黑龙江省大庆实验中学2016届高三考前得分训练(一)数学(文)试题 Word版含答案

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={y|y2﹣2y﹣3≤0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{y|1≤y≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x＜3}2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A．﹣1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．命题“∃x0∈（0，+∞），2x0＜x02”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），2x＜x2 B．∀x∈（0，+∞），2x＞x2C．∀x∈（0，+∞），2x≥x2 D．∃x∈（0，+∞），2x≥x24．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．等差数列{a n}中，a1+3a9+a17=150 则2a10﹣a11的值是（）A．30 B．32 C．34 D．256．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A．B．C． D．7．（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．8．函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2 C．D．19．函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，•=（）A．8 B．﹣8 C．﹣8 D．﹣+810．已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，3]C．[2，3]D．[3，+∞）11．如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（）A．B．C．D．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足条件a1=1，a n﹣a n=a n a n﹣1，则a10=．﹣114．已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．15．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是．16．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a ∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．19．已知椭圆Γ： +y2=1．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足||=| |，求实数m的值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C与A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x＞0时，证明：e x＞f′（x）+1．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.多选、多答，按所选的首题进行评分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，⊙O过点A，且和BC 切于点D，和AB，AC分别交于点E、F，设EF交AD于点G，连接DF．（1）求证：EF∥BC；（2）已知DF=2，AG=3，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（），半径r=1．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若α∈[0，]，直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），直线l交圆C于A，B两点，求的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知x，y为任意实数，有a=2x+y，b=2x﹣y，c=y﹣1（1）若4x+y=2，求a2+b2+c2的最小值；（2）求|a|，|b|，|c|三个数中最大数的最小值．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={y|y2﹣2y﹣3≤0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{y|1≤y≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x＜3}【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】求解函数的定义域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x﹣1＞0，得x＞1．∴A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，由y2﹣2y﹣3≤0，得﹣1≤y≤3．∴B={y|y2﹣2y﹣3≤0}={y|﹣1≤y≤3}，则A∩B={x|1＜x≤3}．故选：C．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A．﹣1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z===i﹣2，∴=﹣2﹣i．故选：D．3．命题“∃x0∈（0，+∞），2x0＜x02”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），2x＜x2 B．∀x∈（0，+∞），2x＞x2C．∀x∈（0，+∞），2x≥x2 D．∃x∈（0，+∞），2x≥x2【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈（0，+∞），2x0＜x02”的否定为：∀x∈（0，+∞），2x≥x2故选：C．4．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，可得（0，b）在圆内，b2＜1，求出﹣1＜b＜1，即可得出结论．【解答】解：直线y=x+b恒过（0，b），∵直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，∴（0，b）在圆内，∴b2＜1，∴﹣1＜b＜1；0＜b＜1时，（0，b）在圆内，∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交．故选：B．5．等差数列{a n}中，a1+3a9+a17=150 则2a10﹣a11的值是（）A．30 B．32 C．34 D．25【考点】等差数列的通项公式．【分析】设首项为a1，公差为d，则由a1+3a9+a17=150，可得a1+8d=24，即可求出2a10﹣a11的值．【解答】解：设首项为a1，公差为d，则∵a1+3a9+a17=150，∴5a1+40d=150，∴a1+8d=30，∴2a10﹣a11=a1+8d=30．故选：A．6．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的性质，得到=2=4，代入已知等式得•=﹣1．设与的夹角为α，结合向量数量积的定义和=2，=1，算出cosα=﹣，最后根据两个向量夹角的范围，可得与夹角的大小．【解答】解：∵=2，∴=4又∵•（+）=3，∴+•=4+•=3，得•=﹣1，设与的夹角为α，则•=cosα=﹣1，即2×1×cosα=﹣1，得cosα=﹣∵α∈[0，π]，∴α=故选C7．（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】先利用公式求出cosα，进而根据cos2α+sin2a=1，求出sinα，然后求出tanα，即可求出结果．【解答】解：依题意，由得，又α是第二象限角，所以，，故选C．8．函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2 C．D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据题意和求导公式求出导数，求出切线的斜率为，再由基本不等式求出的范围，再求出斜率的最小值即可．【解答】解：由题意得，f′（x）=+2x﹣b，∴在点（b，f（b））处的切线斜率是：k=f′（b）=，∵b＞0，∴f′（b）=≥，当且仅当时取等号，∴在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是，故选A．9．函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，•=（）A．8 B．﹣8 C．﹣8 D．﹣+8【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象求出函数的周期，确定ω，利用2•+φ=π求出φ，然后求出，，求出•即可．【解答】解：由图可知=﹣=⇒T=π，∴ω=2，又2•+φ=π⇒φ=，从而A（﹣，0），B（，2），D（，﹣2），=（，2），=（，﹣4），•=﹣8．故选C．10．已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，3]C．[2，3]D．[3，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由定义知：|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，==，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率e＞1的取值范围．【解答】解：由定义知：|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|==，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号设P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半径公式得：|PF2|=﹣ex0﹣a=2aex0=﹣3ae=﹣≤3又双曲线的离心率e＞1∴e∈（1，3]故选B．11．如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，同理求出，两个式子比求出△ABP 的面积与△ABQ的面积之比．【解答】解：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故答案为：故选B．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【考点】函数恒成立问题．【分析】由x∈[﹣4，﹣2]时，恒成立，则不大于x∈[﹣4，﹣2]时f（x）的最小值，根据f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，求出x∈[﹣4，﹣2]时f（x）的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案．【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，∴即即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足条件a1=1，a n﹣a n=a n a n﹣1，则a10=．﹣1【考点】数列递推式．【分析】由条件可得﹣=1，故数列{}是等差数列，公差等于1，根据等差数列的通项公式求出，即可求得a10的值．【解答】解：∵数列{a n}满足a n﹣a n=a n a n﹣1，a1=1，﹣1∴﹣=1，故数列{}是等差数列，公差等于1，首项为1，∴=1+9=10，∴a10=，故答案为：．14．已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得可得（+2）•（λ﹣）=0，与此求得实数λ的值．【解答】解：∵⊥，||=2，||=3，∴=0 =4，=9．