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压轴小题突破练(3)1．如图，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ,0)(c ＞0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OP →＝2OE →－OF →，则双曲线的离心率为( )A.10B.103C.102D. 2答案 C解析 由OP →＝2OE →－OF →，得 OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为PF 的中点，令右焦点为F ′，则O 为FF ′的中点，|PF ′|＝2|OE |＝a ， 又∵|PF |－|PF ′|＝2a ，∴|PF |＝3a ， ∵E 为切点，∴OE ⊥PF ，PF ′⊥PF ，∴|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2，∴10a 2＝4c 2，e ＝102. 2．在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( ) A ．5 B ．10 C ．2 6 D ．4 6答案 A解析 设AD →＝23AC →，所以AP →＝2λ3AC →＋(1－λ)AB →＝λAD →＋(1－λ)AB →，则B ，P ，D 三点共线，故P 点的轨迹为直线BD .则点P 的轨迹与直线BC ，AC 围成的封闭区域为△BCD 及其内部区域．因为sin C ＝1－cos 2C＝57，则S △BCD ＝12BC ²CD ²sin C ＝12³7³13³6³57＝5. 3．已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ²b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 答案 C解析 求导可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ²b ，则由函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ²b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ²b ≥0在R 上恒成立， 即x 2＋|a |x ＋a ²b ≥0恒成立， 故判别式Δ＝a 2－4a²b ≤0恒成立， 再由|a |＝22|b |≠0，可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ，b 〉， ∴cos〈a ，b 〉≥22， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.4．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则4b a ＋a b ＋12mn ＋2ln ||m ＋2ln ||n 取得最小值时，双曲线的离心率为( ) A. 5 B. 6 C.52D.62答案 C解析 设A (－a,0)，B (a,0), P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，点P 在双曲线上，得x 20a 2－y 20b 2＝1，所以k PA k PB＝y 0x 0＋a ²y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝b 2a 2，即mn ＝b 2a 2， 4b a ＋a b ＋12mn ＋2ln|m |＋2ln|n |≥4＋12mn＋2ln ||mn ， 设函数f (x )＝2ln x ＋12x (x >0), f ′(x )＝2x －12x 2＝4x －12x 2，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞上单调递增．f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，即mn ＝b 2a 2＝14，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当a 2＝4b 2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52.5．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BF ，交AC ，CE 于G ，H 两点，记I 1＝GA →²GB →，I 2＝GF →²GC →，I 3＝HE →²HF →，则I 1，I 2，I 3的大小关系是( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 2<I 1D ．I 2<I 3<I 1答案 C解析 建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,2)，B (2,2)，C (2,0)，E (0,1)，F (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12y ＝1，y ＝2x －2，求得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， 由⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝1，y ＝2x －2，求得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，25， ∴I 1＝GA →²GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43³⎝ ⎛⎭⎪⎫2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23³⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝89，I 2＝GF →²GC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43³⎝⎛⎭⎪⎫2－43＋⎝⎛⎭⎪⎫－23³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝29，I 3＝HE →²HF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－65³⎝⎛⎭⎪⎫1－65＋⎝⎛⎭⎪⎫1－25³⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝0，∴I 3<I 2<I 1.故选C.6．在△ABC 中，已知AB →²AC →＝9，sin B ＝cos A ²sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ²CA→||CA →＋y ²CB→||CB →，则xy 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos C ＝0，∴C ＝90°， 又∵bc cos A ＝9，故b 2＝9，即b ＝3. ∵12ab ＝6，故a ＝4，c ＝5， 故建立如图所示平面直角坐标系xOy ，则A (3,0)，B (0,4)，则由题设可知P (x ，y )， 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1且x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y4＝1≥2xy12，即xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时“＝”成立，故选C.7．已知点M (1,0)，A ，B 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，且MA →²MB →＝0，则MA →²BA →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[1,9] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，9 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，3 答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－1，y 1)，MB →＝(x 2－1，y 2)， BA →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，由题意有MA →²MB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 所以MA →²BA →＝(x 1－1)(x 1－x 2)＋y 1(y 1－y 2) ＝(x 1－1)x 1－(x 1－1)x 2＋y 21－y 1y 2＝x 21－x 1＋y 21－[(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＋(x 1－1)] ＝x 21－x 1＋1－14x 21－x 1＋1＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23，x 1∈[－2,2]．所以当x ＝－2时，MA →²BA →有最大值9， 当x ＝43时，MA →²BA →有最小值23，故选C.8．在△ABC 中，AB ＝3, AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则||AP →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133答案 D解析 如图所示，以靠近点B 的三等分点为平行四边形的一个顶点，A ，C 为另外两个顶点构造平行四边形ADEC ，DE 与BC 交于点F ，则点P 位于线段DF 上，所以当点P 在点D 处时，||AP →最小，||AP→min＝AD ＝2；当点P 在点F 处时，||AP →最大，因为AP →＝23AB →＋λAC →，所以当λ＝13时，||AP →max＝2133，则||AP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.9．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA→＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A.[]－4，4B.[]－21，21C.[]－5，5D.[]－6，6 答案 C解析 如图建立平面直角坐标系：令正三角形边长为3，则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同理在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5.10．设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3²AB →＋λ²AC →，则实数λ的值为( )A ．－325B.2825C.325D ．－2825答案 A解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得当n ＝1时上式成立．综上，a n ＝6n －1.同理可得b n ＝8n ＋1，即a 1＋a 4b 3＝2825. 点P 在直线BC 上，设BP →＝kBC →，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →) ＝(1－k )AB →＋kAC →＝2825AB →＋λ²AC →，即1－k ＝2825，λ＝k ＝－325.11．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3,0≤λ≤1，若b ²c ＝0，则|a －λb －(1－λ)c |的最大值为__________，最小值为________． 