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线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95• • • • • •C• 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
问题25 线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．【小试牛刀】设变量y x ,满足约束条件,且的最小值是20-,则实数=a ． 【答案】2±【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当经过点(2,2)A 时取得最小值20-,即,解得2a =±．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( )A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．【答案】D ．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即；也可看成是以(),Q a b 为圆心为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. (三)目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下,目标函数my x z +=的最大值大于2,则m 的取值范围为（ ）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【答案】B【小试牛刀】设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】B五、迁移运用1．【陕西省西安市高新一中2019届高三一模】若满足，且的最小值为，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．6．【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中】设，满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，7．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【解析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，由题意知A ，B 两点在直线上，所以解得a ＝－1，b ＝1.故选B.8.不等式组（1k >）所表示平面区域的面积为S ,则1kSk -的最小值等于（ ） A ．30 B ．32C ．34D ．36【答案】B【解析】,所以,当且仅当2k =时取等号,所以选B. 13.三个正数a,b,c 满足,,则ba的取值范围是（ ） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2] 【答案】A14.已知x ,y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]【答案】D ．【解析】当3s =时,对应的平面区域为阴影部分,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点C 时,直线的截距最大,此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)C ,代入y x z 23+=得7z =．当5s =时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点E 时,直线的截距最大,此时024x y x =⎧⎨+=⎩解得04x y =⎧⎨=⎩,即(0,4)E ,代入y x z 23+=得8z =．∴目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是78z ≤≤,即[7,8],选D ．15.已知y x ,满足约束条件,若恒成立,则实数k 的取值范围为 . 【答案】6≥k16．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数,x y满足若取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为__________．【答案】1【解析】z mx y=+可化为y mx z=-+,0m-<, z取得最小值,则直线l的截距最小,最优解有无数个,即l与边界AB重合,故1m=,故答案为1.22．若不等式组126axyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是_______．【答案】()3,5．。
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在线性规划中，我们需要确定一组决策变量的取值，以使得目标函数达到最大或者最小值，同时满足一组线性约束条件。
下面我将为您提供一个线性规划题目及其答案，以便更好地理解线性规划的应用。
题目：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为5元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个车间可供生产，车间1每天生产产品A需要2小时，产品B需要1小时；车间2每天生产产品A需要1小时，产品B需要3小时。
车间1每天可工作8小时，车间2每天可工作10小时。
公司希翼确定每一个车间生产的产品数量，以使得利润最大化。
解答：首先，我们需要定义决策变量。
设x1为车间1生产的产品A的数量，x2为车间1生产的产品B的数量，x3为车间2生产的产品A的数量，x4为车间2生产的产品B的数量。
其次，我们需要建立目标函数。
公司的利润可以表示为：Profit = 5x1 + 8x2 + 5x3 + 8x4。
然后，我们需要建立约束条件。
根据车间1和车间2的工作时间限制，我们可以得到以下两个约束条件：2x1 + x2 ≤ 8 （车间1的工作时间限制）x3 + 3x4 ≤ 10 （车间2的工作时间限制）此外，由于产品数量不能为负数，我们还需要添加非负约束条件：x1, x2, x3, x4 ≥ 0综上所述，我们得到了以下线性规划模型：Maximize Profit = 5x1 + 8x2 + 5x3 + 8x4Subject to:2x1 + x2 ≤ 8x3 + 3x4 ≤ 10x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们可以使用线性规划求解方法来求解该问题。
通过求解器或者手动计算，我们可以得到最优解：x1 = 2，x2 = 4，x3 = 1，x4 = 2利润最大化为：Profit = 5(2) + 8(4) + 5(1) + 8(2) = 58元。
通过以上求解过程，我们可以得出结论：为了使公司的利润最大化，车间1应该生产2个单位的产品A和4个单位的产品B，车间2应该生产1个单位的产品A和2个单位的产品B，此时公司的利润为58元。
高考数学指导：点击线性规划问题中的参数一、目标函数中的参数1. 目标函数中y 的系数为参数例1已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部和边界组成。
若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C点评：首先应根据图形特征确定最优解怎样才是无穷个，其次考虑最小值可能在何处取道。
2.目标函数中x 的系数为参数例2 已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________. 解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD ，其中A(3，1)，1,1AD AB k k ==-，目标函数z ax y =+（其中0a >）中的z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，则斜率应小于1AB k =-，即1a -<-，所以a 的取值范围为(1，+∞)。
点评：根据图形特征要确定怎样才能保证仅在点(3,1)出去的最大值。
3． 目标函数中的x 、y 的系数均含参数例 3 已知约束条件340210380x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数22(2)z a x a a y =+--取得最小值的最优解只有(2,2)，则a 的取值范围是（ ）分析：根据条件可作出可行域，根据图形确定最小值在何处取到，且最优解唯一。
