河南省中原名校高三数学4月仿真模拟联考试题文(扫描版)

2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，则|z|=()A. √55B. √525C. 125D. 153.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌4.已知命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018，则￢p为()A. ∃x0∈[0,+∞)，使得x02019<x02018B. ∀x∈[0,+∞)，使得x2019≥x2018C. ∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018D. ∀x∈(−∞,0)，使得x02019<x020185.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为()A. 0B. 2C. −2D. 2或−26.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A. 12B. 1C. 2D. 47. 已知x 与y 之间的一组数据如右表，根据表中提供的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.8x +0.5，那么t 的值为x 2 4 6 8 y345tA. 5B. 6C. 7D. 88. 已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，则这个三棱锥的体积是( )A. 13cm 3B. 23cm 3C. 43cm 3D. 83cm 39. 在区域{x +y −√2≤0x −y +√2≥0y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( )A. π8B. π6C. π4D. π210. 函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则φ等于( )A. π6B. −π6C. π3D. −π311. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P ，Q ，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )A. 第一张，第三张B. 第一张，第四张C. 第二张，第四张D. 第二张，第三张12. 已知f(x)=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2√6]B. [−2√6,+∞)C. (−∞,√62]D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______．15.△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=15，则sin∠BAC= ______ ．16.A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中∠BAC=π2,AB=AC,AD⊥平面ABC，AD=2，BC=√6，则该球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，D，E分别为BC，CC1的中点，AA1=AC=AB=2，BC=3．(Ⅰ)证明：A1B//平面ADC1；(Ⅱ)求三棱锥E−A1BC的体积．19.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度(单位：cm).经统计，高度均在区间[20,50]内，将其按[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm 的树苗为优质树苗．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2√3,√3)且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求弦长|AB|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+2x ，g(x)=xe x ．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x ∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=4，M 为曲线C 2上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：D解析：解：复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，可得|z(3−4i)|=1，即|z||3−4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=1，5故选：D．直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．4.答案：C解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，为基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018，故选：C．5.答案：C解析：解：∵a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，且a⃗//b⃗ ，∴1×2−(−1)×m=0，解得m=−2故选：C由向量的平行可得1×2−(−1)×m=0，解方程可得．本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．利用双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，可得b1=2，即可求出b的值．解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，∴b1=2，∴b=2，故选：C．7.答案：B解析：先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论，本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．解：由题意，x=2+4+6+84=5，y=3+4+5+t4=12+t4，代入线性回归方程ŷ=0.8x+0.5，可得12+t4=0.8×5+0.5，解得t=6．故选B．8.答案：C解析：【试题解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，且BD=DC=1，AD=2，面PBC⊥面ABC，PD=2为棱锥的高，所以V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×2×2×2=43cm3．故选C．俯视图是等腰三角形，且内部有一条实线，该实线是三棱锥的一条侧棱在地面上的垂直投影，所以棱锥顶点在底面的射影为底面三角形一边的中点，结合正视和左视图即可还原得到原图形，底面积可求，高已知，则体积可求．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是由三视图还原得到原几何体，由三视图得原几何体的方法是，先看俯视图，结合正视图和左视图．此题是基础题．9.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(−√2,0)，C(√2,0)，A(0,√2)，则△ABC的面积S=12×√2×2√2=2，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=12×π×12=π2，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为π22=π4，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得π3+φ=kπ，k∈Z，由此根据|φ|<π2求得φ的值．