由+2与λ﹣垂直，可得（+2）•（λ﹣）=λ+（2λ﹣1）﹣2=4λ+0﹣18=0，求得实数λ=，故答案为：．15．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（0，] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的解析式，写出它的单调增区间，利用f（x）在（，π）上是单调增函数，列出不等式求出ω的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+），ω＞0，令﹣+2kπ≤ωx+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+≤x≤+，k∈Z；当k=0事，﹣≤x≤，∵f（x）的图象在（，π）上是单调增函数，≥π，解得ω≤；从而0＜ω≤，即为ω的取值范围．故答案为：（0，]．16．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a ∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值是3．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】化简f（x），首先考虑f（x）的单调性，由题意：，故m，n 是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值．【解答】解：函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．f（x）==在区间[m，n]上时增函数，则有：，故m，n是方程f（x）==x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．那么mn=，m+n=，只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．那么：n﹣m==，故n﹣m的最大值为，此时，解得：a=3．即在区间[m，n]的最大长度为，此时a的值等于3．故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共70分．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=5，S9=54，∴，d=1，a1=2．∴a n=2+n﹣1=n+1，S n=．（2）b n==，数列{b n}的前n项和=++++…++++=﹣﹣=﹣﹣．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．19．已知椭圆Γ： +y2=1．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足||=| |，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求出a，b，c，即可求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=2，b=1，∴c=．…故椭圆离心率为．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线x﹣y+m=0与已知椭圆方程联立，消去y可得由△＞0得．∴x1+x2=﹣∴y1+y2=x1+x2+2m=∴AB的中点坐标为（﹣，）∵P（0，1），且||=||，∴PM⊥AB，∴∴m=﹣．…20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与圆O ：x 2+y 2=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k 不存在时，②当k 存在时，设直线为y=kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx +m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r ，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意可得，e==，a 2﹣b 2=c 2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y 2=1；（2）①当k 不存在时，x=±时，可得y=±，S △OAB =××=；②当k 存在时，设直线为y=kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 将直线y=kx +m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=相切，可得=，即有4m 2=3（1+k 2），|AB |=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k 2=即k=±时等号成立，可得S △OAB =|AB |•r ≤×2×=，即有△OAB 面积的最大值为，此时直线方程y=±x ±1．21．设函数f （x ）=xlnx （x ＞0）： （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设F （x ）=ax 2+f′（x ）（a ∈R ），F （x ）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x ＞0时，证明：e x ＞f′（x ）+1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数f′（x ），解不等式f′（x ）＞0得出增区间，解不等式f′（x ）＜0得出减区间；（2）求F′（x ），讨论F′（x ）=0的解的情况及F （x ）的单调性得出结论； （3）构造函数设g （x ）=e x ﹣lnx ，x ＞0，则即证g （x ）＞2，只要证g （x ）min＞2，利用导数判断函数的单调性，求得g （x ）的最小值即得，不等式即可得证．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f′（x ）=1+lnx令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x ＜时，f′（x ）＜0，x ＞时，f′（x ）＞0∴函数f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增， （2）∴F （x ）=ax 2+f′（x ）（x ＞0）， ∴F′（x ）=2ax +=（x ＞0）．当a ≥0时，F′（x ）＞0恒成立，∴F （x ）在（0，+∞）上为增函数， ∴F （x ）在（0，+∞）上无极值．当a ＜0时，令F′（x ）=0得x=或x=﹣（舍）．∴当0＜x ＜时，F′（x ）＞0，当x ＞时，F′（x ）＜0，∴F （x ）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时，F （x ）取得极大值F （）=+ln，无极小值，综上：当a ≥0时，F （x ）无极值，当a ＜0时，F （x ）有极大值+ln，无极小值，（Ⅲ）证明：设g （x ）=e x ﹣lnx ，x ＞0， 则即证g （x ）＞2， 只要证g （x ）min ＞2，∵g′（x ）=e x ﹣， 设h （x ）=e x ﹣， ∴h′（x ）=e x +＞0恒成立，∴h （x ）在（0，+∞）上单调递增，∵h （0.5）=﹣2＜1.7﹣2＜0，h （1）=e ﹣1＞0，∴方程h （x ）=0有唯一的实根x=t ，且t ∈（0.5，1） ∵当t ∈（0.5，1）时，h （x ）＜h （t ）=0， 当t ∈（t ，+∞）时，h （x ）＞h （t ）=0， ∴当x=t 时，g （x ）min =e t ﹣lnt ， ∵h （t ）=0，即e t =，则t=e﹣t，∴g（x）min=﹣ln=e﹣t=+t＞2=2，∴e x＞f′（x）+1．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.多选、多答，按所选的首题进行评分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，⊙O过点A，且和BC 切于点D，和AB，AC分别交于点E、F，设EF交AD于点G，连接DF．（1）求证：EF∥BC；（2）已知DF=2，AG=3，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由切线的性质知∠4=∠2，再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出EF∥BC；（2）因为EF∥BC，求出△ADF∽△FDG，根据其相似比即可解答．【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴∠4=∠2，又∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴EF∥BC；（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，又∵∠5=∠5，∴△ADF∽△FDG，∴，设GD=x，则，解得x1=1，x2=﹣4，经检验x1=1，x2=﹣4为所列方程的根，∵x2=﹣4＜0应舍去，∴GD=1由（1）已证EF∥BC，∴==3．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（），半径r=1．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若α∈[0，]，直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），直线l交圆C于A，B两点，求的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由圆C的圆心C（）化为C（1，1），半径r=1，可得方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，再利用即可化为极坐标方程；（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+（2cosα+2sinα）t+1=0，利用==，及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由圆C的圆心C（）化为C（1，1），半径r=1，可得方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，化为x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．∴ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+（2cosα+2sinα）t+1=0，∴t1+t2=﹣（2cosα+2sinα），t1t2=1．∵点P的直角坐标为（2，2）在圆的外部．∴===，∵α∈[0，]，∴∈．∴当α=0时，的最小值为．选修4-5：不等式选讲24．已知x，y为任意实数，有a=2x+y，b=2x﹣y，c=y﹣1（1）若4x+y=2，求a2+b2+c2的最小值；（2）求|a|，|b|，|c|三个数中最大数的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）利用消元法，消去y，转化成二次函数求解最小值即可．（2）设定最大数的集合，利用最大数构造不等式的基本性质求解即可．【解答】解：（1）由题意：a=2x+y，b=2x﹣y，c=y﹣1，∵4x+y=2，∴y=2﹣4x那么：a2+b2+c2=4﹣8x+4x2+36x2﹣24x+4+1﹣8x+16x2=56x2+40x+9=56（）2+∴当x=时，a2+b2+c2取得最小值为．（2）设M max={|a|，|b|，|c|}，则M≥|a|，M≥|b|，M≥|c|，4M≥|a|+|b|+2|c|≥|a﹣b﹣2c|=2，∴M．所以|a|，|b|，|c|三个数中最大数的最小值为．2017年1月15日。

