2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用重点强化训练1函数的图像与性质教师用书文北师大版

第7讲函数的图象[考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题．2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点)3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解.1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝□07|f (x )|； ②y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝□08f (|x |)． (4)伸缩变换1．概念辨析(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(x)与y＝f(|x|)的图象相同．( )(2)函数y＝f(x)与y＝|f(x)|的图象在x轴上方的部分是相同的．( )(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(π＋x)＋f(π－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(π，0)中心对称．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )答案 A解析因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．故选A.(2)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到( )A．函数y＝f(－x－1)的图象B．函数y＝f(－x＋1)的图象C．函数y＝f(－x)－1的图象D．函数y＝f(－x)＋1的图象答案 B解析函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(－(x－1))，即y ＝f(－x＋1)的图象．(3)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．答案(2,8]解析结合图象知不等式f(x)>0的解集为(2,8]，所以函数g(x)＝log 2f(x)的定义域是(2,8]．(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．答案(－1,1]解析作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．题型一函数图象的画法作出下列函数的图象：(1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|； (3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝x 2－2|x |－1. 解 (1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由函数y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图1所示．(2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图2所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图3所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1x ≥0，x 2＋2x －1x <0的图象如图4所示．条件探究 将举例说明(4)改为y ＝|x 2－2x －1|，其图象怎样画？解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋11－2<x <1＋2，画图如图所示．函数图象的画法(1)直接法：当函数的表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．如举例说明(4)．(3)图象变换法：若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．如举例说明(1)、(2)、(3)．作出下列函数的图象：(1)y＝1x－1＋1；(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；(3)y＝10|lg x|.解(1)函数图象如图1所示．(2)函数图象如图2所示．(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，其图象如图3所示．题型 二 函数图象的辨识1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故不选A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴不选D ； ∵f ′(x )＝e x＋e－xx 2－e x －e －x 2xx 4＝x －2e x ＋x ＋2e －xx 3，∴当x >2时，f ′(x )>0，∴不选C.因此选B.2．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 解法一：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.解法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.函数图象辨识的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．1．(2018·安徽安庆二模)函数f (x )＝x ＋1|x ＋1|·log a |x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C解析 f (x )＝x ＋1|x ＋1|log a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log a －x ，x <－1，log a －x ，－1<x <0，log a x ，x >0.故选C.2．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y ＝f (x )的部分图象(在虚线范围内)，则f (x )可能是( )A ．x sin xB ．x cos xC ．x 2cos x D ．x 2sin x答案 A解析 由图象可知y ＝f (x )为偶函数．因为f (x )＝x cos x ，f (x )＝x 2sin x 都是奇函数，所以排除B ，D.由图象可知，在第一象限内，y ＝f (x )的图象在直线y ＝x 的右下方，点(2π，4π2)在f (x )＝x 2cos x 的图象上，且此点在直线y ＝x 的左上方，故排除C.所以f (x )可能是x sin x .题型 三 函数图象的应用角度1 研究函数的性质1．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则下列说法：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确说法的序号是________． 答案 ①②④解析 由已知条件，得f (x ＋2)＝f (x )， 故y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示，当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．角度2 解不等式2．(1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(2)不等式3sin π2x －log 12 x <0的整数解的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 (1)D (2)A解析 (1)因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0可化为f xx<0，即xf (x )<0.由已知得f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集即原不等式的解集为(－1，0)∪(0,1)．(2)不等式3sin π2x －log 12 x <0可化为3sin π2x <log 12 x ，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象如下图所示：结合图象可知，3sin π2x <log 12 x 的整数解为3和7，共2个．角度3 求参数的取值范围3．(1)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2.若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[－1，＋∞) (2)(0,1)解析 (1)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0<a <1.1．利用图象研究函数性质问题的思路对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明2.3．研究方程根的个数及参数的值(或范围)构造函数，转化为两函数图象交点的个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明3(2)．1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析 函数f (x )＝x |x |－2x 的定义域是R ，且f (－x )＝－x |－x |－2(－x )＝－x |x |＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，f (x )＝x |x |－2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.如图所示．函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)．2．若a ＝2x，b ＝x ，c ＝log 12 x ，则“a >b >c ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由图可知，“x >1”⇒“a >b >c ”，但“a >b >c ”⇒/ “x >1”，即“a >b >c ”是“x >1”的必要不充分条件．故选B.3．(2018·安徽皖南八校三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0，其中a >0且a ≠1，若函数f (x )的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 将f (x )在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与f (x )在y 轴右侧的图象有且只有一个交点．当0<a <1时一定满足，当a >1时必须log a 4>1，解得a <4.综上知，a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)．高频考点 高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．1．函数图象和解析式的对应问题[典例1] (2018·浙江高考)函数f (x )＝2|x |sin2x 的图象可能是( )答案 D解析 因为f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin2x ＝－f (x )，所以该函数为奇函数，排除A ，B ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0,2|x |sin2x >0，所以图象在x 轴的上方，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin2x <0,2|x |sin2x <0，所以图象在x 轴的下方．2．函数图象的应用[典例2] 已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，如图所示．故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．。