解：函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<π2得φ=−π3，故选：D．11.答案：B解析：解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．本题考查了归纳推理，注意推理要合乎情理，利用p后面要写2，并没有说2这个数字后面是其他字母违规进而得出是解题关键．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的单调性.属于一般题．先对函数进行求导，然后根据二次函数的性质可列不等式，进而求得a的范围．解：由题意得f′(x)=2x+a+3x =2x2+ax+3x≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔g(x)=2x2+ax+3≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔Δ=a2−24≤0或{−a4≤1, g(1)≥0⇔−2√6≤a≤2√6或a≥−4，综上实数a的取值范围为a≥−2√6．故选B．13.答案：2x+y−2=0解析：解：函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)的导数为f′(x)=lnx+x+1x−4，可得在(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=ln1+2−4=−2，切点为(1,0)，则在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即为2x+y−2=0．故答案为：2x+y−2=0．求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．本题考查函数导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．14.答案：x24−y23=1解析：解：由题得，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(√7,0)，(−√7,0)，c=√7：且双曲线的离心率为2×√74=√72=ca⇒a=2.⇒b2=c2−a2=3，双曲线的方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．先利用双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆有相同的焦点求出c =√7，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a =2，即可求双曲线的方程．本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a 最大，而双曲线中c 最大．15.答案：√155解析：解：设AC =b ，AB =c ，BM =a 3，MC =2a 3，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得：a3sin∠BAM=csin∠AMB ，代入解得：sin∠AMB =3c5a ，cosβ=cos(π2−∠AMC)=sin∠AMC =sin(π−∠AMC)=sin∠AMB =3c5a ， 在RT △ACM 中，cosβ=AC AM =√(23a)+b ，√(23a)+b =3c5a ，由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，化简整理得：(2a 2−3b 2)2=0， a =√62b ，c =√102b ， 在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√6b2√10b 2=√155． 故答案为：√155．在△ABM 中，由正弦定理可知，sin∠AMB =3c 5a，进而可得cosβ=3c5a ，在RT △ACM 中，还可得cosβ=√(23a)2+b 2，建立等式后可得a =√62b ，c =√102b ，在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√155． 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．16.答案：10π解析：解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心F 、E 连线的中点O 与A 的距离为球的半径，AD=2，AB=AC=√3，OE=1，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，AE=12BC=√62，∴球半径AO=√32+1=√52．所求球的表面积S=4π(√52)2=60π．故答案为：10π画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：(1)依题意可得：2a n+12a n=2a n+1−a n=2，则a n+1−a n=1，从而数列{a n}是公差为1的等差数列．∵a4+a32=a1+3+(a1+2)2=21，∴a1=2或a1=−7，当a1=2时，a n=n+1，当a1=−7时，a n=n−8.(2)因为a1>0，所以a n=n+1，1(2a n−1)(2n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12(1−13+13−1 5+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查数列的基本运算，等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．(1)由等比数列的概念得到{a n}为等差数列，由通项公式求得{a n}的通项；(2)直接对通项裂项，由裂项相消法求和即可．18.答案：(Ⅰ)证明：设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，∴A1B//平面ADC1；(Ⅱ)解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BB1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD，又BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BCE，∴AD⊥平面BCE，又AD=√AB2−BD2=√72，S△BCE=12×3×1=32．∴V E−A1BC=V A1−EBC=13S△EBC⋅AD=13×32×√72=√74．解析：本题考查线面平行的判定，考查多面体体积的求法，属于中档题．(Ⅰ)设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，由三角形中位线定理可得OD//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面ADC1；(Ⅱ)由题意得到AD⊥BC和BB1⊥AD，进而证明AD⊥平面BCE.由勾股定理求得AD，再求出三角形BEC的面积，由等体积法求三棱锥E−A1BC的体积．19.答案：解：(1)根据概率的性质可得：(a+3a+0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a=0.01．(2)2×2列联表如下：K2=100×(5×25−20×50)255×45×25×75，≈16.50>10.828．所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．解析：本题考查了独立性检验，属于中档题．(1)根据概率的性质可得：(a +3a +0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a =0.01； (2)根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．