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刚体力学习题课

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刚体力学习题课

刚体力学习题课

J mR
2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中， 机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。
1 1 2 2 mv 0 J0 mgh 2 2
v0 R0
2 (m R2 J )0 h 0.016m 2m g
[例2]已知m1，m2 ，M1，M2，R1，R2 且m1> m2 试由牛顿运动 定律和转动定律写出系统的运动方程，求m2 的加速度和 张力T1 ,T2 , T3 。 解：设m2的加速度大小为a，方向向上， m1的加速度大小也为a，方向向下。 设向内为正方向。 对m1 、m2分析受力。由牛顿定律：
刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。
刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点 的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。
J mi ri
刚体定轴转动角动量：
2
Lz J
刚体的转动动能： Ek转 1 J 2 2 力矩的功： 刚体的重力势能:
T1
关联方程： 联立得：
a 1R1 2 R2
2(m1 m2 ) g a 2 m1 m2 M 1 M 2 （ ）
4m1m2 m1 ( M 1 M 2 ) T1 m1 g m1a 2(m1 m2 ) M 1 M 2
T2 m2 g m2a
i


质点的运动

刚体的定轴转动


转动定律： M z J d( Jω) 角动量原理： z M dt 角动量守恒： J C
动能定理： M d Ek
a
动能定理： F dr E k
b a

刚体力学基础习题课

刚体力学基础习题课
动量矩与转动惯量的关系
刚体的动量矩
刚体的进动和章动
第五章
进动的定义和计算
进动是指刚体绕自身某定点作角速度矢量沿着垂直于该定点轴的平面内的圆周运动。
进动的角速度矢量可以表示为$omega = omega_0 + alpha times omega_0$，其中$omega_0$是初始角速度矢量，$alpha$是进动角速度矢量。
平动刚体的动能和动量分别为 (E = frac{1}{2}mv^2) 和 (p = mv)，其中 m 为刚体的质量，v 为刚体的速度。
平动刚体的特征
平动刚体的运动规律
平动刚体的动能和动量
刚体的转动
转动刚体上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，但可以形成不同的角度。转动刚体的角速度和角加速度是矢量。
进动的角速度矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|omega| = |omega_0| sqrt{1 + alpha^2}$，$tan theta = frac{alpha}{1 + alpha^2}$，其中$theta$是进动角。
章动的定义和计算
章动的角位移矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|theta| = |theta_0| + frac{1}{2} |beta| t^2$，$tan varphi = frac{beta t}{2 |theta_0|}$，其中$varphi$是章动角。
01
静态平衡是稳定的，只要刚体受到微小的扰动，它就会恢复到原来的平衡状态。
刚体的平衡稳定性
03
刚体在静态平衡状态下，其重心位置保持不变，且各方向上的力矩平衡。
刚体的平衡状态
02
刚体的动态平衡

大学物理 第5章 刚体力学基础习题课

大学物理 第5章 刚体力学基础习题课


2
1
M d
（3）功率：
d dA M M N dt dt
3
2015-7-3
5.冲量矩和动量矩 （力矩对时间的积累效应） (1) 冲量矩
元冲量矩：Mdt 力矩乘以力矩所作用的时间。 力矩在t1→t2内总冲量矩：
(2) 角动量（动量矩）

t2
t1
Mdt
刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动惯 量和角速度的乘积。
2iiijmr????22ddjrmrv????三习题基本类型ddt??????22ddddtt??????vr????2nar????tar????vr??ov定定轴p?zr0t?????20012tt?????????????????22002????????专业资料201931092平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行相距为d刚体对其转动惯量为j则有jjcmd2
θ
14
y
NA A
NB
B
l
F 无平动： F
i i
由刚体的平衡条件：
ix
0 N B F kl cos 0 NA W
iy
θ W
原长
无转动： x
M
i
iz
0
(O) F
2 将NB的值代入 W 2kl sin
若以A为转轴，选力矩⊙为 正，则 N B l sin W l cos 0
刚体力学基 础
习题课
2015-7-3
1
刚体力学基础
一、基本概念 1.刚体及其平动、转动、定轴转动 理想化的力学模型 特性：特殊的质点系(牛顿力学) 2.转动惯量
刚体对定轴的转动惯量等于刚体中每个质点的质量 与这一质点到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和。