黑龙江省大庆市2016届高三数学第一次模拟考试试题文（扫描版）大庆市高三年级第一次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准（文科）2016.03说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一．选择题二．填空题 （13）116y =； （14）34π； （15）6-； （16）3π. 三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）设数列{}n a 的公比为q ，由23252a a a =得224111()2a q a q a q =⋅， ………………………………2分∴12q =，由1221a a +=得112a =. ……………………………4分 故数列{}n a 的通项公式为12n n a =. (6)分（II ）21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+(1)(12)2n n n +=-++⋅⋅⋅+=-， ……9分∴12112()(1)1n b n n n n =-=--++， ∴121111111122[(1)()()]22311n n ns b b b n n n =++⋅⋅⋅+=--+-+⋅⋅⋅+-=-++.………12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）由已知2cos 20a C c b +-=,由余弦定理得：2222202a b c a c b ab+-⋅+-=， …………………………………2分 整理得222c b a bc +-=，∴1cos 2A =，∵0A π<<,∴3A π=. ………………5分 （II ）∵1cos 2A =，∴sin 2A =， …………………………………6分由正弦定理得：sin sin sin 3b c a B C A ====， …………………………7分 ABC ∆的周长1(sin sin )1sin()]2sin()13336l B C B B B ππ=++=+++=++. …………………………………10分 ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<,∴1sin()126B π<+≤, …………………11分 因此23l <≤，故ABC ∆的周长的取值范围为(2,3]. …………………12分 （19）（本小题满分12分）解：（I ）连结AC ，则F 也是AC 的中点，又E 是PC 的中点，∴EF ∥PA ,又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ,∴EF ∥平面PAD . …………………4分 （II ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ， …………………6分 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD . ………………8分 （III ）取AD 的中点H ，连接PH ， ∵PAD ∆为等边三角形，∴PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ， PH ⊂平面PAD ,∴PH ⊥平面ABCD . ……………10分∵2AD =，∴PH =∴1213P ABCD V -=⨯⨯=. ………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（I ）∵()()1h x f x x =-+，定义域为(0,)+∞，∴11()1xh x x x-'=-=.……2分 令10x -=，得1x =.当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下：所以函数()h x 的最大值为(1)0h =. …………………………………………5分 （II ）若211122()()()()mg x mg x x f x x f x --+恒为正数，则222111()()()()mg x x f x mg x x f x +>+，设2()()()ln x mg x xf x mx x x ϕ=+=+. ………………………………………7分 又210x x <<，则只需()x ϕ在(0,)+∞上单调递减， 因此()21ln 0x mx x ϕ'=++≤在(0,)+∞上恒成立，∴1ln 2xm x +≤-在(0,)+∞上恒成立. ………………………………………9分 记1ln ()x t x x +=-，则2ln ()xt x x'=，∴()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()t x 的最小值为(1)1t =-. ………………………………………11分因此，存在12m ≤-，使211122()()()()mg x mg x x f x x f x --+恒为正数， 故m 的取值范围为1(,]2-∞-. ………………………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）由已知得2221,2.b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………………3分∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ………………………………………4分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y .联立方程221,43.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，此方程有两个不等实根，∴222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->，整理得22430k m -+> ①. ………………………………………6分 由根与系数的关系，可得线段AB 的中点坐标00(,)x y 满足12024243x x km x k +-==+，002343my kx m k =+=+， …………………………………7分 ∴AB 的垂直平分线方程为22314()4343m kmy x k k k -=-+++. ……………………8分 此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为22(,0),(0,)4343km mk k --++， 由已知得22112434316km m k k --⋅=++. …………………………………10分 整理得222(43),08k m k k +=≠ ②将②代入①得222(43)4308k k k+-+>，整理得22(43)(483)0,0k k k k +-+<≠， 解得1322k <<，所以k 的取值范围为3113(,)(,)2222--. ……………………12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证明：（I ）连接BE ，∵BC 为⊙O 的切线，∴∠90ABC O=,CBE A AEO CED ∠=∠=∠=∠. ……………………3分在CDE ∆和CEB ∆中，,CBE CED C C ∠=∠∠=∠，∴CDE ∆∽CEB ∆，∴CE CD CB CE=，∴2C E C D C B =⋅. ……………………6分（II ）依题意OC 1CE OC OE =-=,…8分由（I ）得2CE CD CB =⋅，∴21)2CD =，∴3CD =……………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21消去参数t 得普通方程为0323=-+-y x . ………………………3分由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(3x y +=. …………………………6分 （II ）曲线C是圆心为，半径r =.圆心到直线l的距离1d ==， …………………8分所以AB ==…………………………10分 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）3,2,1()31,2,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ ……………………………3分当2x ≤-时，由()0f x >得30x -+>，解得2x ≤-， …………………………4分 当122x -<<时，由()0f x >得310x -->，解得123x -<<-，………………5分 当12x ≥时，由()0f x >得30x ->，解得3x >， …………………………6分 综上，得()0f x >的解集为1,33x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ……………………………7分（II ）∵()3221221224f x x x x x x ++=-++=-++()12(24)5x x ≥-++=. …………………………8分∴由题意可知15a -≤，解得46a -≤≤， ……………………………9分 故所求a 的取值范围是{}46a a -≤≤. …………………………10分。

大庆实验中学2016—2017学年度上学期期末考试高三数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合(){}{}lg 11,11M x x N x x =-<=-≤≤，则=⋂N M （ ）A ．()19，-B ．(]19，-C ．[]11，-D ．[)11，- 2．复数z 满足(1)1z i i -=--，则=+2z （ ） A ．3 B ．5 C ．2 D ．3 3．从一批产品取出三件产品，设事件A =“三件产品全部是次品”，事件B =“三件产品全部是正品”，事件C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与C 互斥 B ．B 与C 互斥 C.,,A B C 中任何两个均互斥 D ．,,A B C 中任何两个均不互斥4．等差数列{}n a 中，3a ， 7a 是函数2(x)43f x x =-+的两个零点，则前9项和9S 等于（ ）A ．﹣18B ．9C ．18D ．365.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．76．下列命题中正确的个数为（ ） ①若22bc ac >，则b a >；②命题“若,1-<x 则2230x x -->”的否命题为“若1-<x ， 则2230x x --≤”③已知βα，是两个不同的平面，存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥，，则βα// ④已知直线01:,013:21=++=-+by x l y ax l ，则21l l ⊥的充要条件是3-=baA ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个7.圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线210ax by -+=()00a b >>，对称，则 12z a b=+的最小值为（ ） A ．223+ B ．324+ C ．246+ D ．388.己知60π-=x 是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3465ππ，B ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛653ππ，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，329. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．33 B ．335 C ．332 D ．310. 已知实数,x y 满足约束条件+104312020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则12++=x y z 的最大值（ ）A ．23 B ．58 C ．47D ．2 11. 已知定义域为R 的函数)(x f 在(2，＋∞)上为减函数，且函数)2(+=x f y 为偶函数，则有（ ）A ．455323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．554323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．545332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．