20.答案：解：(1)由题意知c a =12,(2√3)2a 2+(√3)2b2=1，又因为c 2+b 2=a 2，解得a 2=16，b 2=12．则椭圆标准方程为x 216+y 212=1；(2)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形， 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：P(4,0)，A(2,3)，B(2,−3)或者P(−4,0)，A(−2,3)，B(−2,−3)， 此时|AB|=6，②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)， 将直线y =kx +m 代入C 的方程得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 故x 1+x 2=−8km3+4k 2,x 1x 2=4m 2−483+4k 2，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2， 则x 0=−8km 3+4k ，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m 3+4k 2，即P(−8km 3+4k ,6m3+4k )， 因为P 在椭圆上，有(−8km 3+4k 2)216+(6m 3+4k 2)212=1，化简得m 2=3+4k 2，验证，△=64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−12)=144m 2>0， 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2=−8k m,x 1x 2=4m 2−483+4k 2=4m 2−48m 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，即14<14+14(3+4k 2)≤13，得6<|AB|≤4√3， 综上可得，弦长|AB|的取值范围为[6,4√3]．解析：(1)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆的标准方程； (2)由题意可知四边形OAPB 为平行四边形，设直线l 过A 、B 两点，对直线l 的斜率分情况讨论，若直线l 垂直于x 轴此时|AB|=6，若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P(−8km3+4k 2,6m3+4k 2)，代入椭圆方程得到m 2=3+4k 2，再利用弦长公式求出|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，解得6<|AB|≤4√3．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x +1)(2−e x )，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e −1， ∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln 22；(2)由已知，当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立 即a ≥x 2+2x+1xe =x+2+x −1e 恒成立，令t(x)=x+2+x −1e x，则t′(x)=−(x 2+1)(x+1)x 2e x，∴当x ∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 当x ∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 故当x ∈(−2,0)时，t(x)max =t(−1)=0，∴a ≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值； (2)当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立，即a ≥x 2+2x+1xe x=x+2+x −1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将参数方程曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，抛物线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用抛物线和圆的位置关系的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2， 所以实数m 的最大值M =2； ( 2)由(1)知a 2+b 2=2， 又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号， 又∵√ab a+b≤12，∴ab a+b ≤√ab2②，当且仅当a =b 时取等号，由①②得aba+b ≤12， 所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．。

2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. −2+5i 6−3i=( ) A. 915−815iB. 915+815iC. −915−815iD. −915+815i 2. 集合A ={x|2x >1}，B ={x|x 2+x −2>0}，则A ∩∁U B =( )A. (0,2)B. (0,1]C. (0,1)D. [0,2]3. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(λ−1,3)，且a ⃗ //b⃗ ，则λ=( ) A. 4B. 3C. −12D. −2 4. 双曲线y 25−x 2=m(m >0)的焦距等于离心率，则m =( )A. 120B. 110C. 15D. 14 5. 已知函数f(x)={log 2x,x >0f(x +3),x ≤0，则f(−10)的值是( ) A. 1 B. −1 C. 0 D. −26. 已知命题p:∃x 0∈R ，2x 0(x 0−1)<1;命题q:函数f(x)=tanx 在定义域上是增函数.则下列命题是真命题的是 ( )A. p ∧qB. p ∧¬qC. ¬p ∧qD. ¬p ∨q7. 若角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y =−4x 上，且x ≤0，则( )A. sinα=−√1717B. cosα=4√1717C. tanα=−4D. 以上都错8. 从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为( )A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.39. 函数f(x)=x 2lnx 2|x|的图象大致为( )A. B. C. D.10. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘11. 对于定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0，若f(−1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=( )A. −1B. 0C. 1D. 2 12. 已知点P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为其左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，∠PF 1F 2=60°， 则e =( )A. 12B. √32C. √3−12D. √3−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =lnx x 在x = e 处的切线方程为______．