大物解题思路及刚体习题课共21页

大物解题思路及刚体习题课共21页
(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度w有多 大？(2) 若棒转动时受到大小为Mr=4.0N·m的恒 定阻力矩作用，棒能转过多大的角度θ？
m, l
O m v
解：(1)子弹垂直地射入棒的另一端，角动量守恒
m'vl(1ml2m'l2）
3
m, l
15.4rads-1
O
(2)由转动定理
Mr=(13ml2 m'l2）...........(1)
6m2l
(m 3M)2s
解 此题可分解为三个简单过程：
(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰.此过程机械能守恒.
以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有
m gl1I21m l2 2
22 6
①
(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒)和机械 能守恒，设碰撞后棒的角速度为ω′，物块速度为v，则有
刚体力学习题课
一、描述刚体定轴转动的基本物理量
物理量（转动参 量）
角位置、角位移
角速度
角加速度
定义式
特点
d
d
dt
d
dt
d2
dt2
vi ri
ai ri
ani ri 2
物理量（状态 参量）
計算式
特例（对质 点来说）
转动惯量I
r 角动量 L
2
I r2dm r dV m
I
n
mr2 ii
m
rv
v F
v L
=
I
r
vv
W M gd
Ek
1 2
I 2
Ep mghc
三、相关的定律、定理与质点(系)的比较

《刚体运动习题》课件

《刚体运动习题》课件
详细描述
刚体的转动问题涉及到分析刚体的转动惯量、角速度、角加速度等物理量，以及力和扭矩对刚体转动的影响。通过解决刚体的转动问题，可以了解刚体在转动过程中的运动规律和特点。
刚体的复合运动问题涉及到刚体的平动和转动同时发生的情况。
总结词
刚体的复合运动问题需要综合考虑刚体的平动和转动，分析其相互影响和耦合作用。这类问题通常比较复杂，需要运用力学和运动学的知识进行求解。
总结词
在解答进阶习题时，学生需要具备较强的分析能力和计算能力，能够根据题目要求进行正确的分析和计算，并得出正确的结论。
详细描述
总结词：高难度习题是刚体运动中的高级题目类型，主要考察学生对刚体运动理论的深入理解和应用能力。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
刚体的振动问题主要研究刚体在周期性外力作用下的振动现象。
总结词
刚体的振动问题涉及到分析刚体的振动频率、振幅、相位等物理量，以及周期性外力对刚体振动的影响。通过解决刚体的振动问题，可以了解刚体在振动过程中的运动规律和特点，对于工程实践中的振动控制和减振设计具有重要意义。
详细描述
刚体运动的解题方法
03
它基于力学的基本原理和数学工具，如微积分、线性代数和常微分方程等，来推导和求解刚体运动的数学模型。
解析法可以给出精确的解，但有时可能比较复杂，需要较高的数学水平。
解析法是一种通过数学公式和定理来求解刚体运动问题的方法。
几何法是通过图形和几何形状来描述和解决刚体运动问题的方法。
它通过绘制刚体的运动轨迹、速度和加速度等矢量图，以及分析刚体的转动和角速度等来解决问题。
04
建筑结构中的刚体运动是指建筑物在风、地震等外力作用下产生的运动，包括平动、扭转和复合运动等。

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)

解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量

ddt
d dt

d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g

t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3

质点和刚体力学习题课.ppt [修复的]

t
平动动能： 力的功：
转动动能： 力矩的功： 动能定理： 注意：
b A a F dr
动能定理： A外 Ek 功能原理：
A外 Ek
能量 关系
A外 A非保内 E E0
机械能守恒：
1. 对于刚体，做功的还应有外力矩的功
2. 机械能应为势能+平动动能+转动动能
A外 A非保内 0 E 0
x x( t )
(2) 分量式
y y( t )
(2) 瞬时速度 (简称速度)
Δr dr v lim v lim Δ t 0 Δt 0 Δt dt
(1-7)
vA
A

B2 B 1
B
速度 = 位置矢量对时间的一阶导数。
★ 直角坐标系中：
v AB
(1-9)
a
方向：
tan a y a x
★ 注意：
位矢
、位移 、速度 Δr r v
、加速度 a
1. 矢量性: 四个量都是矢量，有大小和方向，
加减运算遵循平行四边形法则。
2. 瞬时性:
r, v, a
瞬时量（不同时刻不同） 过程量
Δr
3. 相对性：不同参照系中，同一质点运动描述不同；
1 2 J l ml 3
定轴转动刚体的转动惯量具有可加性。
复习 1. 质点和刚体（mass point, particle and rigid body）
⑴ 物体不形变，不作转动（此时物体上各点的速度及加速度 都相同，其任一点的运动可以代表物体所有点的运动）。 ⑵ 物体本身的线度和它活动的范围相比小得很多（此时物体 的形变及转动显得并不重要）。

