四川省遂宁市射洪中学2020届高三数学下学期第一次线上月考试题理

四川省射洪中学高2020级12月23日测试数 学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）．1．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若i z +=1，则(2)z z +⋅=A ．42i +B ．42i -C ．24i +D ．42．已知集合}6|{2--==x x y x A ，集合12{|log ,1}B x x a a ==>，则A ．}03|{<≤-x xB ．}02|{<≤-x xC ．}03|{<<-x xD ．}02|{<<-x x3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．164．下列说法正确的是A ．给定命题q p 、，若q p ∧是真命题，则p ⌝是假命题B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“R x ∈∃，220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀，220130x x ++<”D ．函数x x f 1)(=在其定义域上是减函数 5．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．726.定义某种运算b a S ⊗=，运算原理如图所示，则式子1)31()35cos 4(25sin )45tan 2(-⊗+⊗πππ的值为 A ．11 B ．12 C ．13 D ．147．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大值为12，则23a b +的最小值为A ．625B ．38C ．311D ．4 8．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A ．62516B ．62596C ．625624 D ．6254 9.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD （边长为3个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到A 处的所有不同走法有A 22种B 24种C 25种D 36种10.数列满足310=a ，及对于自然数n ，n n n a a a +=+21，则∑=+2015011n na 的整数部分是 A ．4 B.3 C ．2 D.1二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）．11.已知向量()()2,1,1,==x ，若//，则实数x 的值为12.若函数2()()x f x eμ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________． 13.52)1)(1(++ax x 的展开式中各项系数的和为486，则该展开式中2x 项的系数为______．14.已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋2PC →＋3PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆在△PBC 内的概率是________．15.已知()|sin |(0),()f x x x y g x =≥=是过原点且与y=f （x ）图象恰有三个交点的直线，这三个交点的横坐标分别为0，,(0)αβαβ<<，那么下列结论中:①()()0[,)f x g x α-≤+∞的解集为；② y f x g x =-（）（）在(,)2πα上单减； ③sin sin 0αββα+=； ④当,()()x y f x g x π==-时取得最小值. 正确的有 （填正确结论的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且21)cos(=+C A ，A c a sin 2=．(1)求cosC 的值；(2)当]2,0[π∈x 时，求函数x A x x f 2cos cos 42sin )(+=的最大值．17．(本小题满分12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是32． (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．18. (本小题满分12分)已知(sin cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-u r r ，且0ω>，设()f x m n =⋅u r r ，()f x 的图象相邻两对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，4b c +=，1f A =（），求△ABC 面积的最大值．19．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项．(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；(2)设数列}{n c 对任意的*N n ∈，均有12211+=+++n nn a b c b c b c Λ成立，求数列}log .log 1{22323+n n c c 的前n S n 项和20.（本小题满分13分）已知函数()ln(1)f x x x =+-。

四川省遂宁市射洪中学2020届高考数学第一次模拟考试试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}212B x x =<，则A B =IA ．{}4B ．{}1,2,3--C ．{}0,1,2,3--D ．{}3,2,1,0,1,2,3--- 2．复数z 1＝2+i ，若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 1z 2＝ A ．﹣5B ．5C ．﹣3+4iD ．3﹣4i3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．14y x =±4．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知2=r a ，向量a r 在向量b r 上的投影为1，则a r 与b r的夹角为A ．3π B ．6π C ．2π D ．23π 6．已知sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭一条对称轴为34x π=，则ϕ= A ．4π B ．4π-C ．3π D ．6π 7．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为 A ．34B ．712C ．23D ．568．已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．已知函数2,01()log ,1a x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1.2]D ．(0,2]10．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为 A ．13B ．23C ．1D ．211．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度12．已知函数2()ln xf x xet a =+-，若对任意的1,,()t e f x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在区间[1,1]-上总存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是 A ．221,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦B ．2211,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．21,12e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．2211,1e e ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

