轴向拉伸和压缩习题集及讲解

第二章 轴向拉伸和压缩 第一节 轴向拉压杆的内力1.1 工程实际中的轴向受拉杆和轴向受压杆在工程实际中，经常有承受轴向拉伸荷载或轴向压缩荷载的等直杆。

例如图2-1a 所示桁架的竖杆、斜杆和上、下弦杆，图2-1b 所示起重机构架的各杆及起吊重物的钢索，图2-1c 所示的钢筋混凝土电杆上支承架空电缆的横担结构，BC 、AB 杆，此外，千斤顶的螺杆，连接气缸的螺栓及活塞连杆等都是轴间拉压杆。

钢木组合桁架d起重机图工程实际中的轴向受拉（压）杆1.2 轴向拉压杆的内力——轴力和轴力图bcx图用截面法求杆的内力为设计轴向拉压杆，需首先研究杆件的内力，为了显示杆中存在的内力和计算其大小，我们采用在上章中介绍过的截面法。

（如图2-2a ）所示等直杆，假想地用一截面m -m 将杆分割为I 和II 两部分。

取其中的任一部分（例如I ）为脱离体，并将另一部分（例如II ）对脱离体部分的作用，用在截开面上的内力的合力N 来代替（图2-2b ），则可由静力学平衡条件：0 0X N P =-=∑求得内力N P =同样，若以部分II 为脱离体（图2-2c ），也可求得代表部分I 对部分II 作用的内力为N ＝P ，它与代表部分II 对部分I 的作用的内力等值而反向，因内力N 的作用线通过截面形心 即沿杆轴线作用，故称为轴力．．。

轴力量纲为［力］，在国际单位制中常用的单位是N （牛）或kN （千牛）。

为区别拉伸和压缩，并使同一截面内力符号一致，我们规定：轴力的指向离开截面时为正号轴力；指向朝向截面时为负号轴力。

即拉力符号为正，压力符号为负。

据此规定，图2-2所示m-m 截面的轴力无论取左脱离体还是右脱离体，其符号均为正。

1.3 轴力图当杆受多个轴向外力作用时，杆不同截面上的轴力各不相同。

为了形象表示轴力沿杆轴线的变化情况，以便于对杆进行强度计算，需要作出轴力图，通常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置，用垂直杆轴线的坐标表示截面上轴力大小，从而给出表示轴力沿截面位置关系的图例，即为轴力图．．．。

下面用例题说明轴力的计算与轴力图的作法。

例题2-1：变截面杆受力情况如图2-3所示，试求杆各段轴力并作轴力图。

解：（1）先求支反力固定端只有水平反力，设为X A ，由整个杆平衡条件0X =∑，－X A+5－3+2＝0，X A＝5+2－3＝4kN（2）求杆各段轴力力作用点为分段的交界点，该题应分成AB 、BD 和DE 三段。

在AB 段内用任一横截面1-1将杆截开后，研究左段杆的平衡。

在截面上假设轴力N 1为拉力（如图2-3(b )）。

由平衡条件0X =∑得N 1－X A ＝0，N 1＝4kN 。

结果为正，说明原假设拉力是正确的。

xxx1X X X AN 2N 2kNN图2-3 例题2-1图c b e在BC 及CD 段，横截面积虽有改变，但平衡方程式与截面大小无关，故只取一段。

如在BD 段用任一截面2-2将杆截开，研究左段杆的平衡。

在截面上轴力N 2仍设为拉力（如图2-3（c ））。

由平衡条件0X =∑，N 2+5－4＝0，N 2＝－1kN 。

结果为负，说明实际方向与原假设的N 2方向相反，即为压力。

同理在DE 段，用任一截面3-3将杆截开，研究右段杆的平衡，因为该杆段的外力较少，计算简例，假设轴力N 3为拉力（如图2-3（d ）），由0X =∑，得N 3＝2kN 。