第三节函数的奇偶性与周期性知识点一函数的奇偶性1．判断正误(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x ＝a对称．(√)(3)若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ )2．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( B ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．3．(必修1P39A 组第6题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 知识点二 周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有_f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．4．判断正误(1)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ )(2)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( √ ) 5．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( D )A ．5B ．12C ．2D ．－2解析：由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0).考向一 函数的奇偶性方向1 函数奇偶性的判断【例1】 (2019·福州市一模)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan(x ＋π4) B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x【解析】 对于选项A ，易知y ＝tan(x ＋π4)为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln2－sin2，f (－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.【答案】 B方向2 函数奇偶性的应用【例2】 (1)(2019·贵阳市摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)(2)(2019·河南许昌二模)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8【解析】 (1)解法1：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e xe x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．故选A.解法2：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x＋1<1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．故选A.(2)易知f(x)的定义域为R，f(x)＝2·(2|x|＋1)＋x32|x|＋1＝2＋x32|x|＋1，设g(x)＝x32|x|＋1，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.【答案】(1)A(2)C1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.2.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.1．(方向1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( D ) A ．y ＝x ＋sin2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin2(－x )＝－(x ＋sin2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数．2．(方向2)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a (x ≥0)，g (x )(x <0)，则f (－2)的值等于－8.解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1.∴当x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (2)＝32－1＝8，因此f (－2)＝－f (2)＝－8.3．(方向2)(2019·山东省名校联盟)若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为12.解析：解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数． 考向二 函数的周期性【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50【解析】 解法1：∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，∴f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.解法2：由题意可设f (x )＝2sin(π2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2，故选C.【答案】 C(1)若f (x )的图象有两个不同的对称中心，分别为(a ，0)，(b ，0)，则2|b －a |为f (x )的周期.(2)若f (x )的图象有两条不同的对称轴，分别为直线x ＝a ，直线x ＝b ，则2|b －a |为f (x )的周期.(3)若f (x )的图象有一个对称中心(a ，0)，一条对称轴为直线x ＝b ，且a ≠b ，则4|b －a |为f (x )的周期.(2019·安徽省全国名校联考)已知函数y ＝g (x )满足g (x ＋2)＝－g (x )，若y ＝f (x )在(－2,0)∪(0,2)上为偶函数，且其解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x <2，g (x )，－2<x <0，则g (－2 017)的值为( B )A ．－1B ．0 C.12D ．－12解析：因为函数y ＝g (x )满足g (x ＋2)＝－g (x )，所以g (x ＋4)＝－g (x ＋2)＝－[－g (x )]＝g (x )，所以4是函数g (x )的周期，所以g (－2 017)＝g (－504×4－1)＝g (－1)＝f (－1)＝f (1)＝log 21＝0. 考向三 函数性质的综合应用方向1 函数的单调性与奇偶性【例4】 (2019·吉林长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)，2x －x 2(x <0)，函数g (x )＝|f (x )|－1，若g (2－a 2)>g (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)【解析】 由题可知，f (x )为单调递增的奇函数，则g (x )为偶函数，又g (2－a 2)>g (a )，因此|2－a 2|>|a |，即(2－a 2)2>a 2，利用换元法解得a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．故选D.【答案】 D方向2 函数的奇偶性、周期性、对称性【例5】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________.(2)函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．(3)(2019·四川广元市统考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1＋x )＋f (1－x )＝2，g (x )＝(x －1)3＋1，若函数f (x )图象与函数g (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 2 018，y 2 018)，则∑i ＝12 018(x i ＋y i )＝( )A ．8 072B ．6 054C ．4 036D ．2 018【解析】 (1)∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. (2)∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称， ∴f (x )是R 上的奇函数，又f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4， ∴f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2) ＝f (2 016)－f (2 016)＝0， ∴f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.(3)由题意知，函数f (x )的图象关于点(1,1)对称，函数g (x )＝(x －1)3＋1的图象也关于点(1,1)对称．故∑i ＝12 018x i ＝(x 1＋x 2 018)＋(x 2＋x 2 017)＋…＋(x 1 009＋x 1 010)＝1 009×2＝2 018，∑i ＝12 018y i ＝(y 1＋y 2 018)＋(y 2＋y 2 017)＋…＋(y 1 009＋y 1 010)＝1 009×2＝2 018，所以∑i ＝12 018 (x i ＋y i )＝∑i ＝12 018x i ＋∑i ＝12 018y i ＝2×2 018＝4 036.故选C.【答案】 (1)－2 (2)4 (3)C(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.1．(方向1)(2019·河北八校一模)设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( C )A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝0，在(0，＋∞)内是减函数．若xf (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0＝f (2)或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )>0＝f (－2).根据f (x )在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内是减函数，解得：x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.2．(方向2)(2019·四川成都七中一诊)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x＋1)是偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x (3－2x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫312＝( C )A.12 B ．－12 C ．－1D ．1解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期是4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫312＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4×4－12＝f －12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·(3－1)＝－1，故选C.3．