宁夏银川一中2022届高三上学期第一次月考数学试题(理科) Word版含解析

银川一中2022届高三年级第一次月考理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1，O-16，Na-22，S-32，K-39，Mn-55，Fe-56，Cu-64，Ni-59，Zn-65，Zr-91一、选择题：本题包括13小题。

每小题6分，共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。

1．科学家从深海中的火山口周围发现的热泉中，发现大量的硫细菌，这些硫细菌通过氧化硫化物和还原二氧化碳来制造有机物。

下列关于该细菌的表述正确的是A．该硫细菌的新陈代谢同化作用类型为异养类型B．对其研究有助于了解生命的起源和进化，还为耐高温酶的潜在来源C．硫细菌有核物质无拟核结构，核物质为DNAD．青霉素等抗生素不能抑制该细菌的生长和繁殖2．细胞含有多种多样的分子，下列相关叙述错误的是A．葡萄糖既可以作为能源物质,也可以参与构建细胞B．细胞中的自由水既是良好溶剂又是运输工具C．DNA和RNA是生物大分子,两者可通过核孔进出细胞核D．氨基酸是水溶性小分子,某些氨基酸可以传递信息3．实验发现，葡萄糖进入红细胞时，如果使用药物限制细胞膜上蛋白质的活性，则葡萄糖的运输速率迅速下降，如果减少能量的供应，却对运输速率没有影响。

由此推断葡萄糖进入红细胞的方式和条件是A．自由扩散不需要载体协助B．协助扩散需要载体协助C．主动运输需要载体协助D．渗透作用不需要载体协助4．取五支试管，各加入2 mL0.5 mol/L的过氧化氢溶液，然后按下表要求分别加入试剂或材料。

根据上述实验，下列说法正确的是A．用2号和3号组对比，可以说明酶具有高效性；B．用3号和4号组对比，可以说明酶具有催化作用；C．用1号和4号组对比，可以说明酶具有专一性；D．用3号和5号组对比，可以说明酶的催化效率受pH和温度影响5．呼吸作用原理广泛运用于生产生活实践中，下列有关做法,合理的是A．做面包时加入酵母菌并维持密闭状态B．用不透气的消毒材料包扎伤口以避免感染C．白天定时给栽培大棚通风以保证氧气供应D．水稻田适时排水晒田以保证根系通气6．将一株生长正常的绿色植物置于密闭的玻璃容器内，在适宜条件下光照培养，随培养时间的延长，玻璃容器内CO2浓度可出现的变化趋势是A．一直降低，直至为零B．降低至一定水平时保持相对稳定C．不变化，一直保持稳定D．升高至一定水平时保持相对稳定7．化学与生活、科技及环境密切相关，下列说法正确的是A．面粉中禁止添加CaO2、过氧化苯甲酰等增白剂，CaO2属于碱性氧化物，过氧化苯甲酰属于有机物B．为了防止感染“新冠病毒”，坚持每天使用无水酒精杀菌消毒C．采用“燃煤固硫”、“煤的气化液化”、“静电除尘”、“汽车尾气催化净化”等方法，提高了空气质量，使我们的生活环境更美好D．《本草纲目》中“石碱”条目下写道：“采蒿蓼之属，晒干烧灰，以水淋汁，久则凝淀如石，浣衣发面，亦去垢发面。

一、单选题1. 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D ．32. 若，则“”是 “”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 已知函数，若存在实数，对任意的实数都有，且在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 设集合，，，则（ ）．A．B．C．D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 若，则（ ）A ．1B．C ．2D．8. 已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．10.若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．11. 已知函数，则（ ）A．函数的定义域为，值域为B．函数的定义域为，值域为C．函数的定义域为，值域为D．函数的定义域为，值域为12. 已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．宁夏银川市2022届高三一模数学（理）试题二、多选题13.若（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14.的展开式中，的系数为A．B．C．D．15. 下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则16.若函数为偶函数，则函数在区间上的取值范围为A．B．C．D．17. 已知P 为抛物线C ：上的动点，在抛物线C 上，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，，，则（ ）A．的最小值为4B ．若线段AB 的中点为M ，则的面积为C ．若，则直线l 的斜率为2D．过点作两条直线与抛物线C 分别交于点G ，H ，且满足EF 平分，则直线GH 的斜率为定值18. 新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：根据该图数据，这7次人口普查中（ ）A ．城镇人口数均少于乡村人口数B ．乡村人口数达到最高峰是第4次C ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次D ．城镇人口总数逐次增加19. 已知，则（ ）A．B．C．D．20. 直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）A ．3πB ．πC．D．21. 意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数三、填空题四、解答题解析式：，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（ ）A．B ．是偶函数C．D ．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数22. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．23. 已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若是异面直线，则与相交D．若，则24. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（ ）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C ．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D ．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则25. 已知直线上一点A，圆上一点B ，则的最小值为__________.26.设等差数列的前n项和为，若，则_____．27. 已知双曲线：的离心率，则双曲线的渐近线方程为___________.28. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________.29. 树人中学举办以“喜迎二十大､永远跟党走､奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是___________.30.已知集合，则______．31. 已知函数，若，则_________.32.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.33. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．五、解答题34. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：35. 化简，并求函数的值域和最小正周期．36. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.37. ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%.(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.38. 求值.（1）；（2）.39. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．40. 体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在范围内，且规定分数在分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良合计（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：，其中．41. 已知函数．⑴求函数的最小正周期；⑵在给定的坐标系内，用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图象．42. 已知是函数图象的一条对称轴．（1）求的值；（2）求函数的单调增区间；（3）作出函数在上的图象简图（列表，画图）．43. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：六、解答题(1)求频率分布直方图中的值；(2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率．44. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.(1)作出（不要求写作法）；(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；(3)若，求平面与平面的夹角的余弦值.45. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，其中为底面的中心.(1)证明：平面平面.(2)若，求四棱锥体积的最大值.46.已知函数的图象在处的切线斜率为.（1）求证：时，；（2）求证：..47. 在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.48. 已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.七、解答题49.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.50.如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.51. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出不足1kg ，按1kg 计算需再收5元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围包裹件数近似处理50150250350450天数6630126某人打算将，，三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？