高中必修5线性规划简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数：P =2x + y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.2. 可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域•3. 整点：坐标为整数的点叫做整点.4. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题•只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.5. 整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3. 平移直线y=—k x +P时，直线必须经过可行域.4. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：2* （2015•马軼山一模）设变壘X, y满足约束条件I < F则z=x-3y的罠小值（扎-2 S. ~4C+ -5 D. -8rj-v>03. （2015 -Lil东）已知筈，y满足约朿条件\ x-y<2，若沪立+y的最犬値为4,则沪］［炖A B3 Ei 2 C* ~ 2 D«—314x-H5j>S4* 东）若变重壯y炳足釣束条件3 l<x<J ,则沪睑+刘的最"卜信为（）乱年 C. 6 D.A. 42xp 三 IDx-2y<l4f 则克苧的最大值育()百x+j-4<01 H!lz-^2x+y 的最大值是（ ）绘1内・一1B ・一2C+ -5D ・1(C, 12D . ia。
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种优化问题求解方法，用于在给定的约束条件下，寻觅一个线性目标函数的最优解。
它在运筹学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，可以是实数或者非负实数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，通常表示为Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ≤b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题，确定需要优化的决策变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，建立目标函数，明确是最大化还是最小化。
3. 建立约束条件：根据问题给出的限制条件，建立约束条件，包括线性不等式约束和非负约束。
4. 确定问题类型：根据目标函数和约束条件的形式，确定线性规划问题的类型，如标准型、非标准型、混合整数规划等。
5. 模型求解：使用线性规划的求解方法，求得最优解。
四、解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域内寻觅目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划方法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
常见的方法包括分支定界法、割平面法等。
五、应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。
每一个工序的加工时间和利润都不相同。
现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。
请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件：a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2，满足约束条件：x1 + y1 ≤ 100，x2 + y2 ≤ 80，a1 + a2 ≤ 200，b1 + b2 ≤ 150，x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。
线性规划问题线性规划是一种常见的优化问题求解方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。
其数学表达形式为：找到一组变量的取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件下达到最大（最小）值。
线性规划问题的一般形式如下：目标函数：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n$约束条件：\[\begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &\leq b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &\leq b_2 \\&\vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &\leq b_m \\x_1, x_2, \ldots, x_n &\geq 0\end{align*}\]其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是决策变量，$c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是目标函数的系数，$a_{ij}$ 是约束条件中的系数，$b_1, b_2, \ldots,b_m$ 是约束条件的右侧常数。
为了解决线性规划问题，我们需要经历以下步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题的需求，明确需要求解的决策变量。
例如，在生产计划问题中，决策变量可能是生产的数量或分配的资源。
2. 建立数学模型：基于实际问题，将目标函数和约束条件转化为数学表达式。
确定好目标函数和约束条件之后，可以得到线性规划问题的标准形式。
3. 确定最优解的性质：线性规划问题有三种可能的解：无解、有界解和无界解。
通过分析约束条件的线性关系，可以判断问题的解空间。
4. 求解最优解：常用的线性规划求解方法有单纯形法、内点法、二阶锥规划等。
通过计算机算法，可以找到目标函数在满足约束条件下的最大（最小）值，并得到相应的决策变量取值。
线性规划经典例题引言概述：线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于解决最优化问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
目标函数通常表示为各项系数与决策变量的乘积之和。
1.2 约束条件：线性规划还包括一系列约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为线性方程或线性不等式。
1.3 决策变量：线性规划中的决策变量是需要优化的变量，其取值会影响目标函数的值。
2. 线性规划的解法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先将目标函数和约束条件转化为直线或线段，然后通过图形的相交点来确定最优解。
2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解为止。
2.3 整数规划：如果线性规划的决策变量需要取整数值，那么就属于整数规划问题。
整数规划通常比线性规划更难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
3. 线性规划的应用举例3.1 生产计划问题：假设一个工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间和利润不同。
线性规划可以帮助确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
3.2 资源分配问题：一个公司有多个项目需要投资，每个项目的投资回报率和所需资源不同。
线性规划可以帮助确定每个项目的投资金额，以最大化总回报率。
3.3 运输问题：假设有多个供应点和多个需求点，每个供应点和需求点之间的运输成本不同。
线性规划可以帮助确定每个供应点和需求点之间的运输量，以最小化总运输成本。
4. 线性规划的局限性4.1 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中，很多情况下并不满足这个假设。
