随机数与几何概型

课时52随机数与几何概型1.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)()A.3.13B.3.14C.3.15D.3.162.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A. B. C. D.3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A. B. C. D.4.若在区间[-5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x-1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为()A. B. C. D.5.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A. B. C.1- D.6.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B. C. D.7.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.8.在区域M=内随机撒一把黄豆,落在区域N=内的概率是.9.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概率为.10.在区间上随机取一个数x,求cos x的值介于0到之间的概率.11.已知函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1],a,b∈R,且是常数.(1)若a是从-2,-1,0,1,2五个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求函数y=f(x)为奇函数的概率;(2)若a是从区间[-2,2]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数,求函数y=f(x)有零点的概率.12.一只蚂蚁在边长分别为5,6,的三角形区域内随机爬行,试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率.1．答案:A解析:根据几何概型的定义有,得π≈3.13.2．答案:A解析:面积为36cm2时,边长AM=6cm;面积为81cm2时,边长AM=9cm.∴P=.3．答案:C解析:如图,在AB边上取点P',使,则P只能在AP'上(不包括P'点)运动,则所求概率为.4．答案:B解析:若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离d=,解得-1≤a≤3.又a∈[-5,5],故所求概率为.5．答案:C解析:设OA=OB=2R,连接AB,如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积,S阴影=π(2R)2-×(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率是=1-.6．答案:C解析:由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P=.7．答案:解析:[-1,2]的区间长度为3,[0,1]的区间长度为1,根据几何概型知所求概率为.8．答案:解析:画出区域M,N,如图,区域M为矩形OABC,区域N为图中阴影部分.S阴影=×4×2=4,故所求概率P=.9．答案:解析:圆周上使弧的长度为1的点M有两个,设为M1,M2,则过A的圆弧的长度为2,B点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1,所以劣弧的长度小于1的概率为.10．解:如图,在上任取x,0<cos x<的x的取值范围是x∈.记“cos x的值介于0到之间”为事件A,则P(A)=.11．解:(1)函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1]为奇函数,当且仅当∀x∈[-1,1],f(-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15个:(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.设事件A为“函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1]为奇函数”,包含的基本事件有5个:(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),事件A 发生的概率为P(A)=.(2)设事件B为“函数y=f(x)有零点”,试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2},区域面积为4×2=8.构成事件B的区域为{(a,b)|a=b=0}∪{(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2,a≠0且(a+b)(b-a)<0}, 即{(a,b)|a=b=0}∪(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2,a≠0且-1<<1,区域面积为×4×2=4,事件B发生的概率为P(B)=. 12．解:由题意,画出示意图(如图所示).在△ABC中,由余弦定理,得cos B=.于是sin B=.所以S△ABC=×5×6×=9.又图中阴影部分的面积为△ABC的面积减去半径为1的半圆的面积,即为S阴影=9-,所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P==1-.。

3.3 几何概型3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教学目标：1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．3、 例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。