(方向2)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( D )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)解析：∵y ＝f (x ＋4)为偶函数，∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称，∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)．又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数，∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6)．奇、偶函数的一组性质及其应用函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出．这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐．若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果．笔者撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用．性质1 若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c .简证 由于函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以g (－x )＋g (x )＝f (－x )＋c ＋f (x )＋c ＝2c .典例1 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4【解析】 设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数． 又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3.故选C.【答案】 C典例2 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值、最小值分别为M ，N ，则M ＋N ＝________.【解析】 f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝2x ＋sin x x 2＋1＋1.设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则f (x )＝g (x )＋1，且函数g (x )为奇函数．对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即[g (x )]max ＋[g (x )]min＝0，而M ＝[g (x )]max ＋1，N ＝[g (x )]min ＋1，所以M ＋N ＝2.【答案】 2性质2 若函数f (x )是奇函数，则函数g (x )＝f (x －a )＋h 的图象关于点(a ，h )对称．简证 函数g (x )＝f (x －a )＋h 的图象可由f (x )的图象平移得到，不难知结论成立．典例3 (2019·武汉市调研)函数f (x )＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3的对称中心为( )A ．(－4,6)B ．(－2,3)C ．(－4,3)D ．(－2,6)【解析】 设g (x )＝－1x －1－1x －1x ＋1.则g (－x )＝－1－x －1－1－x －1－x ＋1＝1x －1＋1x ＋1x ＋1＝－g (x )， 故g (x )为奇函数．易知f (x )＝3－(1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3)＝g (x ＋2)＋3，所以函数f (x )的对称中心为(－2,3)．故选B.【答案】B典例4设α，β分别满足方程α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，则α＋β＝________.【解析】设g(x)＝x3＋2x，则g(x)为单调递增的奇函数．设f(x)＝x3－3x2＋5x，则f(x)＝g(x－1)＋3，故f(x)关于点(1,3)中心对称．观察题目条件α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，知f(α)＝4，f(β)＝2.所以f(α)＋f(β)＝6，则点(α，4)与点(β，2)关于点(1,3)对称，故α＋β＝2.【答案】2性质3若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．简证当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)．综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．典例5设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x 的取值范围是()A．(1 3，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞) C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)．【解析】 易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数． 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1.故选A.【答案】 A典例6 已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]【解析】 因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，则|ax ＋1|≤|x －2|＝2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，由x －2≤ax ＋1得a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．【答案】D。

2．7 函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|； ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A1P 75T 10)函数y ＝lg |x －1|的图象大致为( )答案 B解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1 C．e－x＋1 D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )答案 C解析 由函数的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，y ＝1＋b >0，且过定点(0,1＋b )．故选C.题型1 函数图象的画法典例1作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.用图象变换作图．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．用数形结合法．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，所以abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．见冲关针对训练(1)．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．见典例1. 3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x ＝10lg 1x＝1x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x根据图象奇偶性及变化趋势用排除法．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法，导数法．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．见角度1典例．2．由解析式确定函数图象的判断技巧：(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合，故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x答案 C解析 A 中，∵y ＝2x－x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x－x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，当x >0时，y ＝2xsin x 4x ＋1有无数个零点，与图象不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.题型3 函数图象的应用角度1 利用函数图象求解不等式(多维探究)典例(2015·北京高考)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}用数形结合法．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.[条件探究] 若本例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例(2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8根据函数周期性用数形结合．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．见角度1典例．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．见冲关针对训练1.冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)，故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C. 如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4，故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ∈(0,1]，故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x 2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x 2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A 、B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由于f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B 、D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，所以选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。

