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《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。
因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大 于零时，其函数为 单调递增；函数的 导数值小于零时， 其函数为单调递 从函数的单调性 和导数的正负关 系的讨论环节中， 不断的比较了函 数和导函数的图 像，因此设置该 题，从熟悉的函数 到该题，题LI 更容 易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式 广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤 是什么教师根据一个学 生的作图进行讲 解.学生对所学知识 进一步巩固和熟 练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。
数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
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1.3。
1函数的单调性与导数［学习目标] 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系。
2。
能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间（其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间（a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x）〉0单调递增f′（x）<0单调递减f′（x)＝0常函数思考以前,我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f（x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f（x）比较复杂的情况下，比较f（x1)与f（x2）的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性?答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减。
知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：（1）确定函数f（x)的定义域.（2)求出函数的导数f′(x).（3)解不等式f′（x）＞0,得函数的单调递增区间；解不等式f′（x)＜0，得函数的单调递减区间。
1.3.1函数的单调性与导数（第二课时）教学设计【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
会求单调区间，会讨论含参函数单调性2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系，及单调性的逆用.(难点)3.含参数的函数讨论单调性（难点）【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像,会根据单调性求字母范围。
教学过程：（一）复习回顾，温故知新让学生填写导数公式，运算法则，复合函数求导法则（利用选号程序，挑选两名幸运的同学回答，可提升学生注意力）设计意图：通过复习回顾，加深对公式的记忆和理解，尤其是运算法则，复合函数求导公式的理解，有利于本节熟练应用。
第三讲 利用导数求函数的单调性1．函数单调性与导数的关系在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； 如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减； 如果恒有f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0. 2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f ′(x )|越大，则函数f (x )的切线的斜率越大，函数f (x )的变化率就越大考点一 利用导数求单调区间【例1】求下列函数的单调区间。
（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得f(x)的定义域为R ，2()63f x x '=-. 令2()630f x x '=->，解得2x <或2x >. 当2(,)2x ∈-∞-时，函数为增函数；当2)2x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2()630f x x '=-<，解得22x <<.当(x ∈时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和,)2+∞，单调递减区间为(22-.（2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x-+'=-=.令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<.故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)2+∞，单调递减区间为(0,2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x2x －x 2＞0.即⎩⎨⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎨⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．1．函数()e x f x x -=的单调递减区间是 。
导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。
1.3.1函数的单调性与导数[学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求出函数的导数f′(x).(3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”.题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x ； (3)f (x )＝x ＋1x.解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表：∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，33，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“∪”.跟踪训练1求函数f(x)＝x3－3x的单调区间.解f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1，此时函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，此时函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象.解f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2).由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3，∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞).由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的递减区间是(－2,3).由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.跟踪训练2已知导函数f′(x)的下列信息：当2＜x＜3时，f′(x)＜0；当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0；当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0；试画出函数f (x )图象的大致形状.解 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，可知函数在此区间上单调递减； 当x ＞3或x ＜2时，f ′(x )＞0，可知函数在这两个区间上单调递增； 当x ＝3或x ＝2时，f ′(x )＝0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变. 综上可画出函数f (x )图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).题型三 利用导数确定参数的取值范围例3 已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a ＞0，若函数f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝2a －3x 2，又f (x )在(0,1]上是增函数等价于f ′(x )≥0对x ∈(0,1]恒成立， 且仅有有限个点使得f ′(x )＝0，∴x ∈(0,1]时，2a －3x 2≥0，也就是a ≥32x 2恒成立.又x ∈(0,1]时，32x 2∈⎝⎛⎦⎤0，32， ∴a ≥32.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 反思与感悟 已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.跟踪训练3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，∴当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，∴只要a ＞G (x )min 即可. 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， ∴G (x )min ＝－1， ∴a ＞－1.(2)∵h (x )在[1,4]上单调递减，∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，∴a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， ∴G (x )max ＝－716， ∴a ≥－716.求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误例4 求函数y ＝x －ln x 的单调区间.错解 y ′＝1－1x ，令y ′＝1－1x ＞0，得x ＞1或x ＜0，所以函数y ＝x －ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，0).令y ′＝1－1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为(0,1).错因分析 在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解 函数y ＝x －ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x ＞0，得x ＞1或x ＜0(舍去)，所以函数y ＝x －ln x 的单调递增区间为(1，＋∞).令y ′＝1－1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为(0,1).防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数C.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D.在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1x＞0，∴函数f (x )在(0,6)上单调递增.2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )为减函数；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确.3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.a ＝1 C.