2015年北京市丰台区高三二模数学(理)试题Word版带解析

2015丰台区高三二模数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B=（）A．{x|x＜0或x≥1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞1}D．{x|x＞0}2．（5分）“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=的所有零点的和等于（）A．1﹣2πB．1﹣ C．1﹣πD．1﹣5．（5分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A．6 B．C．3 D．6．（5分）平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，如果=+，=﹣3，D 是BC的中点，那么||=（）A．B．2C．3 D．67．（5分）某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：产品名称A B C天产值（单位：万元）42则每周最高产值是（）A．30 B．40 C．47.5 D．52.58．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l 交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A．4 B．3C．4D．8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是．10．（5分）直线l的斜率是﹣1，且过曲线（θ为参数）的对称中心，则直线l的方程是．11．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是；如果f（x）的导函数是f′（x），则f′（）=．12．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．13．（5分）如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA=，AC=．14．（5分）已知非空集合A，B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=?；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A=；（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A=30°，BC=2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（Ⅰ）求cos∠BCD的值；（Ⅱ）求边AC的长．16．（13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．17．（14分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；（Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（Ⅲ）设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ，当|cosθ|=时，求CM的长．18．（13分）已知数列{a n}满足a1=10，a n=（n∈N*），其前n项和为S n．（Ⅰ）写出a3，a4；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求S n的最大值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x 轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当k∈N*且k≥2时，ln＜+++…+＜lnk．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由集合B中的不等式x2﹣2x＜0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，又A={x|x＞1}，则A∪B═{x|x＞0}，故选：D2．【解答】依题意，复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，?a=0且b≠0，是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，∴“a=0”故选B．3．【解答】直线y=x+4与曲线y=x2﹣x+1所围成的封闭图形如图阴影部分，两个交点分别为（﹣1，3），（3，7），其面积为==（）|=；故选：C．4．【解答】当x≥0时，f（x）=﹣1=0，解得x=1，当﹣2π≤x＜0时，f（x）=2cosx﹣1=0，解得cosx=，x=﹣，或x=﹣，∴1﹣﹣=1﹣2π所以所有零点的和等于1﹣2π，故选：A5．【解答】根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图为三角形，其面积为×2×3=3．故选：C．6．【解答】由已知，=+，=﹣3，D 是BC的中点，那么=（）=（2）=；又平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，所以（）2==1+4﹣2×1×2×cos=3，所以||=；故选：A．7．【解答】设每周生产A产品x吨，B产品y吨，则生产C产品15﹣x﹣y吨，产值为z．目标函数为z=4x+y+2（15﹣x﹣y）=2x+y+30，题目中包含的约束条件为：，即可行域如图所示：化目标函数z=2x+y+30为．由图可知，当直线过B（0，15）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：D．8．【解答】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】由正实数x，y满足xy=3，得到y=，所以2x+y=2x+．当且仅当x=时取等号．所以2x+y的最小值是．故答案为：．10．【解答】根据曲线（θ为参数），得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，其对称中心为（2，3），根据点斜式方程，得y﹣3=﹣（x﹣2），∴直线l的方程x+y﹣5=0，故答案为：x+y﹣5=0．11．【解答】函数f（x）=sin2x+cos2x=sin2x+?=sin（2x+）+，故函数f（x）的周期为=π，f（x）的导函数是f′（x）=2cos（2x+），故f′（）=2cos=﹣1，故答案为：π；﹣1．12．【解答】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…+ +的值．由于S=+++…++=1﹣+++…+=1﹣=．故答案为：．13．【解答】由题意，PD=DE=2，∵PA是⊙O的切线，∴由切割线定理可得PA2=PD?PB=2×8=16，∴PA=4，∵PB⊥PA，∴AE=4，由相交弦定理可得CE===，∴AC=AE+CE=5．故答案为：4；5．14．【解答】（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，若A={1}，则不满足条件．③，若A={2}，则B={1，3，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={3}，则B={1，2，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={4}，则B={1，2，3，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={5}，则B={1，2，3，4，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={6}，则B={1，2，3，4，5，7}，含有6个元素，满足条件．若A={7}，则B={1，2，3，4，5，6}，含有6个元素，不满足条件④．故A={6}；（ⅱ）若集合A中只有1个元素，则集合B中只有6个元素，则1?A，6?B，即6∈A，1∈B，此时有=1，若集合A中只有2个元素，则2?A，5?B，即5∈A，2∈B，则有=5，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有4个元素，则3?A，4?B，即4∈A，3∈B，此时有=10，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有3个元素，则4?A，3?B，即3∈A，4∈B，此时有=10，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有2个元素，则5?A，2?B，即2∈A，5∈B，此时有=5，若集合A中只有6个元素，则集合B中只有1个元素，则6?A，1?B，即1∈A，6∈B，此时有=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+5+10+10+1=32，故答案为：{6}；32三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵BC=2，CD=2，S△BCD=BC?CD?sin∠BCD=4，∴sin∠BCD=．∵∠BCD为锐角，∴cos∠BCD==；（Ⅱ）在△BCD中，CD=2，BC=2，cos∠BCD=，由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD?BC?cos∠BCD=4+20﹣8=16，即DB=4，∵DB2+CD2=BC2，∴∠CDB=90°，即△ACD为直角三角形，∵A=30°，∴AC=2CD=4．16．【解答】（Ⅰ）A班样本数据的平均值为（9+11+13+20+24+37）=19，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+36）=22，由此估计B班学生每周平均上网时间22小时．…（2分）（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为P=═．…（5分）（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==．ξ的分布列是：ξ01234PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四边形．所以A1B1∥AB．因为A1B1?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以A1B1∥平面ABCD．因为平面A1BO∩平面ABCD=l，所以l∥A1B1．所以l∥AB．