「精品」高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第三篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用-精品

第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是△ABC 的外接圆半径． 正弦定理的常用变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc _cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； b 2＝a 2＋c 2－2ac _cos_B ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ； c 2＝a 2＋b 2－2ab _cos_C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab． 3．勾股定理在△ABC 中，∠C ＝90°⇔a 2＋b 2＝c 2． 4．三角形的面积公式 S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c＝12ab _sin_C ＝12bc _sin__A ＝12ac _sin_B ． 5．实际问题中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的X 围是0°≤α<360°续表 术语名称术语意义图形表示 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度①北偏东m °②南偏西n °坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ， 则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比1．射影定理 b cos C ＋c cos B ＝a ， b cos A ＋a cos B ＝c ， a cos C ＋c cos A ＝b .2．三个角A ，B ，C 与诱导公式的“消角”关系 sin (A ＋B )＝sin C ， cos (A ＋B )＝－cos C ， sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.3．特殊的面积公式(1)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).(2)S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），P ＝12(a ＋b ＋c ).(3)S ＝abc4R＝2R 2sin A ·sin B ·sin C (R 为△ABC 外接圆半径).1．(基本方法：正弦定理)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．23 C ． 3 D ．32答案：B2．(基础知识：正、余弦定理)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 答案：C3．(基础知识：三角形的面积公式)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．答案：2 34．(基本能力：正弦定理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案：3π45．(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西________，西偏北________．答案：10° 80°题型一 正、余弦定理的基本应用[典例剖析]类型 1 正弦定理及其应用[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A ．53B ．107C ．57D ．5214解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C类型 2 余弦定理及其应用[例2] 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3D ．6－ 2解析：在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4， ∴b ＝2. 答案：A类型 3 正、余弦定理混合应用[例3] 已知△ABC 满足sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C 的大小是________． 解析：因为sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，所以a 2＋ab ＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12(0＜C ＜π)，所以C ＝2π3.答案：2π3方法总结1．求解三角形的一般方法： 方法 解读题型正弦定理法 直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边；(2)已知两边及一边对角 余弦定理法直接利用余弦定理(变式)求边、角(1)已知两边及夹角；(2)已知三边2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin Ab sin A＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数1211[题组突破]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin (A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.答案：A2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则C 的大小是( )A ．π6或2π3B ．π3C ．2π3D ．π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由b 2＋c 2－a 2＝3bc 及bc ＝3a 2得b 2＋c 2－33bc ＝3bc ，即3b 2－4bc ＋3c 2＝0.∴(3b －c )·(b －3c )＝0，解得c ＝3b 或b ＝3c .①当c ＝3b 时，由bc ＝3a 2得a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形，且A ＝B ＝π6，∴C ＝2π3；②当b ＝3c 时，由bc ＝3a 2得a ＝c ，∴△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A ＝C ，∴C ＝π6.综上，C 的大小为π6或2π3.答案：A3．(2021·某某模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( )A ．32B ．43C ． 2D ． 3解析：由正弦定理及b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A ·cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2·12＝3b 2，得ab＝ 3.答案：D题型二 正、余弦定理的综合应用[典例剖析]类型 1 判断三角形的形状[例1] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法三：由射影定理可得b cos C ＋c cos B ＝a ， 所以a ＝a sin A ，所以sin A ＝1，即A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案：B(2)在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0， 因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ， 所以△ABC 为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形类型 2 有关三角形的周长与面积[例2] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A ；(2)若a ＝13，△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长．解析：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C 知2×2R sin B cos A －2R sin C cos A ＝2R cos C sin A ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos A ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.因为 0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得13＝b 2＋c 2－2bc ·12，即(b ＋c )2－3bc ＝13，因为S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，所以(b ＋c )2－36＝13，即b ＋c ＝7， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7＋13. 类型 3 有关三角形的边长与角度[例3] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .(1)求C ；(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长． 解析：(1)因为a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C ， 所以由正弦定理可得a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，又0＜C ＜π，所以C ＝3π4.(2)由(1)知C ＝3π4，根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(22)2－2×2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝20， 所以c ＝2 5.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得2522＝22sin B，解得sin B ＝55，从而cos B ＝255. 设BC 的垂直平分线交BC 于点E ， 因为在Rt △BDE 中，cos B ＝BE BD ，所以BD ＝BE cos B ＝1255＝52. 因为点D 在线段BC 的垂直平分线上，所以CD ＝BD ＝52. 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．方法总结(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．3．判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．边角互化法边化角：用角的三角函数表示边 等式两边是边的齐次形式角化边：将解析式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形式或a 2＋b 2－c 2＝λab[题组突破]1．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析：因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋4sin A＝5sin A ＋3cos A ＝27sin (A ＋φ).因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27.答案：272．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________，ca的取值X 围是________．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca ＞2. 答案：π3(2，＋∞)题型三 解三角形的应用举例[典例剖析]类型 1 解决测量问题[例1] (1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( )A ．(5＋53)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋33)m解析：在△P AB 中，由正弦定理，得10sin （45°－30°）＝PBsin 30°，因为sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝(5＋53)(m).答案：A(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB °，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.(其中°取近似值23)解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.连接AB (图略)，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， ∴AB ＝10. 答案：10类型 2 三角形在平面几何中的应用[例2]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin θ1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.方法总结1．测量距离问题的解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．2．测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．3．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．4．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．[题组突破]1．(2020·某某模拟)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为________米．解析：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A 作AN ⊥CD 于点N (图略)，在Rt △A 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠A ＝60°，又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°，所以AC ＝60＋203，所以＝30＋103，所以CD ＝DN ＋＝AB ＋＝30－103＋30＋103＝60. 答案：602．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解析：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2(负值舍去)，故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314，所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.再研高考创新思维(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 解析：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°＜C ＜90°，所以12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎫38，32. 素养升华边角互化(2021·某某某某模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析：(1)由正弦定理得a sin B ＝b sin A ，因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为c 2＝b 2＋3a 2，所以cos B ＝（1＋3）a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12，易知cos B ＞0，所以cos B ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.。

