高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值实战演练理

[考纲传真] １．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.２．会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．１．函数的单调性（１）单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x１，x２∈A当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说函数f（x）在区间A上是增加的当x１＜x２时，都有f（x１）＞f（x２），那么就说函数f（x）在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f（x）在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．２．函数的最值前提函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件（１）对于任意的x∈D，都有f（x）≤M；（２）存在x0∈D，使得f（x0）＝M（３）对于任意的x∈D，都有f（x）≥M；（４）存在x0∈D，使得f（x0）＝M结论M为函数y＝f（x）的最大值，记作y max＝f（x0）M为函数y＝f（x）的最小值，记作y min＝f（x0）１．对任意x１，x２∈D（x１≠x２），错误!＞0⇔f（x）在D上是增函数，错误!＜0⇔f（x）在D上是减函数．２．对勾函数y＝x＋错误!（a＞0）的增区间为（—∞，—错误!]和[错误!，＋∞），减区间为[—错误!，0）和（0，错误!]．３．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．４．函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．５．函数最值存在的两条结论（１）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．（２）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝错误!的递减区间是（—∞，0）∪（0，＋∞）．（）（２）若定义在R上的函数f（x）有f（—１）＜f（３），则函数f（x）在R上为增函数．（）（３）函数y＝f（x）在[１，＋∞）上是增函数，则函数的递增区间是[１，＋∞）．（）（４）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（）Ａ．y＝ln（x＋２）Ｂ．y＝—错误!Ｃ．y＝错误!xＤ．y＝x＋错误!A[y＝ln（x＋２）在（—２，＋∞）上是增函数，故A正确．]３．若函数f（x）＝ax＋１在R上递减，则函数g（x）＝a（x２—４x＋３）的递增区间是（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．（—∞，２）Ｃ．（—２，＋∞）Ｄ．（—∞，—２）B[由题意可知a＜0，而函数g（x）＝a（x２—４x＋３）＝a（x—２）２—a，∴g（x）＝a（x２—４x＋３）的递增区间为（—∞，２）．]４．若函数f（x）是R上的减函数，且f（a２—a）＜f（a），则a的取值范围是（）Ａ．（0,２）Ｂ．（—∞，0）∪（２，＋∞）Ｃ．（—∞，0）Ｄ．（２，＋∞）B[由题意得a２—a＞a，解得a＞２或a＜0，故选Ｂ．]５．（教材改编）已知函数f（x）＝错误!，x∈[２,6]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．２错误![易知函数f（x）＝错误!在x∈[２,6]上为减函数，故f（x）max＝f（２）＝２，f（x）min＝f（6）＝错误!.]确定函数的单调性（区间）【例１】（１）（２0１9·石嘴山模拟）函数y＝ln（—x２＋２x＋３）的减区间是（）Ａ．（—１,１] Ｂ．[１,３）Ｃ．（—∞，１] Ｄ．[１，＋∞）（２）试讨论函数f（x）＝错误!（a≠0）在（—１,１）上的单调性．（１）B[令t＝—x２＋２x＋３，由t＞0得—１＜x＜３，故函数的定义域为（—１,３），要求函数y＝ln（—x２＋２x＋３）的减区间，由复合函数单调性可知，只需求t＝—x２＋２x＋３在（—１,３）上的减区间，即[１,３）．]（２）[解] 法一：设—１＜x１＜x２＜１，f（x）＝a错误!＝a错误!，f（x１）—f（x２）＝a错误!—a错误!＝错误!，由于—１＜x１＜x２＜１，所以x２—x１＞0，x１—１＜0，x２—１＜0，故当a＞0时，f（x１）—f（x２）＞0，即f（x１）＞f（x２），函数f（x）在（—１,１）上递减；当a＜0时，f（x１）—f（x２）＜0，即f（x１）＜f（x２），函数f（x）在（—１,１）上递增．法二：f′（x）＝错误!＝错误!＝—错误!.当a＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（—１,１）上递减；当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（—１,１）上递增．[规律方法] １求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.２１函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图像法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.,２函数y ＝f g x的单调性应根据外层函数y＝f t和内层函数t＝g x的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.Ａ．y ＝错误! Ｂ．y ＝sin xＣ．y ＝２—xＤ．y ＝log 错误!（x ＋１）（２）y ＝—x ２＋２|x |＋３的递增区间为________．（１）A （２）（—∞，—１]，[0,１] [（１）A 项是[—１，＋∞）上的增函数，B 项不是单调函数，C 项是R 上的减函数，D 项是（—１，＋∞）上的减函数． （２）由题意知，当x ≥0时，y ＝—x ２＋２x ＋３＝—（x —１）２＋４；当x＜0时，y ＝—x ２—２x ＋３＝—（x ＋１）２＋４，二次函数的图像如图． 由图像可知，函数y ＝—x ２＋２|x |＋３的递增区间为（—∞，—１]，[0,１]．]求函数的最值【例２】 （１）若函数f （x ）＝错误!