吉林省延边第二中学2020学年高一数学上学期第二次阶段考试试题(含解析)

2019-2020学年吉林省延边二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 已知集合P ={y|y =−x 2+2,x ∈R}，Q ={x |y =−x +2,x ∈R }，那么P ∩Q 等于( )A. (0,2)，(1,1)B. {(0,2)，(1,1)}C. {1,2}D. {y|y ⩽2}2. 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(2,4)，则f(−12)=( ) A. 12 B. 14 C. −14 D. 23. 下列函数中，既为偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A. y =1xB. y =−x 12C. y =x −2D. y =x 2 4. 已知a =(35)25,b =(25)35,c =(25)25，则( ) A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a 5. 函数y =√log 12(3x −2)的定义域是( )A. [1,+∞)B. (23,+∞)C. [23,1]D. (23,1] 6. 函数f(x)=log 2x −3x −1的零点所在的区间为( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5) 7. 设f(x)是R 上的偶函数，且当时，f(x)=x(1+√x 3)，则当时，f(x)等于( ) A. x(1+√x 3)B. −x(1+√x 3)C. −x(1−√x 3)D. x(1−√x 3) 8. 方程log 2(x+1)2+log4(x +1)=5的解是( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3 9. 函数y =(x 2−3x +10)−1的递增区间是( ) A. (−∞,−2) B. (5,+∞) C. (−∞,32)D. (32,+∞) 10. 函数f(x)={1−3−x ,(x ≥0)3x −1,(x <0)，则该函数为( ) A. 单调递增函数，奇函数B. 单调递增函数，偶函数C. 单调递减函数，奇函数D. 单调递减函数，偶函数11. 函数f(x)=x 2−2|x|的图象大致是( )A. B.C. D.12.函数f(x)=e x−1e x+1的值域为()A. (−1,1)B. (−2,2)C. (−3,3)D. (−4,4)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.若a+1a =3，则a2−1a2=______ ．14.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)=1f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=2x，则f(log29)=．15.若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于______ ．16.已知函数f(x)=x+ax ，其中a∈R，若关于x的方程f(|2x−1|)=2a+13有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______________．三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）17.已知集合U为全体实数集，M={x|x⩽−2或x⩾5}，N={x|a+1⩽x⩽2a−1}．(1)若a=3，求M∪C U N;(2)若N⊆M，求实数a的取值范围．18.已知f(x)=x2−4x+5．(1)求f(2)的值；(2)若f(a)=10，求a的值．19.已知函数f(x)=x2+(1−a)x−a(a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)<0；(2)若∀a∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．20.一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？21.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，对任意的x,y∈(0,+∞)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，且f(4)=5．(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m−2)≥3．22.设函数f(x)=|ax−x2|+2b(a,b∈R)．(1)当a=−2，b=−15时，解方程f(2x)=0；2(2)当b=0时，若不等式f(x)≤2x在x∈[0,2]上恒成立，求实数a的取值范围；(3)若a为常数，且函数f(x)在区间[0,2]上存在零点，求实数b的取值范围．23.已知函数f(x)=a−2x是定义在上的奇函数．2+2x+1(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)若方程−7f(|x|)=2|x|−λ+7有四个不同的实数根，求λ的取值范围．2-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解答本题的关键，属于基础题．先求出集合P，Q，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合P={y|y=−x2+2,x∈R}={y|y≤2}，Q={x|x∈R}，∴P∩Q={y|y⩽2}．故选D.2.答案：B解析：【分析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．根据幂函数的图象过点(2,4)求出函数解析式，再计算f(−12)的值．【解答】解：幂函数f(x)=x a的图象经过点(2,4)，则2a=4，解得a=2；∴f(x)=x2，∴f(−12)=(−12)2=14．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查幂函数的奇偶性与单调性.属于基础题．逐个判断即可得出答案．【解答】解：对于A，y=1x为奇函数，故不符合题意;对于B，y=−x12是非奇非偶函数，不符合题意;对于C ，y =x −2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意;对于D ，y =x 2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意．故选C ．4.答案：D解析：【分析】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，利用基本函数单调性即可判断．【解答】解：因为y =(25)x 为减函数， 所以(25)35<(25)25， 即b <c ，又因为y =x 25在(0,+∞)上为增函数，所以(35)25>(25)25， 即a >c ，所以b <c <a ．故选D ． 5.答案：D解析：【分析】本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义：log 12(3x −2)≥0， 即：log 12(3x −2)≥log 121， 可得0<3x −2≤1，解得x ∈(23,1]．故选：D ． 6.答案：C解析：本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．连续函数f(x)=log 2x −3x −1在(0,+∞)上单调递增且f(3)f(4)<0，根据函数的零点的判定定理可求结果．【解答】解：∵函数f(x)=log 2x −3x −1在定义域(0,+∞)上单调递增，f(3)=log 23−1−1<0，f(4)=2−34−1>0，∴根据根的存在性定理得f(x)=log 2x −3x −1的零点所在的一个区间是(3,4)，故选C ． 7.答案：C解析：【分析】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式的问题，属于基础题．由题意设，则，利用给出的解析式求出f(−x)，再由偶函数的定义，即f(x)=f(−x)求出f(x)即可．【解答】解：∵当时，f(x)=x(1+√x 3)， ∴设，则， ∴f (−x )=−x(1+√−x 3)=−x(1−√x 3)，∵函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f (x )=−x(1−√x 3)．故选C ． 8.答案：D解析：未知数x 的取值范围是{x |x >−1}，∵log 2(x+1)2+log4(x +1)=5，∴2log 2(x +1)+12log 2(x +1)=5，∴log 2(x +1)=2∴x +1=22∴x =3，故方程log 2(x+1)2+log4(x +1)=5的解是x =3，选D ． 9.答案：C解析：本题主要考查复合函数的单调性，幂函数及二次函数的性质，属于基础题．令t =x 2−3x +10，则y =t −1故求t 的减区间即可．【解答】解：令t =x 2−3x +10，则y =t −1，因为y =t −1为定义域内的减函数，故只需求t 的减区间．易知t =x 2−3x +10对称轴为 x=32,且图像开口向上,故其减区间为(−∞,32)． 故选C ． 10.答案：A解析：【分析】本题考查分段函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握函数奇偶性判断方法与函数单调性的判断方法是解题的关键．由题意，根据题设条件及选项可判断出，可先由定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性的判断方法判断出函数是一个增函数，由此可以判断出正确选项．【解答】解：此函数的定义域是R ，当x ≥0时，有f(x)+f(−x)=1−3−x +3−x −1=0，当x <0时，有f(−x)+f(x)=1−3x +3x −1=0，由此得出，此函数是一个奇函数，又x ≥0时，函数1−3−x 是一个增函数，最小值是0；x ≤0时，函数3x −1是一个增函数，最大值为0，所以函数函数f(x)={1−3−x ,(x ≥0)3x −1,(x <0)，在定义域上是增函数， 综上，函数f(x)={1−3−x ,(x ≥0)3x −1,(x <0)，在定义域上是增函数，且是奇函数． 故选A ．11.答案：B解析：解：∵函数f(x)=x 2−2|x|，∴f(3)=9−8=1>0，故排除C ，D ，∵f(0)=−1，f(12)=14−212=0.25−√2<−1，故排除A ， 故选：B当x>0时，f(x)=x2−2x，∴f′(x)=2x−2x ln2，故选：B．利用特殊值排排除即可本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数值域的求法，关键是分离常数，属基础题．变形可得f(x)=e x−1e x+1=1−1e x+1，根据e x的范围即可得到值域．【解答】解：f(x)=e x−1e x+1=1−2e x+1，∵e x>0，∴0<1e x+1<1，∴1−2e x+1∈(−1,1)，∴f(x)的值域为(−1,1)．故选A．13.答案：±3√5解析：解：∵a+1a=3，∴(a+1a )2=a2+1a+2=9，∴a2+1a2=7，∴(a−1a )2=a2+1a2−2=5，∴a−1a=±√5，∴a2−1a2=(a+1a)(a−1a)=±3√5，故答案为：±3√5由已知中a+1a =3，利用乘方法可得a2+1a2=7，a−1a=±√5，进而结合平方差公式可得a2−1a2=(a+1a )(a−1a)的值．本题考查的知识点是有理数指数幂的化简求值，熟练掌握乘方法是解答此类问题的关键．14.答案：89【分析】本题主要考查函数值的计算，结合条件求出函数的周期是解决本题的关键，属于基础题．根据条件判断函数的周期性，利用函数周期性进行转化求解即可．【解答】=f(x)，解：∵f(x+1)=1f(x)得f(x+2)=1f(x+1)即函数f(x)是周期为2的周期函数，，，，，，．．故答案为8915.答案：3π解析：解：由题意，球的内接正方体的棱长是1，∴它的对角线长为√3，∵内接正方体的对角线长，就是球的直径∴球的半径R=√3，2∴这个球的表面积S=4π⋅(√3)2=3π．2故答案为：3π．由由题意，球的内接正方体棱长为1，求内接正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积的求法，是基础题．注意球的内接正方体的性质和应用．16.答案：a⩾23【分析】本题主要考查函数的零点与方程的解的情况，属于中档题．【解答】解：若关于x的方程f(|2x−1|)=2a+13有三个不同的实数解，即|2x−1|+a|2x−1|=2a+13,有三个不同的实数解，所以2a+13≥2√a或2a+13≤−2√a,解得a≥23，故答案为a⩾23．17.答案：(1)当a=3时，N={x|4≤x≤5}，所以C U N={x|x<4或x>5}，所以M∪C U N={x|x<4或x≥5}(2)①2a−1<a+1，即a<2时，∼N=⌀，此时满足N⊆M．②当2a−1≥a+1，即a≥2时，∼N≠⌀，由N⊆M得a+1≥5或2a−1≤−2所以a≥4，综上，实数a的取值范围为(−∞,2)∪[4,+∞)解析：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题.解题时认真审题，仔细解答．(1)将a=3代入，直接求解即可．(2)分∼N=⌀和∼N≠⌀两种情况讨论求值．18.答案：解：(1)由f(x)=x2−4x+5，所以f(2)=22−4×2+5=1．(2)由f(a)=10，得a2−4a+5=10，即a2−4a−5=0，解得a=5或a=−1．解析：本题考查了函数的解析式，是基础题．(1)直接代入x=2，即可得出f(2)；(2)由f(a)=10，得a2−4a+5=10，解出即可．19.答案：解：(1)不等式x2+(1−a)x−a<0，等价于(x−a)(x+1)<0，当a<−1时，不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，不等式的解集为⌀； 当a >−1时，不等式的解集为(−1,a)． (2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ， 设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]， 要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立， 只需{g(−1)≥0g(1)≥0，即{x 2+2x +1≥0x 2−1≥0, 解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．解析：本题考查函数与方程的应用，恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． (1)不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可． (2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，求解即可．20.答案：解：(1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为为s i (0≤i ≤n,)．由题意，S i ={bi =0S i−1+b 2i1≤i ≤n,i ∈N ∗，于是当i =n 时，S n =b +(b2+b22++b2n )=b(2−12n )，所以，该产品每天销售量S(件)与电视广告播放量n(次/天)的函数关系式为S =b(2−12n ),n ∈N ∗． (2)由题意，有b(2−12n )≥1.9b ．所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次．解析：(1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为s i (0≤i ≤n,)根据循环体可得S i ={b,i =0S i−1+b2i ,1≤i ≤n,i ∈N ∗，再用数列中的累加法求得s n ，(2)“要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%”根据(1)则有b(2−12n )≥1.9b.即(2−12n )≥1.9解指数不等式或通过验证得到结果．本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了程序框图，累加法和指数不等式的解法．21.答案：解：(1)因为任意的x,y ∈(0,+∞) 都有f(x +y)=f(x)+f(y)−1，且f(4)=5，所以f(2+2)=2f(2)−1=5 ， 解得f(2)=3;(2)由(1)知不等式f(m −2)≥3即为f(m −2)≥f(2)， 又f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数， 所以0<m −2≤2， 即2<m ≤4， 即不等式的解集为(2,4]．解析：本题考查抽象函数及单调性，属中档题． (1)令x =y =2即可求解;(2)由(1)知不等式f(m −2)≥3即为f(m −2)≥f(2)，由单调性及(1)即可求解．22.答案：解：(1)当a =−2，b =−152时，f(x)=|x 2+2x|−15，所以f(2x )=|2x (2x +2)|−15=0，解得2x =3或2x =−5(舍去)，所以x =log 23.(2)由题意得，当b =0时，x|a −x|≤2x 在x ∈[0,2]上恒成立． 当x =0时，不等式恒成立，则a ∈R ；与0<x ≤2时，|a −x|≤2，即−2≤x −a ≤2，因为y =x −a 在(0,2]上单调递增，所以y max =2−a ，y min >−a ，则{2−a ≤2,−a ≥−2,解得0≤a ≤2． 则实数a 的取值范围为[0,2]．(3)函数f(x)在[0,2]上存在零点，即方程x|a −x|=−2b 在[0,2]上有解． 