52. 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：摄氏温度热饮杯数（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.（2）（i ）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（ii）记为不超过的最大整数，如，.对于（i ）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？【参考公式】，，【参考数据】，，.，，，.53.经过考察，某公司打算对两个项目进行投资，经测算，投资项目（百万元）与产生的经济效益之间满足：（百万元），投资项目与产生的项目经济效益之间满足：（百万元）.（1）公司现有1200万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大；（2）若投资百万元的某项目产生的经济效益为百万元，设投资该项目的边际效应函数为，其边际效应值小于0时，不建议投资该项目，那么对项目与应如何投资，才能使得经济效益最好？54. 工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲､乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸(单位：)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸满足：为一级品，为二级品，为三级品（1）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记为这2件产品中一级品的个数，求的分布列和数学期望；（2）为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一､二､三级品的概率分别是，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备，请说明理由．55. 单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．（注：方差，其中为，，…，的平均数）56. 2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：欧洲球队美洲球队非洲球队亚洲球队32强16强32强16强32强16强32强16强1131094515121310105514031361085240414108550515138835263合计66444525256245 (1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区其他地区合计并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？(2)淘汰赛阶段全场比赛90分钟内进球多的球队获胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负，将进行30分钟的加时赛．加时赛阶段，如果两队仍未分出胜负，则通过点球决出胜负．若每支球队90分钟比赛中胜，负，平的概率均为，加时赛阶段胜，负，平的概率也均为，并且各阶段比赛相互独立．设半决赛中进行点球比赛的场次为，求的分布列及期望．附：，0.0500.0100.0013.841 6.63510.828八、解答题57. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点（异于椭圆长轴顶点），的周长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求（为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程．58. 已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．（1）求函数的解析式；（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．59. 已知函数.（1）当时，证明函数无极值点；（2）是否存在实数，使得只有唯一的正数，当时恒有？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.60. 已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点.(1)证明：平面；(2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？61. 已知直线：与轴的交点是椭圆：的一个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点，是否存在使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．62. 已知定义在R上的函数，其中a为常数.（I）若x=1是函数的一个极值点，求a的值（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围正数（III）若函数，在x=0处取得最大值，求a的取值范围。

2022届宁夏银川市高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}224A x x =-<-<，{}260B x x x =+-<，则A B = （）A ．{}34x x -<<B ．{}32x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}24x x <<【答案】C【分析】求出集合,A B 后可求A B ⋂.【详解】因为{}24A x x =-<<，{}32B x x =-<<，所以{}22A B x x ⋂=-<<.故选：C.2．|32i1i-+|=（）A ．522B ．262C ．5D ．13【答案】B【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模长公式即得解【详解】由题意，()()2232i 1i 32i 15i 1526||1i 22222----⎛⎫⎛⎫===+-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：B3．已知2cos sin 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos αα=（）A ．34-B ．34C ．237-D ．237【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到tan α，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：由2cos sin 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2cos cos 2sin sin sin 66ππααα-=，即3cos sin sin ααα-=，则3tan 2α=，所以222sin cos tan 23sin cos sin cos tan 17αααααααα===++.故选：D4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C 的离心率为A ．22B ．2C ．3D ．2【答案】D【分析】根据题意，列出方程组，求得,,a b c 的值，再利用离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直，焦距为8，可得222128b a c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，得22224a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以双曲线的离心率4222e ==.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确列出方程组，求得,,a b c 的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（）A ．25πB ．75πC ．100πD ．300π【答案】C【分析】设出底面半径，利用侧面积求出半径，进而利用圆锥体积公式进行所求解.【详解】设该圆锥体交通锥的底面半径为r ，则2π14465πr r ⋅+=，解得：=5r ，所以该圆锥体交通锥的体积为2125π100π3⨯=故选：C6．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()ln 2af x x x=+，若()()0e 3f f +=-，e 是自然对数的底数，则()1f -=（）A ．eB ．2eC ．3eD ．4e【答案】D【分析】依题意根据奇函数的性质得到()00f =，即可得到()3e f =-，代入函数解析求出a ，最后根据()()11f f -=-计算可得；【详解】解：依题意得()00f =，()()f x f x -=-，由()()0e 3f f +=-，即()ln 3e e e2af =+=-，得8e a =-，所以当0x >时()4n e l f x x x =-，所以()()411ln e 1e 14f f ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭.故选：D7．我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩.在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为（）A ．0.9B ．0.8C ．0.7D ．0.6【答案】B【分析】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，利用对立事件，即可得到答案；【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为210.810-=.故选：B8．如图所示的是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 值是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】模拟执行程序，即可得到输出结果；【详解】解：模拟执行程序可知：第1循环，1n =，1S =，不满足40?S >，第2次循环，2n =，123S =+=，不满足40?S >，第3次循环，3n =，336S =+=，不满足40?S >，第4次循环，4n =，6410S =+=，不满足40?S >，第5次循环，5n =，10515S =+=，不满足40?S >，第6次循环，6n =，15621S =+=，不满足40?S >，第7次循环，7n =，21728S =+=，不满足40?S >，第8次循环，8n =，28836S =+=，不满足40?S >，第9次循环，9n =，36945S =+=，满足40?S >，故输出的n 值是9.