（Ⅱ）因为DB⊥AC于O，如图建立空间直角坐标系．因为AA1=4，且OC=2AO=4，所以O（0，0，0），C（4，0，0），A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，4）．因为M是棱CC1中点，所以M（4，0，2）．设D（0，b，0），所以=（4，﹣b，2），=（﹣2，0，4）．所以?=﹣8+0+8=0．所以A1O⊥DM．（Ⅲ）设D（0，b，0），B（0，c，0），平面A1BD的法向量为=（x，y，z），又因为，，所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=2，所以=（2，0，1）．设M（4，0，h），所以=（﹣4，b，﹣h），．设平面MBD的法向量为=（x，y，z），所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=，所以=（，0，1）．又因为|cosθ|=，所以|cos＜＞|=，即==．解得h=3或h=．所以点M（4，0，3）或M（4，0，）．所以CM=3或CM=．18．【解答】（Ⅰ）因为a1=10，所以a2==210，a3=﹣1+log2a2=﹣1+log2210=9，a4=29．（Ⅱ）当n为奇数时，a n=﹣1+log2a n﹣1=﹣1+log2=a n﹣2﹣1，即a n﹣a n﹣2=﹣1．所以{a n}的奇数项成首项为a1=10，公差为﹣1的等差数列．所以当n为奇数时，a n=a1+（）?（﹣1）=当n为偶数时，a n===所以a n=（k∈N*），（Ⅲ）因为偶数项a n=＞0，奇数项a n=为递减数列，所以S n取最大值时n为偶数．令a2k+a2k﹣1≥0（k∈N*），即211﹣k+≥0．所以211﹣k≥k﹣11．得k≤11．所以S n的最大值为S22=（210+29+...+21+20）+（10+9+ 0=+（1+10）×10=2102．19．【解答】（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b=c=，a==2，所以椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P（x0，y0），T（t，0），PM中点为S．因为PM⊥l于点M（M，N不重合），且∠PTN的平分线过S，所以∠PTS=∠STN=∠PST．又因为S为PM的中点，所以|PT|=|PS|=|PM|．即=|x0﹣4|．因为点P在椭圆C上，所以y02=3（1﹣），代入上式可得2x0（1﹣t）+（t2﹣1）=0．因为对于任意的动点P，∠PTN的平分线都过S，所以此式对任意x0∈（﹣2，2）都成立．所以，解得t=1．所以存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，此时定点T的坐标为（1，0）．20．【解答】（Ⅰ）函数f（x）=（a＞0）的定义域为{x|x＞0}．∵f（x）=，∴f′（x）=；∵a＞0，且当f′（x）=0时，x=；当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上单调递减．所以当x=时，f（x）max=f（）=a．（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当0＜b＜1时，方程lnx+1=bx有两解；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得≤1，即1﹣x≤ln，（当x=1时，等号成立）；则1﹣＜ln2，1﹣＜ln，…，1﹣＜ln，则当k∈N且k≥2时，+++…+＜lnk；由（Ⅰ）得≤1，即lnx≤x﹣1，（当x=1时，等号成立），则ln＜﹣1，ln＜﹣1，…ln＜﹣1，则当k∈N且k≥2时，ln＜ln＜+++…+；综上所述，当k∈N且k≥2时，ln＜+++…+＜lnk．。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知，，则（）(A)或 (B) (C)或 (D)【答案】B考点：集合的运算2.“a=0”是“复数 (a，b∈R)为纯虚数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A考点：复数的概念、充要条件的判断3.直线与曲线所围成的封闭图形的面积为(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】试题分析：由题所给直线与曲线围城封闭图形的面积如图所示，根据定积分计算即可;由题令=x+4,可得x=-1或x=3,则如图所示的封闭图形的面积为.故选C考点：定积分求面积4.函数的所有零点的和等于(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】试题分析：由题分段计算对应零点，然后相加即可；由题令，所以x=1;令故所以零点之和为，故选A考点：函数零点计算5.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)(C) 3 (D)【答案】C【解析】试题分析：根据所给三视图的正视图与俯视图不难得到三棱锥的几何模型如图所示，然后计算即可.由题作出几何体的立体图形如图所示，易知其左视图的三角形面积为。

故选C考点：三视图求面积6.平面向量与的夹角是，且，，如果，，D是BC的中点，那么(A) (B) (C) 3 (D) 6【答案】A【解析】试题分析：由题根据所给向量求得向量，然后通过求模方得到其模值.与的夹角是，且，，，又∵D为边BC的中点，，故选A考点：平面向量数量积运算7.某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5【答案】D【解析】试题分析：由题设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x，y，z台，则x+y+z=15, ,总产值为．本题可以从三个式子入手，通过消元将s=变成关于z的函数求时的最大值．设每周生产A、B、C三种产品分别为x，y，z吨，则x+y+z=15, , 总产值为．令s=,联立x+y+z=15,可得，所以s= ,所以最高产值为52.5，故选D考点：简单的线性规划8.抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，与准线交于点，且于，如果，那么的面积是A.4B.C.D.8【答案】C【解析】试题分析：先判断△AKF为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边△AKF的边长AK=m+1的值，△AKF的面积可求；由抛物线的定义可得AF=AK，∵AF的斜率等于，，∴AF的倾斜角等于60°，∵AK⊥l，∴∠FAK=60°，故△AKF为等边三角形．又焦点F（1，0），AF的方程为设，∴m=3，故等边三角形△AKF的边长AK=m+1=4，∴△AKF的面积是故选C考点：抛物线的性质9.已知正实数，满足，则的最小值是．【答案】【解析】试题分析：由题根据xy=3可得然后根据运用均值不等式可得最小值.由题可得 .当且仅当时，等号成立. 考点：均值不等式10.直线l的斜率是-1，且过曲线（为参数）的对称中心，则直线l的方程是．【答案】x+y-5=0.【解析】试题分析：由题根据所给圆参数方程得到其圆心坐标，然后不难得到直线方程；由题所给圆的圆心坐标为（2,3），所以直线l的方程为y-3=-(x-2),及x+y-5=0.考点：圆的参数方程11.已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则．【答案】，1【解析】试题分析：由题根据三角函数公式化简f(x)，然后求导不难得到所求函数值；由题，.考点：三角函数图像和性质、导数的计算12.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．【答案】【解析】试题分析：由题意可知，该程序的作用是求解的值，然后利用裂项求和即可求解；由题意可知，该程序的作用是求解的值，而考点：程序框图13.如图所示，△内接于⊙O，PA是⊙O的切线，，，则PA=_____，AC= ．【答案】4，【解析】试题分析：由题过O作与F,连接OB,根据条件易知BF=3，OB=CA=OF=5，所以OF=4，所以PA=OF=4，在三角形APE中不难得到AE的长，然后根据相交弦定理可得AC.由题过O作与F,连接OB,根据条件易知BF=3，OB=CA=OF=5，所以OF=4，所以PA=OF=4，在三角形APE中，易知AE= , .考点：平面几何选讲14.已知非空集合A,B满足以下四个条件：①；②；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合中只有1个元素，那么______；（ⅱ）有序集合对（，）的个数是______．【答案】；32【解析】试题分析：由题根据所给新定义满足的条件进行分析即可解决问题.（ⅰ）易知A=；（ⅱ）由题根据A中的元素进行分类，那么不难得到（A,B）的有序实数对为 .考点：新定义，组合数，集合的概念二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在△中，，，点在边上，且为锐角，，△的面积为4．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求边AC的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据所给条件结合三角形面积公式不难得到，然后求得对应的余弦值；（Ⅱ）在中，根据余弦定理可得，得到，所以三角形为直角三角形，进而求得AC.试题解析：（Ⅰ）因为，所以．因为为锐角，所以．……………………6分（Ⅱ）在中，因为，所以．因为，所以．所以为直角三角形．因为，所以，即．……………………13分考点：三角形面积公式、余弦定理16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）19,22；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据所给茎叶图的数据不难得到其对应的平均值；（Ⅱ）由题根据所给数据从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）由题的可能取值为0，1，2，3，4，然后分别求得对应的概率，根据期望公式计算即可;试题解析：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为，由此估计B班学生每周平均上网时间22小时．……………………2分（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为． (5)分（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4．，，，，．的分布列是：．