设ℎ(x)={x 2−ax(x ≥a),−x 2+ax(x <a),当a ≤0时，ℎ(x)=x 2−ax ，x ∈[0,2]，且ℎ(x)在[0,2]上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(0)=0，ℎ(x)max =ℎ(2)=4−2a ，则当0≤−2b ≤4−2a 时，原方程有解，解得a −2≤b ≤0； 当a >0时，ℎ(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，在[a,+∞)上单调递增；①当a2≥2，即a ≥4时，ℎ(x)max =ℎ(2)=2a −4，ℎ(x)min =ℎ(0)=0，则当0≤−2b ≤2a −4时，原方程有解，解得2−a ≤b ≤0．②当a2<2≤a ，即2≤a <4时，ℎ(x)max =ℎ(a2)=a 24，ℎ(x)min =ℎ(0)=0，则当0≤−2b ≤a 24时，原方程有解， 解得−a 28≤b ≤0．③当0<a <2时，ℎ(x)max =max {ℎ(a2),ℎ(2)}=max {a 24,4−2a}，ℎ(x)min =ℎ(0)=0， 当a 24≥4−2a ，即−4+4√2≤a <2时，ℎ(x)max =a 24，则当0≤−2b ≤a 24时，原方程有解，解得−a 28≤b ≤0． 当a 24<4−2a ，即0<a <−4+4√2时，ℎ(x)max =4−2a ，则当0≤−2b ≤4−2a 时，原方程有解，解得a −2≤b ≤0．综上，当0<a <−4+4√2时，实数b 的取值范围是[a −2,0]；当−4+4√2≤a <4时，实数b 的取值范围是[−a 28,0]；当a ≥4时，实数b 的取值范围是[2−a,0]．解析：本题考查函数与方程的综合应用，难度较大.(1)当a =−2，b =−152时，f(x)=|x 2+2x|−15，所以f(2x )=|2x (2x +2)|−15=0，解得2x =3或2x =−5(舍去)，所以x =log 23.(2)由题意得，当b =0时，x|a −x|≤2x 在x ∈[0,2]上恒成立．当x =0时，不等式恒成立，则a ∈R ；与0<x ≤2时，|a −x|≤2，即−2≤x −a ≤2，因为y =x −a 在(0,2]上单调递增，所以y max =2−a ，y min >−a ，则{2−a ≤2,−a ≥−2,解得0≤a ≤2.则实数a 的取值范围为[0,2]．(3)函数f(x)在[0,2]上存在零点，即方程x|a −x|=−2b 在[0,2]上有解．设ℎ(x)={x 2−ax(x ≥a),−x 2+ax(x <a),当a ≤0时，ℎ(x)=x 2−ax ，x ∈[0,2]，且ℎ(x)在[0,2]上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(0)=0，ℎ(x)max =ℎ(2)=4−2a ，则当0≤−2b ≤4−2a 时，原方程有解，解得a −2≤b ≤0；当a >0时，ℎ(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，在[a,+∞)上单调递增；①当a2≥2，即a ≥4时，ℎ(x)max =ℎ(2)=2a −4，ℎ(x)min =ℎ(0)=0，则当0≤−2b ≤2a −4时，原方程有解，解得2−a ≤b≤0.②当a2<2≤a，即2≤a<4时，ℎ(x)max=ℎ(a2)=a24，ℎ(x)min=ℎ(0)=0，则当0≤−2b≤a24时，原方程有解，解得−a28≤b≤0.③当0<a<2时，ℎ(x)max=max{ℎ(a2),ℎ(2)}=max{a24,4−2a}，ℎ(x)min=ℎ(0)=0，当a24≥4−2a，即−4+4√2≤a<2时，ℎ(x)max=a24，则当0≤−2b≤a24时，原方程有解，解得−a28≤b≤0.当a24<4−2a，即0<a<−4+4√2时，ℎ(x)max=4−2a，则当0≤−2b≤4−2a时，原方程有解，解得a−2≤b≤0．23.答案：解：(1)∵函数f(x)在上为奇函数，∴f(0)=0⟹a=1，经检验a=1时，f(−x)=−f(x)恒成立，∴a=1．(2)f(x)=1−2x2+2x+1=−(1+2x)+22(1+2x)=−12+12x+1，设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(−12+12x1+1)−(−12+12x2+1)=12x1+1−12x2+1=2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1)，∵x 1<x2，函数y=2x在上为增函数，∴2x2−2x1>0，(2x1+1)(2x2+1)>0，∴f(x1)−f(x2)>0⟹f(x1)>f(x2)，所以f(x)在上是减函数;(3)−7f(|x|)=2|x|−λ+7 2⟹−7(−12+12|x|+1)=2|x|−λ+72⟹−72|x|+1=2|x|−λ，令t=2|x|≥1, −72|x|+1=2|x|−λ⟹t2+(1−λ)t−λ+7=0，由于方程−7f(|x|)=2|x|−λ+72有四个不同的实数根，且由t=2|x|的图像可得关于t的方程t2+(1−λ)t−λ+7=0在(1,+∞)上有两个不同的实根，令ℎ(t)=t2+(1−λ)t−λ+7，则{Δ>0−1−λ2>1ℎ(1)>0 ⟹2√7−1<λ<92．)．故λ的取值范围为(2√7−1,92解析：本题主要考查了函数的奇偶性，单调性与单调区间，函数的零点与方程根的关系，属于较难题．(1)已知函数f(x)=a−2x是定义在R上的奇函数，根据奇函数的定义，可以求出a的值；2+2x+1(2)判断函数f(x)的单调性，即设x1<x2，判定f(x1)−f(x2)是大于0，还是小于0，即可证明；(3)利用零点与方程根的关系，再分析，即可得到λ的取值范围．。

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．C【分析】利用全称量词命题的否定判断即得.【详解】命题2:R,2p x x "γ是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题p 的否定是2 R,2x x $Î<.故选：C 2．B【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得.【详解】由2{1,3,4,}m ，得21m ¹，则1m ¹，由2{1,3,4,}m m Î，得3m =，此时29m =，符合题意；或4m =，此时216m =，符合题意；或2m m =，则0m =，此时20m =，符合题意，所以m 可能取值的集合为{0,3,4}.故选：B 3．B【分析】根据幂函数的定义及单调性计算并验证即可.【详解】因为()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数，则2112m m m --=Þ=或1m =-，若2m =，则()3f x x =，其在R 上为增函数，不符题意；当1m =-，则()3f x x -=，在(0,)+¥时是减函数，符合题意.故选：B 4．A由图知：函数h(x)的最低点为由836y xy xì=ïíï=-î，解得18114811xyì=ïïíï=ïî，即所以h (x)的最小值为4811.故选：D.．B。

2018-2019学年吉林省延边第二中学 高一上学期第二次阶段考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．下列说法正确的是A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．共点的三条直线确定一个平面2．已知△ABC 的平面直观图是边长为 的正三角形，那么原△ABC 的面积为 A ．B ．C ．D ．3．已知直线 和平面 ，则下列结论正确的是A ．若 ， ，则B ．若 ，则C ．若 ，则D ．若 ，则 4．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 （1）BM 与ED 平行 （2）CN 与BE 是异面直线 （3）CN 与BM 成60° （4）DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是A ．（1）（2）（3）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）5．如果函数 在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．a≥－3 B ．a≤－3 C ．a≤5 D ．a≥3 6．下列四个命题中错误的个数是①垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行； ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行. A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．四面体 中，若 ，则点 在平面 内的射影点 是 的 A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心8．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是A B C D 9．已知奇函数()f x ，当0x >时单调递增，且()10f =，若()10f x ->，则x 的取值范围为AB C D 10．已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕，将 折成直二面角 ，则过 四点的球的表面积为A ．B ．C ．D ．11．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成几何体A －BCD ，则在几何体A －BCD 中，下列结论正确的是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC12．设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四个命题：①三棱锥的体积为定值；②异面直线与所成的角为；③平面；④直线与平面所成的角为.其中正确的命题为A．①②B．②③C．①②④D．①④二、填空题13．如图，正方体中，直线和所成角的大小为___________，直线和平面所成角的大小为___________．14．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．15．设函数则___________．16．在三棱锥中，平面，为中点，则异面直线与所成角的正切值为___________．三、解答题17．如图，在正四棱柱(侧棱垂直于底面，底面为正方形)中，是的中点．（）求证：平面．（）求证：平面平面．18．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD．（2）求三棱锥B-EFC的体积．19．设，求函数的最大值和最小值及相应的值．20．已知是矩形，平面，，，为的中点．（1）求证：平面．（2）求直线与平面所成的角．21．在三棱锥中，.（1）证明：面面．（2）求点到平面的距离．（3）求二面角的平面角的正弦值．2018-2019学年吉林省延边第二中学高一上学期第二次阶段考试数学试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可【详解】对于A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；对于B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确；对于C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C正确；对于D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确.故选C.【点睛】本题主要考查的是平面的基本公理和推论，属于基础题.2．A【解析】【分析】由直观图和原图像的面积比为易可得解.【详解】直观图△A′B′C′是边长为1的正三角形,故面积为，而原图和直观图面积之间的关系直观图原图，那么原△ABC的面积为：，故选A.【点睛】本题主要考查平面图形的直观图和原图的转化原则的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．直观图和原图像的面积比为掌握两个图像的变换原则，原图像转直观图时，平行于x轴或者和轴重合的长度不变。

2019-2020学年吉林省延边二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．已知集合{|110}P x N x =∈剟，集合2{|60}Q x R x x =∈+-=，则(P Q = )A ．{1，2，3}B ．{2，3}C ．{1，2}D ．{2}2．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （2）(= )A ．BC ．2-D ．23．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是( ) A ．12y x =B ．2x y =-C ．1||y x= D ．||y lg x =4．设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．函数y =的定义域是( ) A ．1(,)2+∞B ．[1，)+∞C ．1(,1]2D ．(-∞，1]6．函数2()(1)f x ln x x=+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()(1f x x =+，则当0x <时，()f x 表达式是( )A ．(1x -+B ．(1x +C ．(1x -D ．(1x8．1x ，2x 是方程2()(23)230lgx lg lg lgx lg lg +++=的两个根，求12x x 等于( ) A ．23lg lg +B ．23lg lgC ．16D ．6-9．函数212()log (28)1f x x x =-+-+的单调递增区间是( )A ．(,4)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．(1,)-+∞10．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩…，若f （a ）2(2)0f a +-<，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞11．函数22x y x =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是( ) A ．{0，1}B ．{1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，0}二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上） 13．已知17a a+=，则22a a -+= 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则f （6）的值为 ． 15．将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的表面积为 ． 16．关于x 的方程4240x x a -+=在[0，)+∞上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22，23题为附加题，共20分，请写出必要的解答过程）17．已知U R =，集合{|2M x x a =-…或3}x a +…，{|12}N x x =-剟． （1）若0a =，求()()U U M N 痧；（2）若MN =∅，求实数a 的取值范围．18．已知函数()f x =．（1）求()(1)f x f x +-的值； （2）求1220172018()()()()2019201920192019f f f f ++⋯++的值．19．已知2()21g x x ax =-+在区间[1，3]上的值域为[0，4]． （1）求实数a 的值；（2）若不等式(2)40x x g k -…当[1x ∈，)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．20．正在建设中的郑州地铁一号线，将有效缓解市内东西方向交通的压力．根据测算，如果一列车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢单向一次最多能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使该列车每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．（注:营运人数指列车运送的人数）．21．定义在(0,)+∞上的函数()f x ，对于任意的m ，(0,)n ∈+∞，都有()()()f mn f m f n =+成立，当1x >时，()0f x <． （1）求证：1是函数()f x 的零点； （2）求证：()f x 是(0,)+∞上的减函数； （3）当1(2)2f =-时，解不等式(4)1f ax +>-．四、附加题：（满分20分，计入试卷总分）22．若0m >，关于x 的方程2(1)mx m --=在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ．23．已知函数2()log (21)x f x ax =++，x R ∈． （1）若()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）当0a >时，判断()f x 的单调性，不需要证明；（3）当0a >时，关于x 的方程4[()(1)1(21)]1x f f x a x og -+--=在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．2019-2020学年吉林省延边二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．