故选：C9．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈）A ．42B ．56C ．63D ．70【答案】C【分析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q =的等比数列，利用等比数列求和公式，结合lg20.3010≈，即可得到答案；【详解】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q =的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg 500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=，故需要的天数约为9763⨯=.故选：C10．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.给出下列四个命题：①BD ∥平面EGHF ；②FH ∥平面ABC ；③AC ∥平面EGHF ；④直线,,GE HF AC 交于一点.其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】依题意可得//GH BD 且23HG BD =，//EF BD 且12EF BD =，即可得到//BD 平面EGHF ，再判断FH 与AC 为相交直线，即可判断②③，由四边形EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，即可得到M AC ∈，从而判断④；【详解】解：因为::BG GC DH HC =，所以//GH BD 且23HG BD =，又,E F 分别为,AB AD 的中点，所以//EF BD 且12EF BD =，则//EF GH ，又BD ⊄平面EGHF ，GH Ì平面EGHF ，所以//BD 平面EGHF ，因为F 为AD 的中点，H 为CD 的一个三等分点，所以FH 与AC 为相交直线，故FH 与平面ABC 必不平行，AC 也不平行平面EGHF ，因为EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，又EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，则M 是平面ABC 与平面ACD 的一个交点，所以M AC ∈，即直线,,GE HF AC 交于一点，故选：B.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若26AB AC a ⋅+=，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．3C ．22D ．23【答案】B【分析】根据题意得到2cos 6b A a +=，利用余弦定理和面积公式，化简得到()222226144a Sbc -=-，结合222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，得到42232416a a S -+≤，即可求解.【详解】由26AB AC a ⋅+=，可得2cos 6bc A a +=，由余弦定理可得22212a b c ++=.因为ABC 的面积1sin 2S bc A =，所以()()222222222222611611cos 14444a a S b c A b c b c bc ⎡⎤-⎛⎫-=-=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以()()()()222222222422612632416416416bc a a a a a S +----+≤-=-=，故当24a =时，2S 取得最大值3，此时3S =.故选：B.12．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在()0,2π上的零点最多有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】先求出函数()f x 的单调区间，根据题意得出参数ω的范围，设6t x πω=+，则,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，由172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，得出函数sin y t =在,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点情况出答案.【详解】由22262k x k ππππωπ-+++≤≤，k ∈Z ，得22233k k x ππππωωωω-++≤≤，k ∈Z ，取0k =，可得233x ππωω-≤≤.若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单词递增，则23634ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得403ω<≤.若()0,2x π∈，则,2666x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.设6t x πω=+，则,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，因为172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以函数sin y t =在,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点最多有2个.所以()f x 在()0,2π上的零点最多有2个.故选：A二、填空题13．若,x y 满足约束条件20,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩则32z y x =-的最大值为___________.【答案】6【分析】依题意画出可行域，数形结合，即可求出z 的最大值；【详解】解：画出可行域如下所示：由200x y x -+=⎧⎨=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即()0,2B ，由32z y x =-，则2133y x z =+，平移23y x =，由图可知当21:33l y x z =+经过点()0,2B 时，z 取得最大值，即max 32206z =⨯-⨯=，即z 最大值为6.故答案为：614．已知函数()cos f x mx x =-在R 上单调递增，则m 的最小值为___________.【答案】1【分析】根据题意，由()sin 0f x m x '=+≥在R 上恒成立求解.【详解】因为函数()cos f x mx x =-在R 上单调递增，所以()sin 0f x m x '=+≥在R 上恒成立，即sin m x ≥-在R 上恒成立，所以1m ≥.故答案为：115．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A ，B 为摩天轮在地面上的两个底座，10AB =，点P 为摩天轮的座舱，则PA PB ⋅的范围为______．【答案】[]21,119-【分析】由题意可得到P 到AB 中点距离的最大值和最小值，然后根据数量积的运算，可得到答案.【详解】设C 为AB 的中点，如图示：由题意可知：2||12PC ≤≤,则()()22225PA PB PC CA PC CB PC CB PC ⋅=+⋅+=-=- ，又因为[]2,12PC ∈ ，所以PA PB ⋅的取值范围是[]21,119-,故答案为：[]21,119-16．已知00x <，()0,0M x ，O 为坐标原点，若在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是___________.【答案】[)1,0-【分析】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，设OMQ θ∠=，根据在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，得到45θ≥︒，然后求得当=45θ︒时的0x 即可.【详解】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，如图所示：设OMQ θ∠=，因为在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，所以45θ≥︒，当=45θ︒时，直线MQ 的方程为0y x x =-，将0y x x =-代入24y x =，可得20440y y x --=，由016160x ∆=+=，解得01x =-，所以0x 的取值范围为[)1,0-.故答案为：[)1,0-三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足14n n a a n ++=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若cos n n b a n π=，记{}n b 的前n 项和为n S ，求2n S .【答案】(1)21n a n =-(2)22n S n=【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式得到1122n n a a dn a d ++=+-，即可求出1a 、d ，从而得到通项公式；（2）由（1）可得()21,21,n n n b n n -⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，即可得到2122k k b b -+=，利用并项求和法计算可得；【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()111n a a n d nd a d =+-=+-，所以11224n n a a dn a d n ++=+-=，所以12420d a d =⎧⎨-=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，则21n a n =-.（2）解：因为21n a n =-且cos n n b a n π=，所以()()21,21cos 21,n n n b n n n n π-⎧⎪=-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，所以()()21243412k k b b k k -+=--+-=，所以()()()212342122n n n S b b b b b b n -=++++++= .18．在一次活动课上，老师准备了4个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里面有100元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进行置换.