……………………13分考点：茎叶图、简单随机抽样、老三随机变量的期望17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱中，底面，于,且，点是棱上一点．（Ⅰ）如果过，，的平面与底面交于直线，求证：；（Ⅱ）当是棱中点时，求证：；（Ⅲ）设二面角的平面角为，当时，求的长．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据是平行四边形可得，然后得到平面，根据平面平面，可得，所以；（Ⅱ）根据于，如图建立空间直角坐标系，根据，且，得到，，，，进而得到，，根据平面向量坐标运算不难证明；（Ⅲ）设，，平面的法向量为，平面的法向量为，求得法向量，根据向量夹角公式不难夹角问题.试题解析：（Ⅰ）因为是棱柱，所以是平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面平面，所以．所以．………………4分（Ⅱ）因为于，如图建立空间直角坐标系．因为，且，所以，，，．因为是棱中点，所以．设，所以，．所以．所以．……………………8分（Ⅲ）设，，平面的法向量为，又因为，，所以．因为，所以，令，则，所以．设，所以，．设平面的法向量为，所以．因为，所以，令，则，所以．又因为，所以，即．解得或．所以点或．所以或．……………………14分考点：线面与线线平行判定与性质、利用空间向量求垂直与距离18.（本小题共13分）已知数列满足，，其前项和为．（Ⅰ）写出，；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）9,512；（Ⅱ）；（Ⅲ）2102.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据，结合所给条件逐一计算得到，；（Ⅱ）当为奇数，偶数时，分别求解对应的通项公式即可；（Ⅲ）由题偶数项，奇数项为递减数列，所以取最大值时为偶数．令()，得，所以的最大值为 .试题解析：（Ⅰ）因为，所以，，．……………………3分（Ⅱ）当为奇数时，，即．所以的奇数项成首项为，公差为的等差数列．所以当为奇数时，．当为偶数时，，所以……………………10分（Ⅲ）因为偶数项，奇数项为递减数列，所以取最大值时为偶数．令()，即．所以．得．所以的最大值为．……………………13分考点：数列的递推公式，数列的函数性质19.（本小题共14分）已知椭圆：的焦距为，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆上，直线：与x轴交于点N，于点（，不重合），试问在x轴上是否存在定点，使得的平分线过中点，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点(1,0).【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据所给条件可得椭圆焦距，所以，根据两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形得到，进而求得椭圆标准方程；（Ⅱ）假设存在点，使得的平分线过中点，设，，的中点为，根据于点（，不重合），且的平分线过，可得，得到对任意都成立，所以，然后求得对应的点的坐标即可；试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的焦距，所以．因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以，．所以椭圆C的标准方程为．……………………4分（Ⅱ）假设存在点，使得的平分线过中点．设，，的中点为．因为于点（，不重合），且的平分线过，所以．又因为为的中点，所以．即．因为点在椭圆上，所以，代入上式可得．因为对于任意的动点P，的平分线都过，所以此式对任意都成立．所以，解得．所以存在定点，使得的平分线过中点，此时定点的坐标为．……………………14分考点：椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的关系20.（本小题共13分）已知函数 ().（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）如果关于的方程有两解，写出的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当且时，．【答案】（Ⅰ）时，；（Ⅱ）；（Ⅲ）略.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得，然后对参数a讨论得到函数的单调区间，进而得到函数的最大值；（Ⅱ）易知当时，方程有两解；（Ⅲ）根据（Ⅰ）得，变形得，当等号成立．得到当且时，，由（Ⅰ）得，变形得，当等号成，得到当且时，，进而证明问题；试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为．因为，所以．因为，所以当时，．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，．……………………6分（Ⅱ）当时，方程有两解．……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得，变形得，当等号成立．所以，，……，所以得到当且时，．……………………10分由（Ⅰ）得，变形得，当等号成立．所以，，，……，所以得到当且时，．又因为，所以当且时，．……………………13分考点：利用导数研究函数的性质、不等式的性质。

北京各区二模理科数学分类汇编解析(2015届西城二模)10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．答案：x y 22,26±= (2015届西城二模)19．（本小题满分14 分）设F 1、F 2分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2．⑴ 若椭圆E 的离心率为26，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F 1，证明：|OP|>则219．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且6c a =……………… 2分 解得3a =1b =，2c = ……………… 4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =--设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ……………… 6分直线2F P 的斜率20F Py k x c =-，所以直线2F P 的方程为0()y y x c x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)Q y cx c--， 所以直线1F Q 的斜率为1F Qy k c x =-， ……………… 8分因为以PQ为直径的圆经过点1F ， 所以11PF F Q ⊥.所以1100001F P F Qy yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ……………… 10分化简，得22200(24)y x a =--， ○1又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ……………… 12分所以2222200||1(2)22OP x y a =+=-+， ……………… 13分 因为22242a b a +=<，所以22a >，所以||2OP >. ……………… 14分(2015届海淀二模)答案：(2,)+∞(2015届海淀二模)（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.a c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a =，2b c == ………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠）， 0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --.………………10分所以0000002(,)(,)22Q Q y x yQM x y x x x =--=--++,0000002(,)(,)22Q Q y x yQN x y x x x =---=----.所以222222000002200(42)2042Qx y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--. 所以QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以20284221k x k --=+，即2022421k x k -=+.所以02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++.所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x=得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--，01(,)Q QN x y k=--.所以22220000121(2)()2QQ k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅.因为2200242,21Q kx y y k +==+，所以 0QM QN ⋅=.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分(2015届东城二模)（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．答案：552(2015届东城二模) （19）（本小题共13分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在xC上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．（19）（共13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知222,,224,a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+． 所以222284(,)1414k kM k k -++．||AM ===．||AN =228(1)||||14k AM AN k +==+．设直线OP 的方程为：y kx =．由2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分(2015届丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x=与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．(2015届昌平二模) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l=:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点.（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k=，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以0212≠-x x .所以2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=-. ……………9分 (ii) 证明：0k=时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ，直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BMy n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n nQ n n --++. 因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分。