刚体力学习题课


角动量定理 的微分形式
M = dL dt
角动量定理
t2
t1
Mdt
=
Jw2
Jw1
角动量守恒定律 M=0时，Jw=恒量
刚体力学两个主要公式
• 转动定律
Mz
=
J
dw
dt
=
J
• 角动量守恒定律
Lz = Jw = 恒量
• 机械能守恒定律：
• 当除重力矩以外旳其他合外力矩不作功或 作功为零时，则刚体机械能守恒。
T2 = T2'
对质点： mg T1 = ma1
对刚体： T2 mg = ma2
T12r T2r = J
a1 = 2r a2 = r
联立以上几式解得： 2g
19r
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r旳两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，能够绕
经过盘心且垂直盘面旳水平光滑固定轴转动，对转轴旳转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边沿都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m旳重物，求盘旳角加速度旳大小．
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r旳两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，能够绕
经过盘心且垂直盘面旳水平光滑固定轴转动，对转轴旳转动
，
惯量为9mr2/2，大小圆盘边沿都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m旳重物，求盘旳角加速度旳大小．
为)，圆盘可绕经过其中心O旳竖直固定光滑轴转动．开始时，
圆盘静止，一质量为m旳子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入 圆盘边沿并嵌在盘边上。求：(1) 子弹击中圆盘后竖直轴旳转动惯量为 ，忽视子弹重力造成旳摩擦阻力矩)
v0

刚体力学习题课


解：分两个阶段进行考虑 (1) 子弹射入细杆 , 使细杆获得初 速度。因这一过程进行得很快,细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 竖直状态。子弹和细杆组成待分 析的系统 , 无外力矩 , 满足角动量 守恒条件。子弹射入细杆前、后 的一瞬间,系统角动量分别为
a
m0
2
L0 m0v0 a
L J
1 2 其中 J m0 a ml 3
定轴转动刚体的角动量守恒定律
由机械能守恒，E = E0, 代入 =300，得：
1 2 l 1 l 1 J mg (a ) m0 ga(1 ) mg (a ) 2 2 2 22
将上式与 J
m0v0 a 联立，并代入J 值，得
1 2 3 v0 (ml 2m0 a)( ml 2 3m0 a 2 ) g m0 a 6
C

f
o
x
力学复习
o
o



r dr dF

dmg
3.26 求 稳 定 转 动 时 的 ？ 解 ： 在 相 对 杆 静 止 的考 参系 中 , 设、S（ 为 取 微 分 元 ） M 1 ( Sdr ) 2 r sin r cos
0 l
M 2 ( Sdr ) g r sin
J A A J B B ( J A J B ) 2 2 J m R 2 , J m R A A B B B 2 A
2 2 m A RA A mB RB B 1 100 rad s 2 2 m A RA mB RB
A
B
A
B

刚体力学习题课
例题2、一个质量为 m、半径为 R 的均匀薄圆盘在水平桌面上 绕中心轴转动，开始角速度为 0，当圆盘与桌面的摩擦系数 为 时，问经过多长时间才能停下来？

