高中数学第二章平面向量2.4.1...
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⾼中数学第⼆章平⾯向量2.4.1...
2.4.1平⾯向量的坐标表⽰
2.4.2平⾯向量线性运算的坐标表⽰
5分钟训练(预习类训练，可⽤于课前)
1.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 等于( ) A.b a 2321+- B.b a 2
321- C.b a 2123- D.b a 2123+- 解析：根据平⾯内任⼀向量可⽤该平⾯内⼀组基底唯⼀线性表⽰，可⽤待定系数法. 答案：B
2.已知平⾏四边形ABCD 的⼀个顶点坐标为A （-2，1），⼀组对边AB 、CD 的中点分别为M （3，0）、N （-1，-2），求平⾏四边形的各个顶点坐标.
解：设其余三个顶点的坐标为B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），D （x 3，y 3）.
因为M 是AB 的中点，所以3=221x +-，0=211y +. 解得x 1=8，y 1=-1.
设MN 的中点为O′（x 0，y 0），则x 0=2)1(3-+=1，y 0=2)2(0-+=-1，⽽O′既是AC 的中点，⼜是BD 的中点，
所以x 0=22x x A +，y 0=22y y A +，即1=211,2222y x +=-+-. 解得x 2=4，y 2=-3.
同理解得x 3=-6，y 3=-1.
所以B （8，-1），C （4，-3），D （-6，-1）.3.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及=+t .求：
（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第⼆象限?
（2）四边形OABP 能否构成平⾏四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解：（1）=+t =（1+3t ，2+3t ），若P 在x 轴上，只需2+3t=0，所以t=-2[]3； 若P 在y 轴上，只需1+3t=0，所以t=3
1-； 若P 在第⼆象限，只需??
>+<+,032,031t t 所以3
132-<<-t . （2）因为OA =（1，2），PB =（3-3t ，3-3t ），若OABP 为平⾏四边形，则OA =PB . 由于??
=-=-233,133t t ⽆解，故四边形OABP 不能构成平⾏四边形.
10分钟训练(强化类训练，可⽤于课中)
1.已知点A （3，1），B （0，0），C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC =λCE ,其中λ等于( ) A.2B.21 C.-3 D.31- 解析：∵AE 为∠BAC 的平分线， 21
2||||===AC CE . ∴=-2. ∴BC =BE -CE =-2CE -CE =-3CE .
答案：C2.平⾯直⾓坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C 满⾜
=α+β，
其中，α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹⽅程为________________. 解析：将点C 所满⾜的向量式条件转化为直⾓坐标的⽅程式即为点C 的轨迹⽅程. 答案：x+2y-5=03.（1）已知e 1=（1，2），e 2=（-2，3），a =（-1，2），试以e 1、e 2为基底，将a 分解为λ1e 1+λ2e 2的形式.
（2）已知点A （-1，2）、B （2，8）及3,3DA AC -==，求C 、D 和CD 的坐标. （3）△ABC 的重⼼在原点，A （1，4），B （-3，-3），求C 点的坐标.
解：（1）由==???+=-=-,74,71,322,21212121λλλλλλ得
所以a =71e 1+74e 2. （2）因为=（1，2），所以C （0，4），=（1，2）.
所以D （-2，0），=（-2，-4）.
（3）设C 点坐标为（x ，y ），则由-===-+=-+.1,2,0334,0331y x y x 得 所以C 点坐标为（2，-1）.
4.⽤坐标法证明AB +BC +CA =0.
证明：设A （a 1，a 2），B （b 1，b 2），C （c 1，c 2），则=（b 1-a 1，b 2-a 2），=（c 1-b 1，c 2-b 2），=（a 1-c 1，a 2-c 2）. ∴++=（b 1-a 1，b 2-a 2）+（c 1-b 1，c 2-b 2）+（a 1-c 1，a 2-c 2）=（b 1-a1+c 1-b 1+a 1-c 1，b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2）=（0，0）=0. ∴++=0.
5.如图2-4-1，已知平⾯上三点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求点D 的坐标，使得这四点能构成平⾏四边形的四个顶点.
图2-4-1
解：（1）当平⾏四边形为ABCD 时，因为=，所以（4，1）=（x+2，y-1）.所以x=2，y=2，即D （2，2）.
（2）当平⾏四边形为ACDB 时，因为=，所以（-1，-2）=（3-x ，4-y ）.所以x=4，y=6，即D （4，6）.
（3）当平⾏四边形为DACB 时，因为DA =BC ，所以（-2-x ，1-y ）=（4，1）.所以x=-6，y=0，即D （-6，0）.30分钟训练(巩固类训练，可⽤于课后)
1.若向量a =（x+3，x 2
-3x-4）与相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为( ) A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4
解析：因为已知A （1，2）和B （3，2），所以向量可以求，然后根据向量相等的定义就可以得出x 的值.