的最小值为f （0），则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．[—１,２] Ｂ．[—１,0] Ｃ．[１,２]Ｄ．[0,２]（２）函数f （x ）＝错误!x—log ２（x ＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________． （３）函数y ＝错误!—x （x ≥0）的最大值为________．（１）D （２）３ （３）错误! [（１）当x ＞0时，f （x ）＝x ＋错误!＋a ≥２＋a ，当且仅当x ＝错误!，即x ＝１时，等号成立．故当x ＝１时取得最小值２＋a ，∵f （x ）的最小值为f （0）， ∴当x ≤0时，f （x ）＝（x —a ）２递减，故a ≥0， 此时的最小值为f （0）＝a ２， 故２＋a ≥a ２得—１≤a ≤２． 又a ≥0，得0≤a ≤２．故选Ｄ．（２）∵f （x ）＝错误!x —log ２（x ＋２）在区间[—１,１]上是递减，∴f （x ）max ＝f （—１）＝３—log ２１＝３．（３）令t ＝错误!，则t ≥0，所以y ＝t —t ２＝—错误!２＋错误!，当t ＝错误!，即x ＝错误!时，y max ＝错误!.][规律方法] 求函数最值值域的常用方法及适用类型１单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值值域.２图像法：能作出图像的函数，用图像法，观察其图像最高点、最低点，求出最值值域.３基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量如x，y的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值值域.４导数法：若f x是三次、分式以及含e x，ln x，sin x，cos x结构的函数且f′x可求，可用导数法求函数的最值值域.（２）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝错误!设函数f（x）＝—x＋３，g（x）＝log２x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．（１）8 （２）１[（１）f（x）＝错误!＝错误!＝（x—１）＋错误!＋２≥２错误!＋２＝8，当且仅当x—１＝错误!，即x＝４时，f（x）min＝8．（２）法一：在同一坐标系中，作函数f（x），g（x）图像，依题意，h（x）的图像如图所示．易知点A（２,１）为图像的最高点，因此h（x）的最大值为h（２）＝１．法二：依题意，h（x）＝错误!当0＜x≤２时，h（x）＝log２x是增函数，当x＞２时，h（x）＝３—x是减函数，所以h（x）在x＝２时取得最大值h（２）＝１．]函数单调性的应用►考法１比较大小【例３】已知函数f（x）的图像向左平移１个单位后关于y轴对称，当x２＞x１＞１时，[f（x２）—f（x）]（x２—x１）＜0恒成立，设a＝f错误!，b＝f（２），c＝f（３），则a，b，c的大小关系为（）１Ａ．c＞a＞bＢ．c＞b＞aＣ．a＞c＞bＤ．b＞a＞cD[根据已知可得函数f（x）的图像关于直线x＝１对称，且在（１，＋∞）上是减函数．所以a＝f错误!＝f错误!，f（２）＞f（２．５）＞f（３），所以b＞a＞c.]►考法２解抽象不等式【例４】f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（３）＝１，则不等式f（x）＋f（x—8）≤２的解集为________．（8,9] [因为２＝１＋１＝f（３）＋f（３）＝f（9），由f（x）＋f（x—8）≤２可得f[x（x—8）]≤f（9），f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8<x≤9．]►考法３求参数的取值范围【例５】已知f（x）＝错误!满足对任意x１≠x２，都有错误!＞0成立，那么a的取值范围是（）Ａ．（１,２）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由已知条件得f（x）为增函数，所以错误!解得错误!≤a＜２，所以a的取值范围是错误!.故选Ｃ．][规律方法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略１比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.２解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.３利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.２（）Ａ．（—∞，２] Ｂ．[２，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意可知错误!即—错误!＜a≤２．故选Ｄ．]１．（２0１7·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的递增区间是（）Ａ．（—∞，—２）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（４，＋∞）D[由x２—２x—8>0，得x>４或x<—２．设t＝x２—２x—8，则y＝ln t为增函数．要求函数f（x）的递增区间，即求函数t＝x２—２x—8的递增区间．∵函数t＝x２—２x—8的递增区间为（４，＋∞），∴函数f（x）的递增区间为（４，＋∞）．故选Ｄ．]２．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝ln（１＋|x|）—错误!，则使得f（x）>f（２x—１）成立的x 的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!∪（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!A[∵f（—x）＝ln（１＋|—x|）—错误!＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．∵当x≥0时，f（x）＝ln（１＋x）—错误!，在（0，＋∞）上y＝ln（１＋x）递增，y＝—错误!也递增，根据单调性的性质知，f（x）在（0，＋∞）上递增．综上可知：f（x）>f（２x—１）⇔f（|x|）>f（|２x—１|）⇔|x|>|２x—１|⇔x２>（２x—１）２⇔３x２—４x＋１<0⇔错误!<x<１．故选Ａ．]。