4.2 多解性：线性规划可能存在多个最优解，这给决策者带来了一定的困扰。
线性规划中参数的探讨
在解决线性规划问题时，约束条件和目标函数中常涉及到一些参数，这些参数需通过最值问题加以求解。
下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、约束条件中的参数
例1. 线性目标函数在线性约束条件下取得最大值的最优解只有一个，则实数a的取值范围为___________________。
解析：根据题意，画出可行域，如图1所示，可求得A（1，2），将目标函
数变形为，与边界线平行，而要使最大值的最优解只有一个，则分析图形知可行域只能为直线y=2下方的部分（含边界线），故实
数a的取值范围为。
图1
评注：运用数形结合思想，通过比较有关直线的倾斜程度而直观求解。
二、目标函数中的参数
1. 最优解无穷求参数值
例2. 已知三点A（5，2），B（1，1），C（3，4），平面区域为△ABC的内部及边界，若使目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，求实数a的值。
解析：画出符合题意的图形，如图2所示，将目标函数转化为。
则若使目标函数取得最大值的最优解有无数多个，必有，或，即。
图2
评注：若最优解有无穷多个，说明目标函数和斜率等于某一边界线的斜率，则由此列出方程而求出某系数的具体数值。
2. 最优解唯一求参数范围
例3. 已知变量x，y满足，若目标函数（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为_______________。
解析：根据题意画出可行域，如图3所示，易得A（3，0）。
图3
现将目标函数转化为，则其斜率。
要使其仅在点A（3，0）处取得最大值，必有：
即
评注：其实题设中可以去掉条件a>0而结果不变。
线性规划中的参数问题I ．题源探究·黄金母题【例1】已知实数x ，y 满足10,10,330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则使不等式1kx y k -+≤恒成立的实数k的取值集合是 （ ）A.B.C. (],1-∞D. (],2-∞ 【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，则由图象知0x ≥，由不等式1kx y k -+≤恒成立，得()11k x y +≤+z 的几何意义是区域内的点到定点()1,1D --的斜率，由图象知AD 的斜率最小，由10{330x y x y +-=--=得1{ 0x y ==，即()10,A ，此时z12k ≤，即实数k的取值范围是A. 精彩解读【试题来源】2018新疆维吾尔自治区高三二模．【母题评析】本题考查含参数的线性规划问题，考查考生的作图能力、用图能力．【思路方法】解决此类问题的关键是熟悉线性规划问题求解的基本思路．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2015高考山东理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）A 。
3B 。
2C 。
2-D 。
3- 【答案】B【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题，考查考生的作图能力、用图能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解决线性规划问【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y ==或2,0x y ==，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a =；1,1x y ==不是最优解.故选B.题，要特别注意正向、逆向两类思考方向，求参数的值和范围的问题就是用逆向思维，观察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中寻找使问题成立的条件解决问题．III ．理论基础·解题原理逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】不等式中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时这个不等式表示的区域的分界线就是一条变动的直线，此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，确定区域的可能形状；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点观察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中寻找使问题成立的条件解决问题． 【易错指导】当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z 的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．V ．举一反三·触类旁通考向1 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解）,将点的坐标代入目标函数求得参数的值．（1）目标函数中x 的系数为参数【例1】【2018广东湛江市高三上学期期中调研】已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a 的值为 （ ） A ．12或1- B ．12或2 C.1或2 D ．1-或2 【答案】D【名师点睛】线性规划问题的最优解一般在平面区域的边界顶点处或边界线上,当最优解为边界顶点时,最优解唯一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示的直线与区域的某一边平行,其最优解为边界线段上的所有的点.（2）目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件 23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a =->的最大值为1,则a = ． 【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示,目标函数过B （4,1）点是取得最大值,∴141a =-⨯,∴3a =． 【名师点睛】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值． （3）目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】【2018安徽江淮十校高三第三次（4月）联考】已知实数x ， y 满足不等式组220{210 320x y x y x y -+≥++≥+-≤，若直线()1y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k =__________． 【答案】13【例4】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分,易求得)3,2(),2,2(B A ,要目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2,∴222=+b a ,即1==b a ,∴41)2(2=+≤b a ab ,当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【名师点睛】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可． （4）目标函数为非线性函数且含有参数【例5】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( ) A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,0【答案】D【名师点睛】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：()()22z x a y b =-+-,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即()()222PQ x a y b =-+-；也可看成是以(),Q a b 为圆心,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【例6】【2018河北廊坊市第八高级中学高三模拟试题】已知函数()()322331f x x mx m n x =++++的两个极值点分别为12,x x ，且()()120,1,1,x x ∈∈+∞，若存在点(),P m n 在函数()()log 41a y x a =+>的图象上，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,3 (或13a <<)【名师点睛】函数极值点的范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图像和平面区域的关系得到所求参数的取值范围． 