554233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若FB AF =,12=⋅BC BA ，则抛物线的方程为（ ） A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 52= D ．x y 122=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.已知函数22,1()21,1xx x x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩则=))0((f f ________ 14. 已知θ是第四象限角，且3sin()=45πθ+，则=θcos 15. 在ABC R ∆t 中，90=∠A ，42==AC AB ，，F E ,分别为BC AB ,的中点，则=⋅AF CE16. 已知函数xxx f ln )(=，若对任意的()+∞∈,1,21x x ()21x x ≠,均有a x x x f x f <--2121)()(恒成立，则实数a 的取值范围是三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)t (22422为参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x ,在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 的极坐标方程为θρs co 4=. (1)求曲线C 的直角坐标方程(2)已知()40，P ,直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求PB PA ⋅.18.（本小题满分12分）在一次区域统考中，为了了解数学学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出200位考生的成绩进行统计分析，其中样本数据分组区间为：[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．绘制的频率分布直方图如图所示 (1)求频率分布直方图中a 的值；(2)利用分层抽样的方法从得分在第一组[50，60)和第二组[60，70)的考生中抽取6人进行问卷调查，第一组和第二组抽取的人数各是多少？（3）在(2)中抽取的这6个人中，随机抽取2人，求此2人不在同一组的概率．19. （本小题满分12分）已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()f x 的周期；（2）将函数()f x 的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数g()x 的图象．若c b a ,,分别是ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，6c =+a ，且g()0B =，求b的取值范围．20.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为边长为2的正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，11,AA C B F E ，分别为中点. （1）求证： EF ∥平面ABC ； （2）求三棱锥C AB A 11-的体积.21.（本小题满分12分） 已知函数1ln )(++=xbx a x f ，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线为022=--y x . （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1x >时，不等式x k x x xf ln )()(+>恒成立，求实数k 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21F F ，，抛物线x y 42=与椭圆C 有相同的焦点，且椭圆C 过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 作直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，设B F AF 11λ=．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈221，λ，求AB 的取值范围大庆实验中学2016—2017学年度上学期期末考试高三数学（文）参考答案DBACB AC B BD AA13.8 14. 15.-7 16.17.(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0(2)将直线的参数方程带入圆的方程，可得整理得设这个方程的两个根为，则有参数t的几何意义可知，18（1）a=0.035 (2)2个人 4个人（3）18.(1)函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣1(2)函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x﹣）﹣1的图象，再向左平移个单位，得函数y=sin（x+﹣）﹣1的图象，所以函数F（x）=sin（x+）﹣1；又△ABC中，a+c=6，F（B）=0，所以，所以；由余弦定理可知，b2=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥16﹣3•=9，当且仅当a=c=3时取“=”，所以b≥3；又b＜a+c=6，所以b的取值范围是[3，6）．20.(1)取BC的中点D,连接AD ,DE,,所以四边形AFED为平行四边形所以又,所以(2)因为为边长为2的正方形所以为菱形，，为正三角形，内，,平面平面平面，则，所以=21.(1)(2)原不等式等价于当时，恒成立当时，，在递减，又，所以，当时，当时，在递增，递减，又，所以又，不符题意，舍去所以22解：（Ⅰ）由抛物线的定义，得点P到直线x=﹣1的距离为，且点P在抛物线y2=4x上；∴；∴；∴由椭圆定义得，；∴a=2；又a2﹣b2=1，∴b2=3；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）据题意知，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my﹣1，代入椭圆方程，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则：（1）；∵；∴﹣y1=λy2带入（1）消去y1，y2得：；∵λ∈[1，2]；∴；∴；解得；所以22.。

2016年大庆实验中学 文科数学得分训练试题（二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则AB =( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)-2．已知i 为虚数单位，复数z=（1+2i ）i 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知()3sin f x x x π=-，命题():0,,02p x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则（ ） A ．p 是真命题：():0,,02p x f x π⎛⎫⌝∀∈> ⎪⎝⎭ B ．p 是真命题：()00:0,,02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是假命题：():0,,02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭ D ．p 是假命题：()00:0,,02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭4． 将奇函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )A.6B.3C.4D.25．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则5S = ( ) A ．32 B ．62 C ．27 D ．816．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时,2()log (1f x x =+）,则(31)f = ( )A ．0B ．1C ．1-D ．27．若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框（1）中应填入的是( ) A ．6?i >B ．6?i ≤C ．5?i >D ．5?i <8．设,x y 满足约束条件231,1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥9．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为( )A ．514B ．513C ．49D ．5910．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，0354=++PA PC PB ，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，则红豆落在PBC ∆内的概率是 A ．41 B ．31 C ．125 D ．2111．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.20 B ．24 C ．16 D．16+12.已知函数()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( ) A.ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为________．14．在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则A E B D ⋅ ＝ ．15．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16．若定义在R 上的函数)(x f 满足1)()(>'+x f x f ，4)0(=f ，则不等式发13)(+>xe xf (e 为自然对数的底数)的解集为_________________三、解答题( 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6b C ac π+=+．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．18（本小题满分12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行抽查，得到如下频数分布表：（1）完成下面的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（2）试由上图估计该单位月平均工资； （3）若从月工资在[)25,35和[)45,55两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率.19（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD AC BD O ∠=⋂=o ，．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC的中点，DM = （1）求证：OD ⊥面ABC ； （2）求M 到平面ABD 的距离．20（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，经过点)22,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形． （1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为21-的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．21（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f ++=2ln )(（其中b a ,为常数且0≠a ）在1=x 处取得极值．（1）当1=a 时，求()x f 的极大值点和极小值点； （2）若()x f 在(]e ,0上的最大值为1，求a 的值．