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 在等比数列{a n }中，a 1=2，S 3=26，则公比q =________．16. 已知体积为3√3的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1各顶点都在同一球面上，若AB =√3，则此球的表面积等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．(Ⅰ)求成绩在[600,700)的频率；(Ⅱ)根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；(Ⅲ)我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[650,700)这段的人数？18.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求∠B的大小；(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．19.已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD(2)若PA=1，求点A到平面PFD的距离．20.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F，E上一点(3,m)到焦点的距离为4．(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为−1，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=x+ae x(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x<0，a≤1时，求证：x+a+1<f′(x)．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22． (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23. 已知f(x)=|ax +1|，a ∈R ．(1)若关于x 的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x ≤1}，求实数a 的值；(2)若x ∈(0,12)时，不等式f(x)≤2−|2x −1|恒成立．求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：原式=−(2−5i)(6+3i)(6−3i)(6+3i)=−(27−24i)45=−915+815i，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：A={x|0<x<2}，B={x|x<−2，或x>1}；∴∁U B={x|−2≤x≤1}；∴A∩∁U B=(0,1]．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的运算．3.答案：A解析：本题考查平面向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，是基础题．利用平面向量的共线，列出方程求解即可．解：向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(λ−1,3)，且a⃗//b⃗ ，可得：λ−1=3，解得λ=4．故选：A．4.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用双曲线方程求出焦距以及离心率，求解即可．解：由y 25−x 2=m 得y 25m −x 2m =1(m >0)． 可得：e =√1+m 5m=2√m +5m ，解得m =120． 故选A ．5.答案：A解析：本题考查分段函数求函数值，难度一般．解：因为函数f(x)={log 2x,x >0f(x +3),x ≤0，则f(−10)=f (2)=log 22=1． 故选A ．6.答案：B解析：本题考查复合命题真假的判断，难度一般．根据复合命题的定义进行判断即可．解：命题p:∃x 0∈R ，2x 0(x 0−1)<1，为真命题；命题q:函数f(x)=tanx 在定义域上是增函数，为假命题，所以p ∧¬q 为真命题．故选B ．7.答案：C解析：本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．利用任意角三角函数定义直接求解即可．解：根据题意，在角α的终边上取一点(−1,4)，则r =√(−1)²+4²=√17，故sinα=y r =√17=4√1717； cosα=x r =√17=−√1717； tanα=y x =−4．故选C ．8.答案：D解析：解：设只读过《飘》的2名同学为a ，b ，只读过《红楼梦》的3名同学为1，2，3，基本事件总数为(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共10个， 选中的2人都读过《红楼梦》包含的基本事件个数为(1,2)，(1,3)，(2,3)，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为p =310=0.3．故选：D ．先列举出基本事件总数，再列举出选中的2人都读过《红楼梦》包含的基本事件个数，由此能求出选中的2人都读过《红楼梦》的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、基本事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.答案：B解析：本题考查了函数图象的判断，考查了利用导数研究函数的极值、单调性及函数性质的应用，属于中档题．利用奇偶性排除D ，利用极值点及单调性排除A 、C ，即可得结论．【详解】∵y =x 2lnx 2|x|，∴函数为偶函数，排除D ，又x >0时，y =2xlnx ，y′=2(1+lnx)=0时，x =1e ，即函数在(0,1e )单减，在(1e ,+∞)单增，排除A 、C ，故选B ．10.答案：C解析：本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．由A1B//D1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C.解：∵A1B//D1C，∴异面直线直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°．故选C．11.答案：B解析：解：定义在R上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0，可得f(x)=f(3+x)，所以函数的周期为3．定义在R上的奇函数f(x)，可知f(0)=0，又f(−1)=1，∴f(2)=f(−1)=1，f(1)=−f(−1)=−1．f(1)+f(2)+f(3)=−1+1+0=0；∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=671(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)+f(2)=0−1+1=0．故选：B．利用函数的奇偶性，以及函数的关系式，求出函数的周期，然后求解函数值即可．本题考查抽象函数的应用，函数的周期以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是中档题．由题意画出图形，求解焦点三角形可得|PF1|=c，|PF2|=√3c，然后利用椭圆定义求解．解：如图：∵PF1⊥PF2，∠PF1F2=60°，∴|PF1|=c，则|PF2|=√3c，由椭圆定义可得2a=c+√3c，得e=ca =√3+1=√3−1．