【例7】【2018北京市建华实验学校零模】设不等式组3100{360x y x y +-≥+-≤表示的平面区域为D ,若函数log (1)a y x a =>的图象上存在区域上的点,则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,3B. [)3,+∞C. (]1,2D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】作出不等式组3100{360x y x y +-≥+-≤对应的平面区域如图，由1a >，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由3100{360x y x y +-=+-=，解得()31A ，，此时满足31a log ≤，解得3a ≥，∴实数a的取值范围是)[3 +∞，，故选B 。
线性规划中的参数问题例1.(2006年重庆卷文16)已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为.变式1：(2006年湖北卷理9)已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部以及边界 组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m =( )A ．－2B ．－1C ．1D ．4变式2：（2013年浙江卷理13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________.变式3： (2008年安徽卷理15)若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为.变式4：(2009年安徽卷理7)若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.37B.73C.34D.43 变式5：(2009年山东卷理12)设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为( )A.256B.83 C.113 D.4变式6：（2014年福建卷文11）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70300x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）A.5B.29C.37D.49例2。
2018届学科网高三数学成功在我专题六不等式问题二：线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析(一) 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解）,将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试,11】已知,x y满足约束条件20220 220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a的值为（）A．1 2或-1 B．12或2 C.1或2 D．-1或2【答案】D【解析】在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如下图所示的三角形ABC,目标函数z y ax=-可变形为y ax z=+,z的几何意义为直线y ax z=+在y轴上的截距,因为z y ax=-取得最大值的最优解不唯一,所以直线y ax z=+与区域三角形的某一边平行,当直线y ax z=+与边线20x y+-=平行时,1a=-符合题意,当直线y ax z=+与边线220x y--=平行时,12a=不符合题意,直线y ax z=+与边线220x y--=平行时,2a=符合题意,综上所述,实数a的值为1-或2,故选D.【点评】线性规划问题的最优解一般在平面区域的边界顶点处或边界线上,当最优解为边界顶点时,最优解唯一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示的直线与区域的某一边平行,其最优解为边界线段上的所有的点. 【小试牛刀】【凉山州2018届高中毕业班第二次诊断】若实数x, y满足320{2360230x yx yx y--≤+-≥-+≥,且使3c ax y=++取到最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值是（）A.12- B.23C.23或3- D.23-或32．目标函数中y的系数为参数【例2】已知变量,x y满足约束条件23110,480,20,x yx yx y+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a=->的最大值为1,则a= ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示,目标函数过B （4,1）点是取得最大值,∴141a =-⨯,∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分,易求得)3,2(),2,2(B A ,要目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2,∴222=+b a ,即1==b a ,∴41)2(2=+≤b a ab ,当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．【小试牛刀】【广东省汕头市2017届高三上学期期末】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ,且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-,则实数=a ．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( ) A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,0【答案】D ．【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--,区域中A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距离最大,∴要使圆不经过区域D,则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩,即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩,得13x y =⎧⎨=⎩,即(1,3)B ．∴22AC =,25BC =,∴022r <<或25r >,即r 的取值范围是(0,22)(25,)+∞,选D ．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：()()22z x a y b =-+-,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即()()222PQ x a y b =-+-；也可看成是以(),Q a b 为圆心z 为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数x、y满足20,50,40,x yx yy-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y+≥+恒成立,则实数a的最小值是．(二)约束条件中含参数由于约束条件中存在参数,∴可行域无法确定,此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值,来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域,从而确定参数的值．