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第5讲函数的单调性与最值课时作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第5讲函数的单调性与最值课时作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第5讲函数的单调性与最值课时作业理的全部内容。

第5讲函数的单调性与最值1．（2014年北京)下列函数中,定义域是R，且为增函数的是（)A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝｜x｜2．设奇函数f（x)在(0，＋∞)上为增函数，且f（1）＝0,则不等式错误!〈0的解集为( ）A．(－1,0)∪（1，＋∞）B．(－∞,－1)∪（0,1）C．(－∞，－1)∪（1，＋∞）D．(－1,0)∪（0，1)3．（2015年陕西）设f（x）＝x－sin x，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数4．(2013年新课标Ⅱ）若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是（)A．(－∞，＋∞） B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞） D．（－1，＋∞)5．(2016年天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞,0)上单调递增，若实数a满足f(2|a－1｜）>f(－错误!),则a的取值范围是（）A.错误!B。

错误!∪错误!C.错误!D.错误!6．（2017年山东)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…，是自然对数的底数)在f(x）的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M 性质的是（)A．f(x)＝2－x B．f（x)＝x2C．f（x)＝3－x D．f(x)＝cos x7．已知函数f(x）＝x3＋sin x，x∈(－1,1），如果f（1－m)＋f(1－m2）〈0，那么m的取值范围是__________________________________________________________________ ______．8．(2015年福建）若函数f（x）＝错误!（a＞0，且a≠1）的值域是［4，＋∞）,则实数a的取值范围是________．9．(2016年上海）已知a∈R，函数f（x）＝log2错误!.（1）当a＝5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x的方程f(x)－log2［（a－4）x＋2a－5］＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；(3)设a〉0，若对任意t∈错误!，函数f（x）在区间[t,t＋1］上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．10．（2014年大纲）函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0)．（1）讨论函数f(x）的单调性;(2)若函数f(x)在区间(1，2）上是增函数，求a的取值范围．第5讲函数的单调性与最值1．B 解析:y＝e－x＝错误!x在R上单调递减；y＝ln x的定义域为(0,＋∞)；y＝|x|＝错误!当x〈0时，函数单调递减;只有函数y＝x3的定义域是R，且为增函数．2．D 解析：由错误!＝错误!＜0，得xf（x)＜0。

