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2平差数学模型与最小二乘原理2.1 参数估计及其最优性质几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。
这些元素都被称为几何量。
在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。
几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。
1.如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道三个内角中的任意两个内角的大小就可以了。
它们都是同一类型的元素。
2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。
它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。
3.要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。
如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。
必要观测个数用t表示。
例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。
对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。
必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。
观测值个数用n个表示。
当n<t时,显然无法确定模型的解；当n =t 时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现；当n >t 时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
2.1 测量平差概述1、函数模型是怎样定义的？试举例说明函数模型的作用。
2、以下图2-1为例，说明必要元素、多余观测及其观测量的概念及其三者之间的关系。
图2-13、平差值和改正数是怎么定义的？ 2.2 测量平差的数学模型1、试按条件平差法列出下列图形的函数模型已知点：A 、B 已知点：A 、B 观测值：31~ββ、1S 、2S 观测值：51~h h5h2、试按附有参数的平差法列出下列图形的函数模型已知点：A 、B 已知点：A 、B 观测值：41~h h 观测值：61~L L平差参数：C 点的高程 平差参数：角度ABC ∠、DBC ∠3、试按间接平差法列出下列图形的函数模型已知点：A 已知点：A 、B 、C 观测值：61~h h 观测值：31~S S平差参数：B 、C 、D 点的高程 平差参数：P 点的坐标4、试按附有限制条件的间接平差法列出下列图形的函数模型 已知值：矩形的对角边S 已知点：A 观测值：41~L L 观测值：41~h h平差参数：321~~~L L L 、、 平差参数：43~~h h H B 、、5、在下图所示的水准网中，A 为已知点，B 、C 、D 、E 为待定点，观测了9条路线的高差91~h h ，列出下列四种情况下的函数模型，并指出方程的个数。
（1） 条件平差法的函数模型；（2） 选取B 、C 、D 三点的高程平差值为参数； （3） 选取51~h h 的高差平差值为参数； （4） 选取85~h h 的平差值为参数。
6、试用表格的形式总结四种基本平差方法函数的异同。
7、四种基本平差方法的随机模型是什么？有什么作用？8、同精度观测了下图中的5个角度i L ，A 、B 为已知点，C 点为待定点，CD 边的方位角CD 为已知方位角，试列出条件平差的函数模型。
9、在下图所示的直角三角形中，我们观测了三角形的三个边长1L 、2L 、3L ，选取边长1~L 、2~L 为平差参数，试列出间接平差的观测方程。
误差理论与测量平差是测量领域中重要的理论基础，课程设计可以帮助学生深入理解相关理论，并通过实际操作加深对知识的理解和掌握。
以下是关于误差理论与测量平差课程设计的一般步骤和内容：
1. 课程设计目标：
-深入理解误差理论的基本概念和原理。
-掌握测量平差的方法和技巧。
-能够运用所学知识解决实际测量中的问题。
2. 课程设计内容：
-误差理论：包括误差类型、误差传播规律、误差分析方法等。
-测量平差：包括最小二乘法、最小二乘平差、参数平差等内容。
-实例分析：选取实际测量数据，进行误差分析和平差处理，让学生能够将理论知识应用到实际情况中。
3. 课程设计步骤：
-确定课程设计题目和内容范围，包括理论学习和实践操作部分。
-提供相关资料和参考书目，引导学生进行文献查阅和理论学习。
-组织实验或案例分析，让学生通过实际操作了解测量平差的过程和方法。
-引导学生进行数据处理和结果分析，培养他们的问题解决能力和实践能力。
-撰写课程设计报告，总结理论学习和实际操作的经验，提出改进建议和思考。
4. 课程设计要点：
-强调理论联系实际，引导学生将所学知识应用到实际测量中。
-注重实践操作，通过实验和案例分析加深学生对知识的理解和掌握。
-鼓励学生团队合作，培养他们的合作意识和团队精神。
-培养学生的问题分析能力和创新思维，在课程设计中注重培养学生的实践能力和创新意识。
通过误差理论与测量平差课程设计，可以帮助学生系统地学习和掌握相关知识，提高他们的实践能力和问题解决能力，为他们未来从事测量工作打下坚实的基础。
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
教学内容：一、基础知识：测量任务是研究和解决空间几何问题，进而实现确定点的位置的目的，为此需要建立所谓测量控制网，测量控制网是由各种几何图形构成，网内部的几何图形天然存在着某种数学关系，称之为几何模型。
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如高程、点间高差、角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标，这些元素都被称为几何量。
在各种几何量中，有的是直接测量的，更多的则是通过测定已知量与直接测量量按它们存在的数学关系间接求出的。
这里使用提问方式：以提问方式要求学生说明已学的求点坐标的公式，以此为例说明坐标是间接求定的。
在复习上述公式涵义基础上说明：确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。
二、举例说明几何模型不同，所需要知道的元素的个数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的元素。
例如：⑴如图2-1的三角形ABC 中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角； ⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，如任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。