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知实数x y，满足不等式组21,0,10,xx y mx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y=-+的最大值不超过4,则实数m的取值范围是（）A．(3,3)-B．[0,3] C.[3,0]-D．[3,3]-【答案】D【解析】由20,10,x y mx y⎧-+=⎨+-=⎩得221212mxmy⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,作出不等式组21,0,10,xx y mx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域,分析知当212mx-=,212my+=时,z取得最大值,且2max1122z m=-,又因为max4z≤,解得33m-≤≤,故选D.【点评】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断,特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数．【小试牛刀】【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知实数 x y ，满足25035050x y x y kx y k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,若目标函数13z x y =+的最小值的7倍与27z x y =+的最大值相等,则实数k 的值为（ ）A ．2B ．1 C.1- D ．2- (三)目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下,目标函数my x z +=的最大值大于2,则m 的取值范围为（ ）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【答案】B【解析】把目标函数转化为mz x m y +-=1,表示是斜率为m 1-,截距为m z的平行直线系,当截距最大时,z 最大,当过点⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,11m m m 时,截距最大21112>+++∴m m m ,解之得21+>m ． 【小试牛刀】设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3五、迁移运用1．【河南省三门峡市2018届高三上学期期末】若实数x , y 满足20,{, ,x y y x y x b -≥≥≥-+且2z x y =+的最小值为4,则实数b 的值为（ ） A. 1 B. 2C.D. 3 2.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ,满足0022x y -=.则m 的取值范围是（ ）A ．4(,)3-∞B ．1(,)3-∞ C. 2(,)3-∞- D ．5(,)3-∞-3.【广西柳州市2017届高三10月模拟】不等式组0,0,4,x y y kx k ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩（1k >）所表示平面区域的面积为S ,则1kSk -的最小值等于（ ） A ．30B ．32C ．34D ．364.【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,若z ax y =+的最大值为24a +,最小值为1a +,则实数a 的取值范围为A ．[1,2]-B ．[2,1]-C ．[3,2]--D ．[3,1]-5.【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】已知0a >,,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y=+的最小值为1,则a =（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 6.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若02≥++k y x 恒成立,则实数k 的取值范围为 . 7．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】已知0a >,,x y 满足约束条件13(2)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最大值为112,则a =（ ） A ．14 B ．128.若实数,x y 满足236x ky x y x y --⎧⎪+⎨⎪+-⎩( )A ．1B ．29．变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值集合是（ ）A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-10．设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0)满足x 0－2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭11．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时,恒有2ax y +≤成立,则实数a 的取值集合是（ ）A ．(1,1]-B ．(1,2)C ．(0,1]D ．(,1]-∞ 12.三个正数a,b,c 满足2a b c a ≤+≤,2b a c b ≤+≤,则ba的取值范围是（ ） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2]13.已知x ,y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]14.【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】若,x y 满足约束条件0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩,且2z x y =-的最大值为4,则实数k 的值为 ．15．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数,x y 满足10{10 ,1x y x y y +-≥--≤≤若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个,则m 的值为__________．16. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】设1m >,变量,x y 在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值为2,则m =________.17．若关于x ,y 的不等式组0, , 10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则k = ．18．【湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知x , y 满足约束条件220{20 220x y x y x y --≤+-≤--+≥,若z ax y =+取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为__________．19．【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中,若不等式组10{10 10x y x ax y +-≥-≤-+≥（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于1,则a 的值为__________． 20．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】已知实数x , y 满足20,{0, 0,x y x y y k +≥-≤≤≤若z x y =+的最大值为4,则z 的最小值为__________．21．若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数k 的取值范是 ．22．若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a 的取值范围是_______．。