请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22（本小题满分12分）选修4-1 ：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边 ,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．23（本小题满分12分）选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．24（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．2016年大庆实验中学文科数学得分训练试题（二）参考答案1—5 CCBAB 6—10 CCCBA 11—12 AB 13．414-14．2- 152．()+∞,017．解：（Ⅰ）12sin (sin cos )sin sin 2B C C A C +⋅=+，即sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，sin cos sin sin B C B C C =+，cos 1B B =+，所以2sin()16B π-=，得3B π=． ………6分（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3B π=，,AD AC ∴=∴=，由正弦定理知，4sin x BAC =∠sin BAC ∠=. ………12分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2aBM MC ∴==， 在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+-222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-3,2a c b ∴=∴=， 由正弦定理知，60sin 27sin aBAC a =∠，得sin BAC ∠=. 18.解:19．解：（1）由题意：3==OD OM ，∵23=DM ，∴OM OD DOM ⊥︒=∠即90． 又∵菱形ABCD ，∴AC OD ⊥． ∵O AC OM =⋂，∴ABC OD 平面⊥．（2）由（1）知3=OD 错误！未找到引用源。

2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“≦p且¬q”为假4．向平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤π，﹣1≤y≤1}投掷一点P，则点P落入区域M={（x，y）|y ＞cosx，0≤x≤π}的概率为（）A．B．C．D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．256．函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．7．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．48．如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是（）A．i＞40，n=n+1B．i＞20，n=n+2C．i＞40，n=n+2D．i=20，n=n+29．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．10．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n=．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．16．给出以下四个结论： （1）函数f （x ）=的对称中心是（﹣，﹣）；（2）若关于x 的方程x ﹣+k=0在x ∈（0，1）没有实数根，则k 的取值范围是k ≥2； （3）已知点P （a ，b ）与点Q （1，0）在直线2x ﹣3y+1=0的两侧，则 3b ﹣2a ＞1； （4）若将函数f （x ）=sin （2x ﹣）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是，其中正确的结论是： ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4（S n +1）=（1）求数列的通项公式a n （2）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号； （1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号； （下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表20+18+4=42②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点． （1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；（2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M ﹣EFG 的体积．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，∴A⊆B，故选：A．2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣4﹣3i，故选：A．3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“≦p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“≦p且¬q”为真故选C4．向平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤π，﹣1≤y≤1}投掷一点P，则点P落入区域M={（x，y）|y ＞cosx，0≤x≤π}的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式计算即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤π，﹣1≤y≤1}对应的区域为矩形ABCD，面积S=2π，区域M={（x，y）|y＞cosx，0≤x≤π}对应的区域为阴影部分，则由余弦函数的对称性可知，阴影部分的面积S=S ABCD=π，故点P落入区域M={（x，y）|y＞cosx，0≤x≤π}的概率为，故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25【考点】正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．【解答】解：∵S==2∴a=1由余弦定理得=25∴b=5故选A6．函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x++）=cosx的图象，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，得到函数y=cos2x的图象，由2x=kπ，得x=kπ，k∈Z∴所得图象的对称轴方程为x=kπ，k∈Z，k=﹣1时，x=﹣故选A7．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．8．如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是（）A．i＞40，n=n+1B．i＞20，n=n+2C．i＞40，n=n+2D．i=20，n=n+2【考点】程序框图．【分析】分析要计算计算+++…+的值需用“直到型”循环结构，按照程序执行运算【解答】解：①的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，分母是从2到40共20项，故条件是i＞20；②的意图为表示各项的分母，相邻分母相差2，故语句是n=n+2．故选：B．9．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，C在平面ABD上的射影为BD的中点，左视图的面积等于，故选：D．10．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选C．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意设P（asinα，bcosα），所以根据条件可得到，b2换上a2﹣c2从而可得到，再根据a，c＞0，即可解出离心率的取值范围．【解答】解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n=90．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：由题意得，解得n=90，故答案为：9014．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值\frac{9}{2}．【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．∵m＞0，n＞0，∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．∴+的最小值是．故答案为：．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．16．给出以下四个结论：（1）函数f（x）=的对称中心是（﹣，﹣）；（2）若关于x的方程x﹣+k=0在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2；（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，则3b﹣2a＞1；（4）若将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是，其中正确的结论是：（3）（4）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据反比例函数的性质及函数图象的平移变换法则，可以判断（1）的真假；根据方程根与函数零点的关系，利用图象法，易判断（2）的真假；根据平面点与直线的位置关系，可以求出a，b满足的不等式，即可判断（3）的真假；根据正弦型函数的对称性，及函数图象的平移变换，可判断（4）的真假．【解答】解：（1）函数f（x）==+的对称中心是（﹣，），不正确；（2）若关于x的方程x﹣+k=0在x∈（0，1）没有实数根，则k=﹣x在x∈（0，1）没有实数根，所以k的取值范围是k≤0，不正确；（3）已知点P （a ，b ）与点Q （1，0）在直线2x ﹣3y+1=0的两侧，则2a ﹣3b+1＜0，所以3b ﹣2a ＞1，正确；（4）若将函数f （x ）=sin （2x ﹣）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x ﹣φ）﹣]=sin （2x ﹣﹣2φ）=cos （2x ﹣﹣2φ）关于y 轴对称，则﹣﹣2φ=k π，k ∈Z ，即φ=﹣k π﹣，k ∈Z ，当k=﹣1时，φ的最小值是，正确．故答案为：（3）（4）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4（S n +1）=（1）求数列的通项公式a n（2）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n ≥2时，将n 换为n ﹣1，两式相减，可得，求得a 2，即可得到所求通项；（2）求得，再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）当n ≥2时，有4（S n +1）=，4（S n ﹣1+1）=a n ﹣1，两式相减可得，即，∴又当n=1时，a 1=8，n=2时，a 2=27，∴；（2）证明：，∴=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=．18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号； （1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号； （下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表20+18+4=42②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）由已知条件利用随机数表法能求出最先检查的3个人的编号． （2）①由题意100×30%=7+9+a ，由此能求出a ，b ．