2．1 函数及其表示[知识梳理]1．函数与映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．必记结论函数与映射的相关结论 (1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． (2)映射的个数若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合A 到集合B 的映射共有n m个． (3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． [诊断自测] 1．概念思辨(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( ) (4)f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2(x ≥－1)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 23T 2)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案 C解析 由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.(2)(必修A1P 18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 项，函数g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝x ＋1的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≥0，解得x ≥1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1}．由x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，即g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选A.3．小题热身(1)(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 因为f (1)＝－2，所以f (－2)＝－2.故选C.题型1 函数的概念典例1 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x用定义法．答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．故选C.典例2 (2018·秦都区月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( ) ①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；④f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5. A ．①② B ．②③ C ．③ D ．③④用定义法．答案 C解析 对于①，y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3＝x －5(x ≠－3)，与y 2＝x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数；对于②，f (x )＝x ，与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，不是同一函数；对于③，f (x )＝x (x ∈R )，与g (x )＝3x 3＝x (x ∈R )的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于④，f 1(x )＝(2x －5)2＝2x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥52，与f 2(x )＝2x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数． 综上，以上是同一函数的是③.故选C. 方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．见典例1.2．两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．见典例2.冲关针对训练1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．故选C.2．下列函数中一定是同一函数的是________．答案 ②③解析 ①y ＝x 与y ＝a log a x 定义域不同； ②y ＝2x ＋1－2x ＝2x (2－1)＝2x相同；③f (u )与f (v )的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.题型2 函数的定义域典例1 (2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]列不等式组求解．答案 C解析 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，(x －3)(x －2)x －3>0，解之得2<x <3或3<x ≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.典例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 已知f (x )，x ∈[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，则a <g (x )<b .答案 B解析 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.故选B. [结论探究] 典例2中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域． 解 函数f (3x ＋1)有意义，需－1<3x ＋1<0，解得－23<x <－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1<x <－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.[条件探究] 若典例2中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解 因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，所以－2<x －1<－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2<2x ＋1<－1，解得－32<x <－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.方法技巧1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．见典例1. (2)抽象函数(见典例2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．冲关针对训练1．(2017·临川模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 D解析 由y ＝f (x ＋1)定义域[－2,3]得y ＝f (x )定义域为[－1,4]，所以－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52.故选D.2．(2018·石河子月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，则y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，1) D ．(－∞，2) 答案 A解析 ∵函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)， ∴y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2中，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，2－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x ≤2，x ≠－12或x ≠2，即x <2且x ≠－12，∴f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.故选A. 题型3 求函数的解析式典例1 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．配凑法．解 f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，故f (x )＝x 2－2，且x ≤－2或x ≥2.典例2 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．换元法．解 令t ＝2x ＋1>1，得x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．典例3 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．待定系数法．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．典例4 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )． 方程组法．解 由f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，消掉f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，可得f (x )＝23x ＋13.方法技巧函数解析式的常见求法1．配凑法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．见典例1.2．待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，见典例3. 3．换元法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．见典例2.4．方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (－x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．见典例4.冲关针对训练1．(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (e)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．e 答案 A解析 根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1，则f (e)＝ln e ＋1＝2.故选A.2．已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )． 解 解法一：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，求f (x )． 解 (消元法)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，① 以1x代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x－1，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x－1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).题型4 求函数的值域角度1 分式型典例 求f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域． 分离常数法．解 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.角度2 根式型典例 求函数的值域． (1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法．解 (1)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]． 角度3 对勾型函数典例 求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域．用分类讨论法．解 y ＝log 3x ＋log x 3－1，变形得y ＝log 3x ＋1log 3x－1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”．②当log 3x <0，即0<x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 角度4 单调性型典例函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)本题用复合函数“同增异减”的单调原则．