人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数 单元测试题

1 / 8 第二十二章 二次函数

一、选择题(本大题共9小题，每小题4分，共36分)

1．抛物线y＝－3x2＋4的顶点坐标是( )

A．(0，4) B．(0，－4)

C．(－3，4) D．(3，4)

2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经过变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( )

A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度

C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度

3．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是( )

A．与x轴有两个交点 B．开口向上

C．与y轴的交点坐标是(0，3) D．顶点坐标是(1，－2)

4．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图1所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是(

)

图1

A．－1＜x＜3 B．x＜－1

C．x＞3 D．x＜－1或x＞3

5．如图2，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为(

)

图2

A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(4，3)

6．某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：

x 3.2 3.3 3.4 3.5

y －0.56 －0.17 0.08 0.44 2 / 8 根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的( )

A．3.2

7．在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图3)，其中出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A到点O的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是(

)

图3

A．y＝－14x2＋34x＋1 B．y＝－14x2＋34x－1

C．y＝－14x2－34x＋1 D．y＝－14x2－34x－1

8．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是(

)

图4

9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图5所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc<0；②b0时，－1

其中正确的结论有(

)

图5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

10．如图6所示，抛物线y＝ax2－3x＋a2－1经过原点，那么a的值是________． 3 / 8

图6

11．若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．

12．某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．

13．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．

14．如图7，平行于x轴的直线AC与函数y1＝x2(x≥0)，y2＝13x2(x≥0)的图象分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC交y2的图象于点E，则DEAB＝________．

图7

15．如图8，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.

图8

三、解答题(本大题共4小题，共40分)

16．(8分)已知抛物线y＝4x2－4x－1.

(1)求它的对称轴；

(2)求它的顶点坐标；

(3)写出一种将它平移成抛物线y＝4x2的方法．

4 / 8

17．(10分)某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元．

(1)每件衬衫的盈利为多少？

(2)用含x的代数式表示每天可售出的衬衫件数．

(3)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

(4)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高日盈利值．

18．(10分)如图9，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)和B(3，0)两点，交y轴于点E.

(1)求此抛物线的解析式； 5 / 8 (2)若直线y＝x＋1与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

图9

19．(12分)如图10，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A(6，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式．

(2)若M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM的值最小时，求点M的坐标．

(3)抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

图10

6 / 8

答案

1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9．D

10．－1 .

11．±10

12．y＝7x2＋28x＋33

13．0

14．3－3 .

15．0.5

16．解：这里a＝4，b＝－4，c＝－1.

(1)对称轴是直线x＝－b2a＝－－42×4＝12.

(2)顶点的纵坐标是4ac－b24a＝4×4×（－1）－（－4）24×4＝－2，

∴顶点坐标为(12，－2)．

(3)答案不唯一，如将抛物线y＝4x2－4x－1向上平移2个单位长度，再向左平移12个单位长度即得抛物线y＝4x2.

17．解：(1)由题意可得每件衬衫的盈利为420－300－x＝(120－x)元．

(2)每天可售出的衬衫件数为20＋x10×1＝(0.1x＋20)件．

(3)由题意可得(0.1x＋20)(120－x)＝1920，

解得x1＝－120(舍去)，x2＝40.

答：每件衬衫应降价40元．

(4)这次降价活动中，1920元不是最高日盈利．

设日盈利为w元，

则w＝(0.1x＋20)(120－x)＝－0.1(x＋40)2＋2560，

∴当x>－40时，w随x的增大而减小．

∵x≥0，

∴当x＝0时，w取得最大值，此时w＝2400，

即最高日盈利值是2400元．

18．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，

∴1－b＋c＝0，9＋3b＋c＝0，解得b＝－2，c＝－3， 7 / 8 ∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.

(2)根据题意，得y＝x2－2x－3，y＝x＋1，

解得x1＝－1，y1＝0，x2＝4，y2＝5.∴D(4，5)．

对于直线y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，

∴F(0，1)．

对于y＝x2－2x－3，当x＝0时，y＝－3，

∴E(0，－3)，∴EF＝4.

过点D作DM⊥y轴于点M，则DM＝4，

∴S△DEF＝12EF·DM＝8.

19．解：(1)当x＝0时，y＝6，则C(0，6)．

∵抛物线过点A(6，0)，B(－1，0)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－6)．

把C(0，6)代入，得a·1·(－6)＝6，

解得a＝－1，

∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－6)，

即y＝－x2＋5x＋6.

(2)连接AC，与对称轴的交点即为所求点M.

设AC所在直线的解析式为y＝mx＋n.

将A(6，0)，C(0，6)代入，得6m＋n＝0，n＝6，

解得m＝－1，n＝6，

∴AC所在直线的解析式为y＝－x＋6.

又∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x－52)2＋494，

∴抛物线的对称轴为直线x＝52.

在直线y＝－x＋6中，当x＝52时，y＝72，

则点M的坐标为(52，72)．

(3)存在4个点P，使△ACP为直角三角形．

设点P的坐标为(x，－x2＋5x＋6)，

则PC2＝x2＋(－x2＋5x)2，PA2＝(x－6)2＋(－x2＋5x＋6)2，AC2＝62＋62＝72. 8 / 8 当∠PAC＝90°时，PA2＋AC2＝PC2，

即(x－6)2＋(－x2＋5x＋6)2＋72＝x2＋(－x2＋5x)2，

整理得x2－4x－12＝0，

解得x1＝6(舍去)，x2＝－2，

此时点P的坐标为(－2，－8)；

当∠PCA＝90°时，PC2＋AC2＝PA2，

即72＋x2＋(－x2＋5x)2＝(x－6)2＋(－x2＋5x＋6)2，

整理得x2－4x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝4，此时点P的坐标为(4，10)；

当∠APC＝90°时，PA2＋PC2＝AC2，

即(x－6)2＋(－x2＋5x＋6)2＋x2＋(－x2＋5x)2＝72，

整理得x3－10x2＋20x＋24＝0，

x3－10x2＋24x－4x＋24＝0，

x(x2－10x＋24)－4(x－6)＝0，

x(x－4)(x－6)－4(x－6)＝0，

(x－6)(x2－4x－4)＝0，而x－6≠0，

所以x2－4x－4＝0，

解得x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2，

此时点P的坐标为(2＋2 2，4＋2 2)或(2－2 2，4－2 2)．

综上所述，符合条件的点P的坐标为(－2，－8)或(4，10)或(2＋2 2，4＋2 2)或(2－2

2，4－2 2)．