已知集合{|110}P x N x =∈剟，集合2{|60}Q x R x x =∈+-=，则(P Q = )A ．{1，2，3}B ．{2，3}C ．{1，2}D ．{2}【解答】解：{|110}{1P x N x =∈=剟，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合2{|60}{2Q x R x x =∈+-==，3}-，{2}PQ ∴=，故选：D ．2．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （2）(= )A ．BC ．2-D ．2【解答】解：设幂函数()a y f x x ==，其图象过点1(2，∴1()2a =， 解得12a =，12()f x x ∴==；f ∴（2）=故选：B ．3．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是( ) A ．12y x =B ．2x y =-C ．1||y x= D ．||y lg x =【解答】解：逐一考查函数的性质：12y x =是非奇非偶函数，不满足题意，排除A 选项；2x y =-是非奇非偶函数，不满足题意，排除B 选项；1||y x =是偶函数，当0x >时，函数的解析式11||y x x== 是减函数，不满足题意，排除C 选项； 故选：D ．4．设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解答】解：25y x =在0x >时是增函数a c ∴>又2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >故选：A ．5．函数y =的定义域是( )A ．1(,)2+∞B ．[1，)+∞C ．1(,1]2D ．(-∞，1]【解答】解：欲使函数y =的有意义，须12log (21)0x -…，∴210211x x ->⎧⎨-⎩… 解之得：112x <… 故选：C ．6．函数2()(1)f x ln x x=+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解答】解：f （1）(11)2220ln ln =+-=-<，而f （2）3110ln lne =->-=， ∴函数2()(1)f x ln x x=+-的零点所在区间是(1,2)， 故选：B ．7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()(1f x x =+，则当0x <时，()f x 表达式是( )A ．(1x -+B ．(1x +C ．(1x -D ．(1x【解答】解：设0x <，则0x -…，当0x …时，()(1f x x =+，()(1(1f x x x ∴-=-+=--，函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴=--，()(1f x x ∴=．故选：D ．8．1x ，2x 是方程2()(23)230lgx lg lg lgx lg lg +++=的两个根，求12x x 等于( ) A ．23lg lg +B ．23lg lgC ．16D ．6-【解答】解：根据题意，对于方程2()(23)230lgx lg lg lgx lg lg +++=， 设t lgx =，则有2(23)230t lg lg t lg lg +++=， 则有1122t lg lg=-=，2133t lg lg =-=， 若1x ，2x 是方程2()(23)230lgx lg lg lgx lg lg +++=的两个根， 则112x =，213x =； 则1216x x =． 故选：C ．9．函数212()log (28)1f x x x =-+-+的单调递增区间是( )A ．(,4)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．(1,)-+∞【解答】解：函数212()log (28)1f x x x =-+-+的单调递增区间，即函数228(4)(2)y x x x x =+-=+-在满足0y >的条件下，y 的增区间， 故在满足0y >的条件下，y 的增区间为(2,)+∞， 故选：C ．10．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩…，若f （a ）2(2)0f a +-<，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞【解答】解：由已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩…， 当0x >时，22()4()()(4)()f x x x x x f x -=---=-+=-； 当0x <时，22()()4()(4)()f x x x x x f x -=-+-=--=-； 当0x =时，()0()f x f x -==-； 故()f x 是R 上的奇函数．0x …时，22()4(2)4f x x x x =+=+-，()f x ∴在[0，)+∞上是增函数；又()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，()f x ∴在(,0)-∞上是增函数；即()f x 是R 上的增函数；∴不等式f （a ）2(2)0f a f +-<⇔（a ）2(2)f a <--；即f （a ）22(2)2f a a a <-⇔<-； 解得21a -<<，所以实数a 的取值范围是(2,1)-． 故选：C ．11．函数22x y x =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：分别画出函数()2x f x =（红色曲线）和2()g x x =（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，()f x 与()g x 有3个交点，所以220x y x =-=，有3个解，即函数22x y x =-的图象与x 轴由三个交点，故排除B ，C ， 当3x =-时，322(3)0y -=--<，故排除D 故选：A ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是( ) A ．{0，1}B ．{1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，0}【解答】解：函数1111()(12212x x xe f x e e =-=-∈-++，1)2当1()02f x -<<时，[()]1y f x ==-，当10()2f x <…时，[()]0y f x ==． ∴函数[()]y f x =的值域是{1-，0}故选：D ．二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上） 13．已知17a a+=，则22a a -+= 47【解答】解：根据题意，17a a+=， 则22211()249a a a a+=++=，变形可得2222149247a a a a-+=+=-=； 故答案为：4714．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则f （6）的值为 0 ． 【解答】解：因为(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 得出周期为4即f （6）f =（2）(2)f =-， 又因为函数是奇函数 f （2）(2)f f =-=-（2）所以f （2）0= 即f （6）0=，15．将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的表面积为 4π ． 【解答】解：由已知球的直径为2，故半径为1， 其表面积是2414ππ⨯⨯=， 故答案为：4π．16．关于x 的方程4240x x a -+=在[0，)+∞上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 (4，5] ．【解答】解：4240x x a -+=，442x xa +∴=，令2[1x t =∈，)+∞，244t a t t t +∴==+，由对勾函数的单调性得： 44a t t=+…，又关于x 的方程4240x x a -+=在[0，)+∞上有两个不同的实数根，y a ∴=，4y t t=+有两个不同的交点， 45a ∴<…；故答案为：(4，5]．三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22，23题为附加题，共20分，请写出必要的解答过程）17．已知U R =，集合{|2M x x a =-…或3}x a +…，{|12}N x x =-剟． （1）若0a =，求()()U U M N 痧；（2）若MN =∅，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当0a =时，{|2M x x =-…或3}x …， U R =，{|12}N x x =-剟， {|23}U M x x ∴=-<<ð，{|2U N x x =>ð或1}x <-，()(){|23U U M N x x ∴=<<痧或21}x -<<-；（2）在数轴上分别画出集合M ，N ， MN =∅，21a ∴-<-且32a +>，即1a <且1a >-，∴实数a 的取值范围是(1,1)-．18．已知函数()f x =．（1）求()(1)f x f x +-的值； （2）求1220172018()()()()2019201920192019f f f f ++⋯++的值．【解答】解：（1）根据题意，函数()f x =(1)f x -=，则有()(1)1f x f x +-==；（2）根据题意，由（1）的结论：12018()()120192019f f +=，22017.()()120192019f f +=．⋯⋯，10091010()()120192019f f +=； 则1220172018()()()()10092019201920192019f f f f ++⋯++=． 19．已知2()21g x x ax =-+在区间[1，3]上的值域为[0，4]． （1）求实数a 的值；（2）若不等式(2)40x x g k -…当[1x ∈，)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）因为()g x 是开口向上的二次函数，且在区间[1，3]上的最大值为4，所以g （1）224a =-=或者g （3）1064a =-=，解得1a =-或1a =． i ．当1a =-时，2()21g x x x =++，g （3）164=>矛盾；ii ．当1a =时，2()21g x x x =-+在区间[1，3]上单调递增，g （1）0=，g （3）4=，所以()g x 在区间[1，3]上的值域为[0，4]． 综上，1a =．（2）121(2)442140124x x x x x x xg k k k +-=-+-⇔-+厔． 令12x t =，当[1x ∈，)+∞时，(0t ∈，1]2．则212k t t -+…在(0t ∈，1]2时恒成立． 令2()12f t t t =-+，()f t 在区间(0，1]2上单调递减，最小值为11()24f =．所以(k ∈-∞，1]4．20．正在建设中的郑州地铁一号线，将有效缓解市内东西方向交通的压力．根据测算，如果一列车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢单向一次最多能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使该列车每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．（注:营运人数指列车运送的人数）．【解答】解：设该列车每天来回次数为t ，每次拖挂车厢数为n ，每天营运人数为y ． 由已知可设t kn b =+，则根据条件得164107k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得224k b =-⎧⎨=⎩，224t n ∴=-+． （6分）所以21102440(12)y tn n n =⨯⨯=-+；∴当6n =时，15840y =最大．即每次应拖挂6节车厢，才能使该列车每天的营运人数最多，最多为15840人．21．定义在(0,)+∞上的函数()f x ，对于任意的m ，(0,)n ∈+∞，都有()()()f mn f m f n =+成立，当1x >时，()0f x <． （1）求证：1是函数()f x 的零点； （2）求证：()f x 是(0,)+∞上的减函数； （3）当1(2)2f =-时，解不等式(4)1f ax +>-．【解答】解：（1）证明：对于任意的正实数m ，n 都有()()()f mn f m f n =+成立， 所以令1m n ==，则f （1）(11)f f ==（1）f +（1）2f =（1）． f ∴（1）0=，即1是函数()f x 的零点．（2）证明：任意1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <，则由于对任意正数()()()f mn f m f n =+， 所以2221111()()()()x x f x f x f x f x x ==+，即2211()()()xf x f x f x -=． 又当1x >时，()0f x <，而211x x >．所以21()0xf x <． 从而12()()f x f x >，因此()f x 在(0,)+∞上是减函数． （3）根据条件有f （4）f =（2）f +（2）1=-， 所以(4)1f ax +>-等价于(4)f ax f +>（4）．再由()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，所以044ax <+<．即40ax -<<． 当0a =时，400-<<不成立，此时不等式的解集为∅； 当0a >时，40ax -<<，即40x a -<<，此时不等式的解集为4{|0}x x a-<<； 当0a <时，40ax -<<，即40x a <<-，此时不等式的解集为4{|0}x x a<<-．四、附加题：（满分20分，计入试卷总分）22．若0m >，关于x 的方程2(1)mx m --=在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 (0，1][3，)+∞ ．【解答】解：根据题意，设2()(1)f x mx m =---若方程2(1)mx m --=在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则函数()f x 在区间[0，1]上有且只有一个零点，又由(0)1f m =-，f （1）23m m =-，则有(0)f f （1）2(1)(3)0m m m =--…， 又由m 为正实数，则2(1)(3)0(1)(3)0m m m m m --⇒--剟，解可得01m <…或3m …， 当01m <…时，由(0)0f …，f （1）0<，()f x 在(0,1)递减，符合题意；当3m …，(0)0f <，f （1）0…，()f x 的极小值小于0，符合题意． 即m 的取值范围是(0，1][3，)+∞； 故答案为：(0，1][3，)+∞．23．已知函数2()log (21)x f x ax =++，x R ∈． （1）若()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）当0a >时，判断()f x 的单调性，不需要证明；（3）当0a >时，关于x 的方程4[()(1)1(21)]1x f f x a x og -+--=在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，则有22log (21)()log (21)x x a x ax -++-=++，变形可得222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=-， 解可得12a =-，故12a =-；（2）当0a >时，函数2log (21)x y =+和函数y ax =都是增函数，则函数2()log (21)x f x ax =++为增函数，（3）根据题意，函数2()log (21)x f x ax =++，有(0)1f =，则4[()(1)1(21)]1x f f x a x og -+--=即4[()(1)1(21)](0)x f f x a x og f -+--=又由（2）的结论，当0a >时，函数2()log (21)x f x ax =++为增函数，则有4()(1)1(21)0x f x a x og -+--=，即24log (21)1(21)x x og a +--=，变形可得：24(21)121x xog a +=-，设24(21)()121x x g x og +=-，若方程4[()(1)1(21)]1x f f x a x og -+--=在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数()g x 的图象与y a =有2个交点，对于24(21)()121x x g x og +=-，设2(21)()21x x h x +=-，则22(21)[(21)2]4()(21)4212121x x x xx x h x +-+===-++---， 又由12x 剟，则1213x -剟，则()8min h x =，h （1）9=，h （2）253=，则()9max h x =， 若函数()g x 的图象与y a =有2个交点，必有44325log 8log 23a =<…， 故a 的取值范围为3(2，425log ]3．。

吉林省延边第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）的取值范围是（7．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，
若，则不等式的解集是（ ）A ． B ． C ． D ．8.标准围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同