射洪中学高2020级高三下期第一次月考理科数学试题注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.3.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1,0,1,2,2xA B y y ，则A B 表示的集合为（ ）A. {}1B. {1,0}C. {1,2}D. {0,1,2}2. 复数3i11iz ，则||z （ ）C. 2D. 5 3. 在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式220x x 成立的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 344. 已知双曲线22221x y a b（0,0a b ）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. 0x yB. 0x 0y D. 20x y 5. 某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 该地区2021年的销售收入是2019年的4倍B. 该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多C. 该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍D. 该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的6倍6. 在ABC 中，AB AC ，AD 是BC 边上的中线，且4BC ，3AD ，则AB AC （ ）A. 5B. 5C. 8D. 87. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A. 12B. 1C.5D.68. 已知正项等比数列 n a 的前n 项和为n S ，且4a 是22a 与33a 的等差中项，若22a ，则下列结论正确的是（ ）A. 21n n S aB. 21n n S aC. 121n n a SD. 121n n a S9. 已知函数2π2sin 212f x x x ，则下列说法正确是（ ）A. f x 的一条对称轴为π12xB. f x 的一个对称中心为π(,0)12C. f x 在π5π[,1212上的值域为 D. f x 的图象可由2sin 2y x 的图象向右平移π6个单位得到10.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足 012tha a T T T T，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度.若25a T C ，现有一杯80°C 的热水降至75°C 大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C 大约还需要（参考数据：lg 20.30lg11 1.04， ）（ ）A. 10分钟B. 9分钟C. 8分钟D. 7分钟11.已知抛物线22(0)y px p ）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若34AF FB BD，，则p =（ ） A. 1B. 32C. 2D. 312. 已知函数 f x 定义域为R ， 1f x 为偶函数， 2f x 为奇函数，且满足 122f f ，则 20231k f k （ ）A. 2023B. 0C. 2D. 2023第Ⅱ卷（非选择题 共90分）的本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 二项式 52x 展开式中的含3x 项的系数为___________．14.设命题p：2x ，1x a x .若p 是假命题，则实数a 的取值范围是_________. 15.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知60A ，6b c ，且ABC △的面积为ABC △内切圆的半径为_________.16. 设点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 表面上的动点,点M 是棱11A D 的中点,N 为底面ABCD 的中心,则下列结论中所有正确结论的编号有______________．①当点P 在底面ABCD 内运动时,三棱锥11P C D M 的体积为定值23;②当点P 在线段1B C 上运动时,异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42;③当点P 在线段11A D 上运动时,平面PAN 平面11BDD B ;④当点P 在侧面11BCC B 内运动时,若P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离,则点P 的轨迹为抛物线的一部分.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． 17. “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间 7,9， 9,11， 11,13， 13,15， 15,17， 17,19，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.(1) 估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记 表示这3人一周参加课后活动的时间在区间 15,17的人数，求 的分布列和数学期望 E ；18. 已知数列n 的前n 项和为11n n n （1）证明：数列{2nn S }等差数列；（2） N*62n n n n a ，，求λ的最大值．19. 如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长和高均为2，E ，F分别为PD ，PB 的中点．为（1）若点M 是线段PC 上的点，且13PM PC ，判断点M 是否在平面AEF 内，并证明你的结论；20. 已知椭圆2222:1(0,0)x y Ca b a b 过点1,2，且离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:2l y mx 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，使MP MQMP MQ （1）求证：()f x 有且仅有2个零点；（2）求证： 22*ln (1)(21)2(2,1)nk n n N n n nk＜. 黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,cos ,cos x y（ 为参数，2k ），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点2,0P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB的值． （1）当2a 时，求不等式 5f x 的解集； （2）设0,0ab 且()f x 的最小值为m ，若33m b ，求32的最小值．。

四川省射洪县2020届高三数学下学期第一次月考试题 理（无答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}12A x x =-<<，(){}lg 1B x y x ==-，则=⋂)(B C A R （ ） A ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．(1,1]-D ．[)1 -+∞， 2.在复平面内，复数12i z i=+的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3．已知数列{}1n a +是以2为公比的等比数列，且11a =，则5a =（ ）A ．31B ．24C ．21D ．74.我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列前景是算法的程序框图时，若输入的2,4==x n ，则输出V 的值为( )A.15B. 31C. 63D. 1275.已知函数()ln(1)x f x e x =++的图像在()()0,0f 处的切线与直线40x ny -+=垂直，则n 的值为（ ）A ．21 B ．2 C ． 21- D ．2-6.偶函数)(x f 在),0(+∞上递增，()2log 2331log 32f c f b f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，则下列关系式中正确的是( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.c b a << 7.函数)6cos()(πω+=x x f )0(>ω的最小正周期为π，则其图象向右平移3π个单位后的单调递减区间是（ ）A )](4,4[Z k k k ∈++-ππππB )](43,4[Z k k k ∈++ππππC )](127,12[Z k k k ∈++ππππD )](12,125[Z k k k ∈++-ππππ 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 13＋π B ．23＋π C. 13＋2π D ．23＋2π 9.