(－∞，1] D.(0,1) 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 且f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为________，减区间为________. 答案 (2，＋∞) (－∞，2)解析 y ′＝2x －4，令y ′＞0，得x ＞2；令y ′＜0，得x ＜2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).5.已知函数f (x )＝2ax －1x ，x ∈(0,1].若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为__________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 由已知条件得f ′(x )＝2a ＋1x 2.∵f (x )在(0,1]上是增函数，∴f ′(x )≥0，即a ≥－12x 2在x ∈(0,1]上恒成立.而g (x )＝－12x 2在(0,1]上是增函数，∴g (x )max ＝g (1)＝－12.∴a ≥－12.当a ＝－12时，f ′(x )＝－1＋1x 2对x ∈(0,1]有f ′(x )≥0，且仅在x ＝1时，f ′(x )＝0.∴a ＝－12时，f (x )在(0,1]上是增函数.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号来确定函数的单调性.(2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.(3)导数法.利用导数判断可导函数f (x )在区间(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；③确定单调性.求函数y ＝f (x )的单调增区间、减区间分别是解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0所得的x 的取值集合.反过来，如果已知f (x )在区间D 上单调递增，求f (x )中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f ′(x )≥0在D 上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f (x )中参数的值.同样可以解决已知f (x )在区间D 上单调递减，求f (x )中参数的值的问题.一、选择题1.函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，－3)和(1，＋∞)D.(－3,1)答案 D解析 求导函数得y ′＝(－x 2－2x ＋3)e x .令y ′＝(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，可得x 2＋2x －3＜0， ∴－3＜x ＜1.∴函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1).2.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－3]∪[3，＋∞) B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，3) 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f ′(x )＝0，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3. 3.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e 2 C.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x 答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋33⎝⎛⎭⎫x －33， 故函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数； 对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0).故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数.故选B.4.设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A.f (x )＞g (x ) B.f (x )＜g (x )C.f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D.f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在 [a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a ).5.函数y ＝ln |x |x的图象大致是( )答案 C解析 ∵y ＝f (－x )＝ln |－x |－x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )＝ln |x |x为奇函数，∴y ＝f (x )的图象关于原点成中心对称，可排除B. 又∵当x ＞0时，f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，∴当x ＞e 时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减； 当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0， ∴函数f (x )在(0，e)上单调递增. 故可排除A ，D ，而C 满足题意.6.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )＞e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(3，＋∞)C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(3，＋∞)答案 A解析 由题意可知不等式为e x f (x )－e x －5＞0， 设g (x )＝e x f (x )－e x －5， ∴g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]＞0.∴函数g (x )在定义域上单调递增.又∵g (0)＝0，∴g (x )＞0的解集为(0，＋∞). 二、填空题7.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________. 答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x .由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.8.函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.答案 ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 9.函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________. 答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1).10.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________. 答案 [3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数， 故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立. 令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x 3－2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，所以a ≥3.三、解答题11.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直.(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围.解 (1)∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由条件f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 由①②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，则f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2.∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0或m ＋1≤－2，∴m ≥0或m ≤－3.12.已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －b (a ，b ∈R ，a ＞1)，e 是自然对数的底数.(1)试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a ＝e ，b ＝4时，求整数k 的值，使得函数f (x )在区间(k ，k ＋1)上存在零点. 解 (1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a .∵a ＞1，∴当x ∈(0，＋∞)时，ln a ＞0，a x －1＞0，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.(2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x )＝e x ＋2x －1， ∴f ′(0)＝0.当x ＞0时，e x ＞1，∴f ′(x )＞0，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数.同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数.又f (0)＝－3＜0，f (1)＝e －4＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 当x ＞2时，f (x )＞0，∴当x ＞0时，函数f (x )的零点在(1,2)内，∴k ＝1满足条件.f (0)＝－3＜0，f (－1)＝1e －2＜0，f (－2)＝1e 2＋2＞0， 当x ＜－2时，f (x )＞0，∴当x ＜0时，函数f (x )零点在(－2，－1)内， ∴k ＝－2满足条件.综上所述，k ＝1或－2.13.求下列函数的单调区间.(1)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2；(2)f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1(a 为常数). 解 (1)函数y ＝ln (2x ＋3)＋x 2定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增.当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减.故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞； 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，g (x )≤0， f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0， f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减.③当－12＜a ＜0时，Δ＞0. 设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0， 所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增.。
