学案10： 1.1.2　弧度制

1.1.2 弧度制

学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具)

1.了解弧度制.

2.会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)

3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.

新知初探

一、弧度制的概念

1．角度制：规定周角的 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

2．弧度制：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．

思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

二、角度制与弧度制的换算

1．角度制与弧度制的换算

角度化弧度 弧度化角度

360°＝ rad 2π rad＝

180°＝π rad π rad＝

1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ 度≈57.30°

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

角度 0° 1° 30°

45° 60° 90°

弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2

角度 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π

3.任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.

思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？

三、扇形的弧长公式及面积公式

1．弧度制下的弧长公式： 如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝

，弧长l＝

特别地，当r＝1时，弧长l＝ .

2．扇形面积公式：

在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝|α|2π·πr2＝ lr.

初试身手

1．思考辨析

(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )

(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )

(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( )

2．将下列弧度与角度互换

(1)－2π9＝________；

(2)2＝________；

(3)72°＝________；

(4)－300°＝________.

3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为________，面积为________．

题型探究

题型一 角度制与弧度制的互化

【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：

(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.

思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．

规律方法

角度制与弧度制换算的要点：

提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．

跟踪训练

1．将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.

题型二 用弧度制表示角的集合

【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．

思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．

规律方法

表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°k∈Z”中，α必须是用角度制表示的角.

提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.

跟踪训练

2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

① ②

题型三 扇形的弧长及面积问题 [探究问题]

1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？

2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．

【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？

思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→

用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值

1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20 cm”，求扇形的面积．

2．(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．”请解答．

规律方法

灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.

提醒：1在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.

2看清角的度量制，选用相应的公式.

3扇形的周长等于弧长加两个半径长. 课堂小结

1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．

2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式

(1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad (3)1 rad＝180π°.

3．本节课要重点掌握以下规律方法

(1)弧度制的概念辨析；

(2)角度与弧度的换算；

(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．

4．本节课的易错点

表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．

当堂检测

1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：

(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；

(3)920°＝________；(4)－72°＝________.

2．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______．

4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.

(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；

(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．

参考答案

新知初探

一、1．

1360

2．

1 rad

思考1：[提示]

“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．

二、1．

2π

360°

π 180° π180 180π

3.正数 负数 0

思考2： [提示] 利用1°＝π180弧度和1弧度＝180π°进行弧度与角度的换算．

三、1．lr |α|r |α|.

2．12

初试身手

1． (1)× (2)× (3)×

2．(1)－40° (2)360π° (3)2π5 rad (4)－5π3 rad

【解析】(1)－2π9 rad＝－29×180°＝－40°.

(2)2 rad＝2×180π°＝360π°.

(3)72°＝72×π180 rad＝2π5 rad.

(4)－300°＝－300×π180 rad＝－5π3 rad.]

3． 2π3 π3

【解析】∵α＝2π3，r＝1，∴弧长l＝α·r＝2π3，面积＝12lr＝12×2π3×1＝π3.

题型探究

【例1】 [解] (1)－450°＝－450×π180 rad＝－5π2 rad；

(2)π10 rad＝π10×180π°＝18°；

(3)－4π3 rad＝－4π3×180π°＝－240°； (4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad＝5π8 rad.

跟踪训练

1．[解] (1)20°＝20π180 rad＝π9 rad.

(2)－15°＝－15π180 rad＝－π12 rad.

(3)7π12 rad＝712×180°＝105°.

(4)－11π5 rad＝－115×180°＝－396°.

【例2】 [解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，

(1)θ －π6＋2kπ

(2)θ －3π4＋2kπ

(3)θ π6＋kπ

跟踪训练

2．[解] (1)如题图①，以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为α －2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.

(2)如题图②，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)．

不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，

则M1＝α 2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α 2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

所以阴影部分内的角的集合为

M1∪M2＝α 2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

[探究问题]

1．提示：公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．

2．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，

进而求S＝12lr；又如已知S，α，可利用S＝12|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.

【例3】 [解] 设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，

依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0