(1)若以获得有100元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由.(2)以（1）中的结果作为置换的依据，记X 表示甲获得的金额，求X 的分布列与期望.【答案】(1)甲需要选择置换，理由见解析；(2)分布列答案见解析，数学期望：37.5.【分析】（1）利用条件概率即求；（2）由题可得X 的可能取值为0，100，分别求概率，即得.【详解】（1）甲需要选择置换.理由如下：若甲同学不选择置换，则获得有100元的红包的概率为14，若甲同学选择置换，若甲同学第一次抽到100元，概率为14，置换后概率为0，故为1004⨯=，若甲同学第一次没有抽到100元，概率为34，置换后概率为12，故为313428⨯=；则获得有100元的红包的概率为33088+=，因为3184>，所以甲需要选择置换.（2）由题可知X 的可能取值为0，100.()31008P X ==，()350188P X ==-=，X 的分布列如下：X0100P5838()53010037.588E X =⨯+⨯=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，2PA AB AD ===，ABCD 为平行四边形，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(1)证明：平面AEF ⊥平面PAD .(2)求二面角F AE D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)55【分析】（1）连接AC ，通过证明PA AE ⊥和AE AD ⊥可得答案；（2）以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出面AEF 和面ABCD 的法向量，利用夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：连接AC .因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AE ⊥又因为AB AD =，且ABCD 为平行四边形，3ABC π∠=，所以ABC 为等边三角形.又因为E 为BC 的中点，所以AE BC⊥又因为AD BC ∥，所以AE AD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以⊥AE 平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD .（2）解：以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭F ，()3,0,0AE =uuur ，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1n =是平面ABCD 的一个法向量.设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，由0m AE ⋅= ，0m AF ⋅= ，可得30,310,22x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩令1z =，则0x =，=2y -即()0,2,1m =-.15cos ,55n m n m n m⋅=== ，又二面角F AE D --的平面角为锐角，所以二面角F AE D --的余弦值为55.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2c ，左､右焦点分别是1F ，2F ，其离心率为22，圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=相交，两圆的交点在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程.(2)已知A ，B ，C 为椭圆E 上三个不同的点，O 为坐标原点，且O 为△ABC 的重心.证明：△ABC 的面积为定值.【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意得到22c a =，再由圆1F 与圆2F 相交，结合椭圆的定义得到213a =+，进而求得,a b 的值，即可求得椭圆方程；（2）当AB 垂直于x 轴时，得到61,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，61,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求得362ABC S =△；当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的直线方程为y kx m =+，联立方程组得到1212,x x x x +，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得22166222ABC m S AB d m m ==⋅=，即可求解.【详解】（1）解：由椭圆E 得的离心率为22，即22c e a ==，又由圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=，可得圆心分别为12(,0),(,0)F c F c -，半径分别为121,3r r ==，因为圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=相交，两圆的交点在椭圆E 上，可得12213a r r =+=+，解得2a =，则2c =，可得222b a c =-=，所以椭圆E 的方程为22142x y +=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，当AB 垂直于x 轴时，12x x =，因为O 为△ABC 的重心，所以()2,0C 或()2,0C -.根据椭圆的对称性，不妨令()2,0C -，此时61,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，61,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得362ABC S = .当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的直线方程为y kx m =+，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222124220k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，()21222221m x x k -=+，设()33,C x y ，则()3122421km x x x k =-+=+，()3122221my y y k -=-+=+.代入22142x y +=，得22122k m +=，又由2121AB k x x =+-，原点O 到AB 的距离21m d k=+，所以()2222221144221212ABC m km S AB d m k k -⎛⎫==-⋅ ⎪++⎝⎭22222648261222m m k m m km=⋅+-=⋅=+，所以3632ABC OAB S S ==△△，即ABC 的面积为定值.21．已知函数()()22e 1ln 22x f x a x a x =+--+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)[]0,e 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号变化进行求解；（2）分三种情况进行讨论：当a<0时，适当放缩进行证明；当0a =时，证明()0f x >恒成立；当0a >时，根据函数()f x 的单调性确定最小值，再讨论e a >、0e a <≤进行求解.【详解】（1）解：()()()()11x x a a f x x a x x+-=+--='，()0,x ∈+∞，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.（2）解：若a<0，因为()()()22e ln 22xf x x ax ax ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，取71min 1,,e a x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则222e e 36222x x +++<<，()11ax a a ⎛⎫-≤-⋅-= ⎪⎝⎭，()7ln ln e 7aa x a -≤-⋅=-，此时()()6170f x <++-=，故此时()0f x ≥不可能恒成立.若0a =，此时()22e 022x f x x =++>恒成立.若0a >，则()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()f x 的最小值在x a =处取到，即()0f a ≥，而()()2222e e ln 1ln 222a a f a a a a a a -=-+-+=+-.显然当0e a <≤时，22e 02a -≥，()1ln 0a a -≥，此时()0f a ≥.当e a >时，22e 02a-<，()1ln 0a a -<，此时()0f a <，故0e a <≤.综上所述[]0,e a ∈.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．(1)求C 的直角坐标方程；(2)点()3,,12P x y x ⎛⎫⎡⎫∈ ⎪⎪⎢⎪ ⎪⎣⎭⎝⎭是曲线C 上在第一象限内的一动点，求33y x x y +的最小值．【答案】(1)()2211x y x +=≠-(2)536【分析】（1）平方相加进行消参即可；（2）由P 在圆上，设cos x θ=，sin y θ=，表示出33y x x y+后借助三角恒等变换化简得2sin 2sin 2-θθ，再结合单调性求出最小值.【详解】（1）由题可知242241212t t x t t -+=++，2224412t y t t =++，所以221x y +=．因为222121111t x t t -==-+≠-++，所以C 的直角坐标方程为()2211x y x +=≠-．（2）点(),P x y 3,12x ⎛⎫⎡⎫∈ ⎪⎪⎢⎪ ⎪⎣⎭⎝⎭是曲线C 上在第一象限内的一动点，令cos x θ=，sin y θ=，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则3333sin cos cos sin y x x y +=+θθθθ()2222244sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos +-⋅+==θθθθθθθθθθ211sin 222sin 21sin 2sin 22-==-θθθθ，因为上式在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故当6πθ=时，取得最小值536．23．已知函数()21f x x x =-++．(1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()1f x a x x >-+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围.【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或．（2）当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈．当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x-++>，因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。