刚体力学习题课


w vE
E
D
vD
C v F c
A vA 0
vF
vD w rAD
对于纯滚动，若取接触点A 为基点，在某瞬时 刚体的平面运动，可视为对质圆柱, 在水平外力F作用 下, 在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中 心轴线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的 静摩擦力. 解: 设静摩擦力f 的方向如图所示, 则由质心运动方程 F f ma
习题3.49
a1c 2 r2 1r1 ac a 2 R
习题3.54 习题3.57
刚体力学习题课
四、质点和刚体的碰撞相关 【例题5】如图所示，有一质量为 M、长为 l 的均匀细 杆静止在光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖 直光滑钢钉转动。有一质量为 m 的小球以垂直于杆的 水平速度 v0 与杆的另一端碰撞，碰撞后小球以速度 v 反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后细杆转动的角 速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又如 何？
C
圆柱对质心的转动定律：
R
ac
F
Fl fR J
c
m
纯滚动条件
aC R
c
f
2
1 圆柱对质心的转动惯量为 J mR 2
联立以上四式, 得
2F ( R l ) aC 3mR R 2l f F 3R
由此可见
R
ac
F
m
f
l R 2, f 0 静摩擦力向后
l R 2, f 0
4 Nt mg cos q 7 v 13 4 $ $ N mgsin q l mg cosq t 7 7
三、纯滚动、摩擦力和附加条件相关
滚动
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2015-4-14
phypzq@
17
刚体力学基础习题课
用角动量原理解更简单！
2 M f mgR 3
M f t 0 J 0
3 R 0 t 4g
2015-4-14
phypzq@
18
刚体力学基础习题课
【例题5】如图所示，有一质量为 M、长为 l 的均匀细杆静止在 光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖直光滑钢钉转动。有 一质量为 m 的小球以垂直于杆的水平速度 v0 与杆的另一端碰 撞，碰撞后小球以速度 v反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后 细杆转动的角速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又 如何？ O
a 0 r 0 0.02(m s - 2 )
2015-4-14
phypzq@
7
刚体力学基础习题课
【例题2】计算下列刚体对O轴的转动惯量JO: O m 、l M、 R
1 2 1 J O ml MR 2 M ( l R ) 2 3 2
O
l m1、 v ) Ml
说明：对自由刚体，只有质心轴和瞬时轴的角动量可以 表示成转动惯量和角速度的乘积。
phypzq@
2015-4-14
21
刚体力学基础习题课
【例题6】如图所示，有一质量为 m、半径为R的均匀圆柱体上 绕有细绳。现在用力F 拉该圆柱体，使其从静止开始在水平面上 作纯滚动，试判断摩擦力的方向。 解：假设没有摩擦力
2015-4-14 phypzq@ 2
刚体力学基础习题课
三、刚体转动定律： 转动惯量 J 是一个新的概念，应熟练掌握其定义 和计算方法，它具有可加性。要记住几种常用的绕质 心轴的转动惯量，并会用平行轴定理和补偿原理来求 解各种复合刚体的转动惯量。
M J
解决刚体动力学问题，力的隔离体分析仍然是关 键，特别是系统中既有质点平动又有刚体转动的联 动问题，必须将牛顿定律和转动定律联合。
刚体力学基础习题课
刚体可以看成由许多质量元组成的一个系 统，在其作定轴转动的过程中各质量元的位移、 速度和加速度等线量是可以各不相同的，但是 各质量元的角位移、角速度和角加速度等角量 却是相同的。 掌握刚体运动的这种特性是解决问题的关 键，因为角量是刚体整体运动特征的描述，而 线量则是刚体上各个质量元运动的描述。
1 m孔 m 3
2 2 1 1 1 1 2 m总 R m孔 R m孔 R 2 2 2 2
13 mR 2 24
2015-4-14
phypzq@
9
刚体力学基础习题课
试计算通过均匀球壳（质量为M， 半径为R）中心轴的转动惯量
F
F macm F acm m 加速度 acm的方向为 :
P
2015-4-14
phypzq@
22
刚体力学基础习题课
1 FR mR 2 2 2F R m P 角加速度 的方向为 : a p acm R; 而 R的方向为 : R R acm 合加速度 a p 的方向为 :
试计算通过均匀球（质量为M，半径为R）中心轴的 转动惯量
I

r 2d m
z
r
分割成薄球壳： 2 dJ dm r 2 dm 4 r 2dr 3 分割成薄圆盘： 1 dJ d m r 2 dm r 2 d z 2 dz R sin d r R sin
2015-4-14
O