()f x R 12,[0,)x x ∈+∞12x x ≠()()1212
0f x f x x x ->-()10f =()()10x f x ->()()
1,11,-+∞ ()
1,1-()(),11,-∞-⋃+∞()()
,10,1-∞-⋃19193613613
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。

全选对5分，选不全2分）
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）
四、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程）。

某某省延边二中2014-2015学年高一上学期12月段考数学试卷一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}2．（4分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm34．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x5．（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（4分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A．﹣7或﹣1 B．﹣7 C．7或1 D．﹣17．（4分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）8．（4分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．9．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值X围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）10．（4分）将一X坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（2，0）重合，点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n=（）A．4 B．6 C．10 D．11．（4分）点M（x，y）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x∈[2，5]时，的取值X围是（）A．[﹣，2] B．[0，] C．[﹣，] D．[2，4]12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012二、填空题（每题4分，共16分）13．（4分）经过点P（3，2），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为．14．（4分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+1，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．15．（4分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；其中正确的是．16．（4分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，则顶点C的坐标为．三、解答题（17、18每题10分，19、20、21每题12分）17．（10分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，又PA⊥底面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AD⊥PE；（2）设F是PD的中点，求证：CF∥平面PAE．19．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值X围．20．（12分）△ABC中A（3，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为6x+10y﹣59=0，∠B 的平分线方程BT为x﹣4y+10=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．21．（12分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值X围．某某省延边二中2014-2015学年高一上学期12月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解．解答：解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，∴（∁U S）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．故选：A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2．（4分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．解答：解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．3．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．解答：解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．5．（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：根据题意，直线OP在点O与A1B1确定的平面内．设点O与A1B1确定的平面为α，α∩AD=F且α∩BC=E，可得F、E为AD、BC的中点，由正方形的性质可得AM⊥A1F，由A1B1⊥面ADD1A1可得A1B1⊥AM．因此AM⊥面A1FEB1，结合OP⊂面A1FEB1得AM⊥OP．由此即可得到异面直线OP与MA所成的角为90°．解答：解：∵A1B1⊥面ADD1A1，AM⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥AM．设点O与A1B1确定的平面为α，α∩AD=F且α∩BC=E，则F、E为AD、BC的中点，根据正方形的性质，可得AM⊥A1F．∵A1F∩A1B1=A1，A1F、A1B1⊂平面面A1FEB1，∴AM⊥面A1FEB1，又∵OP⊂面A1FEB1，∴AM⊥OP．即直线OP与直线AM所成的角是90°．故选：D点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、正方体的结构特征等知识，属于基础题．6．（4分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A．﹣7或﹣1 B．﹣7 C．7或1 D．﹣1考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．分析：利用直线平行的充要条件：斜率相等、截距不等即可得出．解答：解：∵直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，∴，解得a=﹣7．故选：B．点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题．7．（4分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：先根据指数函数和幂函数的单调性判断f（0）、f（）、f（）的符号，结合函数零点的存在性定理和函数的单调性和确定答案．解答：解：∵f（x）=﹣∴f（0）=1＞0，f（）=﹣=＞0f（）=﹣=＜0∴f（x）在区间（，）上一定有零点，因为y=，y=﹣是单调递减函数，∴f（x）=﹣是单调减函数，故存在唯一零点故选B．点评：本题主要考查指数函数和幂函数的单调性与函数的零点存在性定理的应用．考查基础指数的综合应用和灵活能力．8．（4分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题；转化思想．分析：根据两直线平行（与y轴平行除外）时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离．解答：解：根据两直线平行得到斜率相等即﹣3=﹣，解得m=2，则直线为6x+2y+1=0，取3x+y﹣3=0上一点（1，0）求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，所以d==．故选D点评：此题是一道基础题，要求学生会把两条直线间的距离转化为点到直线的距离．9．（4分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值X围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件，由单调递增函数的定义便得到函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以由f（2x﹣1）＜f（）得：2x﹣1，解不等式即得x的取值X 围．解答：解：由（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，知：x2﹣x1与f（x2）﹣f（x1）同号；∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；∴解原不等式得：，解得；∴x的取值X围是．故：C．点评：考查单调递增函数的定义，并且不要忘了限制2x﹣1在函数f（x）的定义域内．10．（4分）将一X坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（2，0）重合，点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n=（）A．4 B．6 C．10 D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：将一X坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（2，0）重合，可得对称轴为直线：y=x．即可得出m，n．解答：解：将一X坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（2，0）重合，可得对称轴为直线：y=x．由于点（7，3）与点（m，n）重合，则m=3，n=7，∴m+n=10．故选：C．点评：本题考查了轴对称性，属于基础题．11．（4分）点M（x，y）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x∈[2，5]时，的取值X围是（）A．[﹣，2] B．[0，] C．[﹣，] D．[2，4]考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：函数y=﹣2x+8为减函数，当x属于[2，3]时，连续，当x=2时，y=4，当y=5时，y=﹣2，由此能求出的取值X围．解答：解：函数y=﹣2x+8为减函数，当x属于[2，3]时，连续，当x=2时，y=4，当y=5时，y=﹣2，∴当x=2时，=，当x=3时，=﹣，∴的取值X围为：[﹣，]．故选：C．点评：本题考查代数式的取值X围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012考点：函数的周期性；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．解答：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f]+f+f=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．点评：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．二、填空题（每题4分，共16分）13．（4分）经过点P（3，2），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+1=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线的方程和垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，∴与直线2x+y﹣5=0垂直的直线斜率为，∴直线的点斜式方程为：y﹣2=（x﹣3）化为一般式可得x﹣2y+1=0故答案为：x﹣2y+1=0点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14．（4分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+1，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x，y=x+1，y=2x的图象，以此确定出函数f （x）图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．解答：解：f（x）=min{2x，x+1，10﹣x}（x≥0）如图所示，则f（x）的最大值为y=x+1与y=10﹣x交点的纵坐标，由得A（，）即当x=时，y=．故答案为：．点评：本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图．15．（4分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；其中正确的是②③．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据三角形的中位线定理可得四边形EFBC是平面四边形，直线BE与直线CF共面；②由异面直线的定义即可得出；③由线面平行的判定定理即可得出；④可举出反例解答：解：由展开图恢复原几何体如图所示：①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四边形EFBC是梯形，故直线BE与直线CF不是异面直线，所以①不正确；②由点A不在平面EFCB内，直线BE不经过点F，根据异面直线的定义可知：直线BE与直线AF异面，所以②正确；③由①可知：EF∥B C，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；④如图：假设平面BCEF⊥平面PAD．过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，在BC上取一点M，连接PM、OM、MN，∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直．故④不一定成立．综上可知：只有②③正确，故答案为：②③点评：本题主要考查空间直线的位置关系的判断，正确理解线面、面面平行与垂直的判定与性质定理和异面直线的定义是解题的关键．16．（4分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，则顶点C的坐标为（4，3）．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：设C（m，n），则由CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0可得2m﹣n﹣5=0，由AC⊥BH 可得=﹣1，联立解方程组可得．解答：解：设C（m，n），则由CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0可得2m﹣n﹣5=0，①由AC⊥BH可得=﹣1，②联立①②可解得m=4，n=3，即顶点C的坐标为：（4，3）故答案为：（4，3）点评：本题考查直线的对称性和垂直关系，涉及方程组的解法，属基础题．三、解答题（17、18每题10分，19、20、21每题12分）17．（10分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）由=可得点C1到平面AB1D的距离．解答：（Ⅰ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）解：由题意，△AB1D中，AD=，B1D=，AD⊥B1D，∴==，设点C1到平面AB1D的距离为h，则由=可得=，∴h=．点评：本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，根据三棱锥的体积求点到平面的距离，属于中档题．18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，又PA⊥底面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AD⊥PE；（2）设F是PD的中点，求证：CF∥平面PAE．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）先根据菱形的性质判断出AE⊥BC．根据BC∥AD，推断出AE⊥AD．然后利用线面垂直的性质证明出PA⊥AD．进而根据线面垂直的判定定理证明出AD⊥平面PAE，最后利用线面垂直的性质可知AD⊥PE．（2）取AD的中点G，连结FG、CG，易得FG∥PA，CG∥AE，所以平面CFG∥平面PAE，进而可得CF∥平面PAE．解答：（1）证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD．因为AE⊂平面PAE，PA⊂平面PAE，PA∩AE=A，所以AD⊥平面PAE，∵PE⊂平面PAE，所以AD⊥PE．（2）证明：取AD的中点G，连结FG、CG，因为G，F是中点，∴FG∥PA，CG∥AE，∵FG⊂平面CFG，CG⊂平面CFG，FG∩CG=G，PA⊂平面PAE，AE⊂平面PAE，PA∩AE=A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．