射洪县高三教学工作会将在射洪中学召开，学校安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名工作人员分配到繁荣，富强两个校区参与接待工作，若A ，B 必须同组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（ ）A 18种B 20种C 22种D 24种10若等边ABC ∆边长为3，平面内一点M 满足CA CB CM 2131+=，则=•MB AM （ ） A 2 B 125- C 125 D 2- 11在ABC △中，内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且0sin 2sin =+A b B a ，若ABC △的面积3S b =，则ABC △面积的最小值为（ ）A ．1B ．312C ．38D ．1212.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,1230,1)(x x x e x f x 若 ,n m <且)()(n f m f =，则m n -的取值范围（ ）A ]3123ln,2[ln + B )3123ln ,2[ln + C ]2ln ,32( D ]3123ln ,32(+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x 、y 满足约束条件0,,21,x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩若目标函数为24z x y =+，则z 的最大值为 14已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，且该棱锥的高为4底面边长为22。

理科数学试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．设121iz i i+=--，则||z = A ．0B ．1CD ．33．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．516B ．54C ．52D ．55．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 6．下图可能是下列哪个函数的图像A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=- C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+7．已知曲线1:2C y x ，2:sin 2cos 2C y x x =+，则下面结论正确的是 A ．把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B ．把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2CC ．把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D ．把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C8．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D ．1210．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 A ．2764B ．916C ．81256D ．71611．已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A ．2019πB ．42019π C ．22019πD ．4038π12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________14．若二项式621x x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213=mx dx ⎰______.15的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体 截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______； 16．在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅的取值范围是______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为12,cos 4b c A -==-．(1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．18．（12分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：(1)求表中t ，q 及图中a 的值；(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X 表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．（12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，1AA =，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点． （1）求证：CD ⊥平面1AB ；（2）在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π．20．（12分）已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求P O Q ∆面积的最小值. 21．（12分）已知函数22()2(1)xf x axex -=--，a R ∈.（1）当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>（l ）设t 为参数，若12y =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|P Q|4|M P||M Q|=⋅，求实数a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.理科数学试题参考答案1．B 2．B3．B4．A5．B6．C7．D8．B9．A10．B11．C 12．B13．0.7614．12415．216．3[,0]4-17．（1）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得a=8.由sin sin a cA C=,得sin 8C =（2）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 6662A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=18．解：(1)由表格可知，全班总人数t ＝＝50，则m ＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a ＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p ＝50，即p ＝20，所以q ＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．由题意得X 可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝k )＝，所以P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.随机变量X 的分布列如下：数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19．（1）证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥；又1AC A C =，D 为1AA 中点，则1CD AA ⊥.∴CD ⊥面11ABB A . （2）如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -，则有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -，设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =，由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，则有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 则1212•cos3n n nn π==12=，得1λ=所以，当11BEBB =-11E AC A --的大小为3π. 20．解：（1） 设(),P x y ，由题意得：()()1,,0,A x y B y ，由2B P B A =，可得点A 是BP 的中点，故102x x +=，所以12x x =，又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=；当10x ≠时，11,OPy k x = 因为OP OQ ⊥,即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==， 221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.221．