学案4：1.1.2 弧度制

1.1.2 弧度制

【课标要求】

1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．

2．能进行弧度与角度的互化．

3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．

【核心扫描】

1．对弧度制概念的理解．(难点)

2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)

新知导学

1．度量角的单位制

(1)角度制

用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.

(2)弧度制

①弧度制的定义

长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

②任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是零．

③角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.

温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．

2．角度制与弧度制的换算

(1)

角度化弧度 弧度化角度

360°＝ rad 2π rad＝

180°＝ rad π rad＝

1°＝π180 rad≈0.017 45 rad 1 rad＝180π°≈57.30°

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

度 0° 1° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 270° 360°

弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 2π3 34π 5π6 π 3π2 2π 温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k·180°或60°＋2kπ等这类错误的写法．

3．扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0

度量单位

类别 α为角度制 α为弧度制

扇形的弧长 l＝απR180 l＝

扇形的面积 S＝απR2360 S＝12l·R＝12α·R2

温馨提示：扇形的面积公式S＝12lR与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．

互动探究

探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？

探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？

探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？

题型探究

类型一 角度制与弧度制的换算

【例1】 将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.

[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．

【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度；

(2)把－5π12化成度．

类型二 用弧度制表示终边相同的角

【例2】 (1)将－1 500°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．

[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

【活学活用2】 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.

(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；

(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．

类型三 扇形的弧长及面积公式的应用

【例3】 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．

[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝12lr＝12|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．

(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数．

【活学活用3】 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．

易错辨析 角的度量单位不统一及角的大小不清楚

【示例】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

[错解] (1)330°＋2kπ

[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．

[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，

∴θ －π6＋2kπ

(2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，

∴θ －3π4＋2kπ

[防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式. 课堂达标

1．下列说法中，错误的说法是( )．

A．半圆所对的圆心角是π rad

B．周角的大小等于2π

C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

2．α＝－2，则α的终边在( )．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．－2312π rad化为角度应为________．

4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．

5．已知集合A＝{α|2kπ

课堂小结

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．

易知：度数×π180 rad＝弧度数，弧度数×180π°＝度数．

3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单

位取弧度. 参考答案

新知导学

1．(2)①半径长 ②正数 负数

2．角度制与弧度制的换算

(1) 2π 360° π 180°

(2) 90° 180°

3．α·R

互动探究

探究点1 提示 正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．

探究点2 提示 (1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．

③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．

(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．

探究点3 提示 (1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.

终边所在的位置 角的集合

x轴 {α|α＝kπ，k∈Z}

y轴  αα＝kπ＋π2，k∈Z

坐标轴 α α＝kπ2，k∈Z

(2)利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.

α终边所在的象限 角α的集合

Ⅰ α 2kπ

Ⅱ α 2kπ＋π2

Ⅲ α 2kπ＋π

Ⅳ

 α 2kπ＋3π2

题型探究 类型一 角度制与弧度制的换算

【例1】 【解】(1)20°＝20π180＝π9.

(2)－15°＝－15180π＝－π12.

(3)7π12＝712×180°＝105°.

(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.

【活学活用1】 【解】(1)112°30′＝2252°＝2252×π180＝5π8.

(2)－5π12＝－5π12×180π°＝－75°.

类型二 用弧度制表示终边相同的角

【例2】 【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.

∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角．

(2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，

当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，

∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.

【活学活用2】 【解】(1)∵180°＝π rad，

∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6

＝－2×2π＋5π6，

α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.

∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．

(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，

设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，

则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，得k＝－2，或k＝－1.

故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，

设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，

则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.

故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.