3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用1．几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．思考：几何概型有哪些特点？[提示](1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．3．随机数的含义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．4．产生随机数的方法(1)用函数型计算器产生随机数的方法：0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同的．(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生随机数的方法)：①Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand()*(b－a)＋a得到．1．下列概率模型是几何概型的为()A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)B[A、C、D的基本事件是有限的，为古典概型，只有B为几何概型．] 2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13 B.12 C.14D．16B[向△ABC内投一点的结果有无限个，属几何概型．设点落在△ABD内为事件A，则P(A)＝△ABD面积△ABC面积＝12.]3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m>nB．m<nC．m＝nD．m是n的近似值D[随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．]4．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．23[∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2 3.][1．古典概型和几何概型有何异同点？[提示]相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．2．P(A)＝0⇔A是不可能事件，P(A)＝1⇔A是必然事件是否成立？[提示](1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A 的概率P(A)＝1，则A为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．3．解决几何概型问题的关键是什么？几何概型求概率问题一般有几种类型？[提示]解决几何概型的关键是把握好“测度”问题，常见测度为长度(角度)、面积、体积．【例1】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在边BC上找一点M，求BM＜1的概率．[思路探究]由题意M是边BC上一点，故试验全部结果构成的区域长度为边BC的长，E事件的区域长度为1.可由几何概型概率公式求解．[解]∵AD⊥BC，∠B＝60°，∠C＝45°，∴BD＝1，DC＝3，∴BC＝1＋ 3.记事件E为“在BC上找一点M，使BM＜1”，则P(A)＝1BC＝11＋3＝3－12.1．(变条件)本例把“在边BC上找一点M”改为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”，其他条件不变，求BM＜1的概率．[解]∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，∵AD⊥BC，AD＝3，∴BD＝1，∠BAD＝30°.记事件F为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM＜1”，则P(F)＝30°75°＝25.2．(变结论)本题条件不变，求M到边BC两端点的距离均大于1的概率．[解]∵AD⊥BC，∠B＝60°，∠C＝45°，∴BD＝1，DC＝3，∴BC＝1＋ 3.记事件G为“在BC上找一点M，使M到BC两端点的距离均大于1”，则P(G)＝1＋3－21＋3＝2－ 3.1．若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．2．“角度”型几何概型问题容易与“长度”型混淆，求解时应特别注意辨别．【例2】甲、乙两人约定在6时到7时在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．[思路探究]解答本题可先求出解析图中阴影部分面积及整个区域面积，然后利用几何概型公式求出相应事件的概率．[解]用x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能会面的条件是|x－y|≤20.在平面上建立直角坐标系如图所示，则(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间用图中阴影部分表示，所以P (A )＝602－402602＝59.1．解此类几何概型问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．2．对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．1．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．1－π4 [由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M 的面积为2－π2.故所求概率为2－π22＝1－π4.]【例3】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[思路探究]利用体积之比求概率．[解]依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于 1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．[解]到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×⎝⎛⎭⎪⎫133×18，所以P＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫133×1833＝π2×37.与体积有关的几何概型问题的解决方法(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.【例4】如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，利用随机模拟的方法近似计算下列问题：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？[思路探究]与面积有关的几何概型要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以产生两组随机数来表示点的坐标确定点的位置．[解]记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}，事件C＝{投中大圆之外}．①用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand()，b1＝rand()．②经过变换，a＝a116－8，b＝b116－8，得到两组[－8,8]的均匀随机数．③统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜36的点(a，b)数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4＜a2＋b2＜16的点(a，b)数)，投中木板的总次数N(即满足上述－8＜a＜8，－8＜b＜8的点(a，b)数)．④计算频率f n(A)＝N1N，f n(B)＝N2N，f n(C)＝N－N1N，即分别为概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值．通过模拟得(1)P(A)≈0.44.(2)P(B)≈0.15.(3)P(C)≈0.56.1．解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值．2．解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率．2．利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．[解](1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand()，b1＝rand()．(2)经过变换a＝a1](3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点的个数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)的个数)．(4)计算频率N1N就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 12.∴S12≈N1N.∴S≈12N1N，即为阴影部分面积的近似值．1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式和计算机模拟试验．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点．(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点．(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略．3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积．1．思考辨析(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()(3)几何概型的基本事件有无数多个．()(4)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数，对于试验结果在[2,5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是()D[D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A，B，C中要大，故指针指到的概率最大．]3．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是()A.13 B.17C.310D．710C[∵a∈(10,13)，∴P(a<13)＝13－1020－10＝310.]4．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．[解]如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”．取AC＝6 cm，CD＝3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生．所以P(A)＝|CD||AB|＝312＝14.课时分层作业(十九)随机数的含义与应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性A[几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.]2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为()A.13 B.23 C.14D．34A[记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30°，所有基本事件的测度为直角的度数90°.所以P(M)＝30°90°＝13.]3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是()A.1π B.2π C.2πD．3πB[点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为 2.∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝2π.]4．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为()A.78 B.56 C.34D．12A[把问题转化为与体积有关的几何概型求解，∴|OP|＞1的概率为43π×23－43π×1343π×23＝78.] 5．令a 1＝rand( )，则将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )A ．a ＝a 1 * 8 B.a ＝a 1 *8+2 C.a ＝a 1 *8-2 D ．a ＝a 1 * 6C [要产生a ～b 内的均匀随机数，可用交换rand( )*(b －a )＋a 得到，a ＝a 1]二、填空题6．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________．14 [由题意Δ＝1－4n ≥0，则n ≤14.又n ∈(0,1)，故P ＝141－0＝14.] 7．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A -A 1BD 内的概率为________．16[设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则此点在三棱锥A -A 1BD 内运动的概率P ＝16abc abc ＝16.]8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．1316[记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116.记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12－P(A)＝14－116＝316.故P(B)＝1－P(B)＝1－316＝1316.]三、解答题9．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．[解]弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－3 2.10．街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获得一元钱，试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？[解]小圆板中心用O表示，考察O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使圆板与塑料板ABCD的边相交接，及O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接．图1图2(1)如图1所示．因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接．因此，区域Ω是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A：“小圆板压在塑料板的边上．”于是μΩ＝9×9＝81(cm2)，μA＝9×9－7×7＝32(cm2)．故所求概率P(A)＝32 81.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图2所示的阴影部分，图中阴影部分表示事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”．于是μΩ＝9×9＝81(cm2)，μB＝π·12＝π(cm2)．故所求的概率P(B)＝π81.[等级过关练]1．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34 D ．23C [如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |＞14”．即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|P A ||BA |＝34.] 2．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( )A ．1－3π12B ．1－3π24 C.3π12 D ．3π24B [设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×1＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－3π24.] 3．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．1π[设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝S△ABCS⊙O，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝2r，所以S△ABC ＝12AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝r2πr2＝1π.]4．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．16π[点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P＝18×43πa3a3＝16π.]5．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？[解] 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR 2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.∴在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 26πR 2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15.∵P 1<P 2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．。