（1）当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e -=--，令()'0f x =，得1x =或2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减； 当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增； 当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减；所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. （2）证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<， ∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈， 要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数， 所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，则()()'1g x x =- 22x xe e e-. ∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证. 22．（1）直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，若12y =-+，代入上式得2x t =，所以直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a > 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.（*）则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-.因为0a >，所以1a =23：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<； 当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.（2）（方法一）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5， 所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.（方法二）设()2g x x a =-+，则()()m a x 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.。

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1、若2tan =α，则ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为( )A.0B.34C.1D.542．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos(－x )C ．y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xD ．y ＝|tan x |3.下列判断正确的是（ ）A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C. “1sin 2α=”是“ 6πα=”的充分不必要条件 D. 命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x x ∃∈≤R ”4. 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝( )A ．—34 B. 34 C. 43 D. —435. 已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则MN 为（ ）A.()2,1B.()+∞,1C.[)+∞,2D.[)+∞,16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)7.函数y ＝x sin log 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 时的值域为( )A ．[－1,0] B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-， C ．[0,1) D ．[0,1] 8．函数()()221x a x af x x+--=是奇函数,且在()0,+∞上单调递增,则a 等于（ ）A.0B.-1C.1D.1±9. 设,,a b c 均为正数，且a a21log 2=，b b21log )21(=，c c 2log )21(=， 则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<10.函数21()3cos log 22f x x x π=--的零点个数为（ ） A.2B.3C.4D.511．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，那么32sgn(31)y x x x =-++的大致图象是（ ）12. 函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2s inπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

绝密★启用前四川省遂宁市射洪中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(理)试题2020年4月一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是 A.0B.1C.2D.32.已知复数z 满足(1)|3|,i z i -⋅=+则z=A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i3.已知3log 21,x ⋅=则4x = A.4B.63log 2.4CD.94.有报道称,据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联,具体调查数据统计如下:根据以上调查数据,则下列说法错误的是A.与非O 型血相比,O 型血人群对COVID-19相对不易感,风险较低B.与非A 型血相比,A 型血人群对COVID-19相对易感,风险较高C.与A 型血相比,非A 型血人群对COVID-19都不易感,没有风险D.与O 型血相比,B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高 5.在二项式2()nx x-的展开式中,仅第四项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 A. -360B. -160C.160D.3606.已知在△ABC 中,sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是 A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.已知两个单位向量a, b 的夹角为120°, 若向量c= =2a-b, 则a ·c=5.2A3.2B C.2 D.38.数学与建筑的结合造就建筑艺术品,2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界,如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为则此双曲线的离心率为A.2.B C.3.D9.设函数21,0,()21,0,x x x f x x -⎧+>=⎨--<⎩则下列结论错误的是A.函数f(x)的值域为RB.函数f(|x|)为偶函数C.函数f(x)为奇函数D.函数f(x)是定义域上的单调函数10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称,则下列结论正确的是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.已知x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,若函数f(x)=x-[x], 则函数()()xxg x f x e =+的零点个数为A.1B.2C.3D.412.在△ABC 中,∠C=90°, AB=2,AC =D 为AC 上的一点(不含端点),将△BCD 沿直线BD折起,使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上,则线段OB 的取值范围是1.(,1)2A1.(2B.CD 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知cossin22αα-=则sinα=____ 14.若曲线f(x)=e x cosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为3,4π则实数m=_____.。