故选：D．13.答案：y=1e解析：由题意，求出导函数，然后求出切线的斜率k=0，切点坐标为(e,1e)，从而得到切线方程．解：由题意，当x=e时，y=lnee =1e，又导函数为y′=1x·x−lnxx2=1−lnxx2，所以当x=e时，y′|x=e=1−lnee2=0，即切线的斜率为k=0，所以曲线y=lnxx 在x=e处的切线方程为：y=1e．故答案为y=1e．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)， 即z 的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．15.答案：−4或3解析：本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等比数列的求和公式即可得出．解：由已知得S 3=a 1+a 2+a 3=a 1(1+q +q 2)=26，整理得q 2+q −12=0，解得q =−4或q =3．故答案为−4或3．16.答案：52π3解析：解：由题意可知：√34⋅3⋅AA 1=3√3，∴AA 1=4 正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：√33； 所以外接球的半径为：√13+4=√133．所以外接球的表面积为：4π(√133)2=52π3． 故答案为：52π3．正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．17.答案：解：(Ⅰ)根据频率分布直方图得，成绩在[600,700)的频率为0.003×50+0.001×50=0.2；(Ⅱ)设样本数据的平均数为a ，中位数为b ，则a =0.002×50×425+0.004×50×475+0.005×50×525+0.005×50×575+0.003×50×625+0.001×50×675=540；根据直方图估计中位数b 在[500,550)段，∵0.002×50+0.004×50+0.005×(b −500)=0.5，解得b =540，∴数据的平均数和中位数都是540；(Ⅲ)成绩在[650,700)的频率为：0.001×50=0.05，∴我校880名学生生中成绩在[650,700)的人数为：0.05×880=44(人)．解析：(Ⅰ)根据频率分布直方图求得成绩在[600,700)的频率；(Ⅱ)根据频率分布直方图求出平均数和中位数；(Ⅲ)计算成绩在[650,700)的频率和频数即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．18.答案：解：(1)由正弦定理及cosB cosC =−b 2a+c 得：cosB cosC =−sinB 2sinA+sinC ，∴cosB(2sinA +sinC)=−sinBcosC ，∴2sinAcosB +cosBsinC =−sinBcosC ，∴−2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ，∵sinA ≠0，∴cosB =−12，∵0<B<π，∴B=2π3，(2)由a=2,B=2π3,S=12acsinB=√3，解得：c=2，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，①将，a=2，c=2，B=2π3代入①，得b=√22+22+2×2×2×12=2√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：−2sinAcosB=sinA，结合sinA≠0，可求cos B，结合B的范围可求B的值．(2)由利用三角形面积公式、及余弦定理即可求解b、c的值．19.答案：(1)证明：连接AF，则AF=√2，DF=√2，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF，又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF，又PF⊂平面PAF，∴DF⊥PF．(2)解：V P−AFD=13S△AFD⋅PA=13×1×1=13，∵V A−PFD=V P−AFD，∴V A−PFD=13S△PFD⋅ℎ=13⋅√62⋅ℎ=13，解得ℎ=√63，即点A到平面PFD的距离为√63．解析：(1)连接AF，通过计算利用勾股定理证明DF⊥AF，证明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后证明DF⊥PF．(2)通过V A−PFD=V P−AFD，转化求解点A到平面PFD的距离即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．20.答案：解：(1) 抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的坐标为(p 2,0)，由E 到焦点的距离为4，则3+p 2=4，得p =2，∴E 的方程为y 2=4x ；(2)由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)，设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y 12=4x 1y 22=4x 2， 两式相减，整理得y 2−y 1x 2−x 1=4y 2+y 1(x 1≠x 2)，∵线段AB 中点的纵坐标为−1，即y 1+y 22=−1， ∴直线l 的斜率k AB =4y 2+y 1=4(−1)×2=−2，又直线l 过焦点F (1,0)，直线l 的方程为y −0=−2(x −1)，即2x +y −2=0．解析：本题考查抛物线的相关知识，考查点差法的应用，属于中档题．(1)根据题意得出关系式求出p 的值即可；(2)联立直线与抛物线方程由AB 的中点纵坐标为−1求出斜率k ，得到直线方程．21.答案：(1)解：由f(x)=x +ae x 可得f′(x)=1+ae x ．当a ≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在(−∞,+∞)上为增函数．当a <0时，由f′(x)>0可得x <ln (−1a )，由f′(x)<0可得x >ln (−1a )，所以函数f(x)在(−∞,ln (−1a ))上为增函数，在(ln (−1a ),+∞)上为减函数．(2)证明：设F(x)=x 2+(a +1)x −xf′(x)=x 2+ax −axe x =x(x +a −ae x ).设H(x)=x +a −ae x ，则H′(x)=1−ae x ．∵x <0，∴0<e x <1，又a ≤1，∴1−ae x ≥1−e x >0．∴H(x)在(−∞,0)上为增函数，则H(x)<H(0)=0，即x +a −ae x <0．所以x +a +1<f′(x)．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．(1)求出函数的导数，讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明：x +a −ae x <0，令H(x)=x +a −ae x ，(x <0,a ≤1)，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，圆C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22， 直线l 的方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2−1，即：直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0；(2)圆心C 到l 的距离为d =√2−1|√2=1，所以|AB|=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为：r +d =2+1=3，所以(S △MAB )max =12×|AB|×3=12×2√3×3=3√3， 即△MAB 面积的最大值为3√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换；(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．