高中数学必修四1.1.2弧度制学案

棠张中学数学必修一导学案 班级 姓名 将规范修炼成一个习惯，把认真内化为一种性格 ！ 编写：宗红连 校审： 翟广建 使用日期2010.11.08

§1.1.2弧度制 课内探究学案

【学习目标】1、正确理解1弧度的含义；2、能正确进行角度制和弧度制之间的转换.3、熟记特殊角的弧度数；4、掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单实际问题

【预习回顾】

1．角度制的概念 ．

2．弧度制的概念 ．

正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 ．

3．弧度制与角度制的互化：360= rad， 1= rad，180= rad，

1rad= 度，12rad= 度.

4．角度制下的弧长公式与扇形面积公式是 ．

弧度制下的的弧长公式与扇形面积公式是 ．

【自主学习】

1．把下列各角从度化为弧度：135= rad；300__rad；330__rad.

2.把下列各角从弧度化为度：23rad= 度；85 度；2312 度.

3.以下四个命题其中正确的是:____________________

① 1弧度就是1度的圆心角所对的弧； ②1弧度是长度为半径的弧；

1.1.2 弧度制

自主学习

知识梳理

1．角的单位制

(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．

(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．

2．角度制与弧度制的换算

角度化弧度 弧度化角度

360°＝____ rad 2π rad＝____

180°＝______ rad π rad＝______

1°＝______rad≈0.017 45 rad 1 rad＝____≈57.30°

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α (0

度量单位

类别 α为角度制 α为弧度制

扇形的弧长 l＝________ l＝______

扇形的面积 S＝________

S＝________＝________

自主探究

我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．

对点讲练

知识点一 角度制与弧度制的换算

例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．

回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．

变式训练1 将下列角按要求转化：

(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；

(3)8π5＝________度．

知识点二 利用弧度制表示终边相同的角

1.1.2弧度制的教学设计

一、内容及其解析

本节内容包括弧度制，其核心内容是角度制和弧度制的转化，理解它的关键是掌握公式、。

学生在上一节内容中已学习了任意角的概念，本节内容是在上节的基础上，是角的度量的一个延伸，对后面三角公式，三角函数的学习是个奠基。

二、目标及其解析

（1）理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；

(2）熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.

2、目标解析：

（1）我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．

（2）角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

； ；；．

②将弧度化为角度：

；；；．

（3）(1);(2); (3).

其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.

三、问题诊断分析

在本节课中学生可能遇到的问题是把角度制转化成弧度制，产生问题的原因是 “角度制”与“弧度制”间的区别与联系掌握不好，要解决问题关键是多做练习。

四、教学设计

问题一：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．

问题1：什么叫角度制？

解析：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

问题2：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？

解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．

问题3：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

①将角度化为弧度：

； ；；．

②将弧度化为角度：

；；；．

特殊角的弧度

角度 0° 30°

45° 60°

90° 120°

135°

150°

180°

270° 360°

1.1.2 弧度制

一、【课前导学】

1．弧度角的定义：

思考：圆的半径为r，圆弧长为r、2r、3r的弧所对的圆心角分别为多少？

说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：弧度角是什么？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？

2．弧度的推广及角的弧度数的计算：

规定：

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad经常省略，即只写一实数表示角的度量。

3．角度与弧度的换算

3602rad 180rad

1801rad 0.01745rad 1rad=)180(5718

4．一些特殊角的度数与弧度数的对应表：

0° 30°

45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

5．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？

圆的半径为r，圆心角为n所对弧长为：

扇形面积为 ：

6．弧长公式：

在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？

二、【典例示范】

例1 （1）'3067化成弧度．

（2）35rad化成度。

例2 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x轴的非正、非负半轴，y轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

OAB例3 将下列各角化为2(02,)kkZ的形式，并判断其所在象限。

（1）319； （2）o315； （3）o1485．

（练习）写出阴影部分的角的集合：

例4 （1）已知扇形OAB的圆心角为120，半径6r，求弧长AB及扇形面积。

（2）已知扇形周长为20cm，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？

例5 如图，扇形OAB的面积是24cm，它的周长是8cm，求扇形的中心角及弦AB的长。