第六节 正弦定理和余弦定理时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析 利用a sin A ＝bsin B 代入计算即可． 答案 B2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析 ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2. cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，∴C 为钝角． 答案 C3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43. 答案 A4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析 23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，所以cos 2A ＝125，因为A 是锐角，所以cos A ＝15，由余弦定理得49＝36＋b 2－2×6b ×cos A ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)，故选D.答案 D5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析 由正弦定理得c sin C ＝bsin B ⇒c ＝2×2212＝22，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(π6＋π4)＝6＋24，所以三角形面积为S ＝12bc sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1，故选B.答案 B6．(2014·湖南五市十校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋b c 的值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析 (cos A ＋sin A )(cos B ＋sin B )＝2，cos A cos B ＋cos A sin B ＋sin A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，cos(A －B )＋sin C ＝2.所以cos(A －B )＝1，sin C ＝1，所以A －B ＝0且C ＝90°，所以A ＝B ＝45°，该三角形为等腰直角三角形，所以a ＋bc ＝ 2.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 解析 由余弦定理可得cos B ＝22＋c 2－b 22×2c ＝－14，又b ＋c ＝7，从而cos B ＝22＋(7－b )2－b 22×2×(7－b )，化简得15b ＝60，解得b ＝4.答案 48．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝ab ，则a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又C 是三角形的内角，所以C ＝2π3.答案 2π39．(2013·福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD ) ＝cos ∠BAD ＝223，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝18＋9－2×92×223＝3.∴BD ＝ 3. 答案3三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3. (2)由正弦定理，得bc ＝a 2， 又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc . ∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．11．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ)求c 的值．解 (Ⅰ)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A ＝5.12．(2014·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ， ∴sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2. 由sin C 2≠0，得2cos C 2＋1＝2sin C 2， ∴sin C 2－cos C 2＝12.两边平方，得1－sin C ＝14，∴sin C ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2， 即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得(a －2)2＋(b －2)2＝0， 得a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.。

第六节 正弦定理和余弦定理2021年高考数学一轮复习 第三章 第六节 正弦定理和余弦定理演练知能检测 文1．已知△ABC ，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶2，则此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°解析：选B 依题意和正弦定理知，a ∶b ∶c ＝1∶1∶2，且c 最大． 设a ＝k ，b ＝k ，c ＝2k (k ＞0)，由余弦定理得，cos C ＝k 2＋k 2－2k22k2＝0， 又0°＜C ＜180°，所以C ＝90°.2．(xx·山东高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A＝32，A ＝30°. 结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.3．(xx·沈阳模拟)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394 解析：选B 由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332.4．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C＝2，即2cos B sin C ＝sin A .由正、余弦定理得，2·a 2＋c 2－b 22ac·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列， ∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32.6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：选C 由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.7．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝________.解析：由正弦定理，得sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ．所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.答案： 28．(xx·深圳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________. 解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145.答案：1459．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，即BC sin A ＝ABsin C＝2，则BC＝2sin A ，AB ＝2sin C ，又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3＝3cos C ＋sin C ＋2sin C ＋3＝3cos C ＋3sin C ＋3＝3(3sin C ＋cos C )＋3＝2332sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋ 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.答案：3 310．(xx·浙江高考)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.11．(xx·杭州模拟)设函数f (x )＝6cos 2x －3sin 2x (x ∈R )． (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，锐角A 满足f (A )＝3－23，B ＝π12，求a 2＋b 2－c 2ab的值．解：(1)f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3. 故f (x )的最大值为23＋3，最小正周期T ＝π.(2)由f (A )＝3－23，得23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3－23， 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝－1，又由0<A <π2，得π6<2A ＋π6<π＋π6，故2A ＋π6＝π，解得A ＝5π12.又B ＝π12，∴C ＝π2.∴a 2＋b 2－c 2ab＝2cos C ＝0.12．(xx·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos α＋A cos α＋B cos 2α＝25，求tan α的值． 解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.又0<C <π，故C ＝3π4.(2)由题意得sin αsin A －cos αcos A sin αsin B －cos αcos B cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.[冲击名校]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________.解析：∵b a ＋a b ＝6cos C ，∴b a ＋a b ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得a 2＋b 2＝32c 2，则tan C tan A ＋tan C tan B＝tan C ·sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B ＝tan C sin A ＋B sin A sin B ＝sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2a 2＋b 2－c 22ab·ab ＝4.答案：42．(xx·福建高考)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋PM 2－2×OP ×PM ×cos 45°，得PM 2－4PM ＋3＝0， 解得PM ＝1或PM ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin 45°＋α，同理ON ＝OP sin 45°sin 75°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 245°sin 45°＋αsin 75°＋α＝1sin 45°＋αsin 45°＋α＋30°＝1sin 45°＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 45°＋α＋12cos 45°＋α＝132sin 245°＋α＋12sin 45°＋αcos 45°＋α＝134[1－cos 90°＋2α]＋14sin 90°＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin 2α＋30°.因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.[高频滚动]1．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145 B ．－ 2145 C ．±2145 D ．±51428解析：选B ∵sin x －sin y ＝－23，x ，y 为锐角，∴－π2＜x －y ＜0，又⎩⎪⎨⎪⎧sin x －sin y ＝－23，①cos x －cos y ＝23，②①2＋②2，得2－2sin x sin y －2cos x cos y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232，即2－2cos(x －y )＝89，得cos(x －y )＝59，又－π2＜x －y ＜0，∴sin(x －y )＝－1－cos 2x －y ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝－2149，∴tan(x －y )＝sinx －y cosx －y ＝－2145. 2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π4＝17250.答案：17250R36590 8EEE 軮20070 4E66 书21940 55B4 喴`34804 87F4 蟴24897 6141 慁Y31679 7BBF 箿33018 80FA 胺(39269 9965 饥 31232 7A00 稀@。

