极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用

直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．1．已知直线l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，则直线l 的倾斜角为( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：选D.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t sin 115°(t为参数)，倾斜角为115°.故选D.2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22解析：选B.直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，斜率为－1.故选B.3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B ．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D ．过点(－1，2)且倾斜角为2π3的直线解析：选C.化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)为普通方程得y ＋2＝－3(x －1)．直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3，故选C.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是________．解析：由已知焦点F (1，0)，又倾斜角为π3，cos π3＝12，sin π3＝32.所以弦AB 所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入抛物线的方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t .整理得3t 2－8t －16＝0.设方程两根分别为t 1，t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝83，t 1·t 2＝－163.由参数t 的几何意义得|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫832＋643＝163.答案：163根据直线的参数方程求直线的倾斜角、斜率已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin αy ＝－2＋t cos α，(t 为参数)，其中实数α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求直线l 的倾斜角． [解] 设直线l 的倾斜角为θ，则由题意知tan θ＝cos αsin α＝1tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α，所以θ＝3π2－α.所以直线l 的倾斜角为3π2－α.由直线的参数方程求倾斜角与斜率的方法已知直线l 的参数方程(1)若是标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则可直接得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.(2)若是一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt ，则当a ≠0时，斜率k ＝b a ，再由tan α＝ba 及0≤α<π求出α，当a ＝0时，显然直线与x 轴垂直，倾斜角为α＝π2.(3)若是其他形式，则通过消参化成普通方程，再求斜率及倾斜角．1.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)，则此直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(－t )y ＝3＋32(－t )，(－t 为参数)． 所以直线的斜率为－ 3.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，(t 为参数)，求直线的斜率．解：法一：把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，消去参数t 得x ＋3y －5＝0， 所以其斜率k ＝－13.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－3ty －1＝t ，所以k ＝y －1x －2＝t －3t ＝－13. 直线参数方程中参数几何意义的应用已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.[解] l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ>0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝14.(1)在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3. 直线参数方程的综合应用已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程．[解] 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，所以0＝2＋t sin α， 即|PA |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|PA |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. 因为90°<α<180°，所以当2α＝270°，即α＝135°时， |PA |·|PB |有最小值．所以直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. 所以x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一：直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二：将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，① 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0. 故可设t 1，t 2是①式的两个实根． 所以t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. 所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，所以由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．对直线参数方程标准形式中参数t 的理解从参数方程推导的过程中可知参数t 应理解为直线l 上有向线段M 0M →的数量，它的几何意义可以与数轴上点A 的坐标的几何意义作类比，|t |＝|M 0M →|代表有向线段M 0M →的长度．另外，将直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)改写成y －y 0sin α＝x －x 0cos α，其中k ＝tan α，α为直线倾斜角，则t ＝y －y 0sin α＝x －x 0cos α，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，从中不难看出直线的普通方程(点斜式)与参数方程(标准式)的联系．2．化直线的参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t 为参数)为标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt 变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2·a 2＋b 2ty ＝y 0＋b a 2＋b2·a 2＋b 2t，令cos α＝aa 2＋b2，sin α＝b a 2＋b2，t ′＝a 2＋b 2 t ，则可得标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos αy ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)，其中α为直线的倾斜角，k ＝tan α＝ba 为直线的斜率．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α，(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：选A.由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：523．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85.答案：85[A 基础达标]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B ．10C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)， 所以d ＝(2－5)2＋(－1－0)2＝10.2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( )A ．λ＝5tB ．λ＝－5tC ．t ＝5λD ．t ＝－5λ解析：选C.由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.3．经过点M (1，5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5－32t(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)解析：选D.该直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，选D.4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1得a ＝－2.故选D. 5．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解析：选B.因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋(－t )cos 150°，y ＝2＋(－t )sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t ，(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k ，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，以M 0M →的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为____________．解析：因为直线的斜率为－1， 所以直线的倾斜角α＝135°. 所以cos α＝－22，sin α＝22. 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2，0)，对应极坐标为(2，π)．答案：(2，π)9．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝32＋34t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，(α是参数)．直线l 的普通方程为3x ＋4y －12＝0.(2)曲线C 上任意一点P (1＋cos α，sin α)到l 的距离为d ＝15|3cos α＋4sin α－9|，则|PA |＝d sin 45°＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋φ)－95，且tan φ＝34. 当sin(α＋φ)＝－1时，|PA |取得最大值1425； 当sin(α＋φ)＝1时，|PA |取得最小值425. 10．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. [B 能力提升]11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C.直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a消去参数t 后得y ＝x －a . 椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1. 又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.12．给出两条直线l 1和l 2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y 轴上的截距相等，那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”．现在给出4条直线的参数方程如下：l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－4－2t (t 为参数)； l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝4－22t (t 为参数)； l 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1－t (t 为参数)； l 4：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22t ，y ＝8＋22t (t 为参数)． 其中能构成“孪生直线”的是________．解析：根据条件，两条直线构成“孪生直线”意味着它们的斜率存在且不为0，且互为相反数，且在y 轴上的截距相等，也就是在y 轴上交于同一点．对于本题，首先可以判断出其斜率分别为－1，1，－1，1，斜率互为相反数条件很明显．再判断在y 轴上的截距，令x ＝0得出相应的t 值，代入y 可得只有直线l 3和直线l 4在y 轴上的截距相等，而其斜率又恰好互为相反数，可以构成“孪生直线”．答案：直线l 3和直线l 413．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得 t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．故所求a 的值为1.14．(选做题)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x . (2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α， 所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π2时，|AB |取得最小值2.。