射洪中学高2020级高三下期第一次月考理科数学试题注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.3.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,1,2,2xA B y y =−==，则A B ⋂表示的集合为（ ）A. {}1−B. {1,0}−C. {1,2}D. {0,1,2}2. 复数3i11iz −=−+，则||z =（ ）C. 2D. 5 3. 在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式220x x +<成立的概率为（ ）A. 13B. 12 C. 23 D. 344. 已知双曲线22221x y a b−=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. 0x y ±=B. 0x ±= 0y ±= D. 20x y ±= 5. 某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 该地区2021年的销售收入是2019年的4倍B. 该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多 ·D. 该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的6倍6. 在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，且4BC =，3AD =，则⋅=AB AC （ ）A. 5−B. 5C. 8−D. 87. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A. 12B. 1C.58. 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4a 是22a 与33a 的等差中项，若22a =，则下列结论正确的是（ ）A. 21n n S a =−B. 21n n S a =+C. 121n n a S −=−D. 121n n a S −=+9. 已知函数()2π2sin 212f x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，则下列说法正确是（ ）A. ()f x 的一条对称轴为π12x =B. ()f x 的一个对称中心为π(,0)12− C. ()f x 在π5π[,]1212−上的值域为⎡⎤⎣⎦ D. ()f x 的图象可由2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位得到10.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度.若25a T C =，现有一杯80°C 的热水降至75°C 大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C 大约还需要（参考数据：lg 20.30lg11 1.04，≈≈）（ ）A. 10分钟B. 9分钟C. 8分钟D. 7分钟11.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若34AF FB BD ==，，则p =（ ） A. 1B.32C. 2D. 3 12. 已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（ ）A. 2023−B. 0C. 2D. 2023第Ⅱ卷（非选择题共90分）的本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 二项式()52x −展开式中的含3x 项的系数为___________．14.设命题p：2x ⎛∀∈ ⎝，1x a x +>.若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是_________. 15.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知60A =︒，6b c +=，且ABC △的面积为ABC △内切圆的半径为_________.16. 设点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −表面上的动点,点M 是棱11A D 的中点,N 为底面ABCD 的中心,则下列结论中所有正确结论的编号有______________．①当点P 在底面ABCD 内运动时,三棱锥11P C D M −的体积为定值23;②当点P 在线段1B C 上运动时,异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦;③当点P 在线段11A D 上运动时,平面PAN ⊥平面11BDD B ;④当点P 在侧面11BCC B 内运动时,若P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离,则点P 的轨迹为抛物线的一部分.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． 17. “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[)7,9，[)9,11，[)11,13，[)13,15，[)15,17，[]17,19，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.(1) 估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[)13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[)15,17的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；18. 已知数列{}n a 的前n 项和为1112nn n n S a S a +==−，，（1）证明：数列{2nn S }等差数列；（2）()N*62n n n n a λ∀∈−≥，，求λ的最大值．19. 如图，正四棱锥P ABCD −的底面边长和高均为2，E ，F 分别为PD ，PB 的中点．为（1）若点M 是线段PC 上的点，且13PM PC =，判断点M 是否在平面AEF 内，并证明你的结论；（2）求直线PB 与平面AEF 所成角的正弦值．20. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:2l y mx =+与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，使MP MQ =且MP MQ ⊥，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数()2ln(2)2f x x x =−−. （1）求证：()f x 有且仅有2个零点；（2）求证：()22*1ln (1)(21)2(2,1)nk k n n N n n n k=−++≥∈∑＜. （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,cos ,cos x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB−的值．23. 已知函数()||2a f x x a x =++−． （1）当2a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）设0,0a b >>且()f x 的最小值为m ，若332m b +=，求32a b +的最小值．射洪中学高2020级高三下期第一次月考数学(理科)参考答案一、选择题答案：CCBCD BCACA DB二、填空题答案： -40 ; 2a <1 ; ①③④ 三，解答题17解：（1）参加课后活动的时间位于区间[)13,17的概率()0.1250.20020.65p =+⨯=…………4分（2）活动的时间在区间[)15,17的概率10.20020.4p =⨯=，ξ的可能取值为0,1,2,3，()()310.40.2160p ξ=−==，()()213C 0.410.40.2143p ξ=⋅−==⨯，()()223C 0.410.40.2882p ξ=⋅==⨯−，()330.40.064p ξ===.故分布列为：00.21610.43220.28830.064 1.2E =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………12分18. 解：（1）12n n n S a +=−，∴12n n n n S S S +=−−，∴122n n nS S +=+，∴111222n n n n S S ++−=，又∵11a =，∴1122S =，所以数列{}2n S 是以12为首项和公差的等差数；.