等比数列前n项和

等比数列的前n项和

一．等比数列前n项和公式

1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

【例1】 在等比数列{an}的前n项和为Sn，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

[解] 由题意知

 a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得 a1＝5，q＝5或 a1＝180，q＝－56.

从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1 080×1－－56n11.

(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；

[解]法一：由题意知 a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得 a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.

法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.

(3) a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.

[解]因为a2an－1＝a1an＝128，

所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．

从而 a1＝2，an＝64或 an＝2，a1＝64.

又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q为2或12.

(4) a1＝1，S3＝34，求S4.

[解] ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝34，

∴q≠1，1－q31－q＝34，整理可得，q2＋q＋14＝0，解得，q＝－12，

则S4＝1－q41－q＝1－1161＋12＝58.

跟踪训练1．(1) 在等比数列{an}中，若a1＝2，an＝162，Sn＝112，求n和q；

[解] 由Sn＝a1－anq1－q得112＝2－162q1－q，∴q＝－2，

又由an＝a1qn－1得162＝2(－2)n－1，∴n＝5.

(2) 在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝17，求an.

[解] 若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，

∴S4＝a11－q41－q＝1，S8＝a11－q81－q＝17，

两式相除得1－q81－q4＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝115或a1＝－15，

∴an＝115·2n－1或－15·(－2)n－1.

(3) 在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.

[解] [a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或12，而q为整数，所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝21－281－2＝510.]

(4) 等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为________.

[解] 当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.

当x≠1时，q＝x，Sn＝a11－xn1－x＝1－xn1－x.

二．错位相减法

1. 推导等比数列前n项和的方法

一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

用公比q乘①的两边，可得

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②

由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

整理得Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．

2. 我们把上述方法叫错位相减法，

(1)适用范围：一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.

(2)注意事项：

①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出1－qSn的表达式.

②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.

【例2】 已知等比数列{an}满足：a1＝12，a1，a2，a3－18成等差数列，公比q∈(0,1)，

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝12， 因为a1，a2，a3－18成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－18，即得4q2－8q＋3＝0，

解得q＝12或q＝32，又因为q∈(0,1)，所以q＝12，所以an＝12·（12）n－1＝12n.

(2)根据题意得bn＝nan＝n2n，

Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n， ①

12Sn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，②

作差得12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1，

跟踪训练2

(1)本例题中设cn＝nan，求数列{cn}的前n项和Sn′.

[解] 由题意知cn＝n·2n，

所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，

2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，

两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1

＝21－2n1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.

(2)本例题中设dn＝(2n－1)an，求数列{dn}的前n项和Tn.

[解] 由题意可得：

Tn＝1×12＋3×122＋…＋(2n－1)×12n，

12Tn＝1×122＋3×123＋…＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1，

两式相减得

12Tn＝1×12＋2×122＋…＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝12＋12×1－12n－11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，

所以Tn＝3－42n－2n－12n＝3－2n＋32n. 三：等比数列前n项和的性质

1．等比数列前n项和的变式

当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

2．等比数列前n项和的性质

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn ，若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.

(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn ，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．

(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．

(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn ，则Sn +m＝Sn＋qnSm

【例3】(1) 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )

A．一定是等差数列 B．一定是等比数列

C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列

[解] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；

当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．

∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴an＋1an＝a，

∴数列{an}是等比数列．

(2) 等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )

A．28 B．32 C．21 D．28或－21

[解] [∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，

∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.

∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，

∴S4＝28.

(3) 等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.

[解]设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，

S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则S1S2＝q＝3，即S1＝3S2.

又S1＋S2＝S80＝32，∴43S1＝32，解得S1＝24.

即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]

(4) 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，求S40

解：S20＝S10＋q10S10 ， S30＝S10＋q10S20＝S10＋q10（S10＋q10S10）

即70=10+q10（10＋10q10）解得q10＝2或q10＝－3

所以S40＝S10＋q10S30＝150

跟踪训练3

(1) 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.

[解]－13 [显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.]

(2) 正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”求S4n的值．

[解] 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2,14－x，y－14成等比数列，所以 x－22＝214－x，14－x2＝x－2y－14，

所以 x＝6，y＝30或 x＝－4，y＝－40(舍去)，所以S4n＝30.

(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．

[解] 设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，S偶S奇＝q.

则q＝12，又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝3128，即a1qn－1＋a1qn＝3128，