②由已知a ≥10，b ≥8，结合题意昨到10≤a ≤23，8≤b ≤21，由此利用列举法能求出数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率． 【解答】解：（1）最先检查的3个人的编号为785，667，199． （2）①∵100×30%=7+9+a ，∴a=14，b=100﹣30﹣20﹣18﹣4﹣5﹣6=17， ∴a=14，b=17．②由已知a ≥10，b ≥8，a+b=100﹣16﹣42﹣11=31， ∴10≤a ≤23，8≤b ≤21，所有可能的情况有（10，21），（11，20），（12，19），（13，18）， （14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13）， （19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14种， 满足数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： （10，21），（11，20），（12，19），（13，18）， （14，17），（15，16）共6种情况， ∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率P==．19．如图，已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点． （1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；（2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M ﹣EFG 的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出CD ⊥平面PAD ．在△PCD 中根据中位线定理，证出EF ∥CD ，从而EF ⊥平面PAD ，结合面面垂直的判定定理，可得平面EFG ⊥平面PAD ；（2）根据线面平行判定定理，得到CD ∥平面EFG ，所以CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，得到三棱锥M ﹣EFG 的体积等于三棱锥D ﹣EFG 的体积．再由面面垂直的性质证出点D 到平面EFG 的距离等于正△EHD 的高，算出△EFG 的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D ﹣EFG 的体积，即可得到三棱锥M ﹣EFG 的体积．【解答】解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥AD∴CD ⊥平面PAD …又∵△PCD 中，E 、F 分别是PD 、PC 的中点， ∴EF ∥CD ，可得EF ⊥平面PAD∵EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD ；…（2）∵EF ∥CD ，EF ⊂平面EFG ，CD ⊄平面EFG ， ∴CD ∥平面EFG ，因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离， ∴V M ﹣EFG =V D ﹣EFG ，取AD 的中点H 连接GH 、EH ，则EF ∥GH ， ∵EF ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，∴EF ⊥EH于是S △EFH =EF ×EH=2=S △EFG ，∵平面EFG ⊥平面PAD ，平面EFG ∩平面PAD=EH ，△EHD 是正三角形∴点D 到平面EFG 的距离等于正△EHD 的高，即为，…因此，三棱锥M ﹣EFG 的体积V M ﹣EFG =V D ﹣EFG =×S △EFG ×=．…20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，所以；（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，则，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，联立，解得，所以，故直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（I）求导数，由导数的正负，可得f（x）的单调区间；（II）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[，2]时，恒成立，即x∈[，2]时，a＞恒成立，确定右边函数的最大值即可．【解答】解：（I）当a=1时，，∴由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2），单调递减区间为（2，+∞）．（II）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[，2]时，恒成立，即x∈[，2]时，a＞恒成立设，x∈[，2]，则，x∈[，2]，设，∵＞0在x∈[，2]上恒成立∴h（x）在x∈[，2]上单调递增即在x∈[，2]上单调递增∵，∴在[，2]有零点m∴在[，m]上单调递减，在（m，2]上单调递增∴，即，∴a＞．请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为t1和t2，则t1+t2=，t1•t2 =﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…2016年7月18日。

黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分 考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 1.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂= （ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,12. 对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题； ④¬p 或q 是假命题．其中真命题是 ( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．74. 某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取70人,则n 为( ) A. 100 B.150 C. 200 D.2505. 已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m n + )⊥(m n -)，则λ＝ ( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 6.函数()2log 26x f x x =+-的零点所在的大致区间是 ( ) A. 1(,1)2B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）7.已知点),(00y x P 是抛物线23x y =上一点，且0'6x x y==，则点P 的坐标为 ( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(－3，－1) 8.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π- B ．2,6π-C.4,6π-D ．4,3π9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 82π- B. 8π- C. 82π-D. 84π-10. 已知 ，则有 （ ）A ． 最大值为0B ．最小值为0 B ． 最大值为-4 D ．最小值为-411.设1F 和2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠21PF F ＝90°，1()2(0)f x x x x =+-<()fx则12F PF ∆ 的面积为 ( )A.21 B.1 C. 2 D.23 12. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.14. 不等式组20240320x y x y x y ì+-?ïïï+-?íïï+-?ïïî表示的平面区域的面积为________.15. 函数=)(x f 12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________. 16. 已知函数)3cos(cos )(π-⋅=x x x f ，则使1()4f x <成立的x 的取值集合是 _____.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.) 17.(10分）已知数列}{n a 满足111,21(N )*+==+∈n n a a a n .(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .18.（12分）20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)分别求出成绩落在[)50,60 与[)60,70 中的学生人数;(3)从成绩在[)50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60,70中的概率.19.（12分）已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且0x ≥时，2()ln(22)f x x x =-+. （1）当x ＜0时，求()f x 解析式； （2）写出()f x 的单调递增区间(不用证明)．20．（12分）如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(1)求证:BC PAC ⊥平面；(2)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面21．(12分)已知抛物线26y x =，过点(4,1)P 引一条弦12PP 使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|12PP |.22.（12分）在平面直角坐标系0x y 中，曲线342+-=x x y 与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=++m y x 交于A ，B 两点，且⊥，求m 的值．参考答案 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 1. A 2. C 3. C 4. A【解析】由分层抽样的定义可知70350035001500n =+,解得100.n = 5. B【解析】m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，因为(m ＋n )⊥（m －n )，所以(m＋n )·(m －n )＝0，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.6. C7. A8. A9. B 10. C 11.B 12. B【解析】由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.【答案】－1213【解析】因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 14. 不等式组20240320x y x y x y ì+-?ïïï+-?íïï+-?ïïî表示的平面区域的面积为________.【答案】415. 函数=)(x f 12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________. 【答案】(-∞,2) 16.、【答案】7(k ,k ),k Z.1212πππ-π-∈ 【解析】211()cos cos [(1cos 2)2]24111sin(2)sin(2)0(2)(2,22)264466=⋅=+=++<⇒+<⇒+∈++f x x x x x x x x x k k πππππππ511511(,),Z.