23.答案：解：(1)由|ax +1|≤3得−4≤ax ≤2，又f(x)≤3的解集为{x|−2≤x ≤1}， 所以当a =0时，不合题意；当a <0时，2a ≤x ≤−4a ，有{2a =−2−4a =1，则a ∈⌀，不合题意； 当a >0时，−4a ≤x ≤2a ，即有{−4a =−22a =1， 解得a =2；(2)因为|ax +1|+|2x −1|≤2在0<x <12恒成立，所以|ax +1|≤2x +1，即−(2x +1)≤ax +1≤2x +1，即−2x −2≤ax ≤2x ，所以{(a −2)x ≤0 ①(a +2)x +2≥0 ②， 由①，得a ≤2；由②，得a +2>−2x 在0<x <12恒成立，所以a >−2−2x ．因为−2−2x <−6，所以a ≥−6．综上可知，实数a 的取值范围为−6≤a ≤2．解析：(1)由绝对值不等式的解法和已知解集，讨论a ≤0，a >0，结合方程解法，可得a 的值；(2)由题意可得|ax +1|+|2x −1|≤2在0<x <12恒成立，所以|ax +1|≤2x +1，转化为−2x −2≤ax ≤2x ，再由参数分离和恒成立思想，可得a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知i为虚数单位，则（）A．i B．i C．i D．i2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣1，1]3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（）A．B．C．1D．1或54．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（）A．2B．C．4D．25．已知函数f（x），在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（）A．1B．2C．3D．46．下列命题为真命题的个数是（）①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；②若•0，则或；③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；④函数f（x）是偶函数．A．1B．2C．3D．47．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（）A．B．C．D．8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x 有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（）A．﹣2B．0C．﹣1D．112．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（）A．1B．1C．1D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y在x＝1处的切线方程为．14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．15．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．（1）求频率分布直方图中m，n的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos A sin B＝sin A+2sin C．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD ⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．（1）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）e x﹣1（a∈R），g（x）＝﹣x﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则（）A．i B．i C．i D．i【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：原式i．故选：C．2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣1，1]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．解：，∴，．故选：B．3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（）A．B．C．1D．1或5【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．解：由（1，λ），（﹣2，3），则2（5，λ﹣6），又∥（2），所以（λ﹣6）﹣5λ＝0，解得λ．故选：A．4．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（）A．2B．C．4D．2【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出m即可解：因为e2，所以m＝12，则y2＝1的焦距为22，故选：D．5．已知函数f（x），在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用等差数列的性质求出a8，然后利用分段函数求解函数值即可．解：在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，可得a89，所以f（a8）＝f（9）＝1+log39＝3．故选：C．6．下列命题为真命题的个数是（）①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；②若•0，则或；③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；④函数f（x）是偶函数．A．1B．2C．3D．4【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答案．解：对于（1）中，当x时，x2＝2为有理数，故错；对于（2）若•0，可以有，故错；对于（3）∵命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“是真命题，则它的逆否命题为真命题，故对；对于（4）∵f（﹣x）f（x），且函数定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，则函数f（x）是偶函数，故对，综上真命题有2个故选：B．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用三角函数的定义可得cos（α），sin（α）的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．解：∵角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为α，由三角函数的定义，可得cos （α），sin（α），∴cosα＝cos（α）＝cos（α）cos sin（α）sin（）．故选：D．8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A．B．C．D．【分析】从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，由此能求出这2人都会颠足球的概率．解：5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，∴这2人都会颠足球的概率p．故选：A．9．