答案 461313－1 解析 设n ＝λb ＋(1－λ)c ，|a －λb －(1－λ)c |＝|a －n |，|n |－|a |≤|a －n |≤|n |＋|a |，即|n |－1≤|a －n |≤|n |＋1，|n |2＝|λb ＋(1－λ)c |2＝λ2|b |2＋(1－λ)2|c |2＋2λ(1－λ)b ²c＝4λ2＋9(1－λ)2＝13λ2－18λ＋9(0≤λ≤1)，由二次函数性质可得，3613≤|n |2≤9，61313≤|n |≤3，61313－1≤|n |－1≤|a －n |≤|n |＋1≤4，∴|a －λb －(1－λ)c |的最大值为4，最小值为61313－1.12．已知抛物线y 2＝4x ，其焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________． 答案 22－2解析 因为F (1,0)，当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1²x 2＝1，不妨设x 1＜1，x 2＞1.由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝(x 1＋1)(x 2＋1)－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1，令x 2－1＝t ，则x 2＝t ＋1， 所以|AF |－2|BF |＝11＋tt 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t≥11＋12＋22＝2(1＋2)3＋22＝21＋2＝2(2－1)，当且仅当t ＝2时取“＝”．当直线l 与x 轴垂直时，可求得|AF |＝2，|BF |＝2， 所以|AF |－2|BF |＝1， 综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.13．若向量a ，b 满足4a 2＋a ²b ＋b 2＝1，则|2a ＋b |的最大值为________． 答案2105解析 向量a ，b 满足4a 2＋a ²b ＋b 2＝1，∴(2a ＋b )2＋(2a －b )2＝8a 2＋2b 2，(2a ＋b )2－(2a －b )2＝8a ²b ， ∴(2a ＋b )2＋(2a －b )22＋(2a ＋b )2－(2a －b )28＝1，∴5(2a ＋b )28＋3(2a －b )28＝1，∴58(2a ＋b )2＝1－38(2a －b )2≤1， ∴(2a ＋b )2≤85，∴|2a ＋b |≤2105，即|2a ＋b |的最大值为2105.14．已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →. ①若∠C ＝90°，则λ＋μ＝______________；②若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为______________． 答案 12 23解析 ①若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点，BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故填12.②设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →²BA →＝λBA →2＋μBA →²BC →，BO →²BC →＝λBA →²BC →＋μBC →2，即⎩⎪⎨⎪⎧12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23－a3c ，μ＝23－c3a ，则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23，当且仅当△ABC 为等边三角形时“＝”成立．15．如图，在△ABC 中，已知BD →＝12DC →，P 为AD 上一点，且满足CP →＝mCA →＋49CB →，若△ABC 的面积为3，∠ACB ＝π3，则||CP →的最小值为________．答案 43解析 设AP →＝λAD →，则CP →＝CA →＋λAD →＝CA →＋λ()CD →－CA →＝(1－λ)CA →＋23λCB →.由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，49＝23λ，解得m ＝13，∴CP →＝13CA →＋49CB →，令||CA →＝x ，||CB →＝y ， 则S △ABC ＝12||CA →³||CB →³sin∠ACB ＝34xy ＝3， ∴xy ＝4，且x >0，y >0. ∴||CP →2＝19x 2＋1681y 2＋427xy ＝19x 2＋1681y 2＋1627≥219x 2³1681y 2＋1627＝169， 当且仅当19x 2＝1681y 2，即3x ＝4y ，即3||CA →＝4||CB →时等号成立．即||CP →min＝43. 16．在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，点D 满足BD →＝23BC →，点E 在线段AD 上运动，若AE →＝λAB →＋μAC →，则3λ＋13μ取得最小值时，向量AE →的模为________．答案 2 5解析 在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，可得BC ＝6.∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .∵点D 满足BD →＝23BC →，∴CD ＝2.如图建立平面直角坐标系，则A (0,6)，B (6,0)，D (2,0)，设AE →＝kAD →＝(2k ，－6k )，AE →＝λAB →＋μAC →＝λ(6，－6)＋μ(0，－6)＝(6λ，－6λ－6μ)， ∴2k ＝6λ，－6k ＝－6λ－6μ，∴μ＝2λ， ∴3λ＋13μ＝3λ＋16λ≥212＝2， 当且仅当λ2＝118时等号成立．此时AE →＝(6λ，－18λ)，|AE →|＝36λ2＋324λ2＝2 5.17．已知a ，b ，c 是三个单位向量，且c ²a ＝c ²b >0，则对于任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －t a －1t b 的最小值为12，则a ²b ＝________.答案 18或－78解析 设a ，c 夹角为θ，则a ，b 夹角为2θ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －t a －1t b 2＝1＋t 2＋1t2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t a ²c ＋2a ²b＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ＋2cos2θ－1(t >0)，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －t a －1t b 2看作关于t ＋1t的二次函数，∵0<cos θ≤1，t ＋1t≥2，∴当t ＋1t ＝2即t ＝1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －t a －1t b 2min ＝14， 即4－4cos θ＋2cos2θ－1＝14，解得cos θ＝14或cos θ＝34.11 当cos θ＝14时，cos2θ＝－78，∴a ²b ＝－78， 当cos θ＝34时，cos2θ＝18，∴a ²b ＝18， 综上，a ²b ＝18或－78.。
压轴小题突破练(2)1．在四面体ABCD中，二面角A—BC—D为60°，点P为直线BC上一动点，记直线P A与平面BCD所成的角为θ，则()A．θ的最大值为60°B．θ的最小值为60°C．θ的最大值为30°D．θ的最小值为30°答案 A解+析过A作AH⊥平面BCD于点H，AG⊥BC于点G，连接PH，GH，则易知∠AGH为二面角A—BC—D的平面角，即∠AGH＝60°，∠APH为P A与平面BCD所成的角，则tan∠APH＝AHPH.因为AH为定长，所以当PH取得最小值时，∠APH取得最大值，易知当点P与点G重合时，PH取得最小值，所以θmax＝∠AGH＝60°，故选A.2．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x,0＜x＜1，设平面MEF∩平面MPQ＝l，则下列结论中不成立的是()A．l∥平面ABCDB．l⊥ACC．平面MEF与平面MPQ垂直D．当x变化时，l是定直线答案 C解+析 连接BD ，A 1D ，A 1B ，AC 1，显然平面MEF ∥平面A 1DB ， 设A 1B ∩MP ＝H ，A 1D ∩QM ＝G ， 连接HG ，则l ∥HG ， 又HG ∥平面ABCD ， 所以l ∥平面ABCD ，AC ⊥BD . 又HG ∥l ∥BD ，故AC ⊥l ，当P ，Q 分别与B 1，D 1重合时，平面MEF ⊥平面MPQ ， 又0＜x ＜1，故平面MEF 与平面MPQ 不垂直． 无论x 怎么变化，l 是过M 点与EF 平行的定直线．3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是A 1C 1上任意一点，记平面P AB ，平面PBC 与下底面所成的二面角分别为α，β，则tan(α＋β)的最小值为( ) A ．－23 B ．－34 C ．－43 D ．－32答案 C解+析 如图，作PP 1⊥AC ，易知，PP 1⊥底面ABCD ， 作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，连接MP 1，NP 1， 易证得∠PMP 1＝α，∠PNP 1＝β. 设MP 1＝x ，则NP 1＝1－x ， ∴tan α＝1x ，tan β＝11－x，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1x ＋11－x 1－1x (1－x )＝1－x 2＋x －1＝1－⎝⎛⎭⎫x －122－34.∵0≤x ≤1，∴当x ＝12时，tan(α＋β)有最小值－43，故选C.4．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是B 1C 1的中点，若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且GH ＝3，若点Q 是棱BB 1上一个动点，则AQ ＋D 1Q 的最小值为( ) A ．6 B ．310 C ．62＋ 2 D ．61＋ 2答案 C解+析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，内切球球心为O ， 由题意可得内切球半径r ＝a2.OE ＝OF ＝22a ，EF ＝EB 2＋BB 21＋B 1F 2＝62a ， 取EF 中点P ，则OP ＝OE 2－EP 2＝24a ， 所以cos ∠POG ＝OP OG ＝24aa 2＝22，所以∠GOH ＝π2，OG ＝a 2＝32，a ＝32，把平面DD 1B 1B 与平面AA 1B 1B 展成一个平面， 则A ，Q ，D 1共线时AQ ＋D 1Q 最小，最小值为 D 1A ＝()2a ＋a 2＋a 2＝()6＋322＋()322＝62＋ 2.5．已知三棱锥D －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．9π C.25π3 D.121π9答案 D解+析 由AB ＝BC ＝2，AC ＝22， 可得AB 2＋BC 2＝AC 2.所以△ABC 为直角三角形，且AC 为斜边． 所以过△ABC 的截面圆的圆心为斜边AC 的中点E .当DE ⊥平面ABC ，且球心O 在DE 上时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值． 因为三棱锥D －ABC 体积的最大值为2， 所以13S △ABC ·DE ＝2，即13×12×22×DE ＝2，解得DE ＝3. 设球的半径为R ，则AE 2＋OE 2＝AO 2， 即(2)2＋(3－R )2＝R 2，解得R ＝116.所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1162＝121π9.6．