点评：本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用．证明的关键是先证明出线线平行和线线垂直．19．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值X围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值求a，b的值；（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可．（3）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值X围．解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，∴f（x）=0，即=0，解得：b=1，f（﹣1）=﹣f（1），即=﹣，解得：a=2证明：（2）由（1）得：f（x）=，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故＞0，＞0，＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数；（3）由（2）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜﹣．所以k的取值X围是k＜﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．20．（12分）△ABC中A（3，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为6x+10y﹣59=0，∠B 的平分线方程BT为x﹣4y+10=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．考点：两直线的夹角与到角问题；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M（，）在直线CM上，从而3x0+5y0﹣55=0，又点B在直线BT上，则x0﹣4y0+10=0，由此能求出B点的坐标．（2）设点A（3，﹣1）关于直线BT的对称点D的坐标为（a，b），则点D在直线BC上，从而D（1，7），由此能求出直线BC的方程．解答：解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M（，）在直线CM上．∴，∴3x0+5y0+4﹣59=0，即3x0+5y0﹣55=0，①又点B在直线BT上，则x0﹣4y0+10=0，②由①②可得x0=10，y0=5，即B点的坐标为（10，5）．（5分）（2）设点A（3，﹣1）关于直线BT的对称点D的坐标为（a，b），则点D在直线BC上．由题知，得，∴D（1，7）．（7分）k BC=k BD==﹣，（8分）∴直线BC的方程为y﹣5=﹣，即2x+9y﹣65=0．（10分）点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是中档题．21．（12分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值X围．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h （t）的最值，从而求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值X围为[33，+∞）．点评：本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．。

2020--2021学年度上学期第二次检测高一年级数学试题命题人： 审核：（满分150分，时间120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题意）1. 已知全集U ＝Z ，A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2＝x }，则UAB =A. {1,2}B. {0,1}C. {－1,0}D. {－1,2} 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A. xy e -= B.ln y x = C. 3y x = D. yx =3. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）A. xx f =)(B.3)(x x f =C.13)(-=x x fD.x x f ln )(= 4. 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数xa x f =)(与函数()log b g x x 的图象可能是A B C D5. 水平放置的正ABC ∆按“斜二测画法”得到直观图C B A '''∆，已知ABC ∆的边长为a ，那么直观图C B A '''∆的面积为（ ） A.243a B.283a C.286a D.2166a 6. 设()()lg 101xf x ax =++是偶函数，()42x xbg x -=是奇函数，则a b +的值为A ．1-B ．21-C ．21D ．17. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a b c <<8. 如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 一定是A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形 9. 函数243()2x x f x 的单调减区间是A. (,2]-∞B. [2,)+∞C. [0,)+∞D. (,0]-∞10. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示C B A ,,分别是GHI ∆三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的左视图为A B C D 11. 函数()log 1a f x x =-在(0,1)上单调递减，那么()f x 在(1,)+∞上A. 递增且无最大值B. 递减且无最小值C. 递增且有最大值D. 递减且有最小值12. 已知函数()lg ,0106,102⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x xx ，设a ，b ，c 是方程()=f x m 的三个互不相等的实数根，则abc 的取值范围是A ．(0,10)B ．(1,10)C ．(10,12)D ．(1,12) 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知幂函数2222()(1)--=--mm f x m m x 是(0,)+∞上的减函数，则实数m 的值为 ．H EFDACBG14. 已知集合2{|40,}A x xx a x R ，且1∉A ，则实数a 的取值范围是 ． 15.已知函数()log (1)3(0,1)a f x x a a，则)(x f y =的图像恒过点 ．16. 已知)(x f 是定义在[2,3]上的函数，对任意不相等的12,[2,3]x x ，都有1212()[()()]0x x f x f x 恒成立，则不等式2()(2)f x f x 的解集为 .三、解答题（6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)求下列各式的值：（1）101231363(0.25)(31)248； （2）06.0lg 61lg )2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++．18. （12分）已知函数()ln(2)ln(2)f x x x ．（1）求函数()f x 定义域，并判断()f x 的奇偶性； （2）若()0>f x ，求x 的取值范围.19. （12分）如图，设ABCD 和ABEF 均为平行四边形，它们不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且MA CM 2=，NF BN 2=. 求证：//MN 平面BEC .20. （12分）若函数()f x 满足()()-=-f x f x ，且22()21⋅+-=+x xa a f x ()∈x R ． （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性.21.（12）通过研究学生的学习行为，专家发现：学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化. 讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态； 随后学生的注意力开始分散.设f (t )表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律 [ f (t ) 越大，表明学生注意力越集中]，经过实验分析得知⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=)4020(3807)2010(240)100(10024)(2t t t t t t t f . （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么 经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？22. (12分)已知函数2()=++f x x bx c ，且满足(1)(1)-=+f x f x ，(0)3=-f ． （1）求()f x 的解析式；（2）对任意的[1,4]∈-x ，当[1,1]a ∈-时，不等式()26≤++f x m am 恒成立， 求实数m 的取值范围．高一数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题意）1. D ；2. C ；3. A ；4. B ；5. D.；6. C ；7. B ；8. D ；9. B ； 10. A ； 11. A ； 12. C.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．2； 14. )3,2(；15. (,3]；16. (1,1]-.三、解答题（6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 求下列各式的值：（1）101231363(0.25)(31)248-+++--；（2）06.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++． 解:（1）101231363(0.25)(31)248-+++--111322252711()()()14842=+++-1112323225311[()][()][()]12222=+++-5311152222=+++-=；（2）06.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++2lg 5(3lg 23)3(lg 2)22233(lg 2)3(lg 2)21．18. 已知函数()ln(2)ln(2)=-++f x x x ．（1）求函数()f x 定义域，并判断()f x 的奇偶性； （2）若()0>f x ，求x 的取值范围.解：（1）由题意，得2020->⎧⎨+>⎩x x ，解得， 22-<<x ，所以，函数()f x 的定义域为(2,2)-.∵ ()()ln(2)ln(2)[ln(2)ln(2)]0f x f x x x x x --=++---++=， ∴ ()()-=f x f x ， 故函数()ln(2)ln(2)=-++f x x x 是偶函数.（2）2()ln(2)ln(2)ln(4)=-++=-f x x x x ，由()0>f x ，得2ln(4)0->x ， 即241->x ，解得33-<<x ∴当()0>f x 时，x 的取值范围是(3,3)-.19. 如图，设ABCD 和ABEF 均为平行四边形，它们不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且MA CM 2=，NF BN 2=. 求证：//MN 平面BCE .证明：在平面ABCD 内过点M 作AB MQ //，MQ 交BC 于点Q ，在平面ABEF 内过点N 作EF NP //，NP 交BE 于点P ，连接PQ . ∵ 四边形ABEF 为平行四边形， ∴EF AB //， 故NP MQ //.在ABC Δ中，∵ AB MQ //，MA CM 2=， ∴32==AB MQ AC CM ； 在BEF Δ中，∵ EF NP //，NF BN 2=， ∴32==EF NP BF BN ； ∵ EF AB =， ∴ NP MQ =. ∴ 四边形MNPQ 为平行四边形，故 PQ MN //. ∵ ⊄MN 平面BCE ，⊆PQ 平面BCE ， ∴//MN 平面BCE .20. （12分）若函数()f x 满足()()-=-f x f x ，且22()21⋅+-=+x xa a f x ()∈x R ． （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性.解：（1）∵ ()()-=-f x f x ，∴ 函数()f x 是R 上的奇函数， ∴ (0)0=f ，即0022021⋅+-=+a a ，解得1=a ，∴a 的值为1；PQ（2）由（1）知，21()21-=+x x f x ，且()f x 是R 上的增函数. 证明如下：任取12,∈x x R ，且12<x x ，则12()()-f x f x 121221212121--=-++x x x x 12122(22)(21)(21)-=++x x x x .∵12<x x ，∴ 12220-<x x ，12210,210+>+>x x ， 即 12()()0-<f x f x ，∴12()()<f x f x ， 故()f x 是R 上的增函数.21. 解: (1)当时100≤<t ，244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数，且240)10(=f ；时当4020≤<t ，3807)(+-t t f 是减函数，且240)20(=f .所以，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2）由于205)25(,195)5(==f f ，所以讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟时更集中.（3）当100≤<t 时，由2()24100180,4f t t t t =-++==得；当4020≤<t ，令2()7380180,28.57f t t t =-+=≈则，于是学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲完这道题目. 22. 已知函数2()=++f x x bx c ，且满足(1)(1)-=+f x f x ，(0)3=-f ．（1）求()f x 的解析式；（2）对任意的[1,4]∈-x ，当[1,1]∈-a 时，不等式()26≤++f x m am 恒成立， 求实数m 的取值范围． 解：（1）∵2()=++f x x bx c ，且(0)3=-f ，∴ 3=-c ；∵ (1)(1)-=+f x f x ，∴ ()f x 的图像关于直线1=x 对称，故2=-b ； ∴ 2()23=--f x x x .（2）∵ 函数2()23=--f x x x 的对称轴为1=x ，开口向上， ∴ ()f x 在区间[1,1]-上单调递减， 在区间[1,4]上单调递增，当[1,4]∈-x 时，max ()(4)5==f x f . 故对任意的[1,4]∈-x ，不等式()26≤++f x m am 恒成立，等价于max 26()++≥m am f x 在[1,4]-恒成立，即当[1,1]∈-a 时，210++≥m am 恒成立.令12)(++=m ma a g ，则0≥)(a g 在[1,1]∈-a 上恒成立. 当0=m 时，1)(=a g ，显然成立；当0>m 时，函数12)(++=m ma a g 在[1,1]-上单调递增， ∴min ()(1)1g a g m ，故0≥1+m ，即1≥-m ， ∴ 0>m ；当0<m 时，函数12)(++=m ma a g 在[1,1]-上单调递减， ∴13)1()(min +==m g a g ，故0≥13+m ，即13≥-m ， ∴103-≤<m ． 综上所述，实数m 的取值范围是1[,)3-+∞。