银川一中2021届高三年级第一次月考理 科 数 学命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合22(,)14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．函数()xx x f 2log 12-=的定义域为A ．()+∞,0B ．()+∞,1C ．()1,0D ．()()+∞,11,03．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米5．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是A ．1ln||y x = B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+6．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1-B ．12-C ．12D ．28．函数)1(1)(-+=x x e x e x f 的图像大致为A B C D 9．若x x f 2)(=的反函数为)(1x f-，且4)()(11=+--b fa f，则ba 11+的最小值是 A ．1B ．21 C ．31 D ．41 10．设0.51()2a =，0.50.3b ＝，0.3log 0.2c ＝，则a b c 、、的大小关系是A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．已知定义在(0，+∞)上的函数)(x f 满足0)()('<-x f x xf ，且2)2(=f ，则0)(>-x x e e f的解集是 A ．)2ln ,(-∞B ．),2(ln +∞C ．),0(2eD ．),(2+∞e12．已知函数1,0,()ln 1.0.x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解..a b c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是A.]25,2[B.22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.]25,2(D.)25,2(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分,13．若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 14．若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 15．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-,1[2,2]x ∀∈-,总0[2,2]x ∃∈-,使得01()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围为________________.16．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2022届宁夏银川一中高三一模数学（理）试题一、单选题1．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（ ） A ．[)0,1 B ．0,1 C ．0,1D ．(]1,0-【答案】A【详解】试题分析：由于不等式20x x -≤等价于()10x x -≤，解得01x ≤≤， 故集合{}01M x x =≤≤函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ，满足10x ->，故集合{}|1N x x =<， 因此通过集合的交集的运算可知，{|01}M N x x =≤<故选：A.2．设复数z 满足2iz i =-，则z =（ ） A ．12i -- B ．12i - C ．12i + D ．12i -+【答案】A【详解】因为复数z 满足zi=2-i,z=-1-2i.选A3．已知向量()3,2a =-，(),1b m =，若a b ⊥，则3a b -=（ ） A ．()0,5 B ．()5,1 C ．()1,5- D ．15,52⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据两向量垂直计算出参数m 的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果. 【详解】因为a b ⊥，所以320m -=，解得23m =， 所以()()233,23,11,53a b ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭．故选：C.4．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 【答案】A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=，所以22Tπω==， 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈， 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A.5．下列双曲线中，焦点在y 轴上，且渐近线互相垂直的是（ ） A ．224x y -=- B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．221x y -=【答案】A【分析】求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项．【详解】设双曲线的方程为：()222210,0y x a b a b-=>>，则其渐近线为a y x b =±，因为渐近线互相垂直，故1a a b b ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即a b =，故双曲线的方程为222y x a -=， 故选：A ．6．若函数f （x ）满足f （1－ln x ）＝1x，则f （2）＝（ ）A ．12B ．eC ．1eD ．－1【答案】B【分析】根据题意，令1ln 2x -=，解可得1e x =，进而在1(1ln )f x x -=中，令1ex =，变形计算即可得答案．【详解】由1－ln x ＝2，得1ex =，11e1e x ==，即f （2）＝e.故选：B7．已知互不重合的直线,m n ，互不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若,n m α⊂∥n ，则m ∥α B ．若,n m n α⊂⊥，则m α⊥ C ．若α∥,m β∥α，则m ∥β D ．若,m m βα⊥⊂，则αβ⊥ 【答案】D【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法. 【详解】对于A ，如果直线m 在平面内，则无法得出m ∥α，故不正确； 对于B ，直线m 只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确； 对于C ，α∥,m β∥α，直线m 有可能在平面β内，无法得出m ∥β，故不正确； 对于D ，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确. 故选：D.8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤【答案】B【分析】执行程序框图，列方程计算 【详解】由图可知输出1024222126k k S +=++++=-=，得6k =故7n =时退出循环，条件为6n ≤ 故选：B9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是（ ） ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④【答案】A【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断. 【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件， ()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =；()11552111112P B A ⨯==，由此知，②正确； ()2411P B A =，()3411P B A =；而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=. 由此知①③不正确；1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由此知④正确； 对照四个命题知②④正确； 故选：A.【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.10．已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积25S ab =，且3cos cos 12bc A ac B c +=+，则S 的最大值为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C【分析】由三角形的面积公式求得4sin 5C =，再由余弦定理求得2c =，根据基本不等式可求得答案.【详解】解：由21sin 52S ab ab C ==得4sin 5C =，又△ABC 是锐角三角形，所以3cos 5C =， 由余弦定理及3cos cos 12bc A ac B c +=+得22222231222b c a a c b c +-+-+=+，整理得22320c c --=，所以2c =(负值舍去)，所以222266442cos 2555a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=≥，所以5≤ab ，225S ab =≤，当a b =时取等号， 故选：C ．