如图，AB ∩α＝B ，直线AB 与平面α所成的角为75°，点A 是直线AB 上一定点，动直线AP 与平面α交于点P ，且满足∠P AB ＝45°，则点P 在平面α内的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．抛物线的一部分C ．圆D ．椭圆答案 D解+析 用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足∠P AB ＝45°，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为75°，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P 的轨迹是椭圆．7．在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 体积的最大值是( ) A ．36 B ．12 3 C ．24 D ．18 3答案 B解+析 ∵AD ⊥平面D 1DCC 1，∴AD ⊥DP ，同理BC ⊥平面D 1DCC 1，则BC ⊥CP ，∠APD ＝∠MPC ， ∴△P AD ∽△PMC ，∴PD PC ＝ADMC ，∵AD ＝2MC ，∴PD ＝2PC ，下面研究点P 在面DCC 1D 1内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D (0,0)，C (6,0)，C 1(6,6)，设P (x ，y )， ∵PD ＝2PC ， ∴x 2＋y 2＝2(x －6)2＋y 2，化简得(x －8)2＋y 2＝16(4≤x ≤6)，该圆与CC 1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6,23)，三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积为18，要使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，当P 点坐标为(6,23)时，CP ＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥P －BCD 的体积V ＝13×18×23＝123，故选B.8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使∠A ′DC ＝π2，则下列结论不正确的是( )A ．A ′B ⊥CD B ．∠BA ′C ＝π2C ．二面角A ′－BC －D 的平面角的正切值为 2 D ．异面直线A ′C 与BD 所成角的大小为π3答案 C解+析 因为CD ⊥BD 且A ′D ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，因此CD ⊥A ′B ，故A 正确；因为A ′B ⊥CD ，A ′D ⊥A ′B ，所以A ′B ⊥平面A ′CD ，因此A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝π2，故B 正确；取BD 的中点E ，连接A ′E ，易知平面A ′BD ⊥平面BCD ，且平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，A ′E ⊥BD ，所以A ′E ⊥平面BCD .过E 作EF ⊥BC 交BC 于点F ，连接A ′F ，所以∠A ′FE 为二面角A ′－BC －D 的平面角，所以tan ∠A ′FE ＝3，故C 错．取A ′B ，BC ，A ′D 的中点分别为M ，N ，P ，连接MN ，MP ，NP ，则异面直线A ′C 与BD 所成的角即为∠NMP (或其补角)，易知MP ＝12BD ＝22，MN ＝12A ′C ＝22，易求得NP ＝22，故△MNP 为等边三角形，所以异面直线A ′C 与BD 所成角的大小为π3，故D 正确．9．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP ＝x ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f (x )，则函数f (x )的图象最有可能的是( )答案 B解+析 球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：①当x ＝1时；②当x ＝12时；③当x ＝2时．①当x ＝1时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1＝3π2，且为函数f (x )的最大值；②当x ＝12时，以A 为球心，12为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为①中的一半；③当x ＝2时，以A 为球心，2为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1＝3π2，对照选项可得B 正确．10．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将△ABF 沿BF 所在的直线进行翻折，将△CDE 沿DE 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中( ) A ．点A 与点C 在某一位置可能重合 B ．点A 与点C 的最大距离为3AB C ．直线AB 与直线CD 可能垂直 D ．直线AF 与直线CE 可能垂直 答案 D解+析 若点A 与点C 在某一位置重合，则在△ABE 中，BE ＝AE ＝12AB ，即有BE ＋AE ＝AB ，则BE ，AE ，AB 三边不构成三角形，故A 错．在正方形ABCD 中，设AC 与BF ，ED 分别交于点M ，N ，则AM ＋NM ＋NC ＝2AB ，在翻折的过程中，总有AC ≤AM ＋MC ≤AM ＋MN ＋NC ＝2AB ，故B 错．因为BF ∥DE ，∠ABF ≠∠CED ，所以在翻折的过程中，AB 与CE 不平行，过点B 作BP ∥CE ，且BP ＝CE ，则直线BP ，BA 是相交直线，由四边形BECP 为平行四边形得CP ∥BE ，且CP ＝BE ，从而有CP ∥DF ，且CP ＝DF ，所以四边形CDFP 为平行四边形，故FP ∥CD ，故若AB ⊥CD ，则FP ⊥AB ，又CD ⊥CE ，故FP ⊥PB ，从而有FP ⊥平面ABP ，所以FP ⊥AP ，则在△FP A 中，AF >FP ，但AF ＝12CD ＝12FP ，矛盾，故C错．由上知若直线AF 与直线CE 垂直，则AF ⊥BP ，又FP ⊥PB ，从而有BP ⊥平面APF ，所以BP ⊥AP ，故只需AP ＝32AB 即可，即D 正确，故选D. 11．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝π2，点M 在△ABC 外，且MB ＝1，MC ＝2，则MA的最大值是________．答案22＋1解+析如图，以C为原点，MC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则M(－2,0)．设A(x，y)，则由AC⊥BC且AC＝BC可得B(－y，x)，又MB＝1，则(－y＋2)2＋x2＝1，即知点A的轨迹是以P(0,2)为圆心，1为半径为圆，则AM≤MP＋P A＝22＋1.12．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′分别交于M，N两点，设BM＝x，x∈[0,1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L＝f(x)，x∈[0,1]是单调函数；④四棱锥C′－MENF的体积V＝h(x)为常数．以上结论正确的是______________．答案①②④解+析①因为EF⊥BB′，EF⊥BD，BB′∩BD＝B，所以EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′成立；②因为AC ∥EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立； ③因为MF ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋1， f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －122＋1， 所以f (x )在[0,1]上不是单调函数；④V C ′－MENF ＝V F －MC ′E ＋V F －C ′NE ＝13·14＋13·14＝16，故h (x )为常数．13．正四面体ABCD 的棱长为6，其中AB ∥平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，当正四面体以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影长的取值范围是________． 答案 [3,32]解+析 如图，取AC 的中点G ，连接GE ，GF ，EF ，结合已知可得GF ∥AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE ∥CD ，∴GE ⊥GF ，∴EF 2＝GE 2＋GF 2， 当四面体绕AB 旋转时，∵GF ∥平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然当CD 与平面α垂直时，GE 在平面α上的射影长最短为0， 此时EF 在平面α上射影E 1F 1的长取得最小值3.当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长取得最大值3，E 1F 1取得最大值32，所以射影E 1F 1长度的取值范围是[3，32]．14．如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为__________．答案26解+析 ∵AD ⊥平面ABC ， ∴DA ⊥AB ，AD ⊥BC ，∵AE ⊥DB ，又AD ＝AB ＝2，∴DE ＝ 2. 又∵BC ⊥AC ，AC ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∴平面BCD ⊥平面ACD ，∵AF ⊥DC ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，AF ⊂平面ACD ， ∴AF ⊥平面BCD ，∴AF ⊥BD ，又AE ⊥BD ，AF ∩AE ＝A ， ∴BD ⊥平面AEF ，由AF ⊥EF ，得AF 2＋EF 2＝AE 2＝2≥2AF ·EF ，即AF ·EF ≤1， ∴S △AEF ≤12，当且仅当AF ＝EF ＝1时“＝”成立，∴三棱锥D －AEF 体积的最大值为13×2×12＝26.15.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案66解+析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由A ⎝⎛⎭⎫0，62，0，B ⎝⎛⎭⎫302，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66， 则OH ＝63，DH ＝1×56＝306， 因此可设D ′⎝⎛⎭⎫－306cos α，－63，306sin α， 则BD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－306cos α－302，－63，306sin α， 与CA →平行的单位向量为n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′—→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′—→·n |BD ′—→|·|n |＝639＋5cos α， 所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66. 16．已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角(如图)，则四棱锥A —DECB 的外接球的表面积为________．