如：或等，它们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度121S L L 、、321L S S 、、或321S S S 、、和边长）。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，6个元素的组合是多样的，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。
所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。
如果A、B 两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等图2-1 三、总结几个概念：必要观测元素：能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，必要观测元素的个数用t 表示，也称为必要观测个数。
启发学生说出上面三种情况中的必要观测元素个数：t=2,t=3和t=3。
并提示学生：对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。
小结论：（1）必要观测个数t 只与几何模型有关，与实际观测量无关。
（2）一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。
在上述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如之间，其中不可能表达成的函数，除非再增加其它的量。
这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。
121S L L 、、1S 21L L 、多余观测的个数及多余观测的作用：先提个问题：只进行多余观测行不行？为什么？解释并引出多余观测的意义：观测对模型中的几何量总共观测n 个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然无法确定模型的解；如果观测值个数恰好等于必要观测个数，即n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现。
为了能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性，通常使观测值个数大于必要观测个数，即使n>t，设：r=n-t (2-1-1)式中n 是观测值个数，t 是必要观测个数，r 称为多余观测个数，表示有r 个多余观测值，在统计学中也叫自由度。
举例说明t、r：如在上述⑴中，t=2，如选为必要观测量，假设现在又观测了，则它们的真值之间就存在一个确定的关系：21L L 、3L 0180~~~321=−++L L L (2-1-2)再如上述⑵中，如果观测了角度、、和边长，即n=5,t=3,则r=2,它们的真值之间也存在如下关系式：1L 2L 3L 21S S 、 0180~~~321=−++L L L (2-1-3)0~sin ~~sin ~2211=−L S L S (2-1-4) 一个重要结论：（1）由上述可知：每增加一个多余观测，必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。
（2）这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
四、结论综述（1）由于有了多余观测，必然产生条件方程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之间必然不能满足理论上的条件方程，即：0180321≠−++L L L (2-1-5)即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。
（2）为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测 LˆL 值，是由观测值加上改正数而得到，即ii i V L L +=ˆ （2-1-6）式中称为观测值的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。
但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。
为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。
i V iL ˆ（3）求观测值的平差值是测量平差的任务之一，除此之外，还要对计算成果进行分析，衡量平差结果的精度。
§2测量平差的数学模型本节教学时数：1.5学时本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。
本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。
教学内容：一、平差模型的定义与分类1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1．函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。
2．函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。
对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。
函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。
（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。
1. 条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：A0180~~~321=−++L L L 令=[1 1 1] 31×A B13~×L =[1~L 2~L 3~L ]T =[-180]0A 则上式为 0~0=+A L A （2-2-1）图2-2再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A、B、C 均为待定点，观测值向量的真值为116~[~h L =× 2~h 3~h 4~h 5~h 6~h ] 其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是：0~~~)~(4211=−−=h h h L F0~~~)~(5322=+−=h h h L F0~~~)~(6313=−−=h h h L F令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=×10010101011000101163A则上面条件方程组可写为0~=L A （2-2-2）一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t，则应列出r=n-t 个条件方程，即1×n L0)~(=L F （2-2-3） 如果条件方程为线性形式，则可以直接写为11010~××××=+r r n n r A L A （2-2-4）将∆+=L L ~代入（2-2-4）式，并令)(0A AL W +−=（2-2-5）则（2-2-4）式为0=−∆W A （2-2-6） （2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。