11．1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ） A ．肖恩 B ．尤瑟纳尔C ．酒吧伙计D ．酒吧老板【答案】B【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X ，在七局四胜制中，求出X 取4，5，6，7的概率，即可判断出结果. 【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为20120403=+，尤瑟纳尔每局获胜的概率为40220403=+，先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X ，于是得：4444441217(4)C ()C ()3381P X ==+=，343444122172(5)C ()C ()3333243P X ==⨯+⨯=， 342342*********(6)C ()()C ()()3333729P X ==⨯+⨯=，333612160(7)C ()()33729P X ==⨯=，显然有171602007281729729243<<<，即(4)(7)(6)(5)P X P X P X P X =<=<=<=， 所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔. 故选：B12．已知函数()3e e 21x xf x x x -=--+-，下列说法中正确的个数是（ ）①函数()f x 的图象关于点()0,1-对称； ②函数()f x 有三个零点； ③0x =是函数()f x 的极值点；④不等式()()222f m f m -+>-的解集是()2,1-.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①，对函数()f x 变形得到()31e e 2x x f x x x -+=--+，根据奇偶性得到()f x 的对称中心，②③，在①的基础上，求导研究其单调性，确定其零点和极值点情况；④选项，利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式，求出解集.【详解】()31e e 2x x f x x x -+=--+，令()3e e 2x x g x x x -=--+，则()()3e e 2x x g x x x g x --=-+-=-，所以函数()3e e 2x x g x x x -=--+是奇函数，所以()g x 的图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点()0,1-对称，故①正确：又因为()22221e e 32e 2322330e x x x x g x x x x x -⎛⎫'=---+=-++-≤-+-=-≤ ⎪⎝⎭，所以()g x 在R 上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以()f x 只有一个零点且无极值点，故②③错误；由()()222f m f m -+>得()()22110f m f m -+++>，所以()()220g m g m-+>，所以()()22g m g m ->-，所以()()22g m g m ->-，所以22m m -<-，所以220m m +-<，所以()()210m m +-<，所以21m -<<，故④正确：综上所述，正确的个数是2个. 故选：B二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件1230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最大值是 _________.【答案】723.5 【分析】画出可行域，通过平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得2x y +的最大值.【详解】3223012x x y x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩， 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到点31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2x y +取得最大值为3172222⨯+=.故答案为：7214．已知tan 2α=，则1cos 2sin 22αα-=______．【答案】－1【分析】利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.【详解】221cos 2sin 2cos sin sin cos 2αααααα-=--22222222cos sin sin cos 1tan tan 1221cos sin 1tan 12αααααθααα------====-+++. 故答案为：－1.15．抛物线24y x =的准线与轴相交于点P ，过点P 作斜率(0)k k >的直线交抛物线于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若||3||FA FB =，则直线AB 的斜率k ＝_______.【答案】32132 【分析】联立直线AB 方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A 或B 的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k . 【详解】由题可知()1,0P -，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由已知3FA FB =得，()12131x x +=+，即1232x x =+①，AB 的方程：y kx k =+，与24y x =联立得：()2222240k x k x k +-+=，则121=x x ②，由①②解得213x =，13x =，将13x =代入24y x =，由k ＞0知10y >，解得()3,23A ，()2303312k -∴==--.故答案为：32. 16．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P DEF -，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．①异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为23；DF PE ⊥②；GH ③与PD 所成的角为45； PG ④与EF 所成角为60【答案】①②③【分析】可证明DE ⊥平面PGE ,可得①正确；连接FG ,取中点M ,异面直线PG 与DH 所成的角为DHM ∠，由余弦定理可证明②正确；取DF 中点N ，连接GN,NH ，异面GH 与PD 所成的角为GHN ∠，由余弦定理可得③不对；异面PG 与EF 所成角的为GPN ∠，由余弦定理可得④不对，从而可得结果.【详解】ABC的边长为4，折成正四面体P DEF-后，如图D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，DH FP∴⊥，DE GP⊥；连接FG，取中点M，可得//HM GP，∴异面直线PG与DH所成的角的平角为DHM∠；3 GP=3 HM∴=连接MD，可得7 DM=．3DH=在DMH中，余弦定理：2cos3DHM∠=；∴①对；DF PE⊥②对；取DF中点N，连接GN，NH，可得//NH DP异面GH与PD所成的角的平面角为GHN∠，由余弦定理，GH与PD所成的角是45；③对；异面PG与EF所成角的平面角为GPN∠，由余弦定理，可得PG与EF所成角不是60.④不对．故答案为①②③．【点睛】本题考查两条异面直线所成角的求法以及空间想象能力，是中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CB AA ==＝22，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．(1)求证：1//BC 平面1A CE ； (2)求二面角1A CE A --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 5【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得1//BC 平面1A CE .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角1A CE A --的余弦值. 【详解】(1)连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ， 由,O E 分别为1,AC AB 的中点，所以1//OE BC ，又OE ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ， 所以1//BC 平面1A CE .(2)由AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，故1CC ⊥底面ABC ， 建立如图所示空间直角坐标系：则(()()()1112,0,22,0,0,0,(0,0,22),1,1,0,0,2,0,(0,2,22)A C C E B B ，所以()(11,1,0,2,0,22CE CA ==， 设平面1A CE 的一个法向量为：(),,m x y z =， 则100CE m CA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02220x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则21,2y z =-=-，则2(1,1,)2m =--，因为1CC ⊥底面ABC ，所以1(0,0,22)CC =为平面CEA 一个法向量， 所以1115cos ,5||||CC m CC m CC m ⋅<>==-⋅，由图可知，二面角1A CE A --为锐角， 所以二面角1A CE A --的余弦值为55.18．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生 女生 总计 90分钟以上 80 x 180 90分钟以下y z 220 总计160240400(1)求x ，y ，z 的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)100,80,140x y z ===，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关 (2)1742【解析】(1)由80180x +=可得：100x =；由80160y +=可得：80y =； 由80220z +=可得：140z =；所以22⨯列联表如下：()224008014010080 2.694 3.841180220160240K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．