答案 10π解+析 因为△ADE 为等腰直角三角形，所以△ADE 的外接圆的圆心在DE 上，即平面ADE 截四棱锥A —DECB 的外接球所得的截面圆的圆心在DE 上，即在平面DECB 内，所以等腰梯形DECB 的外接圆的半径即为四棱锥A —DECB 的外接球的半径．以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则易得C (2，0)，E ⎝⎛⎫22，22，因为四边形DECB 为等腰梯形，所以其外接圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，设其坐标为P (0，y )，则由|PC |＝|PE |得 (2)2＋(－y )2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫22－y 2， 解得y ＝－22， 所以等腰梯形DECB 的外接圆的半径r ＝|PC |＝(2)2＋⎝⎛⎭⎫222＝102， 所以四棱锥A —DECB 的外接球的表面积为4πr 2＝10π.17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎡⎦⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．答案 312π 解+析 如图1，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图2中，由旋转的性质易得点A 在点O 为圆心，以AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE垂直于圆O所在的平面，设当A运动到点A1处时，CA1＝132，当A运动到点A2处时，CA2＝102，则有CE⊥EA1，CE⊥EA2，则易得EA1＝32，EA2＝62，则易得△OEA2是以O为直角顶点的等腰直角三角形，在△OEA1中，由余弦定理得cos∠EOA1＝－12，所以∠EOA1＝120°，所以∠A1OA2＝30°，所以点A所形成的轨迹为半径为OA＝32，圆心角为∠A1OA2＝30°的圆弧，所以运动轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.。
压轴小题突破练(3)1．如图，过双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)的左焦点F(－c,0）(c ＞0），作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若错误!＝2错误!－错误!，则双曲线的离心率为（）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!答案C解析由错误!＝2错误!－错误!,得错误!＝错误!（错误!＋错误!)，可知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，｜PF′|＝2|OE|＝a,又∵|PF｜－｜PF′|＝2a，∴|PF｜＝3a，∵E为切点，∴OE⊥PF，PF′⊥PF,∴|PF｜2＋｜PF′｜2＝｜FF′|2，∴10a2＝4c2，e＝10 2.2．在△ABC中，BC＝7,AC＝6，cos C＝错误!。
若动点P满足错误!＝(1－λ）错误!＋错误!错误!（λ∈R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（）A．5 B．10C．2错误!D．4错误!答案A解析设错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＋（1－λ）错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!，则B，P,D三点共线，故P点的轨迹为直线BD.则点P的轨迹与直线BC，AC围成的封闭区域为△BCD及其内部区域．因为sin C＝1－cos2C＝错误!，则S△BCD＝错误!BC·CD·sin C＝错误!×7×错误!×6×错误!＝5。
3．已知向量a，b满足|a|＝2错误!｜b|≠0,且关于x的函数f(x）＝2x3＋3|a｜x2＋6a·b x＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案C解析求导可得f′（x)＝6x2＋6｜a｜x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x3＋3｜a｜x2＋6a·b x＋7在实数集R上单调递增，可得f′（x）＝6x2＋6|a｜x＋6a·b≥0在R上恒成立，即x2＋｜a｜x＋a·b≥0恒成立，故判别式Δ＝a2－4a·b≤0恒成立，再由｜a｜＝2错误!｜b｜≠0，可得8｜b|2≤82|b|2cos〈a，b〉,∴cos〈a,b〉≥错误!,又∵〈a，b〉∈[0，π］，∴〈a，b〉∈错误!.4．设A，B分别为双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A，B的一点,设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则错误!＋错误!＋错误!＋2ln错误!＋2ln错误!取得最小值时,双曲线的离心率为（)A.错误!B。
19年浙江压轴题1.（杭州）（本题满分12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA. （1）若∠BAC=60°，①求证：OD=12 OA.②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC ＜∠ACB，求证：m-n+2=0.第23题图2．（宁波）（14分）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．（3）设＝x，tan∠DAE＝y．①求y关于x的函数表达式；②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．3.（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．4.(湖州)（12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．5.（绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点,M N 分别在边AB ，CD 上，点,E F 分别在BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记:k MN EF =.（1）若:a b 的值是1，当MN EF ⊥时，求k 的值.（2）若:a b 的值是12，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值是3，当点N 是矩形的顶点，60MPE ∠=︒，3MP EF PE ==时，求:a b 的值.6.（金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 。
压轴小题突破练(2)1．在四面体ABCD 中，二面角A —BC —D 为60°，点P 为直线BC 上一动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则( )A ．θ的最大值为60°B ．θ的最小值为60°C ．θ的最大值为30°D ．θ的最小值为30°答案 A解析 过A 作AH ⊥平面BCD 于点H ，AG ⊥BC 于点G ，连接PH ，GH ，则易知∠AGH 为二面角A —BC —D 的平面角，即∠AGH ＝60°，∠APH 为PA 与平面BCD 所成的角，则tan∠APH ＝AHPH.因为AH 为定长，所以当PH 取得最小值时，∠APH 取得最大值，易知当点P 与点G 重合时，PH 取得最小值，所以θmax＝∠AGH ＝60°，故选A.2．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是AB ，AD ，AA 1的中点，又P ，Q 分别在线段A 1B 1，A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x,0＜x ＜1，设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，则下列结论中不成立的是( )A ．l ∥平面ABCDB ．l ⊥ACC ．平面MEF 与平面MPQ 垂直D ．当x 变化时，l 是定直线 答案 C解析 连接BD ，A 1D ，A 1B ，AC 1，显然平面MEF ∥平面A 1DB ， 设A 1B ∩MP ＝H ，A 1D ∩QM ＝G ， 连接HG ，则l ∥HG ， 又HG ∥平面ABCD ， 所以l ∥平面ABCD ，AC ⊥BD . 又HG ∥l ∥BD ，故AC ⊥l ，当P ，Q 分别与B 1，D 1重合时，平面MEF ⊥平面MPQ ， 又0＜x ＜1，故平面MEF 与平面MPQ 不垂直． 无论x 怎么变化，l 是过M 点与EF 平行的定直线．3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是A 1C 1上任意一点，记平面PAB ，平面PBC 与下底面所成的二面角分别为α，β，则tan(α＋β)的最小值为( ) A ．－23B ．－34C ．－43D ．－32答案 C解析 如图，作PP 1⊥AC ，易知，PP 1⊥底面ABCD ， 作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，连接MP 1，NP 1， 易证得∠PMP 1＝α，∠PNP 1＝β. 设MP 1＝x ，则NP 1＝1－x ， ∴tan α＝1x ，tan β＝11－x，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1x ＋11－x 1－1x (1－x )＝1－x 2＋x －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34.∵0≤x ≤1，∴当x ＝12时，tan(α＋β)有最小值－43，故选C.4．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是B 1C 1的中点，若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且GH ＝3，若点Q 是棱BB 1上一个动点，则AQ ＋D 1Q 的最小值为( )A ．6B ．310C ．62＋ 2D ．61＋ 2答案 C解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，内切球球心为O ， 由题意可得内切球半径r ＝a2.OE ＝OF ＝22a ，EF ＝EB 2＋BB 21＋B 1F 2＝62a ， 取EF 中点P ，则OP ＝OE 2－EP 2＝24a ， 所以cos∠POG ＝OP OG＝24a a2＝22， 所以∠GOH ＝π2，OG ＝a 2＝32，a ＝32，把平面DD 1B 1B 与平面AA 1B 1B 展成一个平面， 则A ，Q ，D 1共线时AQ ＋D 1Q 最小，最小值为D 1A ＝()2a ＋a 2＋a 2＝()6＋322＋()322＝62＋ 2.5．已知三棱锥D －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9π C.25π3D.121π9答案 D解析 由AB ＝BC ＝2，AC ＝22， 可得AB 2＋BC 2＝AC 2.所以△ABC 为直角三角形，且AC 为斜边． 所以过△ABC 的截面圆的圆心为斜边AC 的中点E .当DE ⊥平面ABC ，且球心O 在DE 上时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值． 因为三棱锥D －ABC 体积的最大值为2， 所以13S △ABC ·DE ＝2，即13×12×22×DE ＝2，解得DE ＝3. 设球的半径为R ，则AE 2＋OE 2＝AO 2， 即(2)2＋(3－R )2＝R 2，解得R ＝116.所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1162＝121π9. 6．如图，AB ∩α＝B ，直线AB 与平面α所成的角为75°，点A 是直线AB 上一定点，动直线AP 与平面α交于点P ，且满足∠PAB ＝45°，则点P 在平面α内的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．