第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。

第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,若A=,cos B=,b=8,则a等于( D )(A)(B)10 (C) (D)5解析:因为cos B=,0<B<π,所以sin B==,所以由正弦定理可得a===5.故选D.2.设△ABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( B )(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)不确定解析:由正弦定理及已知,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=1,即A=,故选B.3.(2017·南开区一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,c-a=2,b=3,则a等于( A )(A)2 (B)(C)3 (D)解析:因为c=a+2,b=3,cos A=,所以由余弦定理可得cos A=,即=,解得a=2.故选A.4.(2017·山东平度二模)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=,b+c=3,则△ABC的面积为( B )(A) (B) (C) (D)2解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A,因为a=,b+c=3,A=60°,所以3=9-3bc,解得bc=2,所以S△ABC=bcsin A=×2×=,故选B.5.(2017·甘肃一模)要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45°,在D点测得塔顶的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD= 120°,CD=40 m,则电视塔的高度是( B )(A)30 m (B)40 m (C)40 m (D)40 m解析:由题意,设AB=x m,则BD=x m,BC=x m,在△DBC中,∠BCD=120°,CD=40 m,根据余弦定理,得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos∠DCB,即(x)2=402+x2-2×40·x·cos 120°,整理得x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍),即所求电视塔的高度为40 m.故选B.6.(2017·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( A )(A)a=2b (B)b=2a(C)A=2B (D)B=2A解析:因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C)=sin Acos C+sin(A+C)=sin Acos C+sin B,等式左边=sin B+2sin Bcos C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B,根据正弦定理,得a=2b,故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·江西湘潭二模)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若A=,b=,△ABC的面积为,则a的值为.解析:因为由S△ABC=bcsin A,可得××c×sin=,解得c=2, 所以a2=b2+c2-2bccos A=2+8-2××2×(-)=14,解得a=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆的面积为( C )(A)4π(B)8π(C)9π(D)36π解析:因为bcos A+acos B=2,所以由余弦定理可得b×+a×=2,解得c=2,又因为cos C=,可得sin C==,所以设三角形的外接圆的半径为R,则2R===6,可得R=3,所以△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π.故选C.10.(2017·河北一模)△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于( D )(A) (B)(C)或 (D)或解析:AB=,AC=1,cos B=cos 30°=,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即1=3+BC2-3BC,即(BC-1)(BC-2)=0,解得BC=1或BC=2,当BC=1时,△ABC的面积S=AB·BCsin B=××1×=,当BC=2时,△ABC的面积S=AB·BCsin B=××2×=,所以△ABC的面积等于或.故选D.11.(2017·山西二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( D )(A)(1+)米 (B)2米(C)(1+)米 (D)(2+)米解析:设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y- 0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即(y-0.5)2=y2+x2-2yx×,化简得y(x-1)=x2-,因为x>1,所以x-1>0,因此y==-=-=x+1+,所以y=(x-1)++2≥+2,当且仅当x-1=时,取“=”号,即x=1+时,y有最小值2+.故选D.12.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC= .解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:13.(2017·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B-A)的值.解:(1)由asin A=4bsin B及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A===-.(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B==.由(1)知,A为钝角,所以cos B==.于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=×(-)-×=-.14.(2017·北京卷)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解:(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.15.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 解:(1)由已知可得tan A=-,所以A=,在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.。