R
phypzq@
11
刚体力学基础习题课
试计算通过均匀平板（质量 为M，尺寸见图）中心且与 平板垂直轴的转动惯量
M dm dx b 1 dI c dm a 2 12 1 dI dm a 2 dm x 2 12 b 1 1 2 2 2 I b dm a dm x M (a 2 b 2 ) 12 12 2
2
l m 2、 2
2 2
1 l 1 l l l J O m1 m 2 m 2 3 2 12 2 2 4
2015-4-14
phypzq@
8
刚体力学基础习题课
剩余部分 的质量为 m
R
O
O
4 m总 m , 3 J 0 J1 J 2
2015-4-14
phypzq@
20
刚体力学基础习题课
若拔去钢钉，细杆成为 水平桌面上的自由刚 体，故碰撞后细杆的运 动为随质心的平动和绕 质心的转动，因此水平 方向的动量守恒和对质 心轴的角动量守恒。 O
m、v0
M、 l
v
mv0 MvC mv l l mv0 J C mv 2 2
( m 2 m1 ) g a m m m1 m 2 A B 2 2
A
T3
T3
T2
B
T1
2015-4-14
phypzq@
14
刚体力学基础习题课
【例题3】（1）计算下列刚体系统中m1、m2的加速度和绳子的 张力； （2）求m2从静止开始下降h后的速度。
( 2)、v 2ah
t 0.5s
1(rad s -1 ) 2(rad s -2 )
an 2 r 0.01(m s - 2 )
2 an 0 0 r 0.04(m s - 2 )
a r 0.02(m s - 2 )
t0
0 2(rad s -1 ) 0 2(rad s -2 )
2015-4-14
phypzq@
3
刚体力学基础习题课
四、质心运动（代表整个刚体与外界的作用及运动） 如计算轴对刚体的作用力等问题时特别有用
F ma ix Cx Fi maC F ma iy Cy
2015-4-14
phypzq@
mg T macm
mgb J
1 J mR 2 mb 2 2
R2 T mg 2 2b R 2
phypzq@
T

mg
acm b
2015-4-14
26
刚体力学基础习题课
【问题】 哟哟（yo-yo）球是20世纪90年代风行 世界的小玩具。它是在一个扁圆柱体的中间圆周 槽内紧绕一细线构成。哟哟球从静止开始释放， 下降到最低点后再自动上升。设哟哟球质量为 m，半径为R，槽圆周的半径为b（b<R），设细 线的总长度为H，质量忽略不计。求哟哟球运动 的全过程中细线所受的拉力。 哟哟球从下降变为上升的转变点处其质心速度为零。这时球绕质 心转过/2，所需时间为/2 T m(0 vC ) (mg T )t 1 1 2 2 mgH mvC J vC b mg 2 2 mvC 8 Hb mg[1 T mg ] 2 2 t ( 2b R )
m A、RA
或：用机械能守恒定律 来解 1 1 2 m2 gh m1 gh m2v m1v 2 m1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ) B ( m A R A ) A ( mB RB 2 2 2 2 v A R A B RB
m B、RB
m2
2015-4-14
2015-4-14
phypzq@
12
刚体力学基础习题课
【例题3】（1）计算下列刚体系统中m1、m2的加速度和绳子的 张力； （2）求m2从静止开始下降h后的速度。
m A、RA T1 a m1 g m2 g T2 m1
a
m B、RB
A
m2
T3
T3
T2
B
T1
phypzq@
phypzq@
15
刚体力学基础习题课
【例题4】一个质量为 m、半径为 R 的均匀薄圆盘在水平桌 面上绕中心轴转动，开始角速度为 0，当圆盘与桌面的摩擦 系数为 时，问经过多长时间才能停下来？
解：本题的关键是求出 圆盘转动过程中的摩擦 力矩 取一半径为 r、宽度为 dr的小圆环， 则小圆环受的摩擦力矩 为 dM f dmg r g 2rdr r M f
F
所以摩擦力 f的方向为 :
2015-4-14
phypzq@
23
刚体力学基础习题课
如果拉力 F 作用在离圆心 R/4 处，则摩擦力的方向又 如何？
F
P
F R 1 2 F mR ; R ; 4 2 2m R R acm ; a p : , f :
m、v0
M、 l
v
2015-4-14
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刚体力学基础习题课
解：由于质点与有转轴 的细杆，轴对杆有冲 力，故动量不守恒，但 对O点冲力矩为零，对 O点的角动量守恒 O
m、v0
M、 l
v
1 mv0l Ml 2 mvl 3 3m(v v0 ) Ml
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刚体力学基础习题课
五、刚体的机械能及守恒定律：（在计算速度 v、 升降距离 h、转过角度 和作功等问题很方便！）
刚体的动能 1 2 EK J（定轴） 2 1 1 2 2 J C mvC 2 2
刚体的势能 用质心的势能来代表 E P mghC
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刚体力学基础习题课
六、刚体的角动量及守恒定律： （质点和刚体碰撞时特别有用） ①质点和定轴刚体的碰撞，系统动量不守恒，角动 量守恒； ②质点和自由刚体的碰撞，系统动量、角动量均守 恒。
质点： L mvr 刚体： L J
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