某某省延边二中2014-2015学年高一上学期9月段考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，选项中只有一个正确的答案，将答案涂在答题卡上）1．（4分）已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．（4分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．B．C．D．3．（4分）一个偶函数定义在上，它在上的图象如图，下列说法正确的是（）A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是﹣74．（4分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，21] C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]6．（4分）已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a7．（4分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数8．（4分）下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．函数y=x|x|是R上的增函数9．（4分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元10．（4分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，当a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c），那么正确的结论是（）A．2a＞2b B．2a＞2c C．2﹣a＜2c D．2a+2c＜211．（4分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x．构造函数y=F（x），定义如下：当f（x）≥g（x）时，F（x）=g（x）；当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x）．那么y=F（x）（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值3，无最小值C．有最大值，无最小值D．有最大值，最小值12．（4分）当x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，则实数a的取值X围为（）A．（0，1）B．（1，2] C．（1，2）D．恒成立，则实数t的最大值是．三、解答题（共56分，其中第17、18题10分，其余各题各12分）17．（10分）已知函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|x﹣p＞0}，A⊆C，某某数p的取值X围．18．（10分）已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．（1）求f（1）、f（4）的值；（2）求满足f（x）+f（x﹣3）＞2的x的取值X围．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣1．（Ⅰ）求f（3）+f（﹣1）；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若x∈A，f（x）∈，求区间A．20．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值X围．21．（12分）已知函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为g（a），令m=g（a），求m的取值X围．某某省延边二中2014-2015学年高一上学期9月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，选项中只有一个正确的答案，将答案涂在答题卡上）1．（4分）已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}考点：Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．解答：解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，则右图中阴影部分表示的集合是：{1}．故选A．点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（4分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．B．C．D．考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：计算题．分析：两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系．考查各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域和对应关系，从而得出结论．解答：解：由于函数y=1的定义域为R，而函数y=的定义域为{x|x≠0}，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A．由于函数的定义域为{x|x＞1}，而的定义域为{x|1＜x 或x＜﹣1}，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B．由于函数y=x与函数 y=具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．由于函数y=|x|的定义域为R，而函数 y=的定义域为{x|x≥0}，这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除D．故选C．点评：本题主要考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系．3．（4分）一个偶函数定义在上，它在上的图象如图，下列说法正确的是（）A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是﹣7考点：奇偶性与单调性的综合．专题：数形结合．分析：根据偶函数在上的图象及其对称性，作出在上的图象，如图所示，根据函数的图象，确定函数的单调性和最值情况，就可以确定选项．解答：解：根据偶函数在上的图象及其对称性，作出在上的图象，如图所示，可知：这个函数有三个单调增区间；这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7；这个函数在其定义域内最小值不是﹣7．故选C．点评：本题主要考查了学生读图能力以及偶函数定义，本题关键是根据偶函数图象的对称性确定在上的图象，属于基础题．4．（4分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：指数函数的图像变换．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先考查 y=a x的图象特征，f（x）=a x+b 的图象可看成把 y=a x的图象向下平移﹣b （﹣b＞1）个单位得到的，即可得到 f（x）=a x+b 的图象特征．解答：解：∵0＜a＜1，b＜﹣1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把 y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，故选：A．点评：本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．5．（4分）已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，21] C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由题意可得，解不等式可求函数的定义域解答：解：由题意可得∴∴函数的定义域为（﹣∞，）∪（﹣故选D点评：本题主要考查了含有分式及根式的函数定义域的求解，属于基础试题6．（4分）已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性即可判断出．解答：解：∵，∴b＞c＞a．故选A．点评：熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．（4分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题．分析：先求定义域，再利用奇偶函数的定义进行判断即可．解答：解：的定义域为R，且==﹣f（x），故f（x）为奇函数．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，属基本题型、基本概念的考查，难度不大．在判断函数奇偶性的时，否定时一般用特值．8．（4分）下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2xB．y=（）﹣x是R上的增函数C．若x∈R且x≠0，则log2x2=2log2xD．函数y=x|x|是R上的增函数考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：A中x=0时，不等式不成立；B中由指数函数的性质判断y=是R上的减函数；C中x＜0时，2log2x无意义；D中y=x|x|=是R上的增函数．解答：解：对于A，当x=0时，30=20=1，∴命题A错误；对于B，y==是R上的减函数，∴命题B错误；对于C，x＜0时，2log2x无意义，∴命题C错误；对于D，y=x|x|=，是R上的增函数，命题正确．故选：D．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应对每一个命题进行判断是否正确，是基础题．9．（4分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元考点：根据实际问题选择函数类型．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：此题的等量关系：实际售价=标价的九折=进价×（1+获利率），设未知数，列方程求解即可．解答：解：设进价是x元，则（1+10%）x=132×0.9，解得x=108．则这件衬衣的进价是108元．故选D．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．10．（4分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，当a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c），那么正确的结论是（）A．2a＞2b B．2a＞2c C．2﹣a＜2c D．2a+2c＜2考点：不等关系与不等式；函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=|2x﹣1|，可得f（x）=．画出函数图象．利用函数图象的单调性和已知条件可得：当0≤a＜b＜c时，不满足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．当a＜0＜c时，1﹣2a＞2c﹣1，化为2a+2c＜2；当a＜b＜c≤0时，f（x）在区间（﹣∞，0]上也满足2a+2c＜2．解答：解：∵函数f（x）=|2x﹣1|，∴f（x）=．画出函数图象，可知：函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．当0≤a＜b＜c时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不满足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．当a＜0＜c时，1﹣2a＞2c﹣1，化为2a+2c＜2；当a＜b＜c≤0时，f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减．∴1＞1﹣2a＞1﹣2c≥0，∴2c≤1，2a＜1，∴2a+2c＜2．综上可知：D一定正确．故选：D．点评：本题考查了分段函数的图象与性质、分类讨论、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于难题．11．（4分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x．构造函数y=F（x），定义如下：当f（x）≥g（x）时，F（x）=g（x）；当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x）．那么y=F（x）（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值3，无最小值C．有最大值，无最小值D．有最大值，最小值考点：函数的最值及其几何意义．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．解答：解：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）有最大值，无最小值．由图象可知，当x＜0时，y=F（x）取得最大值，所以由3﹣2|x|=x2﹣2x得x=2+（舍）或x=2﹣．此时F（x）的最大值为：．故选C．点评：本题考查新定义，考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂F（x）是什么．先画出|f（x）|及g（x）与﹣g（x）的图象．再比较f（x）与g（x）的大小，然后确定F（x）的图象．这是一道创新性较强的试题，属中档题．12．（4分）当x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，则实数a的取值X围为（）A．（0，1）B．（1，2] C．（1，2）D．，故选B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（每小题4分，共16分，将你的答案写在答题纸相应的横线上）13．（4分）若10x=3，10y=4，则102x﹣y=．考点：有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：由10x=3，10y=4和102x﹣y=102x÷10y=（10x）2÷10y，能求出102x﹣y的值．解答：解：∵10x=3，10y=4，∴102x﹣y=102x÷10y=（10x）2÷10y=32÷4=．故答案为：．点评：本题考查有理数指数幂的运算性质，解题时要注意指数幂的运算法则．14．（4分）已知2a=5b=m，且+=1，则m=10．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式，代入已知等式后利用对数的运算性质化简求得m的值．解答：解：由2a=5b=m，得a=log2m，b=log5m，由+=1，得==log m10=1．∴m=10．故答案为：10．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，是基础的计算题．15．（4分）已知函数f（x）=在（﹣2，+∞）内单调递减，则实数a的取值X围（﹣∞，）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞﹣2时，函数的导数f′（x）＜0，解不等式求得a的X围．解答：解：由题意可得，当x＞﹣2时，函数的导数f′（x）==＜0，解得a＜，故a的X围是（﹣∞，），故答案为（﹣∞，）．点评：本题主要考查函数的单调性与导数的关系，求函数的导数，属于中档题．16．（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）在x＞0时满足f（x）=x4，且f（x+t）≤4f（x）在x∈恒成立，则实数t的最大值是﹣1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先根据题意判断出函数是单调增的，进而把4f（x）转化为f（x），利用函数的单调性建立不等式，根据x的X围确定t的X围．解答：易知这个函数是严格单调的而f（x+t）≤4f（x）等价于f（x+t）≤f（x）故问题等价于当x属于时，x+t≤x 恒成立将x+t≤x 变形为t≤（﹣1）x，∵x∈∴只需t≤（﹣1）×1=﹣1故t的最大值为﹣1．故答案为：﹣1点评：本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用．解题的关键是完成4（x）向f（x）的转化．三、解答题（共56分，其中第17、18题10分，其余各题各12分）17．（10分）已知函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|x﹣p＞0}，A⊆C，某某数p的取值X围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）先由求出集合A和B，然后根据交集和并集的定义求出A∩B和A∪B；（2）首先求出集合C，然后由A⊆C，求出p≤2．解答：解：（1）依题意，得A={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}B={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，∴A∩B={x|2＜x≤3}A∪B={x|x≥﹣3}（2）由x﹣p＞0，得x＞p，∵A⊆C∴p≤2点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及并集、并集和子集的概念，属于基础题．18．（10分）已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．（1）求f（1）、f（4）的值；（2）求满足f（x）+f（x﹣3）＞2的x的取值X围．考点：抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据已知条件，只需取x=1，y=1，便可求出f（1）；取x=2，y=2，便可求出f（4）．（2）根据已知条件可以得到：f＞f（4），根据已知的条件解这个不等式即可．解答：解：（1）取x=y=1，则：f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；取x=y=2，则：f（4）=f（2）+f（2）=2，即f（4）=2．（2）由题意得，f＞f（4）；∴x应满足：；解得，x＞4．∴满足f（x）+f（x﹣3）＞2的x的取值X围是（4，+∞）．点评：考查对条件f（xy）=f（x）+f（y）的运用，利用函数的单调性解不等式，注意限制x＞0，x﹣3＞0．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣1．（Ⅰ）求f（3）+f（﹣1）；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若x∈A，f（x）∈，求区间A．