学业分层测评（五）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( )A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D.(－4，－2)∪(0,2)【解析】 由1<|x ＋1|<3，得1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1，∴0<x <2或－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．【答案】 D2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x的解集是( ) A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞) D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 【解析】 由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x等价于x －2x <0，即x (x －2)<0，解得0<x <2.【答案】 A3．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( )A ．8B ．2C ．－4 D.－8【解析】 原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4.又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合．【答案】 C4．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a ＞3 D.a ＜3【解析】 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知只要t min ≥a 即可，因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以t min ＝3，∴a ≤3.即实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选B.【答案】 B5．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3 D.|a －b |≥3【解析】 由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.由|x －b |>2，得x <b －2或x >b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.【答案】 D二、填空题6．不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为________.【导学号：32750023】【解析】 当x <－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x ≤5时，原不等式为(5－x )－(x ＋3)≥4，解得x ≤－1，所以－3≤x ≤－1；当x >5时，原不等式为(x －5)－(x ＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为{x |x ≤－1}．【答案】 {x |x ≤－1}7．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a ＝________. 【解析】 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a .又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. 【答案】 －38．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．【解析】 法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅.【答案】 (－∞，3]三、解答题9．已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．【解】 设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1.则y 1＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|＋k .(1)若f (x )≥3恒成立，求k 的取值范围；(2)当k ＝1时，求不等式f (x )<3x 的解集．【解】 (1)|x －3|＋|x －2|＋k ≥3，对任意x ∈R 恒成立，即(|x －3|＋|x －2|)min ≥3－k .又|x －3|＋|x －2|≥|x －3－x ＋2|＝1，(|x －3|＋|x －2|)min ＝1≥3－k ，解得k ≥2.(2)当x ≤2时，5x >6，解得x >65，∴65<x ≤2.当2<x <3时，3x >2，解得x >23，∴2<x <3.当x ≥3时，x >－4，∴x ≥3.综上，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，＋∞. [能力提升]1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)【解析】 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.【答案】 D2．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－1,0]C ．[0,1] D.[0，＋∞)【解析】 作出y ＝|x ＋1|与y ＝kx 的图象，如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k ＞0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．【答案】 C3．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立，a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值，∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 4．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A .(1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围.【导学号：32750024】【解】 (1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3.当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0.当x ＞12时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x ＞－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2.综上，a 的取值范围为(－∞，－2]．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。