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2.1 模糊集的表示方法
• 如前所述, 模糊集合本质上是论域X到[0, 1]的函 数 , 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本 的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： • 1. 序偶表示法 • A={(x, A(x)|xX}. • 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中 的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经 某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 (“ 帅 度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则 以此评价构成的模糊集合A记为: • A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
超男
• 论域 X 上的模糊集 A 与 B 称为是相等的 , 如果 AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 3. 模糊集的并 • 首先考查经典集合的并。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
• 易证AB(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x).
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A 与 B 的并 ( 记作 A∪B) 是 X 上的一个模糊集 , 其 隶属函数为 • (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
2.2 模糊集上运算(定义)
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只
取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合).
A 0 /1 0 / 2 0.3/ 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3/ 8 0 / 9 0 /10 或A 0.3/ 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3/ 8 或A (0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)
2.1 模糊集的表示方法
• 前述的模糊集“帅哥”A可记为: • A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4. • 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表 示分式求和运算 , 而只是描述 A 中有哪些元素 , 以及各个元素的隶属度值。
• 还可使用形式上 符号, 从而可用这种方法表 示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
1 B(x) A(x)
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 例, 论域X={x1, x2, x3, x4}时, X上的模糊集A为: • A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). • X上的模糊集B为: • B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). • 则根据定义有BA. 帅哥
A
xX
A( x) / x, 或A
xX
A( x) x
2.1 模糊集的表示方法
• 模糊集“年轻”A可表示为
1 A x[0,25] x x 25 2 1 [1 ( ) ] 5 x(25,100) x 0 x[100,200] x
2.1 模糊集的表示方法
• 注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表 示法中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量 表示法中, 应该写出全部分量。 • 例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“几 个”A可表示为：
• 4. 模糊集的交 • 非空论域 X 上的两个模糊集合 A 与 B 的交 ( 记作 A∩B)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 • (A∩B)(x)=min{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∩B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 5. 模糊集的补 • 非空论域 X 上的一个模糊集合 A 的补 ( 记作 A 或 AC)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 • A(x)=1A(x), xX.
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般 情形 , 即对任意指标集 I, 若 Ai 是 X 上的模糊集 , iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:
2.1 模糊集的表示方法
• • • • 2. 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表 示为向量A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
•
• • •
这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)[0,1], 称之为模糊向量。 3. Zadeh表示法 当论域X为有限集{x1, x2, …, xn}时, X上的一个 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn.
A( x ) / x ,
i 1 i i
n
A( xi ) xi i 1
2.1 模糊集的表示方法
• 此外, Zadeh还可使用积分符号表示模糊集, 这 种表示法适合于任何种类的论域 , 特别是无限
论域中的模糊集合的描述。与符号相同, 这里 对于任意论域X中的模糊集合A可记为:
的仅仅是一种符号表示, 并不意味着积分运算。
• 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函
数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 2. 模糊集的包含关系 • 首先考查经典集合包含关系的特征。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB当且仅当属于A的元素都属于B.
• 易证AB当且仅当对任意xX有A(x) B(x).