抛物线的一部分C ．圆D ．椭圆答案 D解析 用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足∠PAB ＝45°，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为75°，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P 的轨迹是椭圆．7．在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 体积的最大值是( ) A ．36 B ．12 3 C ．24 D ．18 3答案 B解析 ∵AD ⊥平面D 1DCC 1，∴AD ⊥DP ，同理BC ⊥平面D 1DCC 1，则BC ⊥CP ，∠APD ＝∠MPC ， ∴△PAD ∽△PMC ，∴PD PC ＝AD MC， ∵AD ＝2MC ，∴PD ＝2PC ，下面研究点P 在面DCC 1D 1内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D (0,0)，C (6,0)，C 1(6,6)，设P (x ，y )，∵PD ＝2PC ，∴x 2＋y 2＝2(x －6)2＋y 2，化简得(x －8)2＋y 2＝16(4≤x ≤6)，该圆与CC 1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6,23)，三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积为18，要使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，当P 点坐标为(6,23)时，CP ＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥P －BCD 的体积V ＝13×18×23＝123，故选B.8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使∠A ′DC ＝π2，则下列结论不正确的是( )A ．A ′B ⊥CD B ．∠BA ′C ＝π2C ．二面角A ′－BC －D 的平面角的正切值为 2 D ．异面直线A ′C 与BD 所成角的大小为π3答案 C解析 因为CD ⊥BD 且A ′D ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，因此CD ⊥A ′B ，故A 正确；因为A ′B ⊥CD ，A ′D ⊥A ′B ，所以A ′B ⊥平面A ′CD ，因此A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝π2，故B正确；取BD 的中点E ，连接A ′E ，易知平面A ′BD ⊥平面BCD ，且平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，A ′E ⊥BD ，所以A ′E ⊥平面BCD .过E 作EF ⊥BC 交BC 于点F ，连接A ′F ，所以∠A ′FE为二面角A ′－BC －D 的平面角，所以tan∠A ′FE ＝3，故C 错．取A ′B ，BC ，A ′D 的中点分别为M ，N ，P ，连接MN ，MP ，NP ，则异面直线A ′C 与BD 所成的角即为∠NMP (或其补角)，易知MP ＝12BD ＝22，MN ＝12A ′C ＝22，易求得NP ＝22，故△MNP 为等边三角形，所以异面直线A ′C 与BD 所成角的大小为π3，故D 正确．9．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP ＝x ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f (x )，则函数f (x )的图象最有可能的是( )答案 B解析 球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：①当x ＝1时；②当x ＝12时；③当x ＝2时．①当x ＝1时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1＝3π2，且为函数f (x )的最大值；②当x ＝12时，以A 为球心，12为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为①中的一半；③当x ＝2时，以A 为球心，2为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1＝3π2，对照选项可得B 正确．10．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将△ABF 沿BF 所在的直线进行翻折，将△CDE 沿DE 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中( ) A ．点A 与点C 在某一位置可能重合 B ．点A 与点C 的最大距离为3AB C ．直线AB 与直线CD 可能垂直 D ．直线AF 与直线CE 可能垂直 答案 D解析 若点A 与点C 在某一位置重合，则在△ABE 中，BE ＝AE ＝12AB ，即有BE ＋AE ＝AB ，则BE ，AE ，AB 三边不构成三角形，故A 错．在正方形ABCD 中，设AC 与BF ，ED 分别交于点M ，N ，则AM ＋NM ＋NC ＝2AB ，在翻折的过程中，总有AC ≤AM ＋MC ≤AM ＋MN ＋NC ＝2AB ，故B错．因为BF ∥DE ，∠ABF ≠∠CED ，所以在翻折的过程中，AB 与CE 不平行，过点B 作BP ∥CE ，且BP ＝CE ，则直线BP ，BA 是相交直线，由四边形BECP 为平行四边形得CP ∥BE ，且CP ＝BE ，从而有CP ∥DF ，且CP ＝DF ，所以四边形CDFP 为平行四边形，故FP ∥CD ，故若AB ⊥CD ，则FP ⊥AB ，又CD ⊥CE ，故FP ⊥PB ，从而有FP ⊥平面ABP ，所以FP ⊥AP ，则在△FPA 中，AF >FP ，但AF ＝12CD ＝12FP ，矛盾，故C 错．由上知若直线AF 与直线CE 垂直，则AF ⊥BP ，又FP ⊥PB ，从而有BP ⊥平面APF ，所以BP ⊥AP ，故只需AP ＝32AB 即可，即D 正确，故选D. 11．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝π2，点M 在△ABC 外，且MB ＝1，MC ＝2，则MA 的最大值是________．答案 22＋1解析 如图，以C 为原点，MC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则M (－2,0)．设A (x ，y )，则由AC ⊥BC 且AC ＝BC 可得B (－y ，x )，又MB ＝1，则(－y ＋2)2＋x 2＝1，即知点A 的轨迹是以P (0,2)为圆心，1为半径为圆，则AM ≤MP ＋PA ＝22＋1.12．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′，DD ′分别交于M ，N 两点，设BM ＝x ，x ∈[0,1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长L ＝f (x )，x ∈[0,1]是单调函数； ④四棱锥C ′－MENF 的体积V ＝h (x )为常数． 以上结论正确的是______________． 答案 ①②④解析 ①因为EF ⊥BB ′，EF ⊥BD ，BB ′∩BD ＝B ， 所以EF ⊥平面BDD ′B ′，所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′成立；②因为AC ∥EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立； ③因为MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋1， f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1， 所以f (x )在[0,1]上不是单调函数；④V C ′－MENF ＝V F －MC ′E ＋V F －C ′NE ＝13·14＋13·14＝16，故h (x )为常数．13．正四面体ABCD 的棱长为6，其中AB ∥平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，当正四面体以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影长的取值范围是________． 答案 [3,32]解析 如图，取AC 的中点G ，连接GE ，GF ，EF ，结合已知可得GF ∥AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE ∥CD ，∴GE ⊥GF ，∴EF 2＝GE 2＋GF 2， 当四面体绕AB 旋转时，∵GF ∥平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然当CD 与平面α垂直时，GE 在平面α上的射影长最短为0， 此时EF 在平面α上射影E 1F 1的长取得最小值3.当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长取得最大值3，E 1F 1取得最大值32，所以射影E 1F 1长度的取值范围是[3，32]．14．如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为__________．答案26解析 ∵AD ⊥平面ABC ， ∴DA ⊥AB ，AD ⊥BC ，∵AE ⊥DB ，又AD ＝AB ＝2，∴DE ＝ 2. 又∵BC ⊥AC ，AC ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∴平面BCD ⊥平面ACD ，∵AF ⊥DC ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，AF ⊂平面ACD ， ∴AF ⊥平面BCD ，∴AF ⊥BD ，又AE ⊥BD ，AF ∩AE ＝A ， ∴BD ⊥平面AEF ，由AF ⊥EF ，得AF 2＋EF 2＝AE 2＝2≥2AF ·EF ，即AF ·EF ≤1， ∴S △AEF ≤12，当且仅当AF ＝EF ＝1时“＝”成立，∴三棱锥D －AEF 体积的最大值为13×2×12＝26.15.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案66解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306， 因此可设D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α，－63，306sin α， 则BD ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′—→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′—→·n |BD ′—→|·|n |＝639＋5cos α， 所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66. 16．已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角(如图)，则四棱锥A —DECB 的外接球的表面积为________．答案 10π解析 因为△ADE 为等腰直角三角形，所以△ADE 的外接圆的圆心在DE 上，即平面ADE 截四棱锥A —DECB 的外接球所得的截面圆的圆心在DE 上，即在平面DECB 内，所以等腰梯形DECB 的外接圆的半径即为四棱锥A —DECB 的外接球的半径．