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则AB =(A){0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >【答案】D【解析】 {}2{20}|02B x x x x x =-<=<<，所以AB ={0}x x >，故选D【考点】 集合运算 【难度】 12．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数等价于0a =且0b ≠，所以“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的必要不充分条件，故选B 【考点】 充条件与必要条件 【难度】 23．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A)223(B)283(C)323(D)343【答案】C【解析】如图，联立方程241y x y x x =+⎧⎨=-+⎩解得(1,3)A -，(3,7)B 所以梯形ABCD 的面积为(37)4202+⨯= 阴影部分面积为32323111128(1)()|323x x dx x x x ---+=-+=⎰ 所以封闭图形面积为28322033-=，故选C【考点】 定积分 【难度】 34．函数1,0,()2cos 1,20x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π (D) 12π-【答案】A【解析】 当0x ≥时，由()0f x =得10x -=，所以1x =；当20x π-≤<时，由()0f x =得2cos 10x -=，所以1cos 2x =，所以53x π=-或3x π=-所以，所有零点之和为511233πππ--=-，故选A 【考点】 分段函数；方程与零点 【难度】 25．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3 (D) 23【答案】C【解析】三棱锥的左视图如图所示，其中底边长为2，高为3，所以面积为12332⨯⨯= ，故选C【考点】 三视图与直观图 【难度】 36．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1=a ，2=b ，如果AB =+a b ，3AC =-a b ，D 是BC 的中点，那么AD =(A)3 (B) 23(C) 3 (D) 6【答案】A【解析】11()(3)22AD AB AC =+=++-=-a b a b a b所以222()21212cos 433AD π=-=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=a b a b a a b b ，故选A【考点】 平面向量线性运算；平面向量数量积 【难度】 37．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共俯视图正视图3221315吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：产品名称 ABC 天121314产值（单位：万元）4722则每周最高产值是 (A) 30 (B) 40(C) 47.5(D) 52.5【答案】D【解析】 设A ，B 两种产品分别生产x ，y 吨，则C 产品生产15x y --吨依题意应有1115523400x y x y x y --⎧++≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩即315000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩每周产值7342(15)23022z x y x y x y =++--=++作出可行域如图， 目标函数32302z x y =++变形为42(3033y x z =-+-），作直线43y x =-，平移直线，当直线过点(0,15)A 时，z 取得最大值，最大值为max 3153052.52z =⨯+=，故选D【考点】 线性规划 【难度】 38．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是(A) 4 (B) 33(C) 43(D) 8【答案】C【解析】如图：因为||||AF BF =，所以F 为AB 中点，因为AK l ⊥，所以24AK p ==，所以A 点横坐标为3，代入抛物线得23y = 所以114234322A AKF AK y =⨯⨯=⨯⨯=△， 故选C 【考点】 抛物线 【难度】 3第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ． 【答案】【解析】2x y +≥=2x y =时等号成立），所以2x y +的最小值是。

丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习高三数学（理科）2015.31． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为（ ） (A) (1,1)- (B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】A 【解析】277212542525=1342525i i i i ii i ++---===-+()(3-4i ）(3+4i)(3-4i ） 故选A2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或2【难度】1 【考点】等比数列 【答案】B 【解析】22342()2()4a a a q q q q +=+=+=，解得：12q q ==-或 故选B3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 【难度】1 【考点】双曲线 【答案】C 【解析】由题意得：22232ba c abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得：221,3a b ==所求双曲线的方程为：2213y x -= 故选C4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）(A) 7(B)10(C) 11(D) 16【难度】2【考点】算法与程序框图 【答案】C 【解析】程序执行过程如下： 开始，输入5n =，1m =，1S =，满足条件m n <，进入循环体； 2S =，2m =，满足条件m n <，进入循环体； 4S =，3m =，满足条件m n <，进入循环体； 7S =，4m =，满足条件m n <，进入循环体； 11S =，5m =，不满足符合条件m n <，跳出循环体；输出11S =，结束。

北京市2015届高三5月各区二模数学试题合集目录一、北京市东城区2015年高三二模数学（理科)试卷二、北京市东城区2015年高三二模数学（文科)试卷三、北京市西城区2015年高三二模数学（理科)试卷四、北京市西城区2015年高三二模数学（文科)试卷五、北京市昌平区2015年高三二模数学（理科)试卷六、北京市昌平区2015年高三二模数学（文科)试卷七、北京市海淀区2015年高三二模数学（理科)试卷八、北京市海淀区2015年高三二模数学（文科)试卷7 83 5 5 72 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）23sin()6π-= （A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）32（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011l 1l 2OM (p ,q )第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1()nx x-的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ．（14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．GDEBCFA三、解答题（共6小题，共80分。

