等比数列及其前n项和

1 §6.3 等比数列及其前n项和

一、要点梳理

1． 等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．

2． 等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝_______

3． 等比中项

如果三个数x，G，y组成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项．

4． 等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·_______，m∈N＋)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则___________。

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1{}na，{a2n}，{an·bn}，{}nnab仍是等比数列．

5． 等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.

6． 等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为________。

二．随堂练习

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( )

(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab. ( )

(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． ( )

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( )

(5)若{an}是等比数列，则S1·S2·„·Sk＝0(k≥2，k∈N)的充要条件是an＋an＋1＝0.( )

(6)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则

2 Y(Y－X)＝X(Z－X)恒成立． ( )

2． (2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，„的第四项等于 ( )

A．－24 B．0 C．12 D．24

3． (2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )

A．7 B．5 C．－5 D．－7

4． (2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.

5． (2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

三、题型归纳：

题型一 等比数列的基本运算

例1、 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于 ( )

A.152 B.314 C.334 D.172

(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.

变式训练1 (1)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 ( )

A．9 B．10 C．11 D．12

(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )

A．3 B．4 C．5 D．6

(3)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为 ( )

A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158

题型二 等比数列的性质及应用

例2、(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.

(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.

变式训练2、 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 ( )

A．52 B．7 C．6 D．42

(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N＋)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，

3 则m的值为 ( )

A．4 B．7 C．10 D．12

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋„＋a9＝________.

题型三 等比数列的判定

例3、已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{bn}的通项公式．

变式训练3、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

题型4、等比数列求和忽视公比q的范围致误

例4、(5分)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，„)．则q的取值范围为________．

温馨提醒 在应用公式Sn＝a11－qn1－q或Sn＝a1－anq1－q求和时，应注意公式的使用条件为q≠1，而当q＝1时，应按常数列求和，即Sn＝na1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，体现了分类讨论思想.

五、等比数列中的常用方法与技巧

1． 已知等比数列{an}

4 (1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，{1an}也是等比数列．

(2)a1an＝a2an－1＝„＝aman－m＋1.

2． 判断数列为等比数列的方法

(1)定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．

(2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N＋)⇔数列{an}是等比数列．

失误与防范

1． 特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．

2． 由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3． 在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

等比数列练习题A组

(时间：40分钟)

5 一、选择题

1． (2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于

( )

A．4 B．5 C．6 D．7

2． 等比数列{}an中，|a1|＝1，a5＝－8a2.a5＞a2，则an等于 ( )

A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1

C．(－2)n D．－(－2)n

3． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于

( )

A.13 B．－13

C.19 D．－19

4． 一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 ( )

A．13 B．12 C．11 D．10

5． 数列{an}中，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋a3＋„＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a33＋„＋a2n等于 ( )

A．(3n－1)2 B.12(9n－1)

C．9n－1 D.14(3n－1)

二、填空题

6． 等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为________．

7． (2012·江西)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N＋，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.

8． 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．

三、解答题

9． 已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.

6

10．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N＋.

(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列；

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.

等比数列练习题B组

(时间：30分钟)

1． 已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列1an的前4项和为 ( )