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质代入已知式子可求；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，易求f（﹣x），根据奇函数性质可得f（x）与f（﹣x）的关系；（Ⅲ）作出f（x）的图象，由图象可知f（x）单调递增，由f（x）=﹣7及f（x）=3可求得相应的x值，结合图象可求得A；解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（3）+f（﹣1）=f（3）﹣f（1）=23﹣1﹣2+1=6；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+1，∴；（Ⅲ）作出函数f（x）的图象，如图所示：根据函数图象可得f（x）在R上单调递增，当x＜0时，﹣7≤﹣2﹣x+1＜0，解得﹣3≤x＜0；当x≥0时，0≤2x﹣1≤3，解得0≤x≤2；∴区间A为．点评：本题考查函数的奇偶性及其应用，考查指数不等式的求解，考查数形结合思想，考查学生解决问题的能力．20．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值X围．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；新定义．分析：（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点”建立方程解之即可；（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x 恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．解答：解：（1）当a=1，b=﹣2时，f（x）=x2﹣x﹣3=x⇔x2﹣2x﹣3=0⇔（x﹣3）（x+1）=0⇔x=3或x=﹣1，∴f（x）的不动点为x=3或x=﹣1．（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点⇔对任意实数b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x即ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根⇔对任意实数b，△=b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立⇔对任意实数b，b2﹣4ab+4a＞0恒成立⇔△′=（4a）2﹣4×4a＜0⇔a2﹣a＜0⇔0＜a＜1．即a的取值X围是0＜a＜1．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及恒成立问题的处理，属于基础题．21．（12分）已知函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为g（a），令m=g（a），求m的取值X围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+|x﹣1|+1=，易求当x=时，f（x）min=；（Ⅱ）依题意，可求得，从而可求得其最小值为1，依题意，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+|x﹣1|+1=，当x＜1时，f（x）=+≥；当x≥1时，f（x）=﹣，在2）当，f（x）min=f（a）=a2+1；…（9分）3）当，f（x）min=f（﹣）=﹣a；…（11分）所以，所以，当a≥时，g（a）=+a≥；当﹣＜a＜时，g（a）=a2+1≥1；当a≤﹣时，g（a）=+a≥；因为m=g（a），所以m∈[1，+∞）．…（15分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查分类讨论思想及最值的应用，属于中档题．。

吉林省延边市第二中学2020届高三数学入学考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.设i 是虚数单位，复数32i iz =-，则z = ( ) A. i - B. 3i -C. iD. 3i【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数z ，然后再求解它的共轭复数. 【详解】因为32i i 2i =i iz =-=-+，所以z i =-.故选A. 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，一般思路是先化简复数为最简形式，结合共轭复数的定义可求，侧重考查数学运算的核心素养.2.命题000:R,tan p x x x ∃∈>的否定是（ ） A. 000,tan x R x x ∃∈≤ B. ,tan x R x x ∀∈< C. ,tan x R x x ∀∈≤ D. 000,tan x R x x ∃∈<【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定形式求解,改变量词否定结论.【详解】命题000:R,tan p x x x ∃∈>的否定是R,tan x x x ∀∈≤，故选C.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定形式，含有量词的命题的否定形式求解,一是要改变量词，二是要否定结论.3.函数yA. [1，＋∞）B. （23，＋∞） C. [23，1] D. （23，1] 【答案】D 【解析】要使函数有意义，需使12log (32)0x -≥，即032 1.x <-≤解得21.3x <≤故选D4.用数学归纳法证明“633123,*2n n n n N ++++⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ） A. ()()33312(1)k k k ++++++LB.()()()333121kk k k +++++++LC. 3(1)k + D. 63(1)(1)2k k +++【答案】A 【解析】 【分析】写成n k =的式子和1n k =+的式子，两式相减可得. 【详解】当n k =时，左端式子为3123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左端式子为3333(1)(12312())k k k k ++++++++⋅⋅⋅+++L ， 两式比较可知增加的式子为()()33312(1)k k k ++++++L .故选A.【点睛】本题主要考查数学归纳法，从n k =到1n k =+过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养.5.曲线22:914x C y +=经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'后，对应曲线的方程为( ) A. 2281116x y ''+=B. 221x y ''+=C. 2216181y x '+='D.22811x y +''=【答案】B 【解析】 【分析】利用伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'解出213x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入曲线方程可得.【详解】由123x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'可得213x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线方程可得221x y ''+=.故选B.【点睛】本题主要考查坐标系的变换，利用变换规则和变换之前的方程可得新方程，侧重考查数学运算的核心素养.6.已知()()()()52501251111x a a x a x a x -=+++++++L ，则2a =（ ） A. 20 B. 20- C. 80 D. 80-【答案】D 【解析】 【分析】先由()()()55511221x x x ⎡⎤⎡⎤-=+-=-++⎣⎦⎣⎦，再由其展开式求出第三项系数即可. 【详解】解：因为()()()55511221x x x ⎡⎤⎡⎤-=+-=-++⎣⎦⎣⎦第三项为()()322521C x -+所以()3225280a C =-=-故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理的系数问题，属于基础题.7.某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】由题，先根据正态分布的公式求得分数在115以上的概率，即可求得人数. 【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P（95≤ξ≤105）=0.32， ∴P（ξ≥115）=12（1-0.64）=0.18， ∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B ．【点睛】本题考查了正态分布，熟悉正态分布的性质是解题的关键，属于基础题.8.某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A. 24种 B. 144种 C. 48种 D. 96种【答案】D 【解析】 【分析】先安排甲有2种方案，再安排乙和丙有2124A A 种方案，最后安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得.【详解】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.【点睛】本题主要考查计数原理，先明确是利用分步计数原理还是分类计数原理，再求解每一步不同的方案，特殊元素，特殊位置优先考虑安排，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.9.已知函数()xxf x e e -=-，若()()22log 12log 0f m f m +->，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),2∞－ B. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,1D. ()0,2【答案】D 【解析】 【分析】先求解函数的奇偶性和单调性，把条件转化为对数不等式求解.【详解】因为()()e e xx f x f x --=-=-，所以是奇函数，因为e 0()e x x f x -'=+>，所以是增函数.因为()()22log 12log 0f m f m +->，所以()()()222log 12log 2log 1f m f m f m >--=-， 所以22log 2log 1m m >-，解得02m <<.故选D.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.10.甲乙两人从1,2,3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅15这15个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（ ） A.12B.715C.914D.815【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率的公式求解或者转化为古典概率求解.【详解】设事件A=“甲取到的数是5的倍数”，B=“甲所取的数大于乙所取的数”， 则31()155P A ==，49149()151470P AB ++==⨯， ()9(|)()14P AB P B A P A ==,故选C.【点睛】本题主要考查条件概率的求解，熟记条件概率的求解公式是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.11.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50. 通项公式：221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇函数为偶函数，如果把这个数列{}n a 排成如图形状，并记(,)A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则(10,2)A 的值为（ ）A. 3444B. 3612C. 3528D. 1280【答案】A 【解析】 【分析】先求解前9行共用多少项，然后确定(10,2)A 是数列的第几项，代入通项公式可得. 【详解】根据题意前9行共有1351781++++=L 项，(10,2)A 是第83项，28383134442a -==，故选A.【点睛】本题主要考查数列项的求解，明确项数是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.12.函数()122x x b f x a+-=+是R 的奇函数， ,a b 是常数．不等式()()33920x x xf k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围为（ ） A. 221k < B. 221221k -<< C. 1k ≤- D. 1221k -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇偶性求出,a b ，然后判断函数的单调性，结合性质把()()33920xxx f k f ⋅+--<转化为2313xx k <+-，求解2313xxy =+-的最小值可得. 【详解】因为()122x x bf x a+-=+是R 的奇函数，所以1(0)02b f a -==+，所以1b =；因为(1)(1)f f -=-，所以可得2a =，此时()121121212()(1)22221221x x x x x f x +-+-===-+++，易知为增函数.因为()()()3392392xxx x x f k f f ⋅<---=-++所以3392x x x k ⋅<-++，即2133xxk -++<，因为23113xx y =+-≥，所以1k <.故选A. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，最值问题常用基本不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13.已知m R ∈,设复数22(23)(1)i z m m m =--+-．若复数z 为纯虚数，实数m =_______.【答案】3 【解析】 【分析】利用复数是纯虚数的特点求解，22230,10m m m --=-≠可得m 的取值.【详解】因为z 为纯虚数，所以2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得3m =. 【点睛】本题主要考查纯虚数的概念，复数a bi +是纯虚数则有0a =且0b ≠，侧重考查数学运算的核心素养.14.将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有_______.(用数字作答) 【答案】240 【解析】 【分析】将5本不同的书分给4人,每人至少1本,则必有一人得2本书，先选出2本书作为一组，其余每本书作为一组，然后再分配到人即可.【详解】先选择2本书作为一组有25C 种选法，其余3本书每本一组，把这四组书分配给4个人有44A 种分法，所以共有2454240C A =种分配方案.【点睛】本题主要考查排列组合的综合，分组问题一般是先分好组，然后再进行分配，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.15.已知()()2log (0a f x ax x a =->且1a ≠）在[]2,4上是增函数，则实数a 取值范围是____ .【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，分别研究2log ,a y t t ax x ==-的单调性.【详解】设2t ax x =-，则log a y t =，因为0a >，所以2t ax x =-开口向上且在1(,)a+∞为增函数，若使()f x 在[]2,4上是增函数，则有112a a>⎧⎪⎨<⎪⎩,解得1a >.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，复合函数单调性的问题，一般是拆分成基本初等函数，结合“同増异减”的策略求解，同时需要注意函数的定义域，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.16.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为22sin()2804a πρρθ-++-=，若曲线C 上总存在两个点，则实数a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则6(2)27P η≥=；④已知n 为满足1232727272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()n x x-的展开式中，系数最大的项为第6项.【答案】234 【解析】 【分析】对于①，把极坐标方程化为直角坐标方程，结合圆心与原点的距离关系可求； 对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大； 对于③，先利用5(1)9P ξ≥=求出p ，然后再求(2)P η≥； 对于④，先求出n ，再利用二项式定理的通项公式求解系数最大的项.【详解】对于①，22sin()2804a πρρθ-++-=化为直角坐标方程为22()()8x a y a -+-=，半径为因为曲线C <<()()3,11,3a ∈--⋃，故①正确；对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大，故②错误； 对于③，122225(1)(1)9P C p p C p ξ≥=-+=，解得13p =；223333(2)(1)277P C p p C p η≥=-+=，故③错误； 对于④，12327279272727272181S a C C C C a a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+-=+-， 而9909188999998(91)999C C C C =-=-++-L ，所以11n =，所以111()x x-的系数最大项为第7项，故④错误；综上可知②③④错误.