（3）作轴力图 取一直角坐标系，以与杆轴平行的坐标轴x 表示截面位置，对齐原题图下方画出坐标轴。

然后，选定比例尺，纵坐标N 表示各段轴力大小。

根据各截面轴力的大小和正负号画出杆轴力图，如图2-3（e ）。

由轴力图可看出，最大轴力N max ＝4kN ，发生在AB 段内。

例题2-2：图2-4a 表示一等直木柱，若此柱在横截面A 和B 的中心受有轴向荷载P 1＝P 2＝100kN ，如图中所示，试求柱中的轴力并作出轴力图。

1122bc图2-4 例题2-2图11解：（1）用截面法确定各杆段（通常是以轴向荷载作用处为界）的轴力数值假设在AB 段内的任一横截面1-1处将杆截开，取上段为脱离体，并用轴力N 1（一般是先假设它为拉力，即其指向离开所作用的截面）代替下段对上段的作用。

根据上段杆（图2-4b ）的平衡方程0X =∑ N 1+P 1＝0可得 N 1＝－P 1＝－100kN算得的结果带有负号，表示轴力N 1的实际指向应与假设的指向相反，即N 1实际上是压力。

因在AB 段无其它外荷载作用，故在此段内所有各截面上的轴力都相等，即都为N 1＝－100kN 。

同样，假设在BC 段内用一横截面2-2将杆截开，并用轴力N 2代替下段的作用，根据上段杆（图2-4c ）的平衡方程0X =∑，N 2+P 1+P 2＝0可得N 2＝－P 1－P 2＝－100－100＝－200kN算得结果为负，表示轴力N 2实际上是压力，同样，在BC 段内所有各截面上的轴力都是N 2＝－200kN（2）作轴力图取直角坐标系，以与杆轴线平行的坐标为x 轴，表示截面位置，与杆轴线垂直的坐标轴为N 轴，表示横截面上轴力的大小。

根据各横截面上轴力的大小和正负号（拉力为正，压力为负）画出杆的轴力图，如图2-4d 所示。

注意轴力图上要标明正负号，以及数字大小和单位。

由作出轴力图可容易看到，在木柱中的最大轴力Nmax ＝200kN （压力），发生在BC 段内的各截面上。

而且在B 截面处发生了由－100kN 到－200kN 的突变。

这是因为B 截面上作用有集中力P 2＝－100kN ，故B 截面上、下两侧轴力就不同了。

第二节 轴向拉压杆的应力在工程设计中，已知截面上轴力还不能判断杆件在外力作用下是否会因强度不足而破坏，例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在相同拉力P 作用下，两杆截面上轴力N ＝P ，都相同，但当P 增大时，细杆可能被拉断而粗杆却不会同时断裂。

这是因为杆横截面上的内力的分布集度不同——即应力不同。

细杆的横截面积小，故应力比粗杆的应力大，因而细杆先破坏。

2.1 横截面上的应力已知杆横截面上内力的大小和指向以后，还必须知道内力在杆横截面上的分布规律才能求得横截面上的应力。

为了找出内力在杆横截面上的分布规律，常用的方法是先根据由实验中观察到的变形现象，作出关于变形分布规律的假设，然后据以推导出应力的计算公式。

下面，我们就用这种方法来建立轴向受拉（压）杆横截面上正应力的计算公式。

为了观察轴向受拉杆的变形现象，取如图2-5a 所示的等直杆。

在未加力以前，先在杆的表面上描画出一些表示杆横截面的周边线ab 、cd 等，以及平行于杆轴线的纵向直线ef 、gh 等。

加轴向拉力P 后，杆发生变形，在杆的表面上可观察到如下的现象：（1）周边线ab 、cd 等分别移到了a b ''、c d ''等位置，但仍保持为直线，且仍互相平行及垂直于杆轴线。