以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则易得C (2，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22， 因为四边形DECB 为等腰梯形，所以其外接圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，设其坐标为P (0，y )，则由|PC |＝|PE |得(2)2＋(－y )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－y 2， 解得y ＝－22， 所以等腰梯形DECB 的外接圆的半径r ＝|PC |＝(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝102， 所以四棱锥A —DECB 的外接球的表面积为4πr 2＝10π.17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎢⎡⎦⎥⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．答案 312π 解析 如图1，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图2中，由旋转的性质易得点A 在点O 为圆心，以AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132， 当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102， 则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62， 则易得△OEA 2是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理得cos∠EOA 1＝－12， 所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧， 所以运动轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.。
2019年浙江省高考数学压轴试题xx浙江省高考压轴卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、已知全集,集合,,则A、B、、D、2、已知双曲线（）的离心率为，则的值为（）A、B、、D、3、《九算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为4、若复数满足：（是虚数单位），则复数的虚部是（）A、B、、D、5、函数在的图像大致为（）、 AB D6、已知平面与两条不重合的直线，则“，且”是“”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件、充分必要条件D、既不充分也不必要条件7、的展开式中的系数为（）A、4B、-4、6D、-68、4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动、为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查、根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是、现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为、若每次抽取的结果是相互独立的，则期望和方差分别是（）、A、，B、，、，D、，9、已知A，B，是球的球面上三点，且为该球面上的动点，球心到平面AB的距离为球半径的一半，则三棱锥D?AB体积的最大值为（）、A、B、、D、10、设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（）A、-343B、-324、-320D、-243 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分、11、《九算术》第七“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款、问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元、12、已知满足条件则的最大值是_____，原点到点的距离的最小值是_____、13、在中，若，三角形的面积，则________；三角形外接圆的半径为________、14、已知向量a,b满足，则的最小值是___________，最大值是______、15、已知实数，若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为____________、16、某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A、种B、种、种D、种17、已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________、三、解答题：本大题共5小题，共74分、解答应写出字说明、证明过程或演算步骤、18、设函数，其中，已知、 (1)求； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值、19、已知等差数列的前项和为，若、 (1)求的值； (2)若数列满足，求数列的前项和、20、如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点、（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值、21、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5、（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由、22、已知函数、（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围、 xx浙江省高考压轴卷数学（rd版含解析）1、【答案】 D【解析】∵，，∴，∴、选D、2、【答案】 B【解析】因为，所以，解得，故选B、3、【答案】 D【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积，故选：D、4、【答案】 B【解析】,所以复数的虚部是,选B、5、【答案】 D【解析】设，由，可排除A（小于），B（从趋势上超过）；又时，，，所以在上不是单调函数，排除、故选D、6、【答案】 A【解析】若，则必有，但时，直线与平面可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A、7、【答案】 B【解析】，所以的项为，故的系数为，故选B、8、【答案】 B【解析】由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率、从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X、若每次抽取的结果是相互独立的，所以 X的分布列为均值，方差、9、【答案】 D【解析】如图，在△AB中，∵，∴由余弦定理可得，∴、设△AB 外接圆′的半径为r，则、设球的半径为R，连接′，B′，B，则，解得、由图可知，当点D到平面AB的距离为时，三棱锥D?AB的体积最大，∴三棱锥D?AB体积的最大值为、10、【答案】 A【解析】设等差数列的公差为，∵，∴解得∴，设, 当时，,当时，,故的最小值为、故选：A、11、【答案】【解析】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元、即共有7人，商品价格为53元、12、【答案】【解析】不等式组对应的可行域如下：当动直线过时，有最大值，又，故的最大值为、原点到的距离的最小值即为，故分别填、13、【答案】 22【解析】，解得=2、∴，解得，∴，解得R=2、故答案为：2;2、14、【答案】 4【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是、15、【答案】【解析】原问题等价于有三个不同的实根，即与有三个不同的交点，当时，为增函数，在处取得最小值为，与只有一个交点、当时，，根据复合函数的单调性，其在上先减后增、所以，要有三个不同交点，则需，解得、16、【答案】 A【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；则符合题意要求的编排方法有种；故选A、17、【答案】【解析】设，由，得，，，，∵，∴，即，∴，整理得，，，，∵，∴，即、18、【答案】（1）；（2）、【解析】(1)因为，所以由题设知，所以，所以、又，所以、 (2)由(1)得，所以、因为，所以、当，即时，取得最小值、19、【答案】（1）5；（2）【解析】(1)由已知得，且，设数列的公差为d，则有由，得即，、 (2)由(1)知、设数列的前项和为，则，① ，② ①－②，得，20、【答案】（1）详见解析（2）【解析】(1)证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形。
2019年浙江省考试院压轴题分析自2017年浙江省新高考改革以来，浙江省高考数学命题趋势和方向在发生明显变化，另外一个值得关注的就是学考。
首先来说一下学考数学格局，学考三个压轴问题，近两年来出题水平非常高，难度、品质不亚于高考压轴问题。
特别提醒，接下来4月份的学考数学试卷，将会影射2019年6月高考命题方向和趋势，大家多留意观察一下，方便备考.下面来看一下2019年1月学考压轴题【题面】已知函数2212)(a x a x x x f ---+=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.分析：本题是常见函数带参恒成立问题，同时带有根号，处理方法较多，解题视角比较开阔，对数学思想方法和代数计算能力要求较高，以下是对本题的三种思考：一、题中x 与a 两个变量，通常情况把x 看做变量，a 看做参数，本题可把a 看做变量，x 看做参数21641221641222-++--≤≤-++--x x x a x x x （此法也可理解为全参变分离）构造216412)(2-++--=x x x x g ，简单可判断)(x g 单调递减构造216412)(2-++--=x x x x h ，可简单判断)(x h 单调递增故有12≤≤-a二、必要条件探路证其必要性，半参变分离证明其必要性首先采用必要条件探路缩小a 的范围，可知0)1(≥f ，可得12≤≤-a 2212a x a x x +-≥+①当10≤<a 时，上式显然成立②当02≤≤-a 时，上式也显然成立综上所述：12≤≤-a 三、必要条件探路求证其必要性，换元求导证明其充分性首先采用必要条件探路缩小a 的范围，可知0)1(≥f ，可得12≤≤-a 设112≥=-t x ，则212+=t x 题意可知04344224≥-+-+a at t t 恒成立令2244344)(a at t t t h -+-+=a t t t h 484)(3-+='，0812)(2>+=''t t h )(t h '单调递增，0412)1()(>-='≥'a h t h )(t h 单调增，0448)1()(2≥--=≥a a h t h 点评：函数问题的典型代表，极具数学的生命力，经典传神.【问题思考】设R a ∈，已知函数ax x x x x x f +-++=11)(22（ⅰ）若64)(-≥x x f 恒成立，求a 的范围.（ⅱ）设R b ∈，若关于x 的方程8)(-=b x f 有实数解，求22b a +的最小值.。
