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线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
一类含参数线性规划问题的解法作者：张卫兵
来源：《高中生·高考》2019年第06期
目标函数中含参数的线性规划问题近年来在高考中时常出现，如何解决此类问题呢？下面举例加以说明，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仅有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数的最值就是知道目标函数对应的直线在y轴上的截距z/b（b≠0）的最值.为此，可将目标函数z=ax+by中的z用给定的最值代换，通过直线过定点的特征在可行域中找到符合条件的点，便可求出参数的值.
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中儀有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数过某一点M（x，y）时取最值，求参数的变化范围时，只需将直线z=ax+by的斜率k=-手（b≠0）与过点M（x，y）的交线的斜率进行比较，通过满足题意的斜率的范围来求出参数的范围，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仪有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道其中一个参数的变化范围，求目标函数的最值的变化范围时，只需将目标函数中的参数与直线ax+by=z的斜率k=a/b（b≠o）联系起来，由参数的变化范围得到斜率k=a/b （b≠0）的变化范围，以确定直线ax+by=0的位置，再平行移动直线ax+by=0，通过确定直线ax+by=z在y轴上的截距取最值时所经过的点的方法，求出z=ax+by的最值的变化范围.
（责任编校/冯琪）。
专题六不等式问题二：线性规划中地参数问题一，考情思路线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域地确定问题。
（2）区域面积问题。
（3）最值问题。
（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中地难点,其主假如依据目标函数地最值或可行域地情况决定参数取值．二，经验分享(1)求平面区域地面积：①首先画出不等式组表示地平面区域,若不能直接画出,应利用题目地已知款件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域。
②对平面区域进行思路,若为三角形应确定底与高,若为规则地四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解地平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合地方式去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数地几何意义求目标函数地最值．当目标函数是非线性地函数时,常利用目标函数地几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要依据临界位置确定参数所满足地款件,含参数地平面区域问题,要结合直线地各种情况进行思路,不能凭直觉解答,目标函数含参地线性规划问题,要依据z地几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三，知识拓展常见代数式地几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)地距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)地距离。
②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线地斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线地斜率．四，题型思路(一) 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数得到最值时所经过地可行域内地点（即最优解）,将点地坐标代入目标函数求得参数地值．1．目标函数中x地系数为参数【点评】线性规划问题地最优解一般在平面区域地边界顶点处或边界线上一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示地直线与区域地某一边平行【思路】约束款件所满足地区域如图所示,目标函数过B【点评】这类问题应依据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数地值．．目标函数中,x y地系数均含参数4【点评】本题地关键是给出目标函数地实际意义()()22x a y b -+-,可看成可行()()222x a y b =-+-。
微专题5 含参数的线性规划问题线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题，其求解方法就是图解法．根据二元不等式组的解与坐标平面内点的对应关系，将约束条件转化为平面区域，然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值．线性规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体，将代数与解析几何有机联系，主要体现了转化与化归和数形结合思想．含参数的线性规划问题主要根据参数是在约束条件中还是在目标函数中分成以下四类．一、约束条件含有参数例1 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则m 的值为________．答案 5解析 把z ＝10代入z ＝3x ＋y 得y ＝－3x ＋10.在同一坐标系下画出三条直线x ＝2，x ＋y ＝4，y ＝－3x ＋10，如图所示．求得直线y ＝－3x ＋10与直线x ＋y ＝4的交点为A (3,1)．因为可行域在直线x ＋y ≤4的下方，所以直线2x －y －m ＝0必过点A .当直线过点A 时求得m ＝5，故m 的值为5.反思感悟 线性规划问题的最值如果存在，若最优解唯一，则最优解必是可行域的某个顶点即为两边界直线的交点，并且取得该最值时的目标函数所表示的直线也经过这个交点，此时形成三线共点的态势．若最优解不唯一，则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边界直线重合．以上两点经验直取核心，在解决线性规划的最值等有关问题时具有很好的指导作用．二、目标函数含有参数例2 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－1,2]C ．[－3，－2]D ．[－3,1]答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．因为z ＝ax ＋y ，当z ＝a ＋1时，直线z ＝ax ＋y 过点A (1,1)；当z ＝2a ＋4时，直线z ＝ax ＋y 过点B (2,4)．注意到点A ，B 分别在直线3x －y －2＝0和x ＋y －6＝0上．由图知，要直线y ＝－ax ＋z 分别在点A ，B 时截距z 取得最小值和最大值，若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件；若a <0，k ＝－a >0，则其斜率－a 满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a <0；若a >0，k ＝－a <0，则－a ≥k BC ＝－1，即0<a ≤1.综上所述，－2≤a ≤1.反思感悟 直线斜率与截距的几何意义在上述解题过程中发挥得淋漓尽致，其中斜率几何意义理解不透彻是解题受阻或失败的重要原因．斜率的几何意义要注意如下两点，一是符号 ，二是绝对值．斜率大于零，函数递增，直线上升，斜率小于零，函数递减，直线下降．斜率的绝对值越大，直线越陡峭，斜率的绝对值越小，直线越平缓．斜率几何意义全面透彻的理解与应用是解决求最值问题的关键．三、目标函数含有双参数例3 若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( ) A.12 B.π4 C ．1 D.π2答案 C解析 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1.对应的可行域，在此条件下，要使ax ＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b. ∵a ≥0，b ≥0，∴若－1<－a b ≤0时(如图1)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点A (0,1)时的截距最大，对应的z 也最大，将(0,1)代入z ＝ax ＋by 得b ≤1，若－a b ≤－1时(如图2)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点B (1,0)时的截距最大，对应的z 也最大，将(1,0)代入z ＝ax ＋by 得a ≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，此时对应的可行域如图，∴以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成平面区域的面积为1.反思感悟 在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了．四、约束条件和目标函数均含有参数例4 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．由z ＝x ＋my 得y ＝－1mx ＋z m ，由m >1得－1m >－1＝k AB ，由图知当直线z ＝x ＋my 经过点B ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，截距z m 最大，从而z ＝1m ＋1＋m 2m ＋1最大，依题意得1m ＋1＋m 2m ＋1<2，即m 2－2m －1<0，(m －1)2<2，又m >1，解得1<m <1＋ 2.。