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及知识点较多，知识跨度较大，属于知识拼盘，处理方法是逐一验证是否正确即可.三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题20分，共76分，请写必要的解答过程）17.（1）计算：7log3log 2lg 25lg1673+++；（2）若函数1()2ax f x x +=+在区间()2+-∞，上是减函数求实数a 的取值范围. 【答案】（1）253；（2）12-∞（，）.【解析】 【分析】（1）利用对数的运算公式求解；（2）利用导数在区间()2+-∞，恒成立可求.【详解】（1）771log2log 222333log 2lg 25lg167log 32lg 5lg 47=++++++7424log 1lg(54)73=+⨯+=1254433++=. （2）1()2ax f x x +=+，22(2)(1)21()(2)(2)a x ax a f x x x +-+-'==++因为()f x 在区间()2+-∞，上是减函数，所以()0f x '≤在区间()2+-∞，恒成立， 所以12a ≤，当12a =时，1()2f x =不合题意，所以实数a 的取值范围是12-∞（，）.【点睛】本题主要考查对数的运算及函数单调性的应用，熟练记忆对数公式是求解的关键，根据单调性求解参数时，一般是结合导数，转化为恒成立问题.18.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性均为12． (1)求甲以4比0或4比1获胜的概率； (2)求比赛局数X 的分布列及均值． 【答案】（1）316；(2) 分布列见解析，9316. 【解析】 【分析】(1)分别求解甲以4比0和4比1获胜的概率，然后求和可得；（2）先求解比赛局数X 的所有取值，再分别求解每个取值所对应的概率，列出分布列，求出均值.【详解】（1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12. 甲以4比0或4比1获胜的概率P(A)＝3434341111113C 222281616-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭· （2）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2()28P X C ===，334341111(5)2()()2224P X C -==⋅⋅=，335351115(6)2()()22216P X C -==⋅⋅=，336361115(7)2()()22216P X C -==⋅⋅=，比赛局数的分布列为E(X)=115593456784161616⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立事件的概率及随机变量的分布列和均值，随机变量的分布列的求解一般是先求随机变量的可能的取值，然后求解每个取值对应的概率，列出分布列.均值的求解一般是代入公式可得，侧重考查数学建模的核心素养.19.在平面直角坐标系中, 圆M 的方程2240x y y +-=,以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线l 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-+=. (1)写出直线l 的直角坐标方程；（2）若直线1l 过点()2,0P 且垂直于直线l ，设1l 与圆M 两个交点为,A B ,求11PA PB+的值.【答案】(1)0x y -+=；（2. 【解析】 【分析】(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程；（2）先求直线1l 的方程，然后转化为参数方程，联立结合韦达定理可求. 【详解】（1）极坐标方程cos sin 0ρθρθ-+=， 其中sin ,cos y x ρθρθ== ,所以直线l的直角坐标方程为0x y -+ .（2）直线0x y -+=的斜率为1，所以过点P （2，0）且垂直于0x y -的直线的参数方程为32cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数） 代入2240x y y +-=整理得240t -+= 设方程的两根为12,t t ，则有12124t t t t +==由参数t 的几何意义知|PA|+|PB|=12t t +，|PA|⋅|PB|=12t t 所以11PA PB+PA PB PA PB+==⋅【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的相互转化及利用参数的几何意义求解，直角坐标方程与极坐标方程的相互转化只要熟记公式cos ,sin x y ρθρθ==就可以实现；长度问题利用参数的几何意义能简化过程，侧重考查数学运算的核心素养.20.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求,m n 的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程ˆ5yx b =-+.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）22⨯列联表男性 女性 合计 消费金额300≥ 消费金额300< 合计临界值表：20()P K k ≥0.0500.0100.0010k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）0.0035m =，0.0025n =（2）详见解析（3）395元 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得0.006m n +=，结合0.00152m n +=可得,m n 的值. （2）根据表格数据可得28.249K ≈，再根据临界值表可得有99%的把握认为消费金额与性别有关.（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到520b =，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.【详解】（1）由频率分布直方图可知，0.010.001520.0010.006m n +=-⨯-=， 由中间三组的人数成等差数列可知0.00152m n +=， 可解得0.0035m =，0.0025n =（2）周平均消费不低于300元的频率为()0.00350.00150.0011000.6++⨯=，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为1000.660⨯=人. 所以22⨯列联表为22100(20152540)8.249 6.63545556040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为2()24f x kx x k =-+，由题意330538b =-⨯+，∴520b =525520395y =-⨯+=.∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是频率组距； （2）两类变量是否相关，应先计算2K 的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过(),x y .21.已知e 是自然对数的底数，函数2()x xf x e=与1()()F x f x x x =-+的定义域都是(0,)+∞.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）判断函数()F x 零点个数;（3）用min{,}m n 表示,m n 的最小值，设0x >，1()min (),g x f x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，若函数2()()h x g x cx =-在(0,)+∞上为增函数，求实数c 的取值范围．【答案】（1）1y x e =；（2）函数()F x 只有一个零点；（3）31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）先求导数()f x '，代入1x =得(1)f '为直线的斜率，利用点斜式可求直线方程；（2）先求导数，结合导数的符号，判定零点的个数；（3）()h x 为增函数，转化为()0h x '≥恒成立，然后利用分离参数法求解. 【详解】（1）∵(2)()x x x f x e -'=，∴切线的斜率1(1)k f e '==，1(1)f e=.∴函数()f x 在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为1y x e=. （2）∵1()()F x f x x x =-+，2()x x f x e =，∴1(1)0F e =>，243(2)02F e =-<，(1)(2)0F F <，∴()F x 存在零点0x ，且0(1,2)x ∈.∵2(2)1()1x x x F x e x '-=--，∴当2x ≥时，()0F x '<；当02x <<时，由2(2)(2)12x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦得 2221111()1110x F x e x x x'≤--<--=-<.∴()F x 在(0,)+∞上是减函数. ∴若1>0x ，20x >，12x x ≠，则()()12F x F x ≠.∴函数()F x 只有一个零点0x ，且0(1,2)x ∈.（3）解：0201,0(),xx x x x g x x x x e⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故202201,0(),x x cx x x xh x x cx x x e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， ∵函数()F x 只有一个零点0x ，∴()00F x =，即020001x x x x e-=.∴0222000001x x x cx cx x e --=-.∴()h x 在(0,)+∞为增函数()0h x '⇔≥在()00,x ，()0,x +∞恒成立.当0x x >时(2)()20x x x h x cx e '-=-≥，即22xxc e-≤在区间()0,x +∞上恒成立. 设()02()2x xu x x x e -=>，只需min [()]c u x ≤， 3()2xx u x e'-=，()u x 在()0,3x 单调递减，在(3,)+∞单调递增. ()u x 的最小值min 31[()](3)2u x u e ==-，312c e ≤-.当00x x <<时，21()12h x cx x'=+-，由上述得0c <，则()0h x '>在()00,x 恒成立.综上述，实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用，切线问题求解时注意是在某点处的切线还是过某点的切线，利用导数求解参数的取值范围时，常用分离参数法，然后求解最值，综合性较强，难度较大，侧重考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.。

延边第二中学2019—2020学年度第一学期第二次阶段检测高 一 数 学 试 卷（满分120分，时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共48分）1．如下图1，在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定( )A ．在直线DB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线CB 上D ．以上都不对2. 某几何体的三视图如下图2所示,则该几何体的表面积等于( )A ．228+B ．2211+C ．2214+D ．15图1 图2 3．已知三棱锥P ABC -中，若PA,PB,PC 两两互相垂直,作PO ABC ⊥面,垂足为O ,则点 O 是ABC ∆的（ ）.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心4．已知,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若//,m n αα⊂，则//m nC ．若,,l m l αβαβ⊥=⊥I ，则m β⊥D ．若,m n αα⊥⊥，则//m n 5． α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γ D ．m ， n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α6. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是平行四边形，过此四棱柱任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）条A.4B.6C.10D.127．三个数0.650.65,0.6,log 5的大小顺序是 ( ).A 50.60.60.6log 55<< .B 50.60.6log 50.65<<.C 0.650.6log 550.6<< .D 50.60.60.65log 5<<8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有（ ）A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ADC ⊥平面DBC C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ABC ⊥平面ADB9． 棱长分别是2的长方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积是（ ）A. 3 B C 3D 10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．311. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与 CD 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30°12．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平 行于这两条对角线的平面与边,AB BC ，,CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设=BE x AB，则( ) A ．函数()=y f x 的值域为(0，4] B ．函数()=y f x 的最大值为8C ．函数()=y f x 在2(0,)3上单调递减D ．函数()=y f x 满足()(1)=-f x f x二、填空题：（每空4分，共20分）.(请将答案写在答题纸上)13． 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为________14．正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是_____cm15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________.16． 已知△ABC 的三边长分别为5,4,3===AB BC AC ，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的四个面都是直角三角形；②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有==PA PB PC ；③若5=PC ，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若5=PC ，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共52分).17．（本题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，且090PAB PDC ∠=∠=.(1)证明：//PA 平面BDM ； (2)证明：平面PAB ⊥平面PAD .(17题图) (18题图)18．（本题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点.（1）若BM PC ⊥，求证：PC ⊥平面MBD ；（2）若M 为PC 的中点，且2AB =，求三棱锥M BCD -的体积.19．(本题满分10分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AA ⊥底面ABC ，13AA AB =，点E 在线段1CC 上，平面1AEB ⊥平面11AA B B ．（1）请指出点E 的位置，并给出证明； （2）若1AB =，求1B E 与平面ABE 夹角的正弦值．20．（本题满分12分）已知关于x 的不等式2222log 5log 20x x -+≤的解集为B ．（1）求集合B ；（2）若x B ∈，求22()log log (2)8x f x x =⋅的最大值与最小值． 21.(本小题满分12分)如图,在直角梯形ABCD 中, //AB DC ,90BAD ∠=,4AB =,2AD =,3DC =,点E 在CD 上,且2DE =,将ADE ∆沿AE 折起,使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图), G 为AE 中点.(1)求证: DG ⊥平面ABCE ;(2)在线段BD 上是否存在点P ,使得//CP 平面ADE ?若存在,求BP BD的值,并加以证明;若不存在,请说明理由。