丰台区 2015 年高三年级第二学期一致练习（二）2015.5高三数学 （文科）第一部分（选择题共 40 分）选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1. 复数 i(1 i) 对应的点在(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2. 已知 a0 且 a 1 ，命题“x>1， log a x0 ”的否认是(A) x ≤ 1， log a x 0(B) x>1， log a x 0 (C)x ≤ 1， log a x(D)x>1， log a x3． 已知函数 f ( x) sin x ， x1 的全部根的和等于[ 2 ,2 ] ，则方程 f ( x)2(A) 0(B) π (C) -π(D) - 2π4. 如下图，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2 的正三角形，则其左视图面积为(A) 2(B)3(C)332(D)2开始输入 xf ( x) x2x 1g( x) x4正视图是g ( x)f (x)h( x) f ( x)否h( x)g ( x)俯视图输出 h( x)结束5．履行如下图的程序框图，假如输入的x R ，则输出的h(x)的最小值是3(B) 3(C) 4(D) 7(A)46F 是抛物线y x2的焦点， A 是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹．设 O 是坐标原点，角为，则6|AF |13(C) 1(D) 23(A)(B)247．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用 A 原料 3 吨，B 原料2 吨；生产每吨乙种产品要用 A 原料 1 吨， B 原料 3 吨．该工厂每日生产甲、乙两种产品的总量许多于 2 吨，且每日耗费的 A 原料不可以超出 10 吨， B 原料不可以超出9吨．假如设每日甲种产品的产量为 x 吨，乙种产品的产量为y 吨，则在座标系xOy 中，知足上述条件的x，y 的可行域用暗影部分表示正确的选项是(A)(B) (C) (D)8．关于会合 A ， B ，定义 AB { x y x A, y B} ，以下命题：①AB B A ；②(AB) C A (B C)；③若 AAB B ，则AB ；④若A CB C ，则 A B ．此中正确的命题是(A) ①(B) ①②(C) ②③(D) ①④第二部分 （非选择题共 110 分）一、填空题共 6 小题，每题5 分，共 30 分．9．已知正实数 x ，y 知足 xy=3，则 2x+y 的最小值是 ．10．曲线 yx 3 x 2 x 1 在点 (0,1)处的切线方程是．11．在锐角△ ABC 中， AB= 25 ， AC=2，△ ABC 的面积是 4，则 sinA=，BC=．12．如下图，分别以 A ，B ，C 为圆心，在△ ABC 内作半径为 2 的扇形（图中的暗影部分） ，在△ ABC 内任取一点 P ，假如点 P 落在暗影内的 概率为1，那么△ ABC 的面积是．313．已知两点 A( m , 0 ，) B(m,0) （ m 0 ），假如在直线3x4y 2 5 0 P ，使得APB 90，则 m的取值范围是 _____．上存在点114．已知梯形 ABCD 中，AD DC CB AB ，P 是 BC 边上一点，且 AP xAB yAD .当 P 是 BC 中点时， xy；当 P 在 BC 边上运动时， xy 的最大值是 ______．二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共 13 分）已知函数2 0x2 ．f ( x) 2cos ( x)（此中， R12）的最小正周期为（Ⅰ）求 的值；[0, ] ，且 f ( ) 8 （Ⅱ）假如，求 cos 的值．2516.（本小题共 13 分）已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 知足 a 1 b 1 1 ， S 3 b 3 2 ，S 5 b 5 1 ．（Ⅰ）求数列 { a n } ， {b n } 的通项公式；（Ⅱ）假如数列 { b n } 为递加数列，求数列 { a n b n } 的前 n 项和 T n ．17.（本小题共 13 分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为认识A ，B 两班学新手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5 名同学进行检查，将他们均匀每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如下图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字） ．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的均匀值，并据此预计，哪个班的学生均匀上网时间较长；（Ⅱ）从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超出21 的数据记为a ，从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超出 21 的数据记为 b ，求 a>b 的概率．A 班B 班941 1 1 20 2 15 613P18.（本小题共 14 分）如下图，四棱锥P ABCD 的底面 ABCD 是直角 MN梯形， BC // AD ，ABAD ，AB BC1AD ，PA2底面 ABCD ，过 BC 的平面交 PD 于 M ，交 PA 于 N （ MADB C与 D 不重合）．（Ⅰ）求证：MN // BC ；（Ⅱ）求证：CD PC ；（Ⅲ）假如BM AC ，求此时PM的值．PD19.（本小题共 13 分）已知函数 f (x)x2e x．（Ⅰ）求 f (x) 的单一区间；x1，x2(,0] ，f ( x1)4（Ⅱ）证明： f ( x2 )；e2（Ⅲ）写出会合 { x R f ( x) b 0} （b为常数且 b R ）中元素的个数（只要写出结论）．20.（本小题共14 分）已知椭圆 C ：x2y21 (a b 0)的右焦点为 F (3,0) ，上下两个极点与点F恰巧a2b2是正三角形的三个极点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）过原点O 的直线l与椭圆交于A，B两点，假如△FAB 为直角三角形，求直线 l 的方程．（考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区 2015 年高三年级第二学期数学一致练习（二）数学（文科）参照答案：本大 共8 小 ，每小5 分，共40 分．号 1 2 3 4 5 6 7 8答案ADACBCAB一、填空 ：本大 共6 小 ，每小 5 分，共 30 分．9．2 610． x y 1 011．2 5；45 12． 613． [5,)14．5 ； 34 2注：第 11， 14 第一个空填 得 3 分，第二个空填 得2 分．二、解答 ：本大 共6 小 ，共80 分．解答 写出文字 明，演算步 或 明 程．15.（本小 共 13 分）解：（Ⅰ）因f ( x) 2cos 2 ( x12 ) cos(2x)1．6因此 T2 2 ，2因0 ，因此1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．25 分（Ⅱ）由（1）可知 f ( ) cos() 8 ，13 65因此 cos()，6 5因[0,2 ] ，2因此[6,] ，6 3 因此 sin() 4 ．6 5因 coscos[()6 ]6cos()cos sin()sin 66 663 34 1 3 34．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯525 210⋯ 13 分因此cos 334 10．16.（本小共 13 分）解：（Ⅰ）等差数列{ a n} 的公差 d ，等比数列 {b n } 的公比 q ，由意得3 3d q22．5 10d q41代入得 9d 24d 5 0 ，解得 d1或 d5（舍）．9因此 q 2 ．因此 a n n；b n2n 1或b n(2)n 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅱ）因数列{ b n } 增数列，因此 b n2n 1．因此T n120221 3 22...n2n 1，2T n 1 21 2 22 3 23n 2n，相减得T n2021222n 1n2n，所以T n 1 (n 1)2n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分17.（本小共 13 分）解：（Ⅰ） A 班本数据的均匀1(911142031)17 ，5B 班本数据的均匀1(1112212526)19 ，5据此估B班学生均匀每周上网．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）依意，从 A 班的本数据中随机抽取一个不超21 的数据 a，从 B 班的本数据中随机抽取一个不超21 的数据 b 的取法共有 12 种，分：（9,11），（ 9,12），（9,21），（ 11,11），（ 11,12），（11,21），（ 14,11），（ 14,12），（ 14,21），（20,11），（ 20,12），（20,21）．此中足条件“a>b”的共有 4 种，分：（14,11），（ 14,12），（20,11），（ 20,12）．“ a>b” 事件 D，41⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分P(D)．123答： a>b 的概率1．318.（本小共14 分）明：（Ⅰ）因梯形ABCD ，且 BC // AD ，又因 BC平面 PAD ， AD平面 PAD ，因此 BC // 平面 PAD ．因平面 BCNM平面 PAD =MN ，所以MN //BC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）取 AD 的中点 Q ， CQ ．P因 BC// AD ，BC1AD ，2因此 BC // AQ ，且 BC AQ ．M因 AB BC ，且 AB AD ，因此 ABCQ 是正方形．Q DA因此 BQ AC .B C又因 BCDQ 平行四形，因此且 CD / /BQ因此 CD AC ．又因 PA底面 ABCD ，因此 PA CD ．因 PA AC A ，因此 CD平面 PAC ，因 PC平面 PAC ，所以CD PC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（Ⅲ） M 作MK //PA交AD于K，BK．因 PA 底面 ABCD ，P因此 MK底面 ABCD ．因此 MK AC ．又因 BM AC，BM MK M ，M因此 AC平面 BMK ，DA KB C因此 AC BK ．由（Ⅱ）知AC CD ，因此在平面 ABCD 中可得 BCDK 是平行四 形． 因此 BC DK AK ，因 K 是AD 中点， 因此 M PD 中点．所以PM 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分． PD 219.（本小 共 13 分）解：（Ⅰ） f ( x)x( x 2) e x ．令 f ( x)x( x 2)e x 0 ， x 12， x 20 ．x(, 2)2( 2,0)0 (0, )f (x)+ 0- 0+f (x)↗极大↘极小↗因此函数f ( x) 的 减区 ( 2,0) ， 增区 (, 2), (0,) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ） 明：由（Ⅰ）知f ( x) 的 增区 (, 2) ， 减区 ( 2,0) ，因此当 x( ,0] ， f ( x)最大值 =f ( 2)4 ．