(2)抽取的9人中，需要抽取男生：9804180⨯=人，女生：91005180⨯=人， 男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；所以所求概率21345433995117142142C C C P C C ⋅=+=+= 19．已知数列{}n a 满足122n n2222n a a a n +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，令,2,n n n a a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列n b 的前2n 项的和2n S .【答案】(1)*2,N n a n n =-∈(2)2141234n n n n ---++⋅【分析】（1）根据数列的第n 项和数列前n 项和的关系即可得出答案；（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前n 项和的公式即可得出答案.【详解】(1)解：由题可知，1222222n n na a a n ++=①， 所以11221112222n n n a a a n ----++=，2n ≥②， ①-②得222n n n a n-=，所以2n a n =-（）， 又因为1122a =，所以11a =，符合（）式， 所以*2,N n a n n =-∈；(2)由（1）知，22,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以2122n n S b b b =+++()()135212462=n n b b b b b b b b -+++++++++()11122141214n n n -+--⎡⎤⎣⎦=+- 2141234n n n n --=-++⋅. 20．已知函数2()ln 3f x x ax x =+-．(1)若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极小值； (2)若1a =，对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)2- (2)(],6∞--【分析】（1）利用()'10f =求得a ，然后结合()f x 的单调性求得()f x 的极小值.（2）将不等式()()()211212m x x f x f x x x -->转化为1212()()m m f x f x x x ->-，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】(1)因为2()ln 3f x x ax x =+-的定义域为()0,∞+，所以()'123f x ax x=+-． 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2，得()'11230f a =+-=，解得a ＝1．此时()'1(21)(1)23x x f x x x x--=+-=． 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()1,+∞时，()'0f x >；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <．所以函数f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值()1ln1132f =+-=-．(2)由a ＝1得()2ln 3f x x x x =+-．因为对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，所以对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，1212()()m mf x f x x x ->-恒成立， 所以函数()my f x x=-在[]1,2上单调递减． 令2()()ln 3m mh x f x x x x x x=-=+--，[]1,2x ∈， 所以()'21230mh x x x x=+-+≤在[1，2]上恒成立， 则3223m x x x ≤-+-在[1，2]上恒成立．设()()322312F x x x x x =-+-≤≤，则()2'211661622F x x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭．当[]1,2x ∈时，()'0F x <，所以函数F (x )在[]1,2上单调递减，所以()()26F x F ≥=-，所以6m ≤-，故实数m 的取值范围为(],6∞--．【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.21．已知O 为坐标原点，1F 、2F 为椭圆C 的左、右焦点，122F F =，B 为椭圆C 的上顶点，以B 为圆心且过1F 、2F的圆与直线x =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知椭圆C 上两点M 、N （,M N 点与B 点不重合），若直线BM 和BN 的斜率之和为-2，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，试求D 点的轨迹方程. 【答案】(1)2212x y +=(2)2215()24x y -+=（0x <，或0x >且15y >）【分析】（1）根据已知条件求得,,c a b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）当直线MN 斜率存在是，设出直线MN 的方程并与椭圆C 的方程联立，化简写出根与系数关系，根据2BM BN k k +=-求得直线MN 过定点()1,1P -，设(),D x y ，由0BD PD ⋅=求得D 点的轨迹方程，并排除不符合题意的点.【详解】(1)依题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =，12PF PF =由椭圆定义知：椭圆长轴长122a PF PF =+=所以a =1b ==，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=．(2)直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ， 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得222(12)4220k x kmx m +++-=， 需满足()()()22222216412228210k m k m m k ∆=-+-=--->①，21212224221212km m x x x x k k --+==++，，由2BM BN k k +=-得1212112y y x x --+=-， 整理得1212(22)(1)()0k x x m x x ++-+=，222224(22)(1)01212m kmk m k k --++-=++，化简得1m k =--，此时()()()22228218121820m k k k k k ⎡⎤∆=---=-----=->⎣⎦，0k <或2k >. 所以直线MN 的方程可化为1y kx k =--， 所以直线MN 过点()1,1P -，若直线MN 的方程为1x =，此时直线MN 与椭圆C的交点为,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 满足2BM BN k k +=-，因为BD MN ⊥，所以BD PD ⊥，所以0BD PD ⋅=，()()0,1,1,1B P -，设(),D x y ，则()(),11,10x y x y -⋅-+=，22221510,24x y x x y ⎛⎫+--=-+= ⎪⎝⎭由上述分析可知：0k <或2k >.当2k =时，直线:23MN y x =-与221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭交于()811,1,,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；当 0k =时，直线:1MN y =-与221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭交于(0,1),(1,1)--，依题意可知，动点D 的轨迹方程为2215()24x y -+=（0x <，或0x >且15y >）.22． 已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x tC y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】（1）cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+,(α为参数,02απ<<)（2）过坐标原点【详解】（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα， 因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．23．已知x y ，为正实数，4x+y =.(1)要使不等式1121a a x y+≥+--恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：223223x y +≥，并指出等号成立的条件. 【答案】(1)(],0-∞(2)证明见解析，当83x =，43y =时等号成立【分析】（1）先求得11x y+的最小值，然后利用零点分段法来求得a 的取值范围.（2）结合二次函数的性质来证得不等式成立.【详解】(1)()1111111221444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当,2y xx y x y===时等号成立. 所以211a a +--≤恒成立，令()3,22121,213,1a g a a a a a a -≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪≥⎩，由()1g a ≤解得0a ≤， 所以a 的取值范围是(],0-∞.(2)依题意,x y 为正实数，4x y +=，所以()404y x x =-<<， 所以()22222283232224316323333x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥⎪⎝⎭， 当84,33x y ==时等号成立.。

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版权所有@高考资源网 - 1 - 银川一中2021届高三年级第一次月考
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B 的子集的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.