答案 A解析 根据对数函数的定义可知，真数3x＋1>0恒成立，解得x ∈R . 因此，该函数的定义域为R ，原函数f (x )＝log 2(3x＋1)是由对数函数y ＝log 2t 和t ＝3x＋1复合的复合函数， 由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的． 根据指数函数的性质可知，3x>0，所以，3x＋1>1， 所以f (x )＝log 2(3x＋1)>log 21＝0，故选A. 角度5 有界性型典例 求函数y ＝1－2x1＋2x 的值域． 本题用转化法．解 由y ＝1－2x1＋2x可得2x＝1－y 1＋y . 由指数函数y ＝2x的有界性可知2x>0， ∴1－y1＋y>0，解得－1<y <1. 所以函数的值域为(－1,1)． 角度6 数形结合型典例 求函数y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的值域．本题用数形结合法．解 函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，如图，∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.方法技巧求函数值域的常用方法1．分离常数法(见角度1典例) 2．配方法3．换元法(见角度2典例) (1)代数换元； (2)三角换元．4．有界性法(见角度5典例) 5．数形结合法(见角度6典例) 6．基本不等式法(见角度3典例) 7．利用函数的单调性(见角度4典例)冲关针对训练 求下列函数的值域：解(2)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以y ∈[10，＋∞).题型5 分段函数角度1 求分段函数的函数值典例 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12确定自变量所在区间，代入相应解析式．答案 C解析 ∵－2<1，log 212>1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；f (log 212)＝2log212－1＝2log26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 角度2 求参数的值典例 (2018·襄阳联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f [f (14－a )]＝________.本题用方程思想求a ，再根据区间分类讨论，由内到外逐步求解．答案 －158解析 当a ≤1时，f (a )＝2a－2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，解得a ＝7，所以f [f (14－a )]＝f [f (7)]＝f (－3)＝2－3－2＝－158.角度3 分段函数与不等式的交汇典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法．答案 D解析 由题意作出y ＝|f (x )|的图象：由图象易知，当a >0时，y ＝ax 与y ＝ln (x ＋1)的图象在x >0时必有交点，所以当a ≤0，x ≥0时，|f (x )|≥ax 显然成立；当x <0时，要使|f (x )|＝x 2－2x ≥ax 恒成立， 则a ≥x －2恒成立，又x －2<－2，∴a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0.故选D. 方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1．求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，见角度1.求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．见角度2典例．2．求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．见角度2典例． 3．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．4．数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准．见角度3典例．冲关针对训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2] 答案 D解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]．故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2018)＝________.答案 1008解析 根据题意：f (2018)＝f (2016)＋1＝f (2014)＋2＝…＝f (2)＋1008＝f (0)＋1009＝1008.1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C. 2．(2018·河北名校联盟联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.故选A.3．(2018·工农区模拟)函数y ＝x ＋1－1－x 的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．[0， 2 ] C ．[－2， 2 ] D ．[－2，0]答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1,1]，根据函数的解析式，x 增大时，x ＋1增大，1－x 减小，－1－x 增大，所以y 增大，即该函数为增函数．所以最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (1)＝2， 所以值域为[－2，2]．故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B.89 C ．－2716D ．18 答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝15t 15 (t >0)，∴f (t )＝lg t 15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a 2≤x ≤1－a2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1 C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23.故选C.二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )＝log a [(x ＋2)(4－x )]，x ∈[0,3]．令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)， 若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13. 16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2.(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值． 解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2， 故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。

第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

重点强化课(一) 函数的图像与性质[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图像的应用已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34A [画出函数f (x )的图像，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图像(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1. 12分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k |x |的图像恰有两个交点，借助函数图像(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2. 12分[规律方法] 1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．图1(－1,0)∪(1，2] [由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x ，在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·南昌二模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)＜f (log 25) B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 25)＜f (log 53)C ．f (log 53)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 25) D ．f (log 25)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)(2)(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)D (2)C [(1)因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)，而log 53＜log 35＜log 25，则根据f (x )在[0，＋∞)上是递减函数，得f (log 53)＞f (log 35)＞f (log 25)，即f (log 25)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)，故选D.(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f (x )＝a sin2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.－3 [令g (x )＝a sin2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图像与性质的综合应用(1)(2017·郑州二检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f(x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482084】A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)(1)D (2)C [(1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2，由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0的图像如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图像与函数f (x )＝x ＋a 的图像有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] (2017·云南二次统一检测)已知f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (3＋2x )＝f (7－2x )，若f (x )＝0恰有n 个不同实数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n ＝________.15 [由f (3＋2x )＝f (7－2x )得函数f (x )的图像关于直线x ＝5对称，则f (x )＝0的n 个实根的和为5n ＝75，解得n ＝15.]。