等比数列前n项的和

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等比数列及其前n项和

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq1－q.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

【微点提醒】

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )

(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a(1－an)1－a.( )

2

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )

等比数列的前n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、 等比数列的前n项和公式：

当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②

当q=1时，1naSn

当已知1a, q, n 时用公式①；当已知1a, q, na时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列naaaa,,321它的前n项和是

nSnaaaa321

由11321nnnnqaaaaaaS

得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111

nnqaaSq11)1(

∴当1q时，qqaSnn1)1(1 ① 或qqaaSnn11 ②

当q=1时，1naSn

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，qaaaaaann12312 根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn112132

即 qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

nSnaaaa321＝)(13211naaaaqa

＝11nqSa＝)(1nnaSqa

qaaSqnn1)1(（结论同上）

[解决问题]

有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

由11,2,64aqn可得

1(1)1nnaqSq=641(12)12=6421。

6421这个数很大，超过了191.8410。国王不能实现他的诺言。

等比数列及其前n项和考点与题型归纳

一、基础知识

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q.

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝ na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.

3．等比数列与指数型函数的关系

当q>0且q≠1时，an＝a1q·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上；

对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q，若设a＝a11－q，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．

对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．

二、常用结论汇总——规律多一点

设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a2s，其中m，n，p，q，s，r∈N*.

(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn也是等比数列．

等比数列的前n项和与求和公式

等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。等比数列的求和是数学中的一个重要概念，可以通过求和公式来计算。

首先，我们来了解等比数列的定义和基本性质。一个等比数列可以用以下的形式表示：

a，aq，aq^2，aq^3，...

其中，a是首项，q是公比。我们可以通过不断将前一项乘以公比q来得到下一项。

在等比数列中，每一项与它的前一项的比都是相等的。即，对于任意项An，有An / An-1 = q。

接下来，我们来研究等比数列的前n项和的求解方法。

假设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。我们可以通过下面的方法来计算Sn。

首先，将Sn乘以公比q，得到qSn。我们将qSn与Sn相减，得到：

qSn - Sn = a(1 - q^n)，这是因为等比数列的最后一项为aq^(n-1)，所以qSn为除了第一项a之外所有项的总和，即等差数列的前n-1项和，所以qSn - Sn = aq^(n-1) - a(1 - q^n)。

化简上式，我们可以得到： Sn(q - 1) = a(1 - q^n)。

然后，我们将上式两边都除以(q - 1)，得到：

Sn = a(1 - q^n) / (q - 1)。

这就是等比数列的前n项和的求和公式。通过这个公式，我们可以直接计算出等比数列的前n项和，而不需要逐个求和。

需要注意的是，在使用此公式时，我们需要确保公比q不等于1。因为当q等于1时，等比数列就变成了等差数列，此时的求和方法是不同的。

综上所述，等比数列的前n项和的求和公式为：

Sn = a(1 - q^n) / (q - 1)。

通过这个公式，我们可以快速准确地求解等比数列的前n项和，避免了逐个求和的繁琐计算过程，提高了效率。

总结一下，等比数列是数学中重要的概念之一，求和公式为Sn =

a(1 - q^n) / (q - 1)。了解和掌握这个公式，可以帮助我们更好地理解和计算等比数列的前n项和。