高二数学 几何概型01一、知识要点： 1、随机数⑴随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。

⑵随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。

2、几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．3、几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等． 4、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度．说明：（１）D 的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积． （３）区域为＂开区域＂；（４）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。

5、几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积二、典型例题：例1、一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。

几何概型与随机模拟方法孙老师目录1几何概型2 2随机模拟方法31几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=S AS,其中S A=构成事件A的区域长度(面积或体积)，S=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1.1在区间[−1,1]上任取一个数x，则cosπ2x的值在区间[0,12]的概率为.解.这是一个典型的几何概型.0≤cos π2x≤12⇒−23≤x≤23所以S A=43,显然S=2.P=S AS=23.练习：假如你买了一件东西，快递员可能在早上6:30−−7: 30之间把快递送到你家，你离开家出去的时间在早上7:00−−8:00之间，那么你在离开家前能拿到快递(称为事件A)的概率是多少？2随机模拟方法随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

这一方法源于美国在第二次世界大战期间进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一数学家冯·诺依曼用驰名世界的赌城–摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

冯·诺依曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，MonteCarlo方法也是他的重要贡献。

事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来近似事件的“概率”。

18世纪下半叶，法国学者Buffon （蒲丰）提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。

这个著名的Buffon试验是Montc Carlo方法的最早尝试。

例2.1如图，正方形的边长为2，在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值.图1解.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积成正比.因此这是一个典型的几何概型.豆子落在圆内的概率P=S1S，其中S1是圆的面积，S是正方形的面积.而豆子落在圆内的概率可以由豆子落在圆内的频率来近似.所以P=S1S=π4≈落在圆中的豆子数/落在正方形中的豆子数.这样就得到了π的近似值.我们用计算机模拟上述过程，步骤如下：(1)用Excel的RAND函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a,b;(2)经平移和伸缩变换，x=2(a−0.5),y=2(b−0.5),此时x,y 是区间[−1,1]之间的随机数；(3)计算出落在圆内(x2+y2<1)的点(x,y)的个数N1，计算π≈4N1N(N代表试验次数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的π的近似值的精度会越来越高.图2例2.2利用随机模拟方法计算图2中阴影部分（x ∈[0,π],y =sin x 和x 轴所围成的部分）的面积.图3解.在坐标系中画出矩形(x =0,x =π,y =0,y =1所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.具体步骤如下：(1)用Excel 的RAND 函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a ,b ；(2)经平移和伸缩变换，x =π·a ,y =b ,此时(x ,y )是矩形区域上的一个随机点；(3)计算出落在阴影内(y <sin x )的点(x ,y )的个数N 1，计算S ≈N 1N·π(其中N 是落在矩形区域的点的个数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的S 的近似值的精度会越来越高(由定积分理论可以准确计算出S =2).图4练习：利用随机模拟方法近似计算图形的面积：y=x2+1和y=6所围区域的面积.图5。

3. 3.2 几何概型及均匀随机数的产生一、教材分析1•几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.2•如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型•通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率•二、教学目标（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.三、教学重点难点1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.四、学情分析[来源:]五、教学方法1 •自主探究，互动学习2 •学案导学：见后面的学案。

3 .新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑f情境导入、展示目标f合作探究、精讲点拨T反思总结、当堂检测T发导学案、布置预习六、课前准备1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学•七、课时安排：1课时七、教学过程1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是& 00至9: 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2 ）几何概型的概率公式：构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等.3、例题分析：课本例题略例1判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。