(,),Z.12121212⇒∈++∈++∈x k k k k k k ππππππππ所以不等式的解集是： 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.) 17.(10分）已知数列}{n a 满足111,21(N )*+==+∈n n a a a n .(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S . 【解析】 （1）（2） 12,21-=∴=+∴n n n n a an n S n n n --=---=+2221)21(21 …………10分18.（12分）20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:.22}1{211)1(2112111，首项为为等比数列，公比为数列+∴=++∴+=+∴+=+++n n n n n n n a a a a a a a(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)分别求出成绩落在[)50,60 与[)60,70 中的学生人数;(3)从成绩在[)50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60,70中的概率. 【解析】(1)据直方图知组距为10 ， 由(23672)101,a a a a a ++++⨯= 解得10.005200a == . (2)成绩落在[)50,60中的学生人数为20.0051020 2.⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.0051020 3.⨯⨯⨯=(3)记成绩落在[)50,60中的2 人分别为12,,A A 成绩落在[)60,70中的3人分别为123,,B B B ,则从成绩在[)50,70的学生中任选2人的基本事件共有10 个:12(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 13(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 23(,),A B 12(,),B B 13(,),B B 23(,),B B其中2人的成绩都在[)60,70中的基本事件有3 个：12(,),B B 13(,),B B 23(,),B B故所求概率为3.10p =19.（12分）已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且0x ≥时，2()ln(22)f x x x =-+. （1）当x ＜0时，求()f x 解析式； （2）写出()f x 的单调递增区间(不用证明)． 【解析】（1）当x ＜0时，﹣x ＞0 ∵0x ≥时，2()ln(22)f x x x =-+ ∴2()ln(22)f x x x -=++（3分）∵()y f x =是偶函数，∴()()f x f x -=（4分） ∴x ＜0时，2()ln(22)f x x x =++（6分）（2）由（1）知x ＜0时，2()ln(22)f x x x =++，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间为（﹣1，0）（8分）当x ≥0时2()ln(22)f x x x =-+，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（1，+∞）（10分）所以函数的单调增区间为：（﹣1，0），（1，+∞）（12分）20．（12分）如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(1)求证:BC PAC ⊥平面；(2)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面【解析】(1)由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC ;由P A 垂直于圆O 所在的平面,得P A ⊥平面ABC ;又BC ⊂平面ABC ,得P A ⊥BC .又P A ∩AC =A ,P A ⊂平面P AC ,AC ⊂平面P AC , 所以BC ⊥平面P AC(2)连接OG 并延长交AC 于M ,连接QM ,QO .由G 为△AOC 的重心,知M 为AC 的中点,由Q 为P A 的中点,则QM ∥PC , 又O 为AB 中点,得OM ∥BC .因为QM ∩MO =M ,QM ⊂平面QMO ,MO ⊂平面QMO ,BC ∩PC =C ,BC ⊂平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ,所以QG ∥平面PBC .21．(12分)已知抛物线26y x =，过点(4,1)P 引一条弦12PP 使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|12PP |.【解析】设直线上任意一点坐标为(x ，y )， 弦两端点111(,)P x y ，222(,)P x y ．∵12,P P 在抛物线上，∴2116y x =，2226y x =.两式相减，得121212()()6()y y y y x x +-=-．∵122y y +=，∴12121263y y k x x y y --+＝=＝. ∴直线的方程为13(4)y x -=-，即3110x y --=.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝3x －11，得22220y y --=，∴122y y +=，1222y y =-.∴|12PP |＝22303. 22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线342+-=x x y 与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线0=++m y x 交于A ，B 两点，且OB OA ⊥，求m 的值．【解析】（1）曲线342+-=x x y 与y 轴的交点为（0，3），与x 轴的交点为)0,3(),0,1(，故可设C 的圆心为（2，t ），则有2222)0()12()3()02(-+-=-+-t t 解得2=t ， 则圆C 的半径为52)12(22=+-所以圆C 的方程为5)2()2(22=-+-y x .……5分 (2)设A （），B （），⎩⎨⎧=-+-=++5)2()2(022y x m y x ，消去y ，得到方程0342222=++++m m mx x ，……6分由已知可得，判别式0)34(24422>++⨯-=∆m m m ，化简得0682<++m m ，……7分 12x x m +=-，234221++=m m x x ①……8分由于⊥，可得……9分又m x y m x y --=--=2211,所以11,y x 22,y x ,02121=+y y x x0)(222121=+++m x x m x x ②……10分由①，②得31-=-=m m 或，满足故31-=-=m m 或.……12分,0>∆。

2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{2}C．{﹣1，2}D．{1，2}2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）（2015湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（）A．k＜64？B．k≥64？C．k＜32？D．k≥32？5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．158．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．89．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=112．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5；不等式选讲]24．（2015河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{2}C．{﹣1，2}D．{1，2}【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即A={1，2}，∵B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={1，2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）（2015湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（）A．k＜64？B．k≥64？C．k＜32？D．k≥32？【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=64时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63，从而可判断M处的条件为：k≥64？【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0不满足条件，S=1，k=2不满足条件，S=3，k=4不满足条件，S=7，k=8不满足条件，S=15，k=16不满足条件，S=31，k=32不满足条件，S=63，k=64由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63．故可判断M处的条件为：k≥64？故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【分析】可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D．若α⊥β，b∥β，设α∩β=c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D错．故选C．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键．7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．15【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2=8，底面为（2+1）×1=，故几何体的表面积为8=11，故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．8．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y 的最大值．【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A（4，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，将A的坐标代入z=2x﹣y，得z=2×4﹣0=8，即目标函数z=2x﹣y的最大值为8．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，∴球的直径为4，∴球的表面积为4π×22=16π，故选：D．【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣【分析】由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则=（﹣）=﹣=（）2﹣1×=﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【分析】设椭圆的右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2=a2﹣c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得c=2，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为+=1．故选：C．【点评】本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a2，b2，属于中档题．12．