【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2
214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩
⎭，画出图形如图： 由图可知，A
B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个，
故选：A。

银川一中2021届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个，故选：A【点睛】本题考查交集及其运算，考查集合的性质，用数形结合的思想将问题转为图象交点的个数，属于基础题. 2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D.()()0,11,+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型. 3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C 【解析】 【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x xf x -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxxe ef x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域. 6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D.3(1,log 4)【答案】C 【解析】试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则解得，故选Ｃ．考点：函数零点的判定定理．7. 已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12-C.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C【点睛】本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9. 若()2xf x =的反函数为()1fx -，且()()114f a f b --+=，则11ab+的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13 D.14【答案】B 【解析】 【分析】 先求出()1fx -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2xy =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114fa fb --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求和的最小值，涉及反函数以及对数的运算，属于基础题型.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A. b a c << B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A【解析】 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题. 11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A. (),ln2-∞B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0xxf ee->等价为()()2x g e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤ 所以11c e<≤ 所以()22-≤+<-a b c e. 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】【分析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论． 【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题． 14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【解析】【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥， 当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x ，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________. 【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-. 【解析】 【分析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<， 又由m Z ∈，且函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =， 所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c的值； （2）解不等式()18f x >+. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c=，得到3918c +=，求解，即可得出结果； （2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =；（2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，由()1f x >+得， 当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<； 当112x ≤<时，42118x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<；所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，考查根据分段函数解不等式，属于基础题型. 19. 已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >；（2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=. 因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅. （1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程； （2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程； （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1xg x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =， 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =. （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭，设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e xg x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增， 故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增， 故()()02f x f ≥=.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法证明不等式，熟记导数的几何意义，根据导数的方法判定单调性，求函数最值即可，属于常考题型. 21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可； （2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+， （Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增； （3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去）， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （1）当2a e -≥，即2ea ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++；（2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、最值问题．二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为133x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长. 【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a .【解析】 【分析】（1）化简得到直线方程为33y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由133x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t 得，30x y -=即3y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生计算能力和应用能力.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++ （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f x a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,a b ≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立. 又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b+≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

九年级上册单元课时当堂训练 Unit 3 Period 1（Welcome） 一、词组翻译 1．青少年问题 _________________________2．发胖 ____________________________________ 3．有足够的睡眠 _______________________4．使某人受不了 _______________ __________ 5．考试得低分 _________________________6．更好地安排某人的时间 _____________________ 7．密友 _________________ ____________8．没有时间做家庭作业 _______________________ 二、词汇运用 1. There’s a club for t____________. It often helps to solve t___________ problems. 2．The light is (开着), but no one is in the room. 3．There is going to be an English (考试) tomorrow. 4．—Where is Sally, Kate? — (也许) she’s gone to the library. 5. The radio is too n__________, please turn it down. 6. He is very selfish and has no c____________ friends. He is lonely at times. 7. I didn’t sleep well last night, so I feel _____________(困倦) now. 8. When he heard the bad news, he went ___________(发疯的). 三、翻译句子 1．昨天Tom开着电视出去打篮球。

银川一中高三年级第一次月考数学试卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集,{|2},{|1}U R A x x Bx x，则集合()U C AB （）A ．{|21}x xB ．{|1}x x C ．{|21}x xD ．{|2}x x 2．下列函数中，在0x 处的导数不等于零的是（）A. xy x eB. 2xyxeC. (1)y x x D. 32y xx3．已知133a，21211log ,log 33bc，则（）A ．a b cB ．a cb C ．ca bD ．c b a4．曲线3()2f x xx 在点P 处的切线的斜率为4，则P 点的坐标为（）A. (1,0)B. (1,0)或(1,4)C. (1,8)D. (1,8)或(1,4)5．一元二次方程022a xx有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.0a B.0a C.1a D.1a 6．已知函数)(x f 是奇函数，当0x时，)10()(aaa x f x且, 且3)4(log 5.0f ，则a 的值为（）A.3B. 3C. 9D.237．今有一组实验数据如下表所示：t1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u1.54.047.5 1632.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2log utB. 1122t u C. 212tuD.22u t 8. 已知奇函数x f 在0,上单调递增，且02f ，则不等式(1)(1)0x f x 的解集是（）。

银川一中2021届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14yA x y x⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B的子集的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意，集合A表示椭圆，集合B表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14yA x y x⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()2214=,14xyxA B x yy⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B的元素有2个，则A B的子集有22=4个，故选：A【点睛】本题考查交集及其运算，考查集合的性质，用数形结合的思想将问题转为图象交点的个数，属于基础题. 2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D.()()0,11,+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型. 3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C 【解析】 【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x xf x -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxxe ef x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域. 6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D.3(1,log 4)【答案】C 【解析】试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则解得，故选Ｃ．考点：函数零点的判定定理．7. 已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12-C.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C【点睛】本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9. 若()2xf x =的反函数为()1fx -，且()()114f a f b --+=，则11ab+的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13 D.14【答案】B 【解析】 【分析】 先求出()1fx -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2xy =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114fa fb --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求和的最小值，涉及反函数以及对数的运算，属于基础题型.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A. b a c << B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A【解析】 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题. 11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A. (),ln2-∞B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0xxf ee->等价为()()2x g e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题 12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤ 所以11c e<≤ 所以()22-≤+<-a b c e. 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论．【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题． 14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【解析】【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥， 当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________.【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-. 【解析】 【分析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<， 又由m Z ∈，且函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =， 所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c 的值；（2）解不等式()1f x >. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c=，得到3918c +=，求解，即可得出结果； （2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =；（2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，由()1f x >+得，当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<；当112x ≤<时，42118x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<；所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，考查根据分段函数解不等式，属于基础题型. 19. 已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >； （2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=.因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅. （1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程； （2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程； （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1xg x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =， 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =. （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e xg x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增， 故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增， 故()()02f x f ≥=.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法证明不等式，熟记导数的几何意义，根据导数的方法判定单调性，求函数最值即可，属于常考题型. 21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可； （2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+， （Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增； （3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去）， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （1）当2a e -≥，即2ea ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++；（2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、最值问题．二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程(1sin)aρθ=-（0a>）表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知曲线2C的参数方程为133x ty t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.【答案】（1）6πθ=（ρ∈R）；（2）2a.【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为33y x=，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到,26aAπ⎛⎫⎪⎝⎭，37,26aBπ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】（1）由133x ty t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t得，30x y-=即33y x=，2C是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R）.（2）由6(1sin)aπθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26aρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26aAπ⎛⎫⎪⎝⎭，由76(1sin)aπθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276aρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26aBπ⎛⎫⎪⎝⎭，∴3||222a aAB a=+=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生计算能力和应用能力.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++ （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f x a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,ab≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立. 又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b+≤=，当且仅当1a b ==时等号成立. 成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。