（2）纵向直线ef 、gh 等分别移到了e f ''、g h ''等位置，但仍保持与杆轴线平行。

根据以上表面变形现象，为推求横截面内部变形可能性，可作出一重要假设，即：杆在变形以前的横截面，在变形以后仍保持为平面且仍与杆轴线垂直。

通常把这个假定叫做平面．．假设．．。

根据平面假设，可把杆看作是由许多纵向“纤维”所组成，当杆受拉时，所有的纵向纤维都均匀地伸长，即在杆横截面上各点处的变形都相同。

因内力是伴随着变形一同产生的，故在杆横截面上的内力也一定是均匀分布的。

由此可知，在杆横截面上各点处有相同的内力分布集度或相同的正应力σ（图2-5b 、c ）。

已知正应力在杆横截面上的均匀分布规律以后，即不难由横截面上的内力N 确定正应力σ的数值。

由图2-5b 可见，作用在微面积dA 上的微内力是 dN=σdA通过积分可求得作用在杆横截面上的内力AN dA σ=⎰因在横截面上各点处的正应力相等，即σ为常量，故上式又可改写为AN dA A σσ==⎰从而有NAσ=（2-2-1a ） 这就是轴向受拉杆横截面上正应力的计算公式。

显然，在这里N ＝P ，故上式也可写为PAσ=（2-2-1b ）图2-5 轴向受拉杆截面上的应力与变形bc在上章中已指出，应力的量纲是[]2力［长度］，在国际单位制中常用的单位是Pa ，在工程单位制中常用的单位是kg/cm 2和t/m 2。

对于轴向受压杆，式（2-2-1）同样适用。

为了区别拉伸和压缩，我们对正应力所作的正负号规定是：正应力的指向离开所作用的截面时为正号的正应力，也称为拉应力．．．；指向朝向所作用的截面时为负号的正应力，也称为压应力．．．。

例题2-3：若例题2-2中等直木柱的横截面为边长为200mm 的正方形，试求在杆上、下两段横截面上的应力。

解：柱的横截面积A ＝0.2×0.2＝0.04m 2＝4×10－2m 2，在例题2-2中已求得柱的AB 、BC 两段中的轴力分别为N 1＝－100kN ＝－1×105N ，N 2＝－200kN ＝－2×105N ，代入公式N Aσ=，可得在AB 段内任一横截面上的应力562112110 2.510/ 2.5410N N m MPa A σ--⨯===-⨯=-⨯ 在BC 段内任一横截面上的应力562212210 5.010/5410N N m MPa A σ--⨯===-⨯=-⨯ 例题2-4：图2-6表示用两根钢丝绳起吊一扇平板闸门。

若每根钢丝绳上所受的力为20kN ，钢丝绳圆截面的直径d ＝20mm ，试求钢丝绳横截面上的应力。

图2-6 例题2-4图解：钢丝绳的轴力N ＝P ＝20kN ＝2×104N 钢丝绳的横截面积2224220314 3.141044D A mm m ππ-⨯====⨯，由公式NAσ=可求得钢丝绳横截面上的应力为462421063.710/63.73.1410N N m MPa A σ-⨯===⨯=⨯ 2.2 斜截面上的应力为了全面了解轴向受拉（压）杆中各处的应力情况，在研究了其横截面上的应力以后，还有必要进一步研究其斜截面上的应力。

图2-7表示一轴向受拉杆，假设用一与其横截面mk 成α角的斜截面mn （简称为α截面）将其分成为I 、II 两部分，并取部分I 为脱离体（图2-7c ），dbcαx图2-7 轴向受拉杆斜截面上的应力由静力学平衡方程0X =∑，可求得α截面上的内力N P α=在α截面上的应力为p α，其指向与杆轴线平行。

由上节已知，杆的所有纵向“纤维”具有相同的纵向伸长，故应力p α在整个α截面上也是均匀分布的（图2-7c ）。

内力N α即α截面上应力p α的合力。

若以A α与A 分别表示α截面m －n 与横截面m －k 的面积，则A AN p A p dA p A εααααα===⎰⎰由图2-7可知cos AA αα=将式（a ）、（c ）代入式（b ），即可求得α截面上的应力p α为cos cos N Pp A Aαααασα===（2-2-2） 式中的PAσ=为横截面mk 上的正应力（图2-7b ）。