……………………6分 （2）由(1)知：()1112222n n S nn =+−=，所以12n n S n −=⋅，∴()11222n n n n a S n −+=+=+，()()2122n n a n n −=+≥，又11a =满足上式，∴()()2*12N n n a n n −=+∈， 因()N*62n n n n a λ∀∈−≥，，所以()()26122n n n n λ−−+≥，所以()()61N *4n n n λ−+∀∈≥，，记()()()()6114x x x fx −+=≥，又()f x 在5(1,)2上单调递减，在5(,)2+∞上单调递增，又因为*n ∈N ，所以()()()min 233f n f f ===−，所以3λ≤−， 所以λ的最大值为3−．.……………………12分19. 解：（1）连接AC 、BD 交于O ，连接OP ，由正四棱锥性质可得PO ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，所以以O 为坐标原点，OA 、OB 、OP 为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),((0,A B P C D ，(0,,0)2E −，(0,2F ， 所以(,1)2AE =−，(2AF =，又13PM PC =， 得14()33AM AP PC =+=，(AE AF +=−，所以2233AM AE AF =+，所以A 、为的M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．.………………6分（2）由（1）可得2)PB=−，设平面AEF的法向量(,,)n x y z=，由n AEn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22y zy z⎧−+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，令1x=，则z=，0y=，所以(1,0,2)n=，所以22cos,36PB nPB nPB n⋅−===−⋅，所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为23．.……………………12分20.解：（1）由条件可知，2222213122a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：24a=，222b c==，所以椭圆C的方程是22142x y+=；.……………………4分（2）假设在x轴上存在点(),0M n，使MP MQ=且MP MQ⊥，联立222142y mxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，设()11P x y，()22,Q x y，方程整理为()2212840m x mx+++=，()226416120m m∆=−+>，解得：2m>或2m<−，122812mx xm−+=+，122412x xm=+，1224212x x mm+−=+则线段PQ的中点的横坐标是2412mxm−=+，中点纵坐标2224221212mym m−=+=++，即中点坐标2242,1212mNm m−⎛⎫⎪++⎝⎭，(),0M n，则MN PQ⊥，即222112412mm mnm+=−−−+，化简为2220m n m n++=，①又0MP MQ⋅=,则()()1212x n x n y y−−+=，()()()()1212220x n x n mx mx−−+++=，整理为()()()2212121240m x x m n x x n++−+++=，()()22224812401212m mm n n m m−+⨯+−⨯++=++，化简为()222124880n m m mn +−++=② 由①得()2212m n m +=−，即()22212m n mn +=−，代入②得224880mn m mn −−++=，整理得22340m mn −++=③，又由①得2221m n m −=+，代入③得222234021m m m m −−+⋅+=+， 即()()()222221324210m m m m m −++⋅−++=，整理得41m =，即1m =±.当1m =时，23n =−，当1m =−时，23n =，满足0∆>，所以存在定点2,03M ⎛⎫− ⎪⎝⎭,此时直线l 方程是2y x =+，当定点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭,此时直线l 方程是2y x =−+..……………………12分 21.解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞.则121()2x f x xx−'=−=. 令()0f x '=，得12x =，当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，() f x 单调递减；当1,2⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值，且极小值为112102f ⎛⎫=−=−< ⎪⎝⎭，而22222224202e f e e e ⎛⎫=−−=−=−> ⎪⎝⎭，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，因为2221112202f e e e ⎛⎫=+−=> ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点，综上所述，()f x 有且仅有2个零点. .……………………5分 （2） 设()ln 1g x x x =−+，0x >，则11()1xg x xx−'=−=，可得当(0,1)x ∈时，()g x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，所以ln 1≤−x x .即ln 11x x x≤−（当且仅当1x =时， 取等号）. 令()2*x k k N =∈，得222ln 11k k k≤−（*N k ∈，当且仅当1k =时，取等号）所以依次令1,2,3,,k n =⋯，得到222ln11111≤−，222ln 21122≤−，222ln 31133≤−，…，222ln 11n n n ≤− 所以222222222222ln1ln 2ln3ln 11111111123123n n n ++++−+−+−++−…＜…22211111111232334(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫=−−+++−−+++ ⎪⎢⎥⨯⨯+⎝⎭⎣⎦…＜… 111111123341n n n ⎛⎫=−−−+−++− ⎪+⎝⎭…11121n n ⎛⎫=−−− ⎪+⎝⎭(1)(21)2(1)n n n −+=+ 即()21*2ln (1)(21)22,(1)ni n n N k n n kn =≥+<+∈−∑.……………………12分22. 解：（1）曲线C的参数方程为1,cos ,cos x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），所以222221sin ,cos 3cos y x ααα==，所以22 1.3y x −=即曲线C 的普通方程为2231y x −=． 直线l 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππcos cos sin sin 133ρθθ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，转换为直角坐标方程为20x −=．.……………………5分（2）直线l 过点(2,0)P ，直线l的参数方程为2,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）令点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，由2212x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2231y x −=，得2290t ++=，则12t t +=−，1292t t =，即t 1、t 2为负，故2112121212||||||11112||||||||||||3t t t t PA PB t t t t t t −−−=−====．………10分23.解：（1）当2a =时，21,2()213,2121,1x x f x x x x x x −−<−⎧⎪=++−=−≤≤⎨⎪+>⎩，故()5f x ≤即2215x x <−⎧⎨−−≤⎩或2135x −≤≤⎧⎨≤⎩或1215x x >⎧⎨+≤⎩，解得32x −≤≤，即原不等式的解集为[3,2]−.……………………5分 （2）由题意得3()||||222a a f x x a x a a =++−≥+=， 即32m a =，3333222m b a b +=+=，即2a b +=，而3232()()55b aa b a b a b++=++≥+ 当且仅当32b a ba=即64a b =−=时等号成立， 故32a b +的最小值为52+.……………………12分。