2e因 当 x ( , 2] ， f ( x) 0 ， f (0)0 ，因此当 x(,0] ， f ( x)最小值 =f (0)0 ．因此 f (x)最大值- f (x)最小值 = 42 ．ef (x)最小值 =42因此x 1 ， x 2 ( ,0] ，都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )f (x)最大值 - ．e⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（Ⅲ）当 b 0 ，会合 { x R f ( x) b 0} 的元素个数0；当 b0或b 4R f ( x) b 0} 的元素个数1；2，会合 { xe当b4，会合 { x R f (x)b0} 的元素个数2；e2当 0b 4{ x R f ( x)b0} 的元素个数3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 ，会合e13分20.（本小共14 分）解：（Ⅰ）因 C 的右焦点 F (3,0) ， c3 ．因上下两个点与 F 恰巧是正三角形的三个点，因此 b 1，a b2c2 2 ．所以C的准方程x2y2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4（Ⅱ）依意，当△FAB 直角三角形，然直l 斜率存在，可直 l 方程 y kx ，A( x1, y1)，B( x2, y2)．（ⅰ）当 FA FB ，FA( x13, y ) ， FB( x23, y) ．12y kx，消 y 得(4k21)x2 4 0 ．x2 4 y24因此 x1x20 ，x1x24．4k 21FA FB(x3)( x23)y y( k 21)x x23( x x )3112112(k 21)2430 ．4k1解得k 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4此直 l 的方程 y2x ．4（ⅱ）当 FA 与 FB 不垂直，依据的称性，不如FAB．也就是点 A 既在上，又在以OF 直径的上．2北京市丰台区2015届高三二模数学文试题Word版含答案x12y121236 4，解得 x1因此3， y1．( x1 3 )2y12(3)23 22因此k y12x1．2此直 l 的方程 y22x ．上所述，直 l 的方程 y 2x 或 y2x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4214分（若用其余方法解题，请酌情给分）。

北京各区二模理科数学分类汇编导数(2015届西城二模)18．（本小题满分13 分）已知函数则211)(ax x x f +-=，其中a ∈ R ．⑴ 当41-=a 时，求 f (x )的单调区间； ⑵ 当a ＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x ，都有｜ f (x )｜≤m 成立． 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14a=-时，函数21()114xf x x -=-， 其定义域为{|2}x x ∈≠±R . ……………… 1分求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--， ……………… 4分 所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减. ……………… 5分（Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ……………… 6分令()0f x '=，解得110x =，211x =+>， ……………… 7分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：……………… 10分 所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01x f x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤. ……………… 12分记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x中最大的数，综上，当0a>时，存在实数[,)m M∈+∞，使得对任意的实数x，不等式|()|f x m≤恒成立.………………13分(2015届海淀二模)（18）（共13分）解：（Ⅰ）令()0f x=，得ex=.故()f x的零点为e. ………………1分22231()(1ln)22ln3'()()x x x xxf xx x-⋅--⋅-==（0x>）. ………………3分令'()0f x=，解得32ex=.当x变化时，'()f x，()f x的变化情况如下表：()f x32(0,e)32e32(e,)+∞'()f x-0+()f x↘↗所以()f x的单调递减区间为32(0,e)，单调递增区间为32(e,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln()xg xx=.则2211ln1ln'()()x x xxg x f xx x⋅-⋅-===. ………………7分因为11()44ln244622f=+>+⨯=，(e)0f=，且由（Ⅰ）得，()f x在(0,e)内是减函数，所以存在唯一的1(,e)2x∈，使得00'()()6g x f x==.当[e,)x∈+∞时，()0f x≤.所以 曲线ln xy x=存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. ………………10分 由0021ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-. 所以20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-.因为012x >, 所以12x <，063x -<-. 所以00()1y g x =<-. ………………13分(2015届东城二模)（18）（本小题共13分）已知函数()e x f x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a=时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.（18）（共13分） 解：（Ⅰ）当2e a=时，2()e x f x x -=+，]3,1[∈x .因为2'()1e x f x -=-，由0)(='x f ，2=x .则x ，)(x f '，)(x f 关系如下：所以当2=x 时，)(x f 有最小值为3. ………5分（Ⅱ）“存在实数0[3,3]x ∈-，有a x f >)(”等价于()f x 的最大值大于a .因为'()1e x f x a -=-，所以当0≤a 时，]3,3[-∈x ，0)('>x f ，)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当0≤a 时命题成立.当0>a时，由0)(='x f 得a x ln =.则x ∈R 时，x ，)(x f '，)(x f 关系如下：（1）当3e a ≥时 ，3ln ≥a ，)(x f 在)3,3(-上单调递减，所以()f x 的最大值(3)(0)f f a ->=.所以当3e a≥时命题成立.（2）当33e e a -<<时，3ln 3<<-a ，所以)(x f 在)ln ,3(a -上单调递减，在)3,(ln a 上单调递增.所以()f x 的最大值为(3)f -或(3)f .且a f f =>-)0()3(与a f f =>)0()3(必有一成立，所以当33e e a -<<时命题成立.（3） 当30e a -<≤时 ，3ln -≤a ，所以)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当30e a -<≤时命题成立.综上：对任意实数a 都存在]3,3[-∈x 使a x f >)(成立. ……13分(2015届丰台二模) 20.（本小题共13分） 已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）； （Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<． 20.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}xx >．因为ln 1()ax f x x+=， 所以2ln ()axf x x-'=． 因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=． 当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1xa=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k kk k --<-， 所以得到 当*N k ∈且2k≥时，1111ln 234k k+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分由（Ⅰ）得ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln 122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-， ……11ln1k k k k++<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+． 又因为1lnln 22k k +<，所以当*N k ∈且2k≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分(2015届昌平二模) 18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；(II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间；(III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分13分） 解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a=时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令2ln ()x x g x x+=，则221ln ()x xg x x +-'=令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数.()(1)1g x g >=，所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分解法二：2112()2x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x xax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<时，()0f x '>恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a=±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a<-a >方程()0g x =有两个实数根12x x ==若a<-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-；若a>()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分（2015届朝阳二模）19.（本题14分）已知函数R a e a x x f x∈-=,)()(2。