答案：A2.已知M （3，-2）、N （-5，-1），且=
2MN ，则点P 的坐标为( ) A.（-8，1） B.（1，23） C.（-1，2
3 ） D.（8，-1） 解析：根据=2
MN 可以得到2=，再根据向量的坐标运算就可以得出点P 的坐
标.
答案：C3.在△ABC 中，已知A （2，3）、B （8，-4），G （2，-1）是中线AD 上的⼀点，且||=2||，则点C 的坐标为( )A.（-4，2）
B.（-4，-2）
C.（4，-2）
D.（4，2） 解析：设C 点坐标为（x ，y ），由于G 是△ABC 的重⼼，则2=
382x ++，∴x=-4. -1=3
43y +-，∴y=-2. 答案：B
4.已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且=3，=2，试求点M 、N 和的坐标.
解：∵A（-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）， ∴CA =（-2+3，4+4）=（1，8），=（3+3，-1+4）=（6，3）. 于是=3=3（1，8）=（3，24），
=2=2（6，3）=（12，6）.
设M （x ，y ），则有=（x+3，y+4），
∴?
==?=+=+,20,0.244,33y x y x 解得 即M 点的坐标为（0，20），同理可求得N （9，2）. 因此MN =（9-0，2-20）=（9，-18）.
故所求的点M 、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.5.如图2-4-2所⽰，已知△ABC 中，A （7，8）、B （3，5）、C （4，3），M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，NM 与AD 交于F ，求.
图2-4-2
解：∵A（7，8）、B （3，5）、C （4，3）， ∴=（3-7，5-8）=（-4，-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5）.
⼜∵D 是的中点，∴AD =21（AB +）=（27-，-4）. ⼜∵M、N 分别为AB 、AC 的中点，∴F 为AD 的中点. ∴=2
1-=（47，2）. 6.已知点A （2，3）、B （5，4）、C （7，10），若AP =AB +λAC （λ∈R ），试求λ为何值时，点P 在第⼀、三象限的⾓平分线上？点P 在第三象限内？
解：设点P 的坐标为（x ，y ），则AP =（x ，y ）-（2，3）=（x-2，y-3），AB +λAC =（5，4）-（2，3）+λ［
（7，10）-（2，3）］ =（3，1）+λ（5，7）=（3，1）+（5λ，7λ）=（3+5λ，1+7λ）. ∵AP =AB +λAC ，
∴（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ）.
∴+=-+=-.713,532λλy x ∴+=+=.
74,55λλy x
∴P 点的坐标为（5+5λ，4+7λ）. （1）若点P 在⼀、三象限的⾓平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=
21. （2）若点P 在第三象限内，则<+<+,
074,055λλ ∴??-<-<.74,1λλ∴λ＜-1， 即只要λ＜-1，点P 就在第三象限内.
7.已知向量u =（x ，y ）与向量v =（y ，2y-x ）的对应关系可⽤v =f （u ）表⽰.
（1）证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f （m a +n b ）=mf （a ）+nf （b ）成⽴；
（2）设a =（1，1），b =（1，0），求向量f （a ）及f （b ）的坐标；
（3）求使f （c ）=（3，5）成⽴的向量c .
（1）证明：设向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）.
则f （mx 1+nx 2，my 1+ny 2）=（my 1+ny 2，2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2），
⼜mf （a ）=（my 1， 2my 1-mx 1），nf （b ）=（ny 2，2ny 2-nx 2），
所以mf （a ）+nf （b ）=（my 1+ny 2，2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2）.
所以f （m a +n b ）=mf （a ）+nf （b ）.
（2）解：f （a ）=（1，1），f （b ）=（0，-1）.
（3）解：由===-=,3,1,52,3y x x y y 得所以c =（1，3）. 8.设G 为四边形ABCD 对⾓线中点连线的中点，O 为平⾯内任意⼀点，证明
=4
1(+++). 证明：如图，任意四边形ABCD 的对⾓线AC 的中点为E ，BD 中点为F ，则OE =2
1（OA +OD ），=2
1（+）.
⼜G 为EF 的中点，则OG =2
1（OE +OF ）， 即=21［21（+）+21（+）］=41（+++）. 9.已知A(1,-2),B(2,1)，C(3,2)和D(-2,3),以、为⼀组基底来表⽰CDBD AB ++.
解：AB=（1，3），AC=（2，4），AD=（-3，5），BD=(-4,2),CD=(-5,1),
∴AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平⾯向量基本定理,⼀定存在实数m 、n 使得AD +BD +CD =m·AB +n·AC ，
∴（-12，8）=m （1，3）+n （2，4）
也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),可得-===+-=+.
22,32.843,122n m n m n m 解得 ∴AD +BD +CD =32AB -22AC .