2019年浙江省高考压轴卷 数学（文）试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U=R ，M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|x ＜1}，那么M ∪N=（ ） A ．{x|﹣2≤x ＜1}B ．{x|﹣2＜x ＜1}C ．{x|x ＜﹣2}D ．{x|x ≤2}2.设a ，b +∈R ，则“1a b ->”是“221a b ->”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 34.若将函数f （x ）=sin2x+cos2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（ ） A ．B ．C ．D ．5.设数列{a n }满足：a 1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2016的值为（ ）A ．﹣B ．﹣1C ．D ．16.设实数x ，y 满足约束条件，则z=的取值范围是（ ）A ．[，1]B ．[，]C ．[，]D ．[，]7.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2⨯2列联表进行独立性检验，经计算K 2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）A. 0．1％B. 1％C. 99％D. 99．9％8.函数2()1xf xx=-的图象大致是二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9. 已知直线12:10,:10l ax y l x y-+=++=,12//l l,则a的值为, 直线12l l与间的距离为 .10.钝角．．ABC∆的面积为12，1,AB BC==则角=B ,AC= .11.设等差数列}{na的前n项和为n S，若12,293==SS，则数列}{na的公差=d；=12S．12.若实数x、y满足20,,,x yy xy x b-≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y=+的最小值为3，则实数b的值为。
10＋7分项练9 圆锥曲线1．设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则△AFB 周长的取值范围是( ) A.()2，4 B.()6，4＋23 C.()6，8 D.()8，12答案 C解析 根据椭圆对称性得△AFB 的周长为|AF |＋|AF ′|＋|AB |＝2a ＋|AB |＝4＋|AB |(F ′为右焦点)， 由y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得x 2A ＝41＋4k 2，∴|AB |＝1＋k 2·2|x A |＝41＋k 21＋4k 2＝414＋341＋4k 2∈(2,4)(k ≠0)， 即△AFB 周长的取值范围是()4＋2，4＋4＝()6，8.2．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±233xD ．y ＝±32x答案 A解析 由双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的两焦点之间的距离为4，可得2c ＝4，所以c ＝2，又由c 2＝a 2＋b 2，即a 2＋1＝22，解得a ＝3， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x .3．设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B.153 C.163 D ．3答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，3x ＋4y ＋12＝0，①得3y 2＋16y ＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故①无解， 所以直线3x ＋4y ＋12＝0与抛物线是相离的． 由d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1，而d 1＋1为P 到准线x ＝－1的距离， 故d 1＋1为P 到焦点F (1,0)的距离，从而d 1＋1＋d 2的最小值为焦点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离||1×3＋0×4＋1232＋42＝3，故d 1＋d 2的最小值为2.4．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( ) A ．16 3 B ．12 3 C ．4 3 D ．3答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ 为矩形， 可得|PQ |＝|MN |，从而得到圆心F 到准线的距离与到MN 的距离是相等的， 所以M 点的横坐标为3，代入抛物线方程， 设M 为x 轴上方的交点，从而求得M (3,23)，N (3，－23)， 所以|MN |＝43，||NP ＝4，从而求得四边形MNPQ 的面积为S ＝4×43＝16 3.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径的圆M 与双曲线C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，若AF 1与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为( ) A.2＋362B.2＋62 C.32＋62D.32＋262答案 C解析 根据题意，有|AM |＝c 2，||MF 1＝3c2，因为AF 1与圆M 相切，所以∠F 1AM ＝π2，所以由勾股定理可得||AF 1＝2c ， 所以cos ∠F 1MA ＝|AM |||F 1M ＝13， 所以cos ∠AMF 2＝－13，且|MF 2|＝c2，由余弦定理可求得||AF 2＝c 24＋c 24－2·c 2·c 2·⎝⎛⎭⎫－13＝63c ， 所以e ＝2c2a＝2c2c －6c3＝32＋62.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若|MF 1|－|MF 2|＝2b ，该双曲线的离心率为e ，则e 2等于( ) A ．2 B ．3 C.3＋222D.5＋12答案 D解析 以线段F 1F 2 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， 双曲线经过第一象限的渐近线方程为y ＝ba x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b a x ，求得M (a ，b )，因为||MF 1||－MF 2＝2b <2c ，所以M (a ，b )在双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)上，所以a 2b 2－b 2a 2＝1，所以a 2c 2－a 2－c 2－a 2a 2＝1，化简得e 4－e 2－1＝0， 由求根公式得e 2＝5＋12(负值舍去)．7．已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.352－1B.332－1C ．23－1 D.10－1答案 A解析 设抛物线上点的坐标为P (m 2，m )． 圆心⎝⎛⎭⎫－12，4与抛物线上的点的距离的平方 d 2＝⎝⎛⎭⎫m 2＋122＋(m －4)2＝m 4＋2m 2－8m ＋654. 令f (m )＝m 4＋2m 2－8m ＋654，则f ′(m )＝4(m －1)(m 2＋m ＋2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为f (1)＝454，由几何关系可得|PQ |的最小值为454－1＝352－1. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆M ：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 2，直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2(k ≠0)，自上而下顺次与上述两曲线交于A 1，A 2，A 3，A 4四点，则⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4| 等于( )A.1pB.2p C ．p D.p2 答案 B解析 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 2的圆心为抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0，半径为p . 直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2过抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0. 设A 2(x 1，y 1)，A 4(x 2，y 2)． 不妨设k <0，则x 1<p 2，x 2>p2.|A 1A 2|＝|A 1F |－|A 2F |＝p －⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＝p2－x 1， |A 3A 4|＝|A 4F |－|A 3F |＝⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2－p ＝x 2－p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，所以x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24.所以⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1p 2－x 1－1x 2－p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－p 2－⎝⎛⎭⎫p2－x 1⎝⎛⎭⎫p 2－x 1⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 2－p p 2(x 1＋x 2)－x 1x 2－p 24 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪p (k 2＋2)k 2－p p 2×p (k 2＋2)k 2－p 24－p 24＝2p . 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，且抛物线C 上存在点M 与x 轴上一点N (7,0)关于直线l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．5 C.112 D ．6答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ′：x ＝－p2，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，过点A ，B 作AP ⊥l ′，BQ ⊥l ′，垂足分别为P ，Q ， 过点B 作BD ⊥AP 交AP 于点D ， 则|AP |＝|AF |，|BQ |＝|BF |， ∵|AF |＝3|BF |＝34|AB |，∴|AP |－|BQ |＝|AD | ＝|AF |－|BF |＝12|AB |，在Rt △ABD 中，由|AD |＝12|AB |，可得∠BAD ＝60°，∵AP ∥x 轴，∴∠BAD ＝∠AFx ＝60°， ∴k AB ＝tan 60°＝3，直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p2， 设M (x M ，y M )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y M x M －7＝－33，y M2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x M＋72－p 2，可得x M ＝34p －72，y M ＝32⎝⎛⎭⎫7－p 2， 代入抛物线的方程化简可得3p 2－4p －84＝0，解得p ＝6(负值舍去)， 故抛物线的焦点到准线的距离为6.10．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2， 半焦距为c ，P 为第一象限内的公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，所以4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π4，所以4c 2＝(2－2)a 21＋(2＋2)a 22，所以4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21×2＋2e 22＝22e 1e 2， 所以e 1e 2≥22，故选B.11．