高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.
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1 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
互动课堂
疏导引导
1.向量内积的坐标运算
建立正交基底{e1,e2},已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=(a1e1+a2e2)(b1e1+b2e2)=a1b1e12+
(a1b2+a2b1)·e1·e2+a2b2e22.
因为e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,故a·b=a1b1+a2b2.
疑难疏引
(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e1,e2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.
2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果a⊥b,则a1b1+a2b2=0,反之,若a1b1+a2b2=0,则a⊥b.当a⊥b时,若b1b2≠0,则向量(a1,a2)与(-b2,b1)平行,这是因为a⊥b,a1b1+a2b2=0,即a1b1=-a2b2,1221baba.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a1,a2)与(-b2,b1)平行,特别地,向量k(-b2,b1)与向量(b1,b2)垂直,k为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直.
疑难疏引设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
a1b1+a2b2=0a⊥b且a⊥ba1b1+a2b2=0.
3.向量的长度、距离和夹角公式
(1)已知a=(a1,a2),则|a|2=a2=a12+a22,即|a|=2221aa.
语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.
若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=212212)()(yyxx.
此式可视为A、B两点的距离公式.
(2)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),故cos〈a,b〉=222122212211||||bbaababababa•.
特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式.
活学巧用
1.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.
解析：利用a·b=|a|·|b|·cosθ建立方程,解方程即可.
a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),
(a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5,
|a+tb|=20)1(52t,
由(a+tb)·b=|a+tb|·|b|·cos45°得5t+5=4)1(2252t,
即t2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.
经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.
2.已知点A(2,3),若把向量OA绕原点O按逆时针旋转90°得向量OB,求点B的坐标. 2 解析：要求点B的坐标,可设为B(x,y),利用OA⊥OB,| OA|=|OB|列方程解决之.
设点B坐标为(x,y),因为OA⊥OB,| OA|=|OB|,
所以.13,03222yxyx解得2,3yx或2,3yx(舍去).
所以B点坐标为(-3,2).
3.已知a=(2,32-4),b=(1,1),求a与b的夹角θ.
解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决.
a·b=(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,
|a|·|b|=).13(42)32(1611)432(22222••
∴cosθ=21)13(4232.
又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
4.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,求〈a,b〉的值.
解析：∵a+b+c=0,∴a+b=-c.
∴|a+b|=|c|.∴(a+b)2=c2,
即a2+2a·b+b2=c2.
∴a·b=2152925492||||||2222222bacbac.
∴cos〈a,b〉=215||||•baba÷(3×5)= 21.
∴〈a,b〉=3.