第5讲 函数的单调性与最值1．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.2．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__.3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．4．函数单调性的常用结论5．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋a x(a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]．( × ) (3)若f (x )是增函数，g (x )是增函数，则f (x )·g (x )也是增函数．( × ) (4)已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，则函数y ＝f (－x )在R 上是减函数．( √ ) 解析 (1)错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(2)错误．f (x )在区间[a ，b ]上是递增的并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能是递增的．(3)错误．举反例：设f (x )＝x ，g (x )＝x －2都是定义域R 上的增函数，但是 f (x )·g (x )＝x 2－2x 在R 上不是增函数．(4)正确．易知函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，由对称性可知结论正确． 2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( D ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析 A 项中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B 项中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C 项中，y ＝ln (x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln (x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D 项符合题意．3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( C )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，则a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2，所以a ＝±2，故选C ．4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.解析 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．5．设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若f (x ＋a )在[0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__[2，＋∞)__.解析 ∵f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴f (x ＋a )＝(x ＋a －2)2－1，且当x ∈[2－a ，＋∞)时，函数f (x ＋a )单调递增，因此2－a ≤0，即a ≥2.一 判断(或证明)函数的单调性对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．【例1】 (1)判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性． (2)判断并证明函数f (x )＝axx 2－1(其中a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解析 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1). ∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．(2)f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.又a >0，所以f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．二 求函数的单调区间求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．【例2】 求下列函数的单调区间．(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解析 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．三 求函数的值域(最值)求函数值域(最值)的常用方法(1)分离常数法．形如y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解． (2)配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a (f (x ))2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(3)换元法．①代数换元，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)．【例3】 求下列函数的值域．(1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ；(3)y ＝x ＋4＋9－x 2；(4)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 解析 (1)(有界性法)由y ＝5x －14x ＋2， 得x ＝2y ＋15－4y.∵－3≤x ≤－1，∴－3≤2y ＋15－4y ≤－1，解得85≤y ≤3，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3. (2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22，∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π，∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1． ∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]．(4)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，∴函数的值域为[10，＋∞)．四 函数单调性的应用(1)含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](2)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (3)若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析 (1)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D ．(2)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的， 故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.故选D ．(3)因为函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则有a >1且6－2a >0，解得1<a <3，故选B ．1．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析 由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13转化为f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.根据单调性，知|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A ．2．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( B )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝__－6__.解析 由图象的对称性，知函数f (x )＝|2x ＋a |关于直线x ＝－a2对称，因为函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，即a ＝－6.4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为！！！ 14###.解析 令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x＝14时，y max ＝14.易错点1 忽视函数的定义域错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的“同增异减”原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则．【例1】 函数y ＝－x 2＋2x 的单调增区间为__________，减区间为__________. 解析 由－x 2＋2x ≥0得函数的定义域为[0,2]．∵t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在[0,1)上是增函数，在[1,2]上是减函数，又y ＝t 在[0，＋∞)上是增函数，∴函数y ＝－x 2＋2x 的单调增区间为[0,1)，减区间为[1,2]． 答案 [0,1) [1,2]【跟踪训练1】 若函数f (x )＝a |b －x |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围分别为__(0，＋∞)，(－∞，0]__.解析 ∵|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴b ≤0，a >0.易错点2 忽视分段函数的分界点错因分析：单调递增(减)区间上的函数图象自左往右整体呈上升(下降)趋势，中间可能断开．【例2】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13.答案 C【跟踪训练2】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 .解析 由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.课时达标 第5讲[解密考纲]本考点考查函数的单调性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为( C ) A ．y ＝－x 2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝－1xD ．y ＝2x解析 y ＝－x 2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝－1x在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝－1，满足条件；y ＝2x 在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝2，不满足条件，故选C ．2．(2018·黑龙江牡丹江一中期中)函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是( B ) A ．R B ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729 C ．[9,243]D ．[3，＋∞)解析 令t ＝x 2－3x ＋2，∵x ∈[－1,2]，∴t ＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，6.又y ＝3t在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，6上单调递增，则y ＝3t∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729. ∴函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729. 3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 又13<12<23<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，故选B ． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( B )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析 ∵f (x )是R 上的增函数，∴a >1且4－a 2>0且a ≥4－a2＋2，解得，4≤a <8，故选B ．5．(2018·天津河西区一模)函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为( C ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)解析 要使函数有意义，则x 2－2x －3>0， 即x >3或x <－1．设t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， 当x >3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增； 当x <－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减． ∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数， ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，故选C ．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，)若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在R 上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )， 得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1． 二、填空题7．(2018·山东日照调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为__2__.解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.8．函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为__2__. 解析 设1－x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≥0)．所以y ＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.9．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋3e x＋1e ＋1在区间[－k ，k ](k >0)上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__4__.解析 ∵f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋3e x＋1e x ＋1＝ln(x ＋1＋x 2)＋3－2e x ＋1，∴函数f (x )在R上为单调递增，∴M ＝f (k )＝ln(k ＋1＋k 2)＋3－2e k ＋1，m ＝f (－k )＝ln(－k ＋1＋k 2)＋3－2e －k＋1， ∴M ＋m ＝f (k )＋f (－k )＝ln 1＋6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e k ＋1＋1e －k ＋1＝6－2＝4.三、解答题10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．解析 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在区间[0,2]上是增函数． 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.11．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ； (2)若f (4)＝－4，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －12≥－12.解析 (1)证明：由条件f (x )＋f (y )＝f (xy )可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫xy·y ＝f (x )， 所以f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y.(2)因为f (4)＝－4，所以f (4)＋f (4)＝f (16)＝－8，f (4)＋f (16)＝f (64)＝－12.由(1)得f (x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －12＝f (x (x －12))，又f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，⎩⎪⎨⎪⎧x >01x －12>0⇒x >12，由f (x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －12≥－12，有f (x (x －12))≥f (64)，所以x (x －12)≤64. 所以x 2－12x －64＝(x －16)(x ＋4)≤0， 得－4≤x ≤16，又x >12，所以x ∈(12,16]．12．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若∀x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)∵在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．∵φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，∴a >－3，故a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

第五节指数与指数函数2019考纲考题考情1．根式(1)根式的概念①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0)(n为偶数)。

②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)。

2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。

(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)。

②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)。

③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)。

3．指数函数的图象与性质1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a 。

2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大。

3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究。

一、走进教材1．(必修1P 59A 组T 4改编)化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________。

解析 因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y 。

答案 －2x 2y2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________。

解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝2。