极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t 几何意义的应用1．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 的参数方程为：（t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若P （﹣2，﹣4），求|PM |+|PN |的值．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P （1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）求直线l 的参数方程（设参数为t ）和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求的值．3．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （，），半径r=．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围．4．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．5.（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB =求l 的斜率．极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．3．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．4．已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．5．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ．（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．6．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．7．（2011新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P点满足2OP OM =uu u v uuu v，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．8．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积．极坐标与参数方程专题（3）——求点到直线的距离1．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．2．（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．3．（2015陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．4．在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C 1的极坐标方程为ρsin （θ﹣）=3，曲线C 2的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C 1的极坐标方程化为直角方程，C 2的参数方程化为普通方程；（2）设P 是曲线C 1上任一点，Q 是曲线C 2上任一点，求|PQ |的最小值．极坐标与参数方程专题（4）——求轨迹方程1．(2018全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．（1）求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．3．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．4.（2013新课标Ⅱ）已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数 上，对应参数分别为βα=与2βα=（02απ<<）M 为PQ 的中点。

直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用直线参数方程中的参数t表示直线上任意一点的位置。

具体地，如果直线参数方程为：
x = x1 + at
y = y1 + bt
其中x1、y1、a、b都是已知常数，那么对于任意一个实数t，都可以通过代入上述方程得到直线上的一个点(x,y)。

也就是说，t
代表了直线上的点与起始点(x1,y1)之间的相对位置。

在实际应用中，我们可以根据直线参数方程来求解直线上的点之间的距离、直线的斜率、直线与平面的交点等问题。

例如，若要求直线上点A(x1+at1, y1+bt1)与点B(x1+at2, y1+bt2)之间的距离，可以利用两点间距离公式：
AB = √[(x2-x1) + (y2-y1)]
其中x1 = x1+at1, y1 = y1+bt1, x2 = x1+at2, y2 = y1+bt2。

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极坐标与参数方程一、 极坐标1.极坐标系：极坐标系：以直角坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，一个线段长度为极径，逆时针方向为正方向旋转一定的角度建立的坐标系称为极坐标系．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2.直角坐标与极坐标的互化：以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P 的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，或222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩．二、参数方程1．参数方程的定义存在一个参变量t ，使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )（t 为参变数），即为参数方程． 2．直线的参数方程过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t＝0.直线的标准参数方程：若直线的参数方程一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ( t 为参数)， ①若√a 2+b 2=1，则直线参数方程为标准参数方程； ②若√a 2+b 2≠1，可把它化为标准形式：{x =x 0+√a 2+b 2′y =y 0+√a 2+b 2′ （t ′为参数方程）.此时参数t ′才有如前所说的几何意义． 3．圆的参数方程圆的圆心为O (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． 4．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0,2π)． 5．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.6．抛物线的参数方程抛物线y 2=2px （p >0）的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．二、 极参第二问方法1． 直参圆普（利用“t ”的几何意义）①直线：直线化标准参数方程②曲线：曲线化普通方程③联立①②④韦达定理题型1：|PA |+|PB |={|t A −t B | t A ∙t B <0|t A +t B | t A ∙t B >0题型2：|PA |∙|PB |=|t A ∙t B |题型3：|AB |=|t A −t B |题型4：1|PA |+1|PB |=|PA |+|PB ||PA |∙|PB |2． 圆参直普（求范围/最值）①曲线：曲线化参数方程②直线（曲线）：直线化普通方程（曲线化参数方程） ③由曲线参数方程设动点坐标题型1：目标函数型：点代入目标式子求取值范围 题型2：点到直线距离型：点代入点到直线距离公式 d =00√A 2+B 2题型3：两点距离型：代入两点距离公式|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)23． 极极联立①直线与曲线均化为极坐标方程②联立极坐标方程求交点极坐标③利用极径与夹角几何意义题型1：直线过原点|AB|=|ρA−ρB|（0、A、B三点共线）题型2：两曲线同时过原点题型3：点在曲线上，由夹角设点坐标。

参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１　在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析　（１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解　（１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２　ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２　＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４　２　＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４　２　＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４　２　＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４　２　＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２　（２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５　＋槡３２ｔｙ　＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解　（Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２．　将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２　＋槡５　３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３　已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解　（１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３　＋槡２２ｔｙ　＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２　６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２　６５．评注　对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４　已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析　（１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解　（１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２　２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７　２　－槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７　２　－槡３４２．例５　（２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析　（Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解　（Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２　５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２　５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２　５５．例６　（２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ　＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２　３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析　（Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解　（Ⅰ）由ρ＝槡２　３ｓｉｎθ，得ρ２　＝槡２　３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　＝槡２　３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ　－槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注　将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２　ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析　（Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２　ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解　（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ　＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６　２　ｍ＝０，故ＡＭ　＝槡１２　２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ　ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ　ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ　ｃｏｓ２α．由２　ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注　本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８　（２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２　槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析　（Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解　（Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２　－槡２　３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２　３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２　３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注　如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９　（２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析　（Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解　（Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４　＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０　（２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析　（Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解　（Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２　－槡３　２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２　２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注　过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。

《直线参数方程t 的几何意义》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P 0P =t ∣P 0P ∣=t P (y x ,)为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为221t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。

在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。

应用一：求距离之积例1：已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ，两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积。

应用二：求距离例2、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。

（1）求弦长AB .（2）求A P 0和B P 0的长。

应用三：求点的坐标例3、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6π，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。