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除B，利用导数研究可知当x＞0时，f（x）＞0，且f （x）单调递增，可排除C、D，由此得出正确选项．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项B；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项C、D；故选：A．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可得出C，D，B，E的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线BE与CD所成的角的余弦值．解：可知CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0，0），D（2，2，0），E（0，2，5），∴，∴，∴异面直线BE与CD所成的角的余弦值为．故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x 有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（）A．﹣2B．0C．﹣1D．1【分析】根据题意，分析可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，据此可得f（1）＝﹣f（3），f（2）＝﹣f（4）＝0，结合函数的周期性可得f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝f（1）+f（2）+f（3），计算可得答案．解：根据题意，f（x﹣1）为偶函数，函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，则有f （﹣x）＝f（x﹣2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（x+2）＝﹣f（x），则f（1）＝﹣f（3），f（2）＝﹣f（4）＝0，故f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝f（1）+f（2）+f（3）＝f（2）＝0；故选：B．12．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（）A．1B．1C．1D．1【分析】由以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，可得AP⊥PF1，若F2B ∥AP，所以F2B⊥BF1，所以△F1F2B是等腰直角三角形，cos45°，可得a，b，c的值可得椭圆的方程．解：设椭圆的半个焦距为c，因为点P在以线段F1A位直径的圆上，所以AP⊥PF1，因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是|F2B|＝|BF1|＝a，cos45°，|F1A||AP|，可得a+c（2），解得：a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆的方程为：1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y在x＝1处的切线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点的纵坐标和切点处的导数，最后代入点斜式求出切线方程．解：由已知，∴．所以切线方程为，即：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝014．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．解：作出可行域如图，由z＝2x+2y知，y＝﹣2x+z，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得M（，）．结合可行域可知当动直线经过点M（，）时，目标函数取得最大值z＝2．故答案为：．15．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝2或﹣1．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．解：由题意可得q≠1，因为a1＝1，且S4＝a5﹣1，所以，则可得（1﹣q4）（2﹣q）＝0，故q＝2或q＝﹣1．故答案为：2或﹣116．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是8．【分析】由外接球的表面积求出球的半径R，计算△ABC外接圆的半径r；判断三棱柱为直三棱柱，再利用勾股定理求出三棱柱的高．解：外接球的表面积为S＝4πR2，解得R；因为AB＝AC＝BC＝4，所以△ABC外接圆的半径为：r；又三棱柱的各个顶点在同一球面上，所以该三棱柱是直三棱柱，如图所示；所以三棱柱的高是：h＝228．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．（1）求频率分布直方图中m，n的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出m，n．（2）由频率分布直方图能求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．解：（1）由频率分布直方图得：，解得m＝0.04，n＝0.02．（2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为：（22.5×0.01+27.5×0.03+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.03+47.5×0.02+52.5×0.01）×5＝36.25．∵（0.01+0.03+0.06）×5＝0.5，∴该班级这次月考语文作文分数的中位数为35．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos A sin B＝sin A+2sin C．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin A+2sin A cos B＝0，结合sin A≠0，可求得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理即可解得b的值．解：（1）∵2cos A sin B＝sin A+2sin C＝sin A+2sin（A+B）＝sin A+2sin A cos B+2sin B cos A，∴sin A+2sin A cos B＝0，∵sin A≠0，∴1+2cos B＝0，解得cos B，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵a＝2，△ABC的面积为2，∴ac sin B c×sin2，解得c＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得b2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD ⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．（1）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离．【分析】（1）连接PE，CE，证明BE⊥CE，PE⊥平面ABCD，CE⊥BE，于是由线面垂直的判定可得CE⊥平面PBE；（2）求解三角形求出三角形PBC的面积与三角形BEC的面积，再由等体积法求点E 到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：∵ABCD为矩形且AD＝2AB，E为AD的中点，∴△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC，得∠BEC，∴BE⊥CE．