已知方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，则m 的取值范围为________________．若表示椭圆，则m 的取值范围为________________． 答案 (－∞，0)∪(2，＋∞) (0,1)∪(1,2) 解析 若mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线， 则m (2－m )<0，解得m <0或m >2.若mx 2＋(2－m )y 2＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2－m >0，m ≠2－m ，解得0<m <1或1<m <2.12．若直线(a ＋1)x －2y ＝0与直线x －ay ＝1互相平行，则实数a ＝__________，若这两条直线互相垂直，则a ＝________. 答案 －2或1 －13解析 由直线(a ＋1)x －2y ＝0与直线x －ay ＝1互相平行，得(a ＋1)×(－a )－(－2)×1＝0，解得a ＝－2或a ＝1.由直线(a ＋1)x －2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直得(a ＋1)×1＋(－2)×(－a )＝0，解得a ＝－13.13．(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知双曲线的方程为16x 2－9y 2＝144，则该双曲线的实轴长为________，离心率为________． 答案 6 53解析 将双曲线方程化成标准方程为x 29－y 216＝1，则半实轴长a ＝3，半虚轴长b ＝4，半焦距c ＝a 2＋b 2＝5，所以该双曲线的实轴长为2a ＝6，离心率为e ＝c a ＝53.14．(2018·浙江省台州中学统考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则a ＝________，以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为________． 答案 142解析 抛物线y ＝ax 2－1可以看作是由抛物线y ＝ax 2向下平移1个单位长度得到的，因为抛物线y ＝ax 2－1的焦点为坐标原点，所以抛物线y ＝ax 2，即x 2＝1a y 的焦点为(0,1)，则14a ＝1，解得a ＝14，则抛物线方程为y ＝14x 2－1，易得其与坐标轴的交点分别为(2,0)，(－2,0)，(0，－1)，构成的三角形的面积为12×1×(2＋2)＝2.15．(2018·温州普通高中模拟)已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，A (－5,0)，B (b,0)(b ≠－5)，若|P A ||PB |＝λ(λ为定值)，则λb ＝________. 答案 －1解析 因为点P 在单位圆上， 则不妨设其坐标为P (cos θ，sin θ)，则|P A |2|PB |2＝(cos θ＋5)2＋sin 2θ(cos θ－b )2＋sin 2θ＝1＋10cos θ＋251－2b cos θ＋b 2＝λ2， 则1＋10cos θ＋25＝λ2(1－2b cos θ＋b 2)， 即1－λ2＋(10＋2bλ2)cos θ＋25－λ2b 2＝0， 因为该等式对任意θ∈[0,2π)都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧10＋2bλ2＝0，1－λ2＋25－λ2b 2＝0，又b ≠－5，λ>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，b ＝－15，所以λb ＝－1.16．(2018·浙江省名校研究联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F .过焦点的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，点P 为MN 的中点，则直线OP 的斜率的最大值为________． 答案22解析 当直线l 的斜率不存在时，点P 与焦点F 重合，此时k OP ＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，k ≠0，与抛物线方程联立，消去y 整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x M ＋x N ＝k 2p ＋2p k 2，xM ·x N ＝p 24，则y M ＋y N ＝k ⎝⎛⎭⎫x M －p 2＋k ⎝⎛⎭⎫x N －p2 ＝k (x M ＋x N －p )＝2pk，则|k OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y M ＋y N x M ＋x N ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k k 2＋2＝2|k |＋2|k |≤22|k |·2|k |＝22， 当且仅当k ＝±2时，等号成立， 所以k OP 的最大值为22. 17．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 1：y ＝－12x ，直线l 2：y ＝12x ，P 为椭圆上任意一点，过P 作PM ∥l 1且与直线l 2交于点M ，作PN ∥l 2且与l 1交于点N ，若|PM |2＋|PN |2为定值，则椭圆的离心率为________． 答案32解析 设|PM |2＋|PN |2＝t (t >0)， M ⎝⎛⎭⎫x 1，12x 1，N ⎝⎛⎭⎫x 2，－12x 2，P (x ，y )． 因为四边形PMON 为平行四边形，所以|PM |2＋|PN |2＝|ON |2＋|OM |2＝54(x 21＋x 22)＝t . 因为OP →＝OM →＋ON →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2，12x 1－12x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2，y ＝12x 1－12x 2，则x 2＋4y 2＝2(x 21＋x 22)＝85t (t >0)， 此方程为椭圆方程，即x 28t 5＋y 22t 5＝1，则椭圆的离心率e ＝8t 5－2t 58t 5＝32.。
2019年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. B. C. D.2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A.B. 2C.D.4.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B.C. 6D.8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则c=______；三角形外接圆的半径为______．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，，且∈．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足∈，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数f（x）=-x2+ax-ln x（a∈R）．（1）若函数f（x）是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，3）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC-A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.【答案】B【解析】解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z 的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=y=2x2-e|x|，∴f（-x）=2（-x）2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8-e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2-e x，∴f′（x）=4x-e x=0有解，故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．6.【答案】A【解析】解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X的分布列为均值，方差．故选：B．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】D【解析】解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cosA==-，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．12.【答案】7 53【解析】解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.【答案】2 2【解析】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故答案为：2；2由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】（-∞，-2]【解析】解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，0）上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.【答案】【解析】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2…（2分）由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4…（6分）（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴ ．设数列{（a n+b）b n}的前n项和为T n∴ ①②①②，得==∴∈…（12分）【解析】（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，，，，，，，则，，，，，，，，，设AC的中点为E，则，，，故就是面PAC的法向量，，，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．⇒⇒，，，，，．＜，＞，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）【解析】（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.【答案】解：（1）＞，∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，（3分）∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对，恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴（7分）（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，（9分），则△＞＜＜＞＞，得＜或＞＜＜＜，即＜＜．（12分）【解析】（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．说明导函数由两个零点，列出不等式组求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