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：D【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．【分析】直接利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：S△ABC=ABACsinA=××1×=．故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．注意熟练掌握正弦定理及其变形公式的灵活运用．14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．【分析】要求圆的标准方程，即要找到圆心坐标和半径，根据图形可知圆心坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出圆心到A的距离即为圆的半径，然后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），圆的半径r=|AC|==，则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=5【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为3+2．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0， +=（+）（2m+n）=3++≥3+2，当且仅当=时取等号， +的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是（，）．【分析】方法一：g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令令a==；讨论函数的取值即可，方法二：首先，画出函数y=|lnx |的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，4）上有三个零点，进行判断【解答】解：方法一：∵g （x ）=f （x ）﹣ax 在区间（0，4）上有三个零点， ∴|lnx |﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令a==；则当0＜x ＜1时，﹣的值域为（0，+∞）；当1≤x ＜4时，a=在[1，e ]上是增函数，0≤≤，在[e ，4）上是减函数，≤≤；故当a ∈（，）时，有三个不同的解．方法二：函数y=|lnx |的图象如图示： 当a ≤0时，显然，不合乎题意， 当a ＞0时，如图示当x ∈（0，1]时，存在一个零点， 当x ＞1时，f （x ）=lnx ， 可得g （x ）=lnx ﹣ax ，（x ∈（1，3]）g ′（x ）=﹣a=，若g ′（x ）＜0，可得x ＞，g （x ）为减函数，若g ′（x ）＞0，可得x ＜，g （x ）为增函数，此时f （x ）必须在（1，4）上有两个交点，∴，解得，≤a ＜，在区间（0，3]上有三个零点时，故实数a 的取值范围为（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b n}前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{b n}的公比为q，则，从而q=2，故{b n}的前n项和．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题． 19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，AC ，BD 交于点O ，A 1O ⊥平面ABCD ，A 1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ； （2）求三棱锥A ﹣C 1CD 的体积．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；（2）根据三棱锥的条件公式，即可求三棱锥A ﹣C 1CD 的体积． 【解答】证明：（1）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ，∵A 1O ∩AC=0，∴BD ⊥平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C ，由已知A 1A=2，AC=2，又AO=OC ，A 1O ⊥AC ，∴A 1A=A 1C=2，A 1A 2=A 1C 2=AC 2， ∴A 1C ⊥A 1A ，∵B 1B ∥A 1A ，∴A 1C ⊥B 1B ， ∵BD ∩B 1B=B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． （2）连结A 1C 1，∵AA 1∥C 1C ，且AA 1=C 1C ，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形，∴A 1C 1∥AC ，三棱锥A ﹣C 1CD 的体积===×=．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程．（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S△OCD最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（6分）（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y﹣32k=0，y1+y2=，y1y2=32，，综上S△OCD最小值为．…（12分）【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，求得单调区间和极值，进而得到最值；（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，以及指数函数的单调性即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=，得f（1）=，f′（x）=，所以k=f′（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=．（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x＞0．所以h′（x）=﹣lnx﹣2．令h′（x）=0得，x=e﹣2．因此当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．所以h（x）在x=e﹣2处取得极大值，也是最大值．h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2．（Ⅲ）证明：因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=，x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于1﹣x﹣xlnx＜e x（1+e﹣2）．由（Ⅱ）知h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，只需证明x＞0时，e x＞1成立，这显然成立．所以1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜e x（1+e﹣2）．因此对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CEBE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x ﹣y +=0的距离d=＞1． ∴直线l 与曲线C 相离；（Ⅱ）由M 为曲线C 上任意一点，可设，则x +y=sin θ+cos θ=，∴x +y 的取值范围是．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题． [选修4-5；不等式选讲] 24．（2015河北）已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f （x ）的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2016年大庆实验中学文科数学仿真模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合{| lg 0}A x x =≤,1={|3}2B x x ≤≤,则A B =（）A ．(0,3]B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2 2．命题“000(0,),lnx 1x x ∃∈+∞=-”的否定( )A ． 000(0,),lnx 1x x ∃∈+∞≠-B ．000(0,),lnx 1x x ∃∉+∞=-C ． (0,),lnx 1x x ∀∈+∞≠-D ．(0,),lnx 1x x ∀∉+∞=-3．如右图，向量1oz 对应的复数是1z ，向量2oz 对应的复数是2z ， 则21z z z i=+的共轭复数为( ） A 。

64i + B 。

64i - C 。

32i + D.32i -4。

已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直,则实数k 值为（ ）A ．15-B ．119C ．11D ．195．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里6．如图， 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为 ( )A ． 23B ． 4C ．43D ．253 7. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ） A ．10 B.11 C 。

黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集，集合，，则（ ）A ．{1}B ．{1，5}C ．{1，3，5}D ．{1，4}2．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是 （ ）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∃∈-+>D ．2,320x R x x ∀∈-+≠3．已知，，．则（ ）A ．B ．C ．D ．4．过点且平行于直线的直线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，则θθθθ22cos 2cos sin sin -+等于（ ）A ．1B ．C ．D ．6．直线与圆相交于A ，B 两点，则弦|AB|=（ ）A ．B ．C ．D ．7．若幂函数的图像经过点，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，，则（ ）A ．B ．C ．1D ．9．直线与抛物线相交于A,B 两点，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（ ）A ．B ．C ． D.11．设分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点Ｐ，满足，且到直线的距离等于，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）A ．B ．()11cos 263f f ⋅>⎪⎭⎫⎝⎛π C ． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()()()2200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则________。

14．tan 70tan 503tan 70tan 50+-+的值为________。

15．在极坐标系中,为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为．在以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 231（t 为参数），直线与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点,则|MA|·|MB|=________。