连接PE，△PAD是等边三角形，E是AD的中点，∴PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD．∴PE⊥平面ABCD．又CE⊂平面ABCD，∴CE⊥PE．又BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PBE．∴CE⊥平面PBE；（2）解：∵AD＝2AB＝4，侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，∴AE＝DE＝2，∴由勾股定理可得BE＝CE，PE，PB＝PC．∴，设点E到平面PBC的距离为h，由V P﹣BEC＝V E﹣PBC，得，即h．∴点E到平面PBC的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．【分析】（1）由题意可知，所以p＝4，从而得到抛物线C的方程；（2）显然直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD 的斜率为，所以直线AB的方程为y＝k（x﹣2），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到点M的坐标，同理可得点N的坐标，进而求出|NF|，|MF|，再利用基本不等式即可求出|MF|•|NF|的最小值．解：（1）因为抛物线C上的点到准线的最小距离为2，所以，解得p＝4，故抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）由（1）可知焦点为F（2，0），由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，故直线AB的方程为y＝k（x﹣2），联立方程，消去x得：ky2﹣8y﹣16k＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为M（x M，y M）为弦AB的中点，所以，由y M＝k（x M﹣2），得，故点M（，），同理可得：N（4k2+2，﹣4k），故|NF|4，|MF|，所以|MF|•|NF|41616（|k|）≥1632，当且仅当|k|，即k＝±1时，等号成立，所以|MF|•|NF|的最小值为32．21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）e x﹣1（a∈一、选择题），g（x）＝﹣x﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．【分析】（1）由题意，得f′（x）＝ae x﹣1（1+x﹣e），分a＞0，a＜0，a＝0三类讨论，即可得到函数f（x）的单调性；（2）利用分析法，要证f（x）＞g（x），即证（x﹣e）e x﹣1＞﹣x﹣1，即证得1，设p（x），利用导数可得p（x）在（1，+∞）上单调递增，从而得到p（x）＞p（1）1，即1成立．解：（1）由题意，得f′（x）＝a[e x﹣1+（x﹣e）e x﹣1]＝ae x﹣1（1+x﹣e）…1分①若a＞0，令f′（x）＞0，得x＞e﹣1，令f′（x）＜0，得x＜e﹣1故函数f（x）在（﹣∞，e﹣1）上单调递减，在（e﹣1，+∞）上单调递增；…2分②若a＜0，令f′（x）＞0，得x＜e﹣1，令f′（x）＜0，得x＞e﹣1故函数f（x）在（﹣∞，e﹣1）上单调递增，在（e﹣1，+∞）上单调递减；…3分③若a＝0，令f（x）＝0，为常量函数，不存在单调性…4分（2）证明：当a＝1时，f（x）＝（x﹣e）e x﹣1，则证f（x）＞g（x），即证（x﹣e）e x ﹣1＞﹣x﹣1，不等式两端同时除以e x，即证，得1，…5分记函数p（x），则p′（x）．设q（x）•e x﹣x， (6)当x＞1时，q′（x）＝e x﹣1﹣1＞0，所以函数q（x）在（1，+∞）上单调递增．所以当x＞1时，q（x）＞q（1）•e1﹣1＝0…8分所以p′（x）＞0，所以函数p（x）在（1，+∞）上单调递增．所以p（x）＞p（1）1，即1成立，故f（x）＞g（x）得证…12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为，（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．直线l的极坐标方程为ρsin（θ），整理得转换为直角坐标方程为x+y﹣3＝0．（2）由于原点（0，0）到直线x+y﹣3＝0的距离d，所以|AB|＝2，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（x0）min≤|3﹣a|，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤7即|x﹣1|+|x+2|≤7，等价为或或，解得1≤x≤3或﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2，则原不等式的解集为[﹣4，3]；（2）∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，可得f（x0）min≤|3﹣a|，由|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|，当（x﹣a）（x+2）≤0时，取得等号．则|a+2|≤|3﹣a|，即为a2+4a+4≤a2﹣6a+9，解得a，可得实数a的取值范围为（﹣∞，]．。

河南省六市2021届高三数学第一次模拟（4月）调研试题 文 注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分。

考试用时120分钟。

2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

3.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

4.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

第I 卷 选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有，一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足(1＋i)z ＝1＋2i ，则|z|＝ A.2 B.32 C.10 D.122.集合M ＝{y|y ＝24x -，x ∈Z}的真子集的个数为A.7B.8C.31D.323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系。

若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为A.15 B.14 C.13 D.124.已知f(x)＝(cos θ)x ，θ∈(0，2π)，设a ＝f(12log 7)，b ＝f(log 43)，c ＝f(log 165)，则a ，b ，c 的大小关系是A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a5.已知cos(2π＋α)＝35，且a ∈(2π，32π)，则tan α＝ A.43 B.34 C.－34 D.±346.设函数f(x)＝1ln 1x x x +-，则函数的图像可能为7.已知某超市2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A.该超市2021年的12个月中的7月份的收益最高B.该超市2021年的12个月中的4月份的收益最低C.该超市2021年7至12月份的总收益比2021年1至6月份的总收益增长了90万元D.该超市2021年1至6月份的总收益低于2021年7至12月份的总收益8.已知向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，且|a|3，|b|＝1，则向量b 与a －b 的夹角为A.3πB.23πC.6π D.56π 9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用。