丰台区2015年初三毕业及统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共7页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．13的倒数是A．3B．3-C．13D．13-2．一根头发丝的直径约为0.00 006纳米，用科学记数法表示0.00 006，正确的是A．6×10-6 B． 6×10-5 C． 6×10-4 D． 0.6×10-43．下面的几何体中，主视图为三角形的是A B C D4．函数2y x=-中，自变量x的取值范围是A．2x≠ B．2x＞ C．2x≥ D．2x≤5．妈妈在端午节煮了10个粽子，其中5个火腿馅，3个红枣馅，2个豆沙馅（除馅料不同外，其它都相同）．煮好后小明随意吃一个，吃到红枣馅粽子的概率是A．110B．15C．310D．126．下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是菱形扇形平行四边形等边A B C D7．如图，A ，B 是函数2=y x的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴， AC ∥y 轴，如果△ABC 的面积记为S ，那么A ．4S =B ．2S =C ．24S ＜＜D ．4S ＞ 8．甲、乙、丙、丁四位同学角逐“汉字听写大赛”的决赛资 格，表中统计了他们五次测试成绩的平均分和方差．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参 加全市“汉字听写大赛”，那么应选A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米， 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）A B C D10．如图，点N 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，（不与点A ，B 重合），AB =4，M 是OA 的中点，设线段MN 的长为x ，△MNO 的面积为y ，那么下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是甲 乙 丙 丁平均分 80 80 85 85 方 差 59 41 54 42FCBA EEAFCB OyAxA O BM N图3图1 图2A E Fy1y1y1y1A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：34a a -= ．12．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ， 如果35AD DB =，AE =6，那么EC 的长为 ．13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知AB 的长是_________m ．14．将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，那么=h k + ．15．在四边形ABCD 中，如果AB AD =，AB CD ∥，请你添加一个．．条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是 .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式是y ＝33x ，点A 1坐标为(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点B 4的坐标为 ，2015OA = ．2m ABCO A BCED图1图 2l : y=33xy xOB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：20153822cos45+--+︒（-1）．18．已知：如图，AB =AE ，∠1=∠2 ，∠B =∠E ．求证：BC =ED ． 19．解不等式组：240,321 5.x x +⎧⎨-->⎩≤（）20．已知3=yx ，求代数式22212y x y x xy y x⎛⎫--⋅ ⎪-+⎝⎭的值．21．已知关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m -++=≠．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m 的值．22．列方程或方程组解应用题：为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?四、解答题（本题共20分，每小题5分）21ABCED23．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好落在线段DE 上．（1）求证：∠FAD =∠CDE ；（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．24．某校九年级有200名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了20名学生的成绩进行分组整理．现已完成前15个数据的整理，还有后5个数据尚未累计：62，83，76，87，70，学生测试成绩频数分布表 学生测试成绩频数分布直方图（1）请将剩余的5个数据累计在“学生测试成绩频数分布表”中，填上各组的频数与频率，并补全“学生测试成绩频数分布直方图”；（2）这20个数据的中位数所在组的成绩范围是 ；（3）请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于80分.25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ． （1）求证：OD ∥AC ；成绩x （分） 频数累计 频数 频率 50≤x ＜60 3 0.15 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤1005 0.25合计201.00BFACEDOA1357成绩（分）10090807060506284频数（2）当AB =10，5cos 5ABC ∠=时，求BE 的长．26．问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为5，32，17，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．CBA图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 思维拓展：（2）如果△MNP 三边的长分别为10，25，26，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNP ，并直接写出△MNP 的面积．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如 76541123321213xOy果图象G 沿y 轴向上平移t （0t >）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求t 的取值范围．28． 已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；（2） 如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ． 错误！未找到引用源。

北京各区二模理科数学分类汇编立几(2015届西城二模) 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最小值为（ ）(2015届西城二模) 17．（本小题满分14 分）如图 1，在边长为4 的菱形ABCD 中，AB DE BAD ⊥=∠,600于点E ，将△ADE 沿DE折起到△A 1D E 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图 2．⑴ 求证：A 1E ⊥平面BCDE ；⑵ 求二面角E —A 1B —C 的余弦值；⑶ 判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥A 1BC ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为D E BE ⊥,//BE DC ,所以DE DC ⊥, ……………… 1分 又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =,所以DC ⊥平面1A DE ， ……………… 2分所以1DC A E ⊥. ……………… 3分 又因为1A E DE ⊥,DCDE D =,所以1A E ⊥平面B C D E .……………… 4分（Ⅱ）解：因为1A E ⊥平面B C D E ，D E BE ⊥，所以1,,A E DE BE 两两垂直，以1,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分易知DE= 则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，(0,D ，EA 1BCD所以1(2,0,2)BA =-,BC =.平面1A BE 的一个法向量为0,1,0n =（）， ……………… 6分 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =,由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=,得220,20.x z x -+=+=⎧⎪⎨⎪⎩令 1y =,得(3,1,m =-. ……………… 8分所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅.由图，得二面角1E A B C--的为钝二面角，所以二面角1E A B C --的余弦值为7-. ……………… 10分（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 11分 解：假设在线段EB 上存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC .设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-,1(0,2)A D =-，…………… 12分 设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得111120,20.z tx z-=-=⎧⎪⎨⎪⎩令 12x =，得所以)p t =. ……………… 13分因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=，即0+=，解得3t =-. 因为02t ≤≤，所以在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 14分(2015届海淀二模)A 1EC答案：C(2015届海淀二模)（17）（共14分） （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OM .因为 //AB CD ，2AB CD =，所以2BO ABDO CD ==. 因为 2BM MP =，所以2BMPM =. 所以 BM BOPM DO=. 所以 //OM PD . ………………2分 因为 OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，所以 //PD 平面MAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为 平面PAD⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD . ………………6分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 AB PA ⊥. ………………7分 同理可证：AD PA ⊥.因为 AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD AB A =，所以PA ⊥平面ABCD . ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由MBD C O A PEFA22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =u u u r，(0,2,2)PB =-u u r.由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD .所以 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r. ………………10分设PMPBλ=(01)λ≤≤，即P M P λ=u u u r u u r .所以(0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r.设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r ur uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1xλ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以(1,22,2)m λλλ=---u r. ………………12分因为 二面角B AC M--的余弦值为23，所以23=，解得12λ=.所以 PM PB的值为12. ………………14分(2015届东城二模)（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=，G 是DE 的中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45，的长；若不存在，说明理由．（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ． 因为CE⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，A所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE=，2GE =，在△GEB 中，60GEB ∠=，BG =．因为222BG BE GE +=，所以GBBE ⊥．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB ，侧面BEFC侧面ADEB BE =，GB ⊂平面ADEB ，所以GB⊥平面BEFC ． ………8分（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．二面角为．假设在线段BC 上存在一点P ，使平面BGE 的法向量(0,0,1)=m，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=，(,0)GE =．设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GPGE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z=，得y λ=，x =，所以PGE 的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ，所以112=，解得[]0,1λ=，故BP =． 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45，且BP=. ………14分(2015届昌平二模) 6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.(2015届丰台二模) 5(A) 6(B)29(C) 3 (D)23(2015届丰台二模)17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面A B C D ，BD AC⊥于O,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ；（Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M--的平面角为θ，当cos 25θ=时，求CM 的长．（Ⅲ）原题：设二面角1A BD M --的余弦值为25，求CM 的长．（要舍一解）17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BAB A 11侧 视图正视图俯视图俯视图正视图OMD 1C 1B 1A 1DCBA是平行四边形．所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面O B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分（Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ． 设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-．所以08081=++-=⋅．所以1AO DM ⊥． ……………………8分 （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =．设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--． 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-．B又因为cos θ=， 所以2cos ,m n<>=，即125m nn m⋅==解得3h=或76h =． 所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分(2015届昌平二模) 17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面；（II ）求二面角1D AB E --的余弦值； （III ）在线段1BC 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.17. (本小题满分14分) ( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以MEAM =，故AE M B ⊥1.又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥,即.DMAE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形.所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AEAECD =,1B M ⊂平面AECD所以⊥MB 1平面AECD .1.B M AE ⊥因为⊂CD平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C , )3,0,0(1B , )0,0,1(-A ,)0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD .设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x , 令1=z 得, )1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1BC 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ . 则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD .因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ .又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D .所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+.所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分。