第七章 应力和应变分析 强度理论
教学学时 4学时。
基本内容
应力状态概述；二向和三向应力状态的实例；二向应力状态分析—解析法；二向应力状态分析—图解法；三向应力状态；广义胡克定律；强度理论概述；四种常用强度理论。
教学目标
1、掌握平面应力状态分析的解析法和图解法。
2、会计算三向应力状态下的最大应力。
3、理解广义胡克定律的本质。
4、掌握四种常用强度理论。
重点、难点 重点：1、平面应力状态分析的解析法和图解法。2、四种常用强度理论。
难点：1、平面应力状态分析的解析法和图解法。 教学手段
课堂讲授；实例说明
§7.1应力状态概述
过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态
§7.2二向和三向应力状态的实例
§7.3二向应力状态分析—解析法
1．任意斜截面上的应力
在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程
αασαατσcos )cos (sin )cos (dA dA dA x xy a -+ 0sin )sin (cos )sin (=-+αασαατdA dA y yx
αασααττsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy a --
0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y
根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos
22
α
ααα-=+=
，
ααα2sin cos sin 2=
简化两个平衡方程，得
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
xy
τyx τy
σx σn
α
t
α
σατx
σy
σxy
τx
n
τ
ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
2．极值应力
将正应力公式对α取导数，得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=ατασσασα
2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数
0=α
σα
d d ，则 02cos 2sin 2
00=+-ατασσxy y
x
y
x xy
tg σστα--
=220
上式有两个解：即0α和
900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取
得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为
2
2min max )2(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=
⎭⎬⎫ 0α代入剪力公式，0ατ为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平
面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。
将切应力公式对α求导，令
02sin 22cos )(=--=ατασσα
τα
xy y x d d 若1αα=时，能使导数0=α
τα
d d ，则在1α所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得
02sin 22cos )(11=--ατασσxy y x
xy
y
x tg τσσα221-=
求得剪应力的最大值和最小值是：
2
2min max )2
(
xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方
位的对应关系是：若0>xy τ，则绝对值较小的1α对应最大剪应力所在的平面。
3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 α与1α之间的关系为
1
021
2ααtg tg -
= 4
,
2
220101π
ααπ
αα+
=+
=
这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为
45。
§7.4二向应力状态分析—图解法
1．应力圆方程
将公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y
x xy y x y x 中的α削掉，得
2
2
2
2
22xy y x y x τσστσσσαα+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+- 由上式确定的以ασ和ατ为变量的圆，这个圆称作应力圆。
圆心的横坐标为
()y x σσ+21
，纵坐标为零，圆的半径为22
2xy y x τσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+。 2．应力圆的画法
建立τσ-应力坐标系（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点()
xy x D τσ,和()yx y
D
τσ
,'
'DD 与轴的交点C 便是圆心
以C 为圆心，以AD 为半径画圆——应力圆。 3．单元体与应力圆的对应关系
1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值
2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同
4．在应力圆上标出极值应力
2
2